Theoretische Physik II: Quantenmechanik

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Tristan Kramer
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1 Theoretische Physik II: Quantenmechanik Hans-Werner Hammer Marcel Schmidt Wintersemester 2016/17 Probeklausur 12./13. Januar 2017 Name: Matrikelnummer: Studiengang: Physik (B.Sc.) Mathematik (B.Sc.) Sonstiges: Erlaubte Hilfsmittel: Zeit: Bemerkungen: Handgeschriebene Formelsammlung (1 DIN-A4-Blatt, Vorder-/Rückseite) 120 Minuten Bearbeiten Sie die Aufgaben auf separaten Blättern. Versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Aufgabe Punkte Gesamt Korrektor 1a) 2 b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 f) 2 g) 3 h) 2 i) 3 j) 2 k) 2 SUMME: 25 Aufgabe Punkte Gesamt Korrektor 2a) 6 b) 5 c) 10 d) 5 e) 4 SUMME: 30 3a) 2 b) 10 c) 10 SUMME: 22 4a) 10 b) 5 c) 8 SUMME: 23 Gesamtpunktzahl: von 100 Note: Bestanden Nicht bestanden 1

2 Aufgabe 1 Quicky-Fragen und Kurzaufgaben (25 Punkte) a) Berechnen Sie x e i k x/ħh und ε mnl k m x n e i k x/ħh. b) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ψ (x) = E ψ(x) für E < 0 und für E > 0 an. c) Wie lautet die eindimensionale, zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eines Punktteilchens der Masse m im Potential V (x)? Leiten Sie aus dieser die stationäre Schrödinger-Gleichung her. (3 Punkte) d) Vereinfachen Sie die Kommutatoren ˆp, 3ˆx + ˆp/2 und ˆx, ˆx ˆp 2 soweit wie möglich. e) Zeigen Sie x x = δ(x x ), indem Sie die Vollständigkeitsrelation der Ortsbasis benutzen. h11 h f) Gegeben sei der Hamiltonoperator Ĥ = 12 mit h h 21 h i j. Berechnen Sie alle Energieeigenwerte des Systems. Berechnen Sie dann alle normierten Eigenzustände für den Fall h 12 = h 21 = g) Wie muss α gewählt werden, damit der Zustand χ = + α / 3 normiert ist? Berechnen Sie die Erwartungswerte der Operatoren Ŝ 3 und ˆ S 2 im normierten Zustand χ. (3 Punkte) h) Zeigen Sie, dass â n Eigenzustand des Besetzungszahloperators zum Eigenwert (n+1) ist, wenn n Eigenzustand zum Eigenwert n ist. i) Gegeben sei ein anisotroper harmonischer Oszillator in drei Dimensionen mit Oszillatorfrequenzen ω 1 = ω 2 = ω 3 /2 ω. Geben Sie die niedrigsten 3 Eigenenergien in Einheiten von ħhω sowie deren Entartungsgrade an. (3 Punkte) j) Berechnen Sie 2π 0 dϕ π 0 dθ sin θ Y lm(θ, ϕ) für alle möglichen l, m. k) Gegeben sei der Hamiltonoperator Ĥ r = 1 ˆ L 2 (θ, ϕ). Eine Energiemessung ergebe E = 0. Geben 2Θ Sie die Wellenfunktion ψ t (θ, ϕ) direkt nach der Messung (t = 0) und bei t = T > 0 an. 2

3 Aufgabe 2 Wellenmechanik: δ-potential (30 Punkte) Gegeben sei der Hamiltonoperator mit α > 0. Ĥ = ħh2 2M 2 x 2 α δ(x) a) Wie lauten die Randbedingungen für ψ(x) und ψ (x) bei x = 0? (6 Punkte) HINWEIS: Integrieren Sie die stationäre Schrödinger-Gleichung über einen Bereich [ ɛ, ɛ] mit ɛ > 0 und betrachten Sie dann den Grenzfall ɛ 0. b) Geben Sie die allgemeinen Lösungen ψ A,B (x) der stationären Schrödinger-Gleichung für die Bereiche x < 0 (A) und x > 0 (B) an, wenn E < 0. Argumentieren Sie, welche Lösungsanteile physikalisch inakzeptabel sind. (5 Punkte) c) Berechnen Sie alle (normierten) Bindungszustände ψ(x) und ihre Energien E. (10 Punkte) d) Betrachten Sie nun den Fall E > 0. Wie lautet die allgemeine Lösung der stationären Schrödinger- Gleichung? Vereinfachen Sie Ihr Resultat für den Fall einer von links einlaufenden ebenen Welle mit Amplitude A = 1. (5 Punkte) e) Bestimmen Sie Transmissionskoeffizient T und Reflexionskoeffizient R im Limes E 0. (4 Punkte) 3

4 Aufgabe 3 Harmonischer Oszillator: Virialsatz (22 Punkte) a) Zeige für beliebigen Operator A und Ĥ n = E n n, dass n Ĥ, Â n = 0. b) Beweisen Sie den Virialsatz für den eindimensionalen harmonischen Oszillator.(10 Punkte) HINWEIS: Betrachten Sie den Erwartungswert des Kommutators Ĥ, ˆx ˆp. c) Überprüfen Sie den Viriralsatz explizit in der Besetzungszahldarstellung durch Verwendung der Auf- und Absteigeoperatoren. (10 Punkte) 4

5 Aufgabe 4 Bahndrehimpuls und Messung (23 Punkte) a) Zerlegen Sie die Wellenfunktion mit r x = (10 Punkte) ψ( x) = 3x 2 r 2 exp a2 r x 2 + y 2 + z 2 und a > 0 nach den Eigenfunktionen der Operatoren ˆ L 2 und ˆL 3. HINWEIS: Es gilt cos 2 ϕ = (1 + cos (2ϕ))/2. b) Es werde eine simultane Messung an ˆ L 2 und ˆL 3 durchgeführt. Geben Sie die möglichen Messergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten an. (5 Punkte) c) Berechnen Sie die Normierungskonstante. (8 Punkte) HINWEIS: Es gilt 0 dr r k e ar = k!/a k+1 für k 0 und a > 0. 5

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