1.5. Quantenmechanische Erwartungswerte

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1 1.5. Quantenmechanische Erwartungswerte Mit der Kenntnis eines quantenmechanischen Zustandes und der Schrödinger- Gleichung ist die Zeitentwiclung der Wellenfuntion im Prinzip für alle Zeiten beannt. In der bisherigen Disussion haben wir uns im Wesentlichen um die Aufenthaltswahrscheinlicheit geümmert und haben prinzipielle quantenmechanische Phänomene wie das Auseinanderfließen am Beispiel des Gauß-Wellenpaetes disutiert. Eine allgemeine Vorschrift zur Berechnung von physialisch relevanten Größen wurde allerdings noch nicht angegeben. Uns fehlt noch das Rüstzeug, um so elementare Größen wie z.b. die inetische Energie eines Eletrons zu berechnen. Die hierfür notwendige Information wird axiomatisch über das 3. Postulat der Quantenmechani eingeführt: 3. Postulat der Quantenmechani Physialische Messgrößen werden durch Operatoren beschrieben. Dem Teilchenort wird der Operator x zugeordnet, der ψ ( x) mit x multipliziert. Dem Impuls wird der Operator p = j zugeordnet. Bei oftmaliger Messung einer physialischen Größe, die sich als Funtion von Ort und Impuls schreiben lässt, ergibt sich als Mittelwert F( x, p) F * ψ ( x, tfxp ) (, ) ψ( xtdx, ). * ( xt, ) ( xtdx, ) < >= ψ ψ Als Beispiel für die Anwendung dieses Axioms ann die schon ausgiebig behandelte ebene Materiewelle untersucht werden: ψ ( x, t) = Aexp( j( x ω t)) Den Ort haben wir im Prinzip schon an Hand der Aufenthaltswahrscheinlicheit disutiert. Es ergab sich in (1.4-9) eine über den gesamten Raum onstante Aufenthaltswahrscheinlicheit ρ( x, t) A. Für den Erwartungswert des Ortes erhält man nach obiger Vorschrift: 1

2 Aexp( j( x ωt)) xaexp( j( x ωt)) dx xdx <x>= = = 0 dx Aexp( j( x ω t)) Aexp( j( x ω t)) dx 1.5 Die zugehörige Berechnung des Erwartungswertes für den Impuls führt uns jetzt systematisch zu der schon von Louis de Broglie 193 vor der systematischen Ausarbeitung der Quantentheorie vorgeschlagenen Beziehung zwischen π Impuls und Wellenlänge λ bzw. Wellenzahl = : λ <p>= ˆ Aexp( j( x ωt))( j ) Aexp( j( x ωt)) dx Aexp( j( x ω t)) Aexp( j( x ω t)) dx j j Aexp( j( x ωt)) Aexp( j( x ωt)) dx = = Aexp( j( x ω t)) Aexp( j( x ω t)) dx An diesem Beispiel wird auch wieder lar, warum die ebenen Wellen bei der Beschreibung von quantenmechanischen Problemen eine so wichtige Rolle spielen: Der Differentialoperator entschärft sich analog zur Eletrodynami im Raum der ebenen Wellen (im -Raum ) zu einer einfachen Multipliation. Weitergehend und nun die Vorgaben des 3. Postulates in ein wirlich neues Ergebnis umsetzend ist die Berechnung der inetischen Energie eines quantenmechanischen Eletrons. Wir benutzen hierzu die Quantisierungsvorschrift, nämlich das Ersetzen des lassischen Impulses durch den Impulsoperator. Klassisch gilt für die inetische Energie W 1 p = m in= mv. Quantenmechanisch ergibt sich durch Ersetzen des Impulses durch den Impulsoperator für den Operator für die inetische Energie: W in p = H = = m m 1.5 5

3 Für die inetische Energie (sauberer: den Erwartungswert der inetischen Energie) einer ebenen Welle ergibt sich damit: < W in>= dxaexp( j( x ωt))( ) Aexp( j( x ω )) t m dxaexp( j( x ω t)) Aexp( j( x ω t)) dxaexp( j( x ω t))( ) Aexp( j( x ω t)) x j = m dxaexp( j( x ω t)) Aexp( j( x ω t)) m Der Vergleich mit der schon beannten Dispersionsrelation für das freie Teilchen ω = (Glg ) zeigt den direten Zusammenhang zwischen der Energie eines m Teilchens und der Kreisfrequenz der Materiewelle: Wˆ in W = ω Als Dispersionsrelation bezeichnet man daher nicht nur den Zusammenhang zwischen und ω sondern auch zwischen Wellenvetor und Energie W. W, ω Abbildung 1.5-1: Die Dispersionsrelation gibt den Zusammenhang zwischen Wellenzahl/vetor und Kreisfrequenz bzw. Energie des Teilchens an. 3

