2.6 Der endliche Potentialtopf

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1 .6 Der endliche Potentialtopf W E Ψ ev V() Ψ 1.5 ev Ψ 1.38 ev L = 1 nm - Beim Übergang vom unendlichen zum endlichen Potentialtopf ändern sich die Lösungen qualitativ. Eine wichtige Rolle spielen die Stetigkeitsbedingungen.

2 .6 Der endliche Potentialtopf W E Ψ ev V() Ψ 1.5 ev Ψ 1.38 ev L = 1 nm - Wir haben schon gefordert, dass - im unendlichen Potential die Wellenfunktion ψ verschwindet. Begründung: * ( ψ ) ( ) ( ) m V + ψ ist sowas wie eine Energiedichte. Wenn V divergiert und ψ ungleich Null ist, dann divergiert auch die Energiedichte. Dies erscheint unsinnig.

3 .6 Der endliche Potentialtopf W E Ψ ev V() Ψ 1.5 ev Ψ 1.38 ev L = 1 nm - Wir haben auch schon gefordert, dass - die Wellenfunktion stetig ist. Begründung: ψ * ( ) j ψ ( ) ist sowas wie eine Impulsdichte (proportional zum Strom). Wenn ψ unstetig ist, dann divergiert diese Dichte. Dies erscheint ebenso unsinnig.

4 .6 Der endliche Potentialtopf W E Ψ ev V() Ψ 1.5 ev Ψ 1.38 ev L = 1 nm - Formaler Zugang: Wie sieht die Wellenfunktion ψ() an einer Sprungstelle aus? Ausgehend von der S-Glg.: + V( ) ψ( ) = Wψ( ) integrieren rund um m : Integration der S-Glg. von -δ bis + δ : ( ψ '( + δ) ψ '( δ) ) + V( ) ψ( ) d = Wψ( ) d m + δ + δ δ δ

5 Der endliche Potentialtopf: Randbedingungen E W 3.38 ev Ψ 3 V() Ψ 1.5 ev Ψ 1.38 ev L = 1 nm + V( ) ψ( ) Wψ( ) = m Integration der S-Glg. von - Wie sieht die Wellenfunktion ψ() an einer Sprungstelle aus? ψ '( + δ) ψ '( δ) + V( ) ψ( ) d Wψ( ) d m = δ δ -δ bis + δ : ( ) + δ + δ ψ ist stetig differenzierbar falls V endlich, sonst nur stetig für δ ( falls V endlich) für δ

6 Der endliche Potentialtopf: Struktur der Lösungen V() Die übliche Darstellung des Potentialtopfes: V( ) L : > = L V : - lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden (Wellenfunktion verschwindet im Unendlichen) -ebene Wellen, die irgendwie durch den Topf in ihrer Ausbreitung gestört werden (sehr delokalisiert, ähnlich dem freien Elektron) -V -L/ L/ Wir vermuten zwei qualitativ unterschiedliche Lösungsarten:

7 V() Der endliche Potentialtopf: Struktur der Lösungen V( ) L : > = L V : -V -L/ L/ Wir vermuten zwei qualitativ unterschiedliche Lösungsarten: - lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden -ebene Wellen, die irgendwie durch den Topf in ihrer Ausbreitung gestört werden (ähnlich dem freien Elektron)

8 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen Gebundene Lösungen klassisch: -Gesamtenergie < - Teilchen läuft wie Ping-Pong-Ball im Topf hin und her V() -L/ L/ Gebundene Lösung quantenmechanisch: - Energieeigenwert < - Wellenfunktion verschwindet im Unendlichen I II III -V -C Der Ansatz, der (fast) immer funktioniert: + ψ ( ) = A ep( jk) + A ep( jk) II II Aber: Die gebundene Wellenfunktion muss im Unendlichen verschwinden, ebene Wellen kommen also nicht in Frage! Ein solcher Ansatz ergibt gebundene Lösungen, falls k=jκ imaginär ist und der Eponent negativ ist.

9 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen V() -L/ L/ I II III Ansatz für die Wellenfunktionen im Aussenbereich: ψ ( ) = A ep( κ ) I III I ψ ( ) = A ep( κ ) III -V -C Einsetzen in S-Glg. für Bereich I: = = m m ep( ) ep( ) ep( ) A κ Aκ κ WA κ I I I κ = mw mw - bzw. κ= - Es gibt also zunächst einmal im Aussenbereich unendlich viele Lösungen von eponentiell abfallenden Wellenfunktionen.

10 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen -Damit ist die Struktur der Lösungen im Aussenraum klar zerfallende Eponentialfunktionen W in ev 1.5 I II III Ψ W Was ist los im Bereich II? Beispiele: 1 Der bewährte Ansatz lautet:.5 Ψ W1 + ψ ( ) = A ep( jk) + A ep( jk) mit k = II mw ( + V ) II in nm -L/ L/ Die Lösung lautet also: AI ep( κ ) : L/ + -L L ψ ( ) = AII ep( jk) + AII ep( jk) : < < AIII ep( κ ) : L/

11 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen Die diskrete Natur der Lösungen ergibt sich jetzt wieder aus den Stetigkeitsbedingungen: ψ ( L/ ) = ψ ( L/ ) ψ '( L/ ) = ψ '( L/ ) I II I II ψ ( L/) = ψ ( L/) ψ '( L/) = ψ '( L/) II III II III W in ev Ψ W 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten + A, A, A, A (mit k bzw. κ als Parameter) I III II II.5 Ψ W in nm Gleichungssystem hinschreiben Determinanten = setzen kl κ = k tan für symm. (cosinusartig) ψ kl κ = kcot für antisymm. ψ (sinusartig) Bedingungen für k bzw. κ mv Weiterhin gilt: κ +k = = C

