Repetitorium zur Vorlesung Festkörperelektronik SS 2004

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1 Repetitorium zur Vorlesung Festkörperelektronik SS Grundlagen der Quantenmechanik 1.1. Einleitung 1.. Historisches Effekte, die mit klassischer Mechanik und Elektrodynamik nicht zu erklären sind: - Photoeffekt - Spektrum der Schwarzkörperstrahlung - Fehlende Abstrahlung im Bohr schen Atommodell - Interferenz von Elektronen 1.3. Die Schrödinger-Gleichung Der quantenmechanische Zustand ψ (,) rt Schrödinger-Gleichung j = + Vrt (,) ψ (,) rt t m bzw. in 1D ψ ( xt, ) j = + V( x, t) ψ ( x, t) t m x Die Wellenfunktion * ρ(,) rt = ψ(,) rt = ψ rtψ(,) ist proportional zur Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Die SGL für das freie Teilchen Ansatz für die ebene Welle: ψ (,) rt = Aexp(( jkr ω t)) Dispersionsrelation: k ω = m de-broglie-wellenlänge: h λ = p Wellenvektor(zahl): π k = λ Impuls: hk p = = k π k 1

2 Wellenpakete Überlagerung von ebenen Wellen: ψ ( x, t) = A exp( j( kx ω t)) dk k k - Wellenpaket zerfließt mit der Zeit - Schwerpunkt bewegt sich mit der k0 Geschwindigkeit v = m Quantenmechanische Erwartungswerte Ortsoperator: r = r Impulsoperator: p = j * Erwartungswert: <F>= (, ) (, ψ x tfxp) ψ( xt, )dx (bei normierten Wellenfunktionen) Die zeitunabhängige SGL Ansatz: (,) () jωt ψ rt = ψ re, damit ergibt sich eine zeitunabhängige Differentialgleichung: m Vr ( ) ψ( r) Wψ( r) + =

3 1.4. Der unendlich hohe Potentialtopf W E 3 E Ψ 3 Ψ Ψ 1 nπ x Eigenfunktionen: ψ n( x) = Ansin L Energieeigenwerte: nπ Wn = m L E 1 0 L x 1.5. Messwerte in der Quantenmechanik Normierung der Wellenfunktion: Gegeben sei eine Wellenfunktion: ψ * ( x) ψ ( x)dx = 1 ψ( x) = aψ ( x) mit Eigenwerten f zum Operator F 0 n n n - bei Messung erhält man Eigenwerte f n mit der Wahrscheinlichkeit Ia n I - nach der Messung ist System im Zustand ψ n 1.6. Der endliche Potentialtopf W in ev 1.5 Ψ W Ψ W x in nm β exp( κx) : x < L/ + + -L L ψ( x) = γ exp( ikx) γ exp( ikx) : < x < αexp( κx) : x > L/ - Teilchen tunnelt in Barriere hinein - außer gebundenen Zuständen für W>V 0 auch Kontinuumszustände (laufende Wellen) 3

4 - Gebundene Zustände sind eigentlich (normierbar): * 1 für m=n ψ m ( x) ψn( x) dx = = δmn 0 sonst - Kontinuumszustände sind uneigentlich: * für k'=k ψk' ( x) ψk( xdx ) = = δ( k' k) 0 sonst - Gesamtwellenfunktion kann eigentliche und uneigentliche Anteile haben 1.7. Potentialbarrieren N ψ( x) = aψ ( x) + a( k) ψ ( x) d 0 k- n n k K1 V 0 Klassisch: 100 %ige Wahrscheinlichkeit für Reflexion Quantenmechanisch: Teilchen durchtunnelt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere W<V 0 sinh ( mv ( W)/ a) TW ( < V0 ) = (1+ 4( W / V )(1 W / V ) 0 1 ) T E [ev] Anwendungen Tunneleffekt: - Tunneldiode - Rastertunnelmikroskop (V 0 =3eV) 1.8. Quantenmechanik in 3D: Wenn Potential als Summe darstellbar: 3 Vr ( ) = f1( x) + f( y) + f3( z) = fi( xi) 4 i = 1