4 . Eletronische Zustände.1. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Eine stare Vereinfachung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich, wenn das Potential zeitunabhängig ist: ψ ( xt, ) j = + V( x) ψ ( x, t).1 1 t m Liegt diese Situation vor, so ann die Wellenfuntion als Produt eines zeitabhängigen Phasenfators und einer zeitunabhängigen Funtion angesetzt werden: j t ψ ( x, t) = φ( x) e ω.1 Aus der linen Seite der Glg. (.1-1) wird dann ( xt, ) j ψ = j ( φ( x)exp( jωt) ) = j φ( x)exp( jωt)( jω) = exp( jωt) ω ( x), t t φ.1 3 und aus der rechten Seite in Glg. (.1-1) wird + V( x) φ( x)exp( jωt). m.1 4 Nach Division durch die Exponentialfuntion erhalten wir: + V( x) φ( x) ωφ( x) =..1 5 m Nachdem wir uns schon daran gewöhnt haben, dass das Symbol für eine Wellenfuntion ein Ψ und nicht ein φ ist, ersetzen wir nun das φ wieder durch ein Ψ, meinen aber nun im Gegensatz zum bisherigen Gebrauch des Symbols (meistens) nur noch den zeitunabhängigen Teil der Wellenfuntion. Zudem wissen wir schon, dass ω = W gilt. Damit önnen wir Glg..1-5 in eine prägnantere Form umschreiben und wir erhalten die zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung in ihrer weit verbreiteten Form: 4

5 + V ( x) ψ( x) = Wψ( x). m W pot W in W ges.1 6 Insgesamt stellt sich damit die zeitunabhängige Schrödinger-Glg. als ein durchaus greifbares Gebilde dar: Auf der lines Seite steht neben dem Operator für die inetische Energie noch das Potential bzw. der Operator für die potentielle Energie. Insgesamt ist dies dann der Operator für die Gesamtenergie. Dieser Operator, den man mit der Gesamtenergie eines Teilchens verbindet, wird in Anlehnung an die theoretische Mechani als Hamilton 1 -Operator (engl. Hamiltonian ) Ĥ bezeichnet. Wie stellt sich damit die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung dar? Ein Operator wird auf eine Funtion angewendet und soll ein Salar multipliziert mit der Funtion selbst ergeben. Es ergibt sich damit eine sehr einfache symbolische Darstellung für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Hˆ ψ( x) = Wψ( x)..1 7 Mathematisch sollte uns das mächtig an die lineare Algebra erinnern. Wir wenden einen Operator auf eine Funtion an und es ergibt sich wieder die Funtion selbst multipliziert mit einem Salar. Das Ganze ist vollommen analog zum Eigenwertproblem, bei dem eine Matrix auf einen Eigenvetor angewendet wieder den Vetor selbst multipliziert mit einem Eigenwert ergibt. Mathematisch gesprochen suchen wir also bei der Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Glg. die Eigenfuntionen und (Energie-)Eigenwerte zum Hamiltonoperator. 1 Sir William Rowan Hamilton, irisch-englischer Mathematier und Physier. (* 4. August 1805 in Dublin;. September 1865 bei Dunsin). 5

