Theoretische Physik D: Quantenmechanik I

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1 Theoretische Physik D: Quantenmechanik I Sommersemester 009 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe Ursprung der Quantenphysik Zustände, Observable, Operatoren Ort, Impuls, Energie Tensorprodukt Zeitentwicklung Teilchen im Potenzial 41.1 V = 0 (freies Teilchen) Kastenpotential Harmonischer Oszillator Drehung, Drehimpuls, Spin Drehungen und ihre Erzeuger Eigenwerte des Drehimpulsoperator Wasserstoffatom Zentralpotentiale Wasserstoffatom Zeitunabhängige Störungstheorie Nicht entartete Störungstheorie Entartete Störungstheorie Anwendung: Feinstruktur des Wasserstoffspektrums Streutheorie 90 1 Grundbegriffe Die klassische Physik beschreibt folgende Phänomene nicht korrekt... 1

2 a)... in der Physik makroskophischer Systeme Energieverteilung der Schwarzkörperstrahlung spezifische Wärme bei niedrigen Temperaturen Kondensation Suprafluidität Kohäsion von Festkörpern und Flüssigkeiten Gitterschwingungen (Phononen) elektrische Leitfähigkeit (Normal-, Halbleiter-, Supraleiter-) Ferromagnetismus b)... in der Atom- und Molekülphysik Größe und Stabilität der Atome Ladungsverteilungen Spektren Wechselwirkung mit Licht (z.b. Photoeffekt) Molekülschwingungen chemische Bindungen (z.b. Van-der-Waals-Bindung) c)... in der Kernphysik Größe und Stabilität der Kerne Wechselwirkung von γ-strahlen mit Kernen radioaktiver Zerfall Kernspaltung und -fusion d)... in der Elementarphysik Masse, Ladung, Drehimpuls, magnetisches Moment der Elementarteilchen Wechselwirkung mit Strahlung (Comptoneffekt) Streuung, Zerfall Teilchenerzeugung Die Quantenmechanik (QM) bildet die Grundlage des Verständnisses dieser Phänomene.

3 1.1 Ursprung der Quantenphysik 1901: Planck: Schwarzkörperstrahlung E = hν = ω, = h π (1) h 6, Js = evs ν e - Kathode Abbildung 1: Photoeffekt 1905: Deutung des Photoeffekts (1) durch Einstein: E = hν W W : Austrittsarbeit, E: unabhängig von der Intensität I des Lichts. Photon mit Energie E = hν, I Zahl der Phtononen. p γ p γ ' p e p e ' Abbildung : Comptoneffekt 194: Compton-Effekt (): Impuls der Photonen: 0 = mc = E #» p c 4 hc #» k = ω = E = #» p c = #» p = #» k, () #» k : Wellenvektor E γ + E e = E γ + E e #» p e + #» p γ = #» p e + #» p γ 3

4 Intens. abh. vom Streuwinkel. E γ E γ ' klassische Physik: e wächst mit Zeit. wird kontinuierlich beschleunigt, E (aus Dopplereffekt) 193: Broglie: Alle Teilchen haben Wellennatur #» p = #» k λ = #» p λ 1, Å (nichtrelativistische Teilchen) E/eV debroglie Wellenlänge 197: Davisson, Gerner: e an Einkristall gestreut, Laue-Diagramm 198: G.P. Thomsen / Rupp: Debye-Scherrer 1905: Rydberg-Ritz-Formel für Spektrallinien des H-Atoms ( 1 ν = R n 1 ) m, n < m N R: Rydberg-Konstante 1913: N. Bohr: Energie-Quantisierung: E n = h R n, n N. Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: klassische Bahn des e um Atomkern, Hamilton- Funktion H(p, q) = const. p dq = nh, n = 1,, 3,... } {{ } ( ) ( ) = Bahn im Phasenraum 1. Zustände, Observable, Operatoren klassisch. Welle Teilchen QM } Zustand 4

5 Photon mit Wellenzahlvektor #» k und Polarisation ε {ε x, ε y }: Zustand : #» k, ɛ, #» #» #» p = k, E = c k (3) Nur Polarisation betrachet Doppelbrechender Kristall: Kalkspat ε x unpolarisiertes Licht ε y Kalkspat Polarisationsfilter P ϕ : polarisiertes Licht in e x cosφ + e y sinφ unpolarisiertes Licht Polarisationsfilter P φ P x := P ϕ=0, P y := P ϕ= π B A Licht P x P φ Beobachtung: Intensität ist bei B gegenüber A um cos ϕ abgeschwächt. Das entspricht dem klassischen Wellenbild. Teilchenbild: Könnte die Photonenenergie abgeschwächt sein? Nein: E = hω ist gleichgeblieben. 5

