Kapitel 5. Aufspaltung der Energiebänder; Grenzfall fast freier Elektronen. 5.1 Allgemeines

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1 Kapitel 5 Aufspaltung der Energiebänder; Grenzfall fast freier Eletronen 51 Allgemeines In diesem Abschnitt sollen fast freie Eletronen untersucht werden; es wird dabei angenommen, daß die Eletronen einem schwachen gitterperiodischen Potential V(r) ausgesetzt sind In diesem Fall ann die Schrödingergleichung (5) unter Verwendung der störungstheoretischen Methoden der Quantenmechani 1 näherungsweise gelöst werden Hierbei sind die ösungen des ungestörten Problems Ĥ 0 = mit Ĥ0 = ˆP /m aus der Sommerfeld-Theorie beannt: in der Ortsdarstellung handelt es sich bei den um ebene Wellen mit dem Wellenzahlvetor mit den zugehörigen Energieeigenwerten = ( /m) Um die mathematischen Probleme so lein wie möglich zu halten, beschränen wir uns im folgenden auf einen eindimensionalen Kristall In diesem Fall lauten die Eigenwerte und -funtionen des ungestörten Systems = 1 e ix und = m, (51) wobei das Grundgebiet ( Kettenlänge ) des eindimensionalen Kristalls charaterisiert Wir führen nun eine schwache Störung in Form des gitterperiodischen Potentials V(x) = V(x+a) mit der Gitteronstante a ein 1 siehe z B F Schwabl, Quantenmechani, Springer-Verlag Berlin, 1988, S 179ff 8

2 5 Störungstheorie erster Ordnung Die Energie-Korretur erster Ordnung zu einem ungestörten Zustand ist gegeben durch ǫ (1) = ˆV, (5) wobei ˆV den Störoperator, im onreten Fall das gitterperiodische Potential, bedeutet Das obige Matrixelement lautet in der Ortsdarstellung ˆV = 1 ()dxe ix V(x)e ix = 1 dxv(x) = V, () ist also unabhängig vom Blochindex Es ergibt sich somit ǫ (1) = V (53) Die Störungsrechnung erster Ordnung ergibt lediglich eine Verschiebung der ungestörten free-electron Bandstrutur um eine onstante Energie V, die den räumlichen Mittelwert des Kristallpotentials darstellt Physialisch ist diese Korretur von nur geringem Interesse 53 Störungstheorie zweiter Ordnung Die Energie-Korretur zweiter Ordnung zu einem ungestörten nicht entarteten Zustand ist gegeben durch ǫ () = ˆV (54) Das Matrixelement im Zähler des obigen Bruches lautet ˆV = 1 dxv(x)e i( )x (55) Nun gilt für die Fourier-Entwiclung des Störpotentials (s Kap 1) () V(x) = n v n e iknx, (56) wobei K n = (π/a)n mit n = 0,±1,±, der n-te reziproe Gitter vetor des Kristalls und v n der entsprechende Fourier-Koeffizient ist Einsetzen von (56) in (55) führt zu ˆV = 1 v n n dxe i( +K n)x () } {{ } δ,+kn = n v n δ,+k n 83

3 In der Formel (54) ommt das Absolutquadrat dieses Matrixelementes vor, das folgendermassen zu behandeln ist: ˆV = vn 1 v n δ,+k n1 δ,+k n n1 n Wegen der Identität δ,+k n1 δ,+k n = δ,+k n1 δ Kn1,K n reduziert sich die obige Doppelsumme zu ˆV = δ,+k n v n n Setzt man diesen Ausdruc in die Glg (54) ein, ergibt sich ǫ () = i n v n }{{} δ,+k n = n 0 v n +K n Setzt man in den Nenner dieses Ausdrucs die ungestörten Energiewerte (51) ein, erhält man das Ergebnis ǫ () = m 1 n 0 v n K n ( +K n /) (57) Wie man sofort sieht, gibt es bei der Auswertung der Korreturformel (57) ein ernstes Problem, nämlich Singularitäten an den Stellen = K n, also an den Grenzen der Brillouinzonen (s Abb 43 in diesem Sriptum) Dieses Versagen der Störungsrechnung zweiter Ordnung für alle an den Grenzen der Brillouinzonen ist darauf zurüczuführen, daß die ungestörten Energiewerte an diesem Stellen des reziproen Raumes entartet sind Es haben nämlich die ungestörten Eigenvetoren > und +K n > für = K n / denselben Energiewert = m ( Kn ) Die Konsequenz daraus lautet, daß man an diesen Stellen im -Raum eine Störungsrechnung für nicht-entartete Zustände durchführen darf 84