6 Abbildung.1-1: Visualisierung einer linearen Abbildung. Für 1 0 Ae = e = E λ e 0 ergeben sich die beiden Eigenwerte E 1 =1 und E =. Graphisch heißt das, dass nach dem Anwenden der Matrix auf den Vetor ein Vielfaches des Vetors herausommt... Der unendlich hohe Potentialtopf Der unendlich hohe Potentialtopf ist der Klassier der Probleme der Quantenmechani und wird in vielen Lehrbüchern der Halbleitereletroni als Einstieg genutzt. Am unendlich hohen Potentialtopf ann man exemplarisch viele Prinzipien der Quantenmechani studieren. Der Potentialtopf ist aber auch ein wichtiger Baustein der modernen Halbleiter- und hierbei insbesondere der Optoeletroni. Beispiele sind in Abbildung.-1 und Abbildung.- dargestellt. Die beiden Abbildungen zeigen lins ein Bild einer violett strahlenden Laserdiode und ein Schema eines Halbleiterlasers und auf der rechten Seite einen Querschnitt durch den Schichtaufbau einer AlGaN-basierten Laserdiode. Hocheffiziente hochfrequente und optoeletronische Bauelemente benutzen alle den Tric, Eletronen mittels Potentialtöpfen einzusperren. Man setzt die Eletronen dar fest, wo sie gebraucht werden. Für seine bahnbrechenden (theoretischen) Arbeiten zu diesem Thema beam der deutschstämmige Heribert Kroemer im Jahre 000 den Physi-Nobelpreis [siehe 6

7 Abbildung.-1: Bild einer violetten Laserdioden der Fa. Nichia (oben). Schema einer Halbleiterlaserdiode. In einer Halbleiterschichtstrutur wird ein Strom injiziert und Lasertätigeit im Festörper wird angeregt. Abbildung.-: Schemabild des Schichtaufbaus in einer blauen/violetten Laserdiode. Die einzelnen Halbleiterschichten sind nur wenige Nanometer dünn und bilden Potentialtöpfe für die Ladungsträger (Quelle: FhG IAF Freiburg). 7

8 V e - Abbildung.-3: Schemabild des unendlich hohen Potentialtopfes für ein Eletron. 0 L x Der unendlich hohe Potentialtopf wird durch das folgende Potential beschrieben: 0:0< x < L V( x ) = : sonst. 1 Klassisch betrachtet ist die Situation nahezu trivial. Ein lassischer Massepunt liegt im einfachsten Fall ruhend auf dem Boden. Dies ist der Fall, wenn seine inetische Energie gleich Null ist. Ist die inetische Energie ungleich Null, so bewegt sich der lassische Massepunt wie ein Ping-Pong-Ball im Potentialtopf hin und her. Jeweils am Rand des Topfes stößt das Teilchen mit der Wand und Impuls und Geschwindigeit ehren ihr Vorzeichen um. Quantenmechanisch ergibt sich eine omplett andere Situation. Wir müssen uns mit der Lösung der Differential(=Schrödinger)-Gleichung + V( x) ψ( x) Wψ( x) = m. für das Potential in Glg..- ümmern. An dieser Stelle sei schon erwähnt, dass wir als Lösungen stehende Materiewellen erhalten werden, die sich vollommen analog zum ideal leitenden Hohlraumresonator verhalten. In der Eletrodynami ist für die onrete Rechnung die Kenntnis der Stetigeitsbedingungen entscheidend. Zunächst fordern wir Stetigeit der Wellenfuntion selbst und das Verschwinden der Wellenfuntion in Bereichen, in 8

9 denen V= ist. Wäre dies nicht so, so ergeben sich pathologische divergierende Energiedichten. Es muss also gelten: Ψ(0)= Ψ (L)=0..3. Lösung durch scharfes Hingucen Zur Lösung von.1-7 suchen wir eine Funtion, die zweimal nach dem Ort abgeleitet wieder sich selbst multipliziert mit einer Konstanten ergibt. Da ommt einem z.b. eine Sinusfuntion in den Sinn: Wie wäre es also mit dem Ansatz : ψ ( ) = sin( ) Setzen wir das ein, so ergibt.- x A x? = = m m ψ ( x) Asin( x) WAsin( x). Die Schrödinger-Glg. SGL ist damit gelöst, falls W =. m Aus den Randbedingungen ψ(0)=ψ(l)=0 folgt: sin( ) = 0 = π ganze Zahl sein muss. L L n, wobei n eine Hier tritt eine ganz wichtige Eigenheit vieler quantenmechanischer Phänomene zu Tage. Es sind nicht alle möglichen Lösungen der Schrödinger-Gleichungen erlaubt, sondern es ergeben sich durch die Randbedingungen nur bestimmte disrete Lösungen. In diesem Fall nur die Sinusfuntionen Asin( x), die sich für die disreten Wellenzahlen = nπ L bzw. nπ = L mit n=1,, ergeben..4. Lösungen für die Eigenfuntionen und Energieeigenwerte Die Lösungen haben damit die Form: nπ x ψ n( x) = Ansin L.4 1 Für die zugehörigen Energieeigenwerte gilt: 9