6 statistische Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein in ϕ-richtung polarisiertes Photon P x passiert, ist cos ϕ. Kalkspat: ε x ε ε y Kalkspat Komponenten-Zerlegung: ε = α ε x + β ε y (4) Zustände bilden einen komplexen Vektorraum H. Im Fall von Polarisationszuständen gilt dim H =. (5) Zustandsvektroren nennt man auch Kets. Es beschreibe ε ϕ den Zustand eines in #» e x cos ϕ+ #» e y sin ϕ Richtung liniear polarisierten Photons. ε x ε =cosφ ε x + sinφ ε y ε y Kalkspat Beobachtungen: Es klickt entweder D x oder D y Welcher Detektor anspricht ist nicht vorhersehbar Wiederholt man das Experiment oft, so findet man, dass bei N Verscuhen D x etwa N cos ϕ und D y etwa N sin ϕ anspricht. 6

7 Die Polarisationsfilter und der Kalkspatkristall vermitteln Abbildungen H H, z.b. P x : ε ϕ = cos ϕ ε x + sin ϕ ε y cos ϕ ε x (6) Man schreibt: P x ε ϕ = P x ε ϕ = cos ϕ ε x (7) P ϕ ist Operator auf dem Vektorraum H: { Pϕ ε P ϕ : x = cos ϕ ε ϕ P ϕ ε y = sin ϕ ε ϕ } (8) Es gilt: [ ] P ϕ ε ϕ = P ϕ cos ϕ ε y + sin ϕ ε y = cos ϕp ϕ ε x + sin ϕp ϕ ε y = cos ϕ ε ϕ + sin ϕ ε ϕ = ε ϕ (9 + 10) Mathematischer Exkurs Allgemein definieren wir für dim H = N < : 1.) Skalarprodukt: Eine Abbildung H H C, ( ψ, χ ) ψ χ mit: ψ λ 1 χ 1 + λ χ = λ 1 ψ χ 1 + λ ψχ, (11) ψ χ = χ ψ, (1) { = 0, ψ = 0, ψ ψ (13) > 0, ψ 0. ψ := ψ ψ heißt Norm von ψ. Gilt ψ χ = 0, so heißen ψ und χ orthogonal..) Orthonormalbasis (ONB): Eine endliche Teilmenge { e i,... e N } H mit e i e j = δ ij (14) 3.) Linearer Operator: Eine Abbildung A : H H, ψ Aψ = A ψ mit A λ 1 ψ 1 + λ ψ = λ 1 Aψ 1 + λ Aψ (15) 4.) Zu A hermitesch konjugierter (oder adjungierter) Operator: Ein linearer Operator A : H H mit χ Aψ = A χ ψ. (16) 7

8 5.) Ein hermitescher (oder selbstadjungierter Operator A ist ein Operator mit A = A (17) 6.) Eigenket (oder Eigenvektor) von A: Ein Ket ψ λ (λ C), mit A ψ λ = λ ψ λ (18) 7.) Existiert ein Operator A 1, so dass A 1 A ψ = AA 1 ψ, ψ H (19) gilt, so ist A invertierbar und A 1 heißt der zu A inverse Operator. 8.) Gilt U 1 = U (d.h. U U = UU = 1), so heißt U unitär. In diesem Fall gilt also: Uχ Uψ = χ U U ψ = χ ψ 9.) Matrixdarstellung: Betrachte eine ONB { e 1,... e n }. a ij := e i A e j, 1 i, j N (0) definiert die Matrixdarstellung a = (a ij ) ij von A bzgl. { e 1,... e n }. Eigenschaften dieser Objekte: a) Dreiecksungleichung: χ + ψ { <, χ, ψ l.u. =, χ, ψ l.abh. } χ + ψ () b) Schwarzsche Ungleichung: ψ χ ψ χ (3) c) Mit A und B ist auch λ 1 A + λ B ein linearer Operator, wobei (λ 1 A + λ B) ψ := λ 1 Aψ + λ Bψ d) Für AB definiert durch (AB) ψ = A(B ψ ), gilt i.a. AB BA. e) Gilt in einer ONB { e 1,..., e n } N N ψ = c n e n, ξ = d k e k, (4) n=1 k=1 8