5 dann ist die Wellenfunktion separierbar: ψ ( x, yz, ) = ψ ( x) ψ ( y) ψ ( z) nx ny nz Energieeigenwerte sind dann additiv: W = W + W + W nx, ny, nz nx ny nz Entartung: Gleiche Energieeigenwerte für verschiedene Zustände. Aufbau der Materie.1. Das Wasserstoffatom Klassifizierung der Zustände: n = 1,, 3, (Hauptquantenzahl)oder K, L, M, l = 0, 1,, 3, n 1 (Nebenquantenzahl, Drehimpulsquantenzahl)oder s, p, d, f, m = - l, - l + 1, l (Magnetquantenzahl) s=-½, ½ (Spinquantenzahl).. Das Periodensystem Pauli-Prinzip: Zwei Fermionen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl! - Auffüllen der Zustände von unten nach oben.3. Vom Atom zum Material.3.1. Bindungsarten Ionenbindung, kovalente Bindung, metallische Bindung, van-der-waals-bindung.3.. Ionenbindung e Resultierender Potentialverlauf: ϕ = + B (Anziehung durch Coulombkraft, n 4πε0r r effektive Abstossung wegen Pauli-Prinzip).3.3. Kovalente Bindung - Ausbildung von bindenden und antibindenden Molekülorbitalen durch Überlagerung der Atomorbitale Einfachstes Beispiel: Wasserstoffmolekülion 5

6 Bindender Zustand: ψ = A *( ϕ + ϕ ) bindend α b Antibindender Zustand: ψ = B *( ϕ ϕ ) Anti α b 3. Elektronen in Kristallen 3.1. Vom Molekül zum Festkörper Viele Atome mit Abstand a und überlappenden Potentialen Es ergibt sich ein periodisches Gesamtpotential (gestrichelt). Aufspaltung der Energiezustände: Für N Atome Aufspaltung in N Energiezustände Diese energetisch nahe zusammenliegenden Zustände bilden Bänder von erlaubten Zuständen. Komplexes Verhalten durch Überkreuzungen 6

7 3.. Kristallstrukturen Wichtige Kristallgitter: a) sc einfach kubisch, b) bcc kubisch raumzentriert, c) fcc kubisch flächenzentriert 3.3. Kristallherstellung Wichtige Verfahren: Czochralski, Zonenziehverfahren, Epitaxie 3.4. Blochelektronen gestreute Teilwellen Quantenmechanische Wellen werden am periodischen Potential der Atome gestreut. Es kommt zur Interferenz ähnlich der optischen Interferenz an dünnen Schichten. Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/=a bzw. k=π/a einfallendes Elektron a a a 7

8 Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a 3.5. Bandstrukturen Die Wellenfunktionen sind nur bis auf ganzzahliges Vielfaches des reziproken Gittervektors K=p/a bestimmt. Durch Verschiebung der Parabelsegemente durch Addition von Vielfachen von K erhält man das auf die 1. Brillouinzone reduzierte Zonenschema. Das ist das typischerweise verwendete Bandstruktur für Blochelektronen in Festkörpern. 8

9 Gegenüberstellung freies Elektron und Blochelektronen Freies Elektron: Klassifizierung nach k-vektor Wellenfunktion: Ψ ( r ) = e jkr Energieeigenwerte: k E k ( k) = m 0 Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n: ( ) jkr Ψ nk r = e u ( r) nk u ( r) = u ( r + R) nk nk (gitterperiodische Funktion) Beispiel einer Bandstruktur: Silizium Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt die Abhängigkeit der Energieeigenwerte vom reduzierten Wellenvektor k in verschiedene Raumrichtungen an. 9