10 nπ Wn = n = m m L.4 Die nachfolgende Abbildung veranschaulicht die Lösungen. W E Ψ 3 W E 3 3 Ψ Abbildung.4-1: Visualisierung der drei Wellenfuntionen Ψ 1, Ψ und Ψ 3 mit den niedrigsten Energieeigenwerten W 1, W und W 3 beim Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. W E Ψ 1 W E L x Die Eigenschaften der Lösungen bei diesem Problem sind von grundsätzlicher Natur und sind immer dann zu finden, wenn es gebundene 1 Zustände gibt: Es gibt nur bestimmte disrete Energieeigenwerte; es sind nicht alle Energien erlaubt ( Quantelung ). Auch der energetisch günstigste Zustand hat im Gegensatz zum lassischen Verhalten eine Minimalenergie W 1 0 ( Nullpuntsenergie ). Das Eletron ist über den ganzen Topf verschmiert, allerdings nicht gleichmäßig. Der energetisch günstigste Zustand hat einen Nulldurchgang Je größer der Energieeigenwert ist, desto mehr Knoten (Nulldurchgänge) besitzt die Wellenfuntion. Es gibt in einem symmetrischen Potential abwechselnd symmetrische und antisymmetrische Wellenfuntionen. 1 Die mathematische Unterscheidung zwischen gebundenen und nicht gebundenen Zuständen erfolgt weiter unten. 30

11 .5. Die onventionelle Lösung Da die Lösung durch genaues Hingucen nicht immer anwendbar ist, brauchen wir noch das Handwerszeug, quantenmechanische Zustände für Potentialverläufe, wie in Abbildung.5-1 gezeigt, allgemein zu bestimmen. V x Abbildung.5-1: Visualisierung einer Abfolge von Potentialtöpfen. Für den unendlichen Potentialtopf geht das wie folgt: Im Inneren des Topfes (0<x<L) erwarten wir ebene Wellen (freies Teilchen), allerdings müssen wir zulassen, dass nach lins und nach rechts laufende Materiewellen sich überlagern. In der Tat erhalten wir erst durch die Überlagerung von laufenden Wellen (genau wie beim Hohlraumresonator in der Eletrodynami oder beim beidseitig eingespannten elastischen Seil in der Mechani) die stehende Welle, die das Problem bei vorgegebenen Randbedingungen löst. In der zeitabhängigen Betrachtung gilt für die nach rechts bzw. lins laufende Welle: + + ψ ( x, t) = A exp( j( x ω t)); ψ ( x, t) = A exp( j( x ω t))..5 1 Da wir hier aber den zeitunabhängigen Fall betrachten, interessiert uns nur die Ortsabhängigeit. + + ψ ( x) = A exp( jx); ψ ( x) = A exp( jx)..5 Weiterhin haben wir als Randbedingung: ψ (0) = ψ ( L) = Daher muss gelten: + + ψ (0) = A exp( j0) + A exp( j0) = A + A = 0 31

12 und ψ ( L) = A exp( jl) + A exp( jl) = 0 Damit ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten A + und A - der Wellenfuntion, welches wir irgendwie lösen müssen. Bleiben wir weiter auf der formalen (und damit verallgemeinerbaren und programmierbaren) Schiene, so önnen wir das Ganze in Matrixform schreiben: A 0 =..5 5 exp( jl) exp( jl) A Eine nichttriviale Lösung ergibt sich, falls die Determinante der Matrix verschwindet: ( ) det... = exp( jl) exp( jl) = j sin( L) = Erfreulicherweise erhalten wir für dasselbe Ergebnis wie in.3: π = n, wobei n=1,,3,. L n.5 7 Wegen A + =-A - lauten die Lösungen also: ψ ( x) = A exp( jx) A exp( jx) = ja sin( x). n n n n n n n.5 8 Da der Vorfator einstweilen vollommen frei wählbar ist, entscheiden wir uns ohne Beschränung der Allgemeinheit für B = A + j. n n.5 9 Dieser Weg erscheint hier zwar umständlich, funtioniert aber (im Prinzip) ganz allgemein und führt zu demselben Ergebnis wie der intuitive Ansatz in Kapitel.3. 3