9 so folgt χ A ψ = N k,n=1 = d ac d k c n e k A e n } {{ } =a kn (5) mit c = (c 1,..., c n ), d = (d 1,..., d n ). f) Aus 5 folgt: a 1 ist Matrixdarstellung von A 1, a ist Matrixdarstellung von A ab ist Matrixdarstellung von AB mit ψ λ = N n=1 l n e n in 18 ist l = (l 1,..., l n ) EV von a zum Eigenwert λ. g) Unitärer Basiswechsel: U U = 1, e i := U e i. = { e 1,..., e n } ist ONB. = e j e i = Ue j Ue i = e j }{{} U U e i =1 = e j e i = δ ij Wegen f) haben hermitesche Operatoren A dieselben Spektraleigenschaften, wie hermitesche Matrizen: (6) (i) Es gibt ONB aus Eigenkets { e 1,..., e n } und (ii) alle EW sind reell. Eigenschaft (i) schreibt man üblicherweise als A = N λ j e j e j. (7) j=1 Die zugehörige Matrix ist a = N j=1 λ je (j) e (j), wobei e (j) = (e (j) 1,..., e(j) N ) EV von a zum EW λ j ist. Dabei ist P j = e j e j ein Projektionsoperator: P j ψ = e j ψ e j = ψ e j e j, (8) = P j = e j e j e j e j = e j e j = P j 9

10 [ ] P j = P j = a ψ χ = α χ ψ, α C (9) Zuordnung: ket ψ bra ψ Spaltenvektor c Zeilenvektor c (30) Aus (6) und (8) finden wir für unsere Polarisationsoperatoren: P ϕ = P ϕ, P ϕ = P ϕ = P ϕ Polarisationsoperator cosφ ε x ε φ =cosφ ε x + sinφ ε y Photonen P x P φ Statistische Interpretation: Wahrscheinlichkeit, dass für ε ϕ die Polarisation P x gemessen wird ist W x = cos ϕ (17) = ε x ε y (1) = ε ϕ ε x ε x ε ϕ = ε ϕ P y ε ϕ (31) wobei die Normierung ε ϕ ε ϕ = 1 verwendet wird. Ersetzt man P x durch P y, so findet man also (33) motiviert die W y = sin ϕ = ε P y ε ϕ, (3) W x + W y = 1, P x + P y = 1 und P x P y = P y P x = 0. (33) Messpostulate der QM: (i) Observable (= messbare physikalische Größen) werden durch selbstadjungierte Operatoren beschrieben. (ii) Wiederholt man eine Messung mehrfach an im Zustand ψ präparierten Teilchen, so ist der Mittelwert der durch den Operator A beschriebenen Observable durch den Erwartungswert von A im Zustand ψ gegeben W = ψ A ψ ψ ψ (34) 10

11 (iii) Die statistische Varianz der wiederholten Messungen ist σ = ψ (A W 1) ψ ψ ψ =W { }} { = ψ A ψ W ψ A ψ +W ψ ψ ψ ψ = ψ A ψ ψ A ψ. ψ ψ (35) Die Stndardabweichung σ := σ heißt Unschärfe von A im Zustand ψ. Kurzschreibweise: A := W, A := σ. (36) Im Fall der Polarisation P x sind die möglichen Messwerte 0 (kein Ansprechen des Detektors) und 1 (Detektor spricht an). P x = ε ϕ P x ε ϕ = cos ϕ, (37) ( P x ) = ε ϕ P x ε ϕ cos 4 ϕ = cos ϕ cos 4 ϕ = cos ϕ sin ϕ = 1 4 sin (ϕ) (38) ϕ = 0 P x = 0 ε ϕ=0 = ε x ist Zustand minimaler Unschärfe (EV von P x zum EW 1) ϕ = π P x = 0 ε ϕ= π y ϕ = π 4 P x = 1 Zustand maximaler Unschärfe Zirkular polarisierte Photonen ε L ε R 11

12 linkshändiges Photon : ε L = 1 ε x + i ε y (39) rechtshändiges Photon : ε R = 1 ε x i ε y (40) ε L und ε R stehen orthogonal: ε R ε L = 1 ε x + iε y ε x + iε y = 1 ε x ε x + i ε y ε y (41) Operatoren: P L = ε L ε L P R = ε R ε R = 0 } { links polarisierte misst rechts polarisierte } Polarisation... (4)... bzw. präpariert links-/rechtspolarisierte zirkulare Photonen aus einem unpolarisierten Lichtstrahl. Basiswechsel: P L = ε L ε L = 1 ( ε x + i ε y ) ( ε x i ε y ) = 1 P x + 1 P y + i ε y ε x i ε x ε y (43) = Matrixdarstellung bzgl { ε x, ε y } ist gegeben durch p L = 1 ( ) 1 i links zirkularer Polarisationsfilter (44) i 1 Es gilt P R = 1 P x + 1 P y i ε y ε x + i ε x ε y = p r = p l = 1 ( ) 1 i i 1 Messung der zirkluaren Polarisation: (45) 1 ε L Zähler ε ε R 1