4 54 Störungstheorie erster Ordnung für entartete Zustände Für = K n / und K n 0 muß man die Eigenwerte der Säularmatrix in bezug auf den von und +K n gebildeten Eigen-Unterraum berechnen, d h, man stellt die Wellenfuntion des gestörten Zustandes durch eine inearombination der ungestörten Zustände > und +K n > dar: ϕ >= α > +β +K n > Setzt man diesen Ansatz in die Schrödingergleichung (Ĥ ǫ) ϕ >= 0 ein, so ergibt sich mit Ĥ = Ĥ0 + ˆV und ǫ = + ǫ (1) (Ĥ0 + ˆV ǫ (1) )[α > +β +K n >] = 0 Da > und + K n > Eigenvetoren von Ĥ0 zu sind, reduziert sich dieser Ausdruc zu (ˆV ǫ (1) )[α > +β +K n >] = 0 Erweitert man diese Gleichung von lins mit < bzw < +K n, so ergibt sich α < ˆV ǫ (1) > +β < ˆV ǫ (1) +K n >= 0 bzw α < +K n ˆV ǫ (1) > +β < +K n ˆV ǫ (1) +K n >= 0 Da die Vetoren > und +K n > Eigenvetoren desselben Operators Ĥ0 sind, müssen sie die Orthonormalitätsrelation < +K n >= δ Kn,0 erfüllen Nachdem aber am Beginn dieses Abschnittes ausdrüclich K n 0 gefordert wurde, fallen alle derartigen Vetorprodute weg, und die beiden linearen Gleichungen α < ˆV > α ǫ (1) < > +β < ˆV +K n > β ǫ (1) < +K n >= 0 und α < +K n ˆV > α ǫ (1) < +K n > +β < +K n ˆV +K n > vereinfachen sich zu β ǫ (1) < +K n +K n >= 0 α < ˆV > α ǫ (1) +β < ˆV +K n >= 0 und α < +K n ˆV > +β < +K n ˆV +K n > β ǫ (1) = 0 85

5 Unter Berücsichtigung der Orthonormalität von > und +K n > ergibt sich also das homogene, lineare Gleichungssystem ˆV ǫ (1) ˆV ( ) +K n α = 0, +K n ˆV +K n ˆV +K n β ǫ (1) und unter Berücsichtigung der Tatsache, dass die beiden Matrixelemente entlang der Hauptdiagonalen den Wert V haben, und dass weiters die Nichtdiagonalelemente den Fourieroeffizienten v n entsprechen: Det ˆV +K n = +K n ˆV = v n, erhält man für die Berechnung der Energieorreturen erster Ordnung das Eigenwertproblem ( ) (1) V ǫ v n mit den Ergebnissen v n V ǫ (1) ǫ (1) = V ± v n = ( V ǫ (1) ) v n = 0 Es tritt somit am (äußeren) Rand der n-ten Brillouinzone ein Energiesprung von der Größe v n auf Die Ergebnisse dieses Kapitels (s auch Abb 51) önnen demnach wie folgt zusammengefasst werden: ǫ = m + V m n 0 v n K n ( +K n /) ǫ = m + V ± v n für = K n für K n (58) (59) Wie man aus diesem Diagramm auch sieht, sind die orrigierten Energiewerte zweiter Ordnung nicht nur an den Brillouinzonen-Grenzen obsolet, sondern auch in der Nähe dieser Grenzen In diesen Bereichen müßte man offenbar die Ordnung des störungstheoretischen Ansatzes erhöhen Eine aufwändigere Bandstruturrechnung würde die Kurve ( ) ergeben 86

6 15 10 Energie (au) (au) Abbildung 51: Energiedispersion im extended eindimensionalen -Raum - und Energiewerte in atomaren Einheiten Die vertialen inien bedeuten die Grenzen der Brillouinzonen Strichlierte inie: Sommerfeld-Parabel; ausgezogene inie: Störungstheorie erster und zweiter Ordnung für einfache Zustände (58); : Störungstheorie erster Ordnung für entartete Zustände an den BZ-Grenzen (59); : aufwendigere Bandstruturrechnung (plane wave Rechnung) 87