10 4. Elektronen in Halbleitern 4.1. Beschleunigung von Blochelektronen Gruppengeschwindigkeit von Elektronen: v g ω = = k 1 W( k) ; k Beschleunigung des Blochelektrons: Änderung des k-vektors durch äußere Kraft F gemäß Beschleunigung a: Effektive Masse: m dv 1 a = g = F dt m * W( k) = k * -1 dk 1 F dt = (wird bestimmt durch Krümmung des Bandes) Gruppengeschwindigkeit und Masse eines Elektrons hängen von der Bandstruktur ab! Sowohl v als auch m können negativ werden! Im Prinzip daher bei Anlegen eines elektrischen Feldes eine Oszillation des Elektrons zu erwarten (Bloch- Oszillation). 4.. Beweglichkeit Im realen Halbleiter wird die Beschleunigung immer wieder unterbrochen durch Stöße. 10

11 Zusätzlich Überlagerung durch thermische Bewegung der Elektronen ähnlich wie in einem Gas. Die mittlere Geschwindigkeit wird bestimmt durch die Beschleunigung und durch die Intrabandrelaxationszeit, also die mittlere Zeit, nach der die Bewegung durch einen Stoss abrupt unterbrochen wird. Für die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen in Feldrichtung gilt Hierbei ist v F qeτ eeτ = τ = = µ E * * m m m eτ µ = die Beweglichkeit. * m 4.3. Parabolische Näherung - Annährerung der Bandstruktur durch Parabeln - entspricht einer konstanten effektiven Masse 11

12 4.4. Transport durch Löcher - Stromtransport nur in teilweise gefüllten Bändern - falls Band vollbesetzt, laufen genauso viele Elektronen in die eine wie in die entgegengesetzte Richtung, daher kein resultierender Strom. Ladung des Elektrons Beweglichkeit der Ladungsträger im Leitungsband Stromdichte: J = σe Anzahl der Ladungsträger im Leitungsband Anzahl der Defektelektronen im Valenzband Beweglichkeit der Ladungsträger im Valenzband Berechnung der Leitfähigkeit eines Festkörpers 4.5. Metalle, Halbleiter, Isolatoren Primitives Bändermodell für Metall, Halbleiter und Isolatoren: a),b) teilweise gefülltes Band, gute Leitfähigkeit c) Halbleiter: einige Elektronen sind von einem Band über eine Bandlücke ins nächst höhere angeregt, d) sehr grosse Bandlücke, nur voll gefüllte Bänder 1

13 5. Quantenstatistik für Ladungsträger 5.1. Zustandsdichte -gibt an, wie viele Elektronen in einen Stück der Bandstruktur hineinpassen Zustandsdichte Elektronen: Zustandsdichte Löcher: ( m ) 3 4π e gl( W) = W W 3 h ( m ) 3 4π h gv( W) = W 3 V W h L Schema von Bandstruktur und Zustandsdichte in parabolischer Näherung (E=W). 5.. Fermi-Dirac-Verteilung - Besetzung der elektronischen Zustände im Halbleiter erfolgt so, dass freie Energie minimiert wird - - ergibt Fermi-Dirac-Verteilung 1 fwt (, ) = W WF 1+ exp( ) kt 13

14 5.3. Besetzung der Bänder Besetzung der Bänder nach der Fermi-Dirac- Funktion bzw. in Boltzmann- Näherung Besetzung der Leitungsbandes mit Elektronen: W W n = NL exp kt B N eff L F 3 * eff π mkt e B L = h. mit der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbandes Besetzung des Valenzbandes mit Löchern: eff WV W F p = NV exp mit der effektiven Zustandsdichte des Valenzbandes kt N 3 * eff π mkt h B V = h B Intrinsische Ladungsträgerdichte eff eff W G ni = pi = NL NV exp kt B * WL + W 3 V m h Lage des Ferminiveaus: WF = + k BTln * 4 me 14

15 6. Dotierte Halbleiter 6.1. Donatoren und Akzeptoren Schema zur n- und p-dotierung 6.. Technologie Dotierung durch Eindiffusion oder durch Ionenimplantation 6.3. Ladungsträgerstatistik in dotierten Halbleitern Ladungsneutralität: n+ N A = p+ N + D 6.4. Temperaturabhängige Leitfähigkeit 15