13 1.) ε = ε L : ε L P L ε L = ε L ε L ε L ε L = 1, ε L P R ε L = ε L ε R ε R ε L = 0, d.h. Zähler 1 klickt immer, nie. Das kann man auch über die Matrixdarstellung der Operatoren berechnen: ε L P L ε L = 1 (1, i) 1 ( ) ( ) 1 i 1 1 i 1 i = 1 ( ) 4 (1, i) = 1, i ε L P R ε L = 1 (1, i) 1 ( ) ( ) 1 i 1 1 = 0 i 1 i } {{ } =0 Außerdem gilt für die Unschärfe ε L ( P L,R ) ε L = 0..) ε = ε ϕ, Basis { ε x, ε y }: ( ) ( ) 1 i cos ϕ ε ϕ P L ε ϕ = (cos ϕ, sin ϕ) 1 i 1 ( ) e iϕ sin ϕ = (cos ϕ, sin ϕ) 1 ie iϕ = 1 ( ) 1 e iϕ (cos ϕ, sin ϕ) = 1 i } {{ } =e iϕ (46) Ebenso ε ϕ P R ε ϕ = 1 (47) = Jeder Zähler spricht in 50% der Fälle an. Unschärfe: ε ϕ ( P L,R ) ε ϕ = ε ϕ PL,R ε ϕ ε ϕ P L,R ε ϕ = P L,R (ε ϕ ) = 4 = 1 (48) 13

14 Kopenhagener Interpretation des Messprozesses Messungen verändern das physikalische Objekt, das der Messung unterzogen wird. Hat die Messung der Observablen A den Wert λ ergeben, so befindet sich das Objekt nach der Messung in einem Eigenzustand von A mit Eigenwert λ ( spontane Zustandsreduktion ) Erwartungswerte selbstadjungierter Operatoren A sind reell: Kommutator, Anti-kommutator: ψ A ψ = ψ A ψ = ψ A ψ (49) [A, B] := AB BA (50) {A, B} := AB + BA (51) Seien A und B selbstadjungiert (A = A, B = B ). Dann gilt Operatoren mit (5) nennt man antiselbstadjungiert. [A, B] = [A, B], (5) {A, B} = {A, B} (53) Betrachte Zustand ψ mit A = ψ A ψ und ψ ψ = 1 und die Verschiebungen A := A A B := B B (54) Herleitung der Unschärferelation durch schwarzsche Ungleichung (3): Aψ Bψ Aψ Bψ = ψ AB ψ da A = A = 1 ψ [A, B] ψ + ψ {A, B} ψ } {{ } } {{ } imaginär (49) reell (49) 1 ψ [A, B] ψ da z Imz = 1 ψ [A, B] ψ (55) Unschärfe: Mit (55) folgt: ( A) = ψ (A A ) ψ = Aψ Aψ = Aψ A B 1 ψ [A, B] ψ Unschärferelation (56) 14

15 Gilt [A, B] = 0, so nennt man A und B kommensurabel (=gemeinsam messbar) oder kompatibel. Es gibt dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenkets α i β j, α i, β i R mit Für diese Zustände ist A = B = 0. A α i β j = α i α i β j B α i β j = β j α i β j Die Eigenwerte α i, β j nennt man auch Quantenzahlen von α i β j zu A und B. Stern-Gerlach-Versuch 19; I.Stern, W. Gerlach: Silber-Atome: paramagnetisch mit magnetischem Moment #» µ. z S zwei Maxima der Intensität 47 Ag-Ofen klassisch: N Detektoren B = B(z) e z Kollimator V = #» µ B #» (pot. Energie) #» F = V (Kraft) B F z = µ z z (Kraftkomponente in z-richtung) Atome können mit jedem Winkel nach oben oder unten abgelenkt werden. 195: Goudsmit und Uhlenbeck entdeckten den Elektronenspin (=Eigendrehimpuls) #» e µ = #» s, e > 0 (57) mc Silberatom 47 Ag: #» µ aus dem 47. e (in 5s-Schale). Schematisch: z SGZ y 15