12 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen Visualisierung durch graphische Darstellung: - es eistiert auf jeden Fall eine symmetrische Lösung C -nur ab einer bestimmten Mindestgröße von V bzw. C gibt es eine antisymmetrische Lösung -je größer V, desto mehr Schnittpunkte und desto mehr Lösungen eistieren C kl κ = k tan für symm. (cosinusartig) ψ kl κ = kcot für antisymm. ψ (sinusartig) mv Weiterhin gilt: κ +k = = C

13 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen Symmetrische (gerade) Lösungen: cos( ) L A k für ug( ) = L L Acos( k )ep κ( ) L für > W in ev 1.5 Ψ W Antisymmetrische (ungerade) Lösungen: L Bsin( k) für L L L uu( ) = Bsin( k )ep ( ) für κ > L L L Bsin( k )ep κ ( ) für < -Stetigkeitsbedingungen werden nur für -diskrete k erfüllt: endliche Anzahl von Eigenfunktionen mit diskreten Energieeigenwerten 1.5 Ψ W in nm -L/ L/ -im Gegensatz zur klassischen Lösung endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit ausserhalb des Topfes!! Quantenmechanischer Tunneleffekt Teilchen tunnelt aus dem Topf heraus

14 Eigentliche und Uneigentliche Lösungen Seit Anfang der Vorlesung verfolgen uns schon die uneigentlichen Lösungen, z.b. freien Elektron. In den meisten Fällen gibt es eigentliche und uneigentliche Eigenzustände. W in ev 1.5 Ψ W Eigentliche Zustände sind normierbar: 1 * 1 für m=n ψ ( ) ψ ( ) d = = δ sonst m n mn.5 Ψ W in nm Uneigentliche Zustände sind nicht normierbar: * für k'=k ψk' ( ) ψk( ) d = = δ( k' k) sonst

15 Kontinuumslösungen beim Potentialtopf Klassisch für W>: Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst) V() -L/ L/ Quantenmechanik für W>: -V -C + Wieder der Ansatz, der (fast) immer funktioniert: ψ ( ) = A ep( jk) + A ep( jk) Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes. Qualitatives Bild der Lösungen: -grössere kinetische Energien entsprechend kleineren Wellenlängen im Bereich des Topfes

16 Kontinuumslösungen beim Potentialtopf Ansatz für die Lösung also: + AI ep( jk) + AI ep( jk) : L / + ψ ( ) = AII ep( jk ' ) + AII ep( jk ' ) : -L/ < < L/ + AIII ep( jk) + AIII ep( jk) : L / R T ergibt eine üble Rechnerei. 1 V() -L/ L/ Typischere Situation: Elektron kommt nur einer Seite: Ebene Welle läuft von links nach rechts Die Rechnerei ist damit immer noch heftig. -V -C Was interessiert uns denn eigentlich? Ähnlich zur Elektrodynamik sind die Refleions- und der Transmissionskoeffizienten (die Ströme) relevant. (R+T=1)

17 Potentialtopf: W>, Kontinuumslösungen Klassisch für W>: Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst) V() -L/ L/ Quantenmechanisch für W>: L L Aus ψgedämpft ( ) = Bsin( k )ep κ( ) wird ψ Kontinuum L L ( ) = Bsin( k )sin( k'( )) Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes. wobei mv -C -V κ= k Qualitatives Bild der Lösungen:

18 Potentialtopf: W>, Kontinuumslösungen T TW ( > ) = 1+ T(W) + III AI = A ; R = A + + I AI sin ( mw ( + V )/ a) 4( W / V)( W / V + 1) 1 I 1 R V() II a T -V III W Resonanzen für k ' = nπ a also immer dann, wenn die halbe Materiewellenlänge (oder ein ganzzahliges Vielfaches in den Potentialtopf hineinpasst)

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20 Potentialtopf: W>, Kontinuumslösungen Ähnliches Verhalten wie beim Durchgang von Licht (=elektromagnetische Welle) durch ein Fabry-Perot-Interferometer: Funktionsprinzip eines Fabry-Perot-Etalons. Quelle: Durchlässigkeit eines Fabry-Perot-Etalons für verschiedene Güten.

21 Potentialtöpfe und Potentialbarrieren Potentialtopf Potentialbarriere V V für < V( ) = ± V für a für > a

22 Potentialbarriere W<V : Tunneleffekt in Reinkultur denn: T V Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 1%iger Wahrscheinlichkeit reflektiert werden. Quantenmechanisch durchtunnelt es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere 1.8 TW ( < V ) = 1+ sinh ( mv ( W)/ a) 4( W / V)(1 W / V) E [ev] (V =3eV)

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24 Anwendung von Potentialbarriere: Die Tunneldiode Für die Stromdichte gilt dann: Metall-Isolator-Tunneldiode Tunneldiode in Mikrowellenschaltkreisen Sehr starke Feldabhängigkeit, hohe Nichtlinearität des Bauelementes

25 Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die Tunneldiode Für die Stromdichte gilt dann: - sehr starke Spannungsabhängigkeit, - hohe Nichtlinearität des Bauelementes

26 Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die resonante Tunneldiode

27 Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die resonante Tunneldiode statt normaler Diodenkennlinie -Bereich mit negativem differentiellen Widerstand

28 Anwendung von Potentialbarrieren: Das Rastertunnelmikroskop