16 Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerdichte in einem dotierten Halbleiter 7. Halbleitergrundgleichungen 7.1. Einleitung Ströme fliessen nur bei Vorliegen eines Nichtgleichgewichtes. Bei unterschiedlichem Ferminiveau fliessen Elektronen vom Bereich höheren Ferminiveau in den Bereich niedrigeren Ferminiveaus. 7.. Diffusionsströme -Diffusionsströme werden durch Dichtegradienten hervorgerufen 7.3. Generation und Rekombination Ratengleichungen Verschiedene Rekombinationsraten addieren sich zu einer Gesamtrate: r = r( x, y, z, t) = r + r + r +... opt phonon St Verschiedene Generationsraten addieren sich zu einer Gesamtrate: g = g( x, y, z, t) = g + g + g +... opt phonon St Im thermischen Gleichgewicht gilt: r=g und einzeln r i =g i Optische Übergänge Absorption eines Photons: Anregung eines Elektrons vom VB in LB Emission eines Photons: Übergang eines Elektrons vom LB ins VB (Rekombination) 16

17 optische Übergang in einem direkten Halbleiter (z.b. GaAs) optischer Übergang in einem indirekten Halbleiter (z.b. Si) Störstellenrekombination Oberflächenrekombination Augerprozesse Dreitteilchenprozess, bei Rekombination von Elektron und Loch freiwerdende Energie wird an drittes Teilchen abgegeben 7.4. Kontinuitätsgleichung Ladungsdichte wird geändert durch Quelle oder Senke der Stromdichte und durch Rekombination/Generation 7.5. Poisson-Gleichung Ladung wirkt als Quelle eines elektrischen Feldes 17

18 7.6. Zusammenfassung (H1) Jn = enµ ne + edn n (H) Jp = epµ pe-edp p Drift- und Diffusion (H3) (H4) ( e n) + Jn = e( gn rn) t (e p) + Jp = e( gp rp) t (H5) e + ϕ = ( p n+ nd na) ; E = ϕ εε 0 Kontinuitätsgleichungen Poisson- Gleichung 8. Der pn-übergang 8.1. Das elektrochemische Potential - beim Zusammenbringen von p- und n-dotierten Halbleitern gleicht sich das Fermi-Niveau aus - Aufbau eines elektrischen Feldes - Kompensation von Drift- und Diffusionsströmen 8.. Banddiagramm des pn-übergangs Die Raumladungszone (RLZ) Lochdiffusion in n-bereich: im p-bereich Bildung negativ geladener Akzeptoren Elektronendiffusion in p-bereich: im n-bereich verbleiben positiv geladene Donatorrümpfe 18

19 8... Diffusionsspannung W Diffusionsspanung: e U D W L W F U D kt nn A D = ln e ni W i W V 8.3. Einsteinrelation Verknüpfung zwischen Diffusionskonstante und Beweglichkeit: kt Elektronen: D n = µ n e kt Löcher: D p = µ p e 8.4. Schottky-Modell Bandverlauf Annahme: abrupter Übergang vom neutralen Bahngebiet in Raumladungszone 0 : x lp ena : lp < x 0 ρ( x) = end : 0 < x ln 0 : x > ln konstante Ladungsdichte, linearer Feldverlauf, quadratischer Potentialverlauf en A end ϕ( x) = ( x lp ) ϕ( x) ( x ln) + UD εε + = εε Ausdehnung der Raumladungszone l l l εε U 1 1 e n n 0 D = p + n =... = + D Der pn-übergang mit Vorspannung Erhöhung der Diffusionsströme durch Erhöhung der Minoritätsladungsträgerdichte an den Rändern der RLZ 19 A

20 Führt zur Ausbildung eines Überschussladungsträgerdichteprofils gemäß: x px ( ) = pd ( n )exp L p = pd ( n )exp Damit ergibt sich dann die folgende Spannungsabhängigkeit der Stromdichte D D n p eu JU ( ) = e np + pn exp( ) 1 Ln L p kt - Exponentieller Anstieg bei Vorwärtsspannung - schnelle Sättigung in Rückwärtsrichtung x D τ p p 0