16 Zwei SGZ hintereinander: a) S z = : SGZ SGZ _ Messung von S z Projektor P z+ auf Sz= + h_ -Komponente Elektron mit S z = P z + P z } { S S z + = z + 0 S z S z + = 0 Spin-Operator: Erwartungswert und Unschärfe: S z S z + = S z + S z S z = S z (58) S z = S z + S z S z + = (59) ( S z ) = S z + S z 4 S z + = 0 b) S x = ħ _ S x =- ħ _ SGX B B, x e x S z = ħ _ SGZ S x + = α S z + + β S z S x + S x + = 1, α + β = gleich große Komponenten α = β = 1 Allgemein: ψ und e iϕ ψ beschreiben denselben physikalischen Zustand, denn für alle A gilt: ψ A ψ = e iϕ ψ A e iϕ ψ 16

17 o.b.d.a. wähle Phasen von S z + und S z so, dass α = β = 1 ist: S x + = 1 S z S z S x = 1 S z S z (60) Projektoren: = p x ± = 1 Spin-Operator: ( 1 ) ±1 ±1 1 P x ± = S x ± S x ± = 1 S z + S s + ± 1 S z + S z ± 1 S z S z S z S z (61) (6) S x S x ± = ± S x + (63) Darstellung bzgl. { S z +, S z }: (Invertiere (60)) S z + = 1 [ S x + S x ] S z = 1 [ S x + + S x ] (64) Es gilt: S z + S x S z + = 1 [ S x + S x S x + S x S x S x + S x + S x S x + S x S x S x ] = 1 [ ] = 0 Ebenso S z S x S z = 0. genau gleich viele 47 Ag-Atome mit S x = und S x = beobachtet. S z ± S x S z = 1 ( S x + S x ) S x ( S x + ± S x ) = 1 [ ( )] ) = = s x = ( ) (65) (66) (65) entspricht S z + S x S z = (1, 0) ( ) ( ) =. 17

18 c) Nach SGX nochmal SGZ S z = und S z =. Check: ψ = P x + S z + = S x + S x + S z + (61) = 1 S z S z = 1 S x + Nun SGY (Apparatur drehen): x-achse und y-achse sind gleichberechtigt. Also: S y + = α S z + + β S z S y = α S z + β S z mit α = β = 1, S y ± S z S y ± = 0, S y + S y = 1 [ α β ] = 0. Weiter: 0 = S y ± S x S y ± = 1 (α, ±β ) ( ) ( ) 0 1 α 1 0 ±β = ± 4 (α β + β α) (67) (68) = ± Re(α β) Zyklische Vertauschung (x, y, z) (z, x, y): Andererseits mit (67): S y ± S x S y = S x ± S z S x (60) = 1 [ ] = S y ± S x S y = 1 (α, ±β ) ( ) ( ) 0 1 α 1 0 β = ± 4 ( α β + β α) = Im(α β) (69) (70) (68)-(70) bedeuten: Re(α β) = 0, Im(α β) = 1. Lösung z.b.: α = 1, β = i. Also: S y ± = 1 S z + ± i S z (71) Inverse: S z+ = 1 ( Sy + + S y ) S z = i ( Sy + + S y ) (7) Matrixdarstellung: s y = ( ) 0 i i 0 (73) 18

19 Pauli-Matrizen: ( ) 0 1 σ 1 = σ x = 1 0 ( ) 0 i σ = σ y = i 0 ( ) 1 0 σ 3 = σ z = 0 1 (74) Spin-Operatoren: s j = σ j (75) Eigenschaften der Pauli-Matrizen: (siehe Aufgabe 6) 3 σ j σ k = δ jk 1 + iε jkl σ l [σ j, σ k ] = i wobei ε jkl das Levi-Civita-Symbol ist l=1 (76) 3 ε jkl σ l l=1 σ j = σ j tr σ j = 0 (77) Jede hermitesche -Matrix M lässt sich schreiben als Aus (77) folgt 3 M = a a l σ l (78) l=1 a 0 = 1 tr M, (79) da tr 1 =. Aus (76) folgt: 3 3 tr [Mσ k ] = a l tr [σ l σ k ] = a l δ lk tr 1 l=1 l=1 = a l = 1 tr [M, σ l] (80) (75) / (76) implizieren die Vertauschungsrelationen für die Spinoperatoren: 3 [S j, S k ] = i ε jkl S l (81) l=1 19

20 Wegen [S j, S k ] 0 für j k sind verschiedene Spinkomponenten inkommensurabel. Wegen (siehe (76)) σ1 = σ = σ 3 = 1 ist jedoch Damit ist #» S = S x + S y + S z = (8) [ #» S, S j ] = 0, j = 1,, 3 (83) D.h. der Gesamtspin #» S ändert sich durch Messung von S x, S y und S z nicht. Seltsame Analogie: Elektron Photon (58) S z + ε x. (58) S z ε y (5) (60) S x ± = 1 [± S z + + S z ] ε ϕ= π 4 ϕ= 3π 4 S y ± = 1 [ S z + ± i S z ] ε L,R (39)/(40) Übliche Schreibweise: } {{ } S z + = spin up S z = spin down (84) Basiswechsel: (U U = 1) Sei A ein selbstadjungierter Operator mit Welcher Operator entspricht A in der Basis { e j }? mit e j = Ue j, j = 1,..., N (85) A e j = λ j e j (86) (86) = UA }{{} U U e j = Uλ j e j =1 = UAU e j = λ j e j = A e j = λ j e j A = UAU (87) Erfüllen zwei Operatoren A und A die Gleichung (87), so heißen sie unitär äquivalent. I.d.Fall beschreiben sie die selbe Physik, sie haben insbesondere das selbe Spektrum { λ j }. 0

21 Beispiel: US x U = S z. Matrixdarstellung von U bzgl. {, }: U = 1 ( ) 1 1 i i = S z und S x sind physikalisch äquivalent (EW:, ) Basisunabhänig: Spur eines Operators A: tr A := N e j A e j (88) j=1 Beweis der Basisunabhänigkeit: Es gilt die Vollständigkeitsrelation: N k=1 e k e k = 1. tr A = N j,k,l=1 = = = j,k,l=1 e j e k e k A e l e l e j e k A e l e l e j e j e k N e k A e l e l e k k,l=1 N e k A e k k=1 Es ist also die Spur von A die Summe seiner Eigenwerte: Ebenso basisunabhängig: tr A n = tr A = N λ j. (89) j=1 N λ n j, n Z (90) j=1 1.3 Ort, Impuls, Energie de Broglie: Elektronen verhalten sich wie Wellen, wobei #» p = #» k. Ket für Elektron mit Impuls #» p : #» p e i #» k #»x = e i #» p #» x (ebenewelle) (91) 1

22 Eigenwertgleichung: Idee: P j e i #» p #» x = p j e i #» p #» x P j #» p = p j #» p, ( #» p = (p 1, p, p 3 )) (9) ist erfüllt, mit der folgenden Definition: P j = i x j (93) P j ist ein Differentialoperator. P j bildet von einem Funktionenraum in einen (evlt. anderen) Funktionenraum ab. Funktionenräume sind Vektorräume von Funktionenen f : x f(x). (Standard-)Beispiele 1.) C[a, b] = Menge der auf [a, b] stetigen Funktionen f : x [a, b] f(x) C[R n ] = Menge der auf dem R n stetigen Funktionen, allgemeiner: C[T ] = Menge der auf T R n stetigen Funktionen Klar: Mit f, g ist auch αf + βg mit α, β C stetig = C[...] ist Vektorraum.) C n [T ] = Menge der n-mal stetig-differenzierbaren Funktionen f : x T f(x) C [T ] = Menge der -oft stetig diff baren Funktionen... 3.) Schwartz-Raum: umfasst Funktionen die selbst und deren Ableitung für x schneller abfallen als jede Potenz { } S = S[R] = f C [R] : sup xp dk f dx k < p, k N 0 x R Bemerkung: x e αx S { S[R n ] = f C [R n ] : } k1...kn f sup x p x k xkn n < p, k 1,..., k n N 0 x R n 4.) L [T ] = Menge aller Funktionen f, für die T f(x) dx in R existiert = Vektorraum der quadratisch integrablen Funktionen Es gelten: C [a, b] C n [a, b]... C[a, b] L [a, b], S[R n ] C [R n ] C n [R n ]... C[R n ], aber weder C[R n ] L [R n ] noch C[R n ] L [R n ]. Skalarprodukt (=Innenprodukt): f g = T f (x)g(x) dx (94)

23 sinnvoll für 1.) bis 3.) Die Definitheit (13) ist jedoch für L [T ] verletzt, siehe z.b. für f L [R]: { 1, x = 0 f(x) = 0, sonst Es gilt f = f f = f(x) dx = 0, aber f 0. Trick: f und g heißen äquivalent (f g), wenn f g = f(x) g(x) dx = 0. (96) T Also: Zwei Funktionen f, g, die (96) erfüllen werden identifiziert, sie beschreiben die selbe Physik. Z.B. erfüllt f aus (95) f 0 = Nullfunktion. 5.) Für T R n : (95) L [T ] = Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. (96) in L [T ] (97) (94) ist ein Skalarprodukt in L [T ]. Räume auf denen ein Skalarprodukt definiert ist heißen unitäre Räume oder Innenprodukträume. D.h. die in 1.),.), 3.), 5.) behandelten Räume sind unitäre Räume. Es sei U ein unitärer Raum und (f n ) = (f 1, f,...) eine Folge in V (z.b. f n (x) = 1 n sin(nx)). (f n) heißt Cauchyfolge, wenn es für ε > 0 ein N N gibt, so dass für alle m, n N gilt: f m f n < ε. Naiv: (f n ) konvergiert gegen ein f. Problem: f musst nicht unbedingt in U liegen! Besitzt jede Cauchyfolge (f n ) einen Grenzwert f in V, so heißt V vollständig. Beispiel mit Zahlenfolgen: ( 1, 14 10, , 1414 ) 1000,... } {{ } Q Q ist also nicht vollständig, R hingegen schon. / Q Gibt es eine Basis von U, die aus höchstens abzählbar vielen Basisvektoren besteht, so heißt V separabel. Ein vollständiger separabler unitärer Vektorraum heißt Hilbertraum Quantenmechanische Zustände entsprechen immer Vektoren (=Kets) in einem Hilbertraum Die drei wichtigsten Hilberträume: 3

24 1.) Jeder endlichdimensionale unitäre Vektorraum ist Hilbertraum.) L [T ] mit Skalarprodukt (94), siehe (97), dim L = 3.) quadratisch summierbare Zahlenfolgen: l = {(a n ) : Es gilt dim l = a n < } mit (a n ) (b n ) = a nb n (98) n=0 Hilberträume gleicher Dimension sind isomorph, insbesondere L [T ] = l. { math. Beschreiben in L QM : : Wellenmechanik (Schrödinger) math. Beschreiben in l : Matrizenmechanik (Heißenberg, Jordan) Basis in L [T ] = vollständiges orthonormiertes Funktionensystem{ f 0 (x), f 1 (x),... }, also a) f j f k = d n xfj (x)f k (x) = δ jk (100) T b) Jedes f L [T ] lässt sich entwickeln als f(x) = a n f n (x), a n C (101) n=0 n=0 Nun ist und T d n xf j (x)f(x) = f j = f = f f (101) = k,n=0 a n f j f k = a j (10) k=0 a k a n f k f n = a n (103) k=0 Also: f L [T ] f f < a n < (a n ) l f (a n ) ist also ein isometrischer (wegen (103)) Isomorphismus zwischen L [T ] und l. (a n ) ist der -große Koeffizientenvoektor von f bzgl der Basis { f n (x) } Analog: g(x) = n=0 b nf n (x) = f g = k=0 a nb n (104) n=0 4

25 Lineare Operatoren im Hilbertraum H Betrachte Operatoren A : f D(A) } {{ } H Af H (105) Def. Bereich z.b. P j in (93) ist nicht für alle f L defininiert, f muss fast überall diff bar sein. g P j f = d n xg (x)p j f(x) = d n xg (x) f(x) i x j ist sinnvoll für f D(P j und g L T Physikalische Zustände ψ(x) L heißen Wellenfunktionen. Erwartungswert einer Messung von P j : ψ P j ψ = T T d n xψ (x) i x j ψ(x) (106) Impulsoperator: #» P = i x y z = #» (107) i Ortsoperator: X #» 1 X = X, wobei X j : ψ(x) D(X j ) L [T ] x j ψ(x) ((108) + (109)) X 3 X j, P j sind linear und es gelten die Heisenbergschen Vertauschungsrelationen: Nachweis: [X j, P k ] = i δ jk, (110) [X j, X k ] = 0 = [P j, P k ] (111) [X j, P k ]ψ(x) = (X j P k P k X j )ψ(x) = [ x j ψ(x) ] (x j ψ(x)) i x k x k = [ ( ) ] x j ψ(x) x j x j ψ(x) i x k x k x k = i δ jkψ(x) = i δ jk ψ(x) 5

26 = [X j, P k ] = i δ jk. Beschreibt man einen physikalischen Zustand durch eine Wellenfunktion ψ(x) mit P #», X #» in (107), (108), so spricht man von der Ortsdarstellung. Für ψ ψ = 1 ist der Erwartungswert der Ortsmessung ψ X ψ #» ψ X 1 ψ := ψ X ψ ψ X 3 ψ = d n xψ (x) Xψ(x) #» (11) T = d n x ψ(x) x T = Schwerpunkt einer Dichteverteilung ψ(x) Wahrscheinlichkeit, das e im Volumen V zu finden: p(v ) = d n x ψ(x) (113) Der zu A adjungierte Operator A ist vermöge V A f g = f Ag, f D(A ), g D(A). (114) A heißt hermitesch (oder symmetrisch), wenn Af g = f Ag, f, g D(A). (115) D.h. A = A auf D(A). Gilt (115) und D(A ) = D(A), so heißt A selbstadjungiert, also A = A. Es kann passieren, dass (115) erfüllt ist, aber D(A ) D(A) und A A, d.h. (115) ist verletzt für f D(A), f / D(A ). Dann ist A hermitesch aber nicht selbstadjungiert. Impulsoperator in L [R]: f P g = i P I = i dxf (x) d dx g(x) dx f (x) dx g(x) + i [f (x)g(x)] } {{ } = f hermitesch. Wegen [ dx(p f) (x)g(x) = dxg (x)p f(x)] ist D(P ) = D(P. Ebenso: X ist selbstadjungiert in L [R]. A heißt beschränkt, wenn es eine Zahl κ > 0 gibt, so dass Beispiele Af κ f, f H (116) =0 6

27 U unitär = Uf = f κ = möglich. X und P sind in L [R] unbeschränkt. Das Spektrum σ eines Operators A besteht aus allen λ C für die A λ1 keine beschränkte Inverse besitzt. Für λ / σ ist die Resolvente definiert und beschränkt. Jeder Eigenwert gehört zu σ: Für A = A (d.h. selbstadjungiert) gilt: R λ (A) = (A λ1) 1 (117) (A λ1)f = 0 = (A λ1) 1 existiert nicht 1.) σ = σ p σ c wobei das Punktspektrum bzw. diskretes Spektrum σ p die Menge der Eigenwerte bezeichnet und σ c kontinuierliches Spektrum heißt..) σ enthält nur relle λ. Für Imλ 0 und λ / σ gilt: R(λ) 1 Imλ Dabei ist die Norm A eines Operators A die kleinste Zahl κ 0 mit Af κ f 3.) Zu λ σ c kann man beliebig genaue approximative Eigenvektoren finden: Zu (jedem) ε > 0 gibt es ein f ε H mit (A λ1)f ε < ε (118) Beachte: lim A λ1)f ε = 0 lim R λ f ε = ε 0 ε 0 Veranschaulichung 1.) Ortsoperator X in L [R]: Es gilt stets = σ p =. Inverses von X λ1: Xψ(x) = xψ(x) λψ(x) für ψ 0 R λ : ψ(x) 1 x λ ψ(x) Das ist wohldefiniert für λ / R. Für λ R betrachte (siehe Aufgabe 8): ψ ε (x λ) = (πε ) 1 4 e (x λ) ε L [R] (Wellenpakete) (119) 7

28 ε und R λψ ε (x λ ), ε 0, λ R. = σ = σ c = R. Approximative Eigenfunktionen von X: Xψ ε (x λ) λψ ε (x λ), denn (X λ1)ψ ε (x λ) = (πε ) 1 dx(x λ) e (x λ) ε = ε 0, ε 0. Die Wellenpakete ψ ε (x λ) sind also approximative EIgenfunktionen von X zu λ R..) Impulsoperator: P = dx in L [R]. Betrachte d ψ p (x) = e i p x : (91), (93) = P ψ p (x) = pψ p (x), jedoch ψ p(x)ψ p (x) dx = 1 =, d.h. ψ p (x) / L [R]. Approximative Eigenfunktionen zu p R: Breite Wellenpakete: ψ p,ε (x) = ψ 1 (x)e i p x ε = e i p ε x ψ p,ε = 1 x π 1/4 e ε L [R], (10) Es gilt: P ψ p,ε (x) = pψ p,ε (x) + ei p x ( ε = σ c = R π ) 1/4 ( ε x)e ε x = pψ p,ε (x) + O( εε ) Ein Operator U heißt unitär, wenn er folgende Eigenschaften erfüllt: 1.) D(U) = H (11) 8

29 .) Der Wertebereich von U ist H, d.h. zu jedem f H gibt es ein g mit Ug = f (1) 3.) Uf Ug = f g f, g H ( Längen- und Winkeltreue ) (13) Zu 3.) ist äquivalent, dass Uf Uf = f f für alle f H erfüllt ist. Beweis: f + g + Re f g = f + g = U(f + g) = Uf + Ug + Re Uf Ug d.h. Re f g = Re Uf Ug. Mit f + ig analog = Im f g = Im Uf Ug Für einen unitären Operator gilt: U 1 = U und U ist auch unitär (d.h. (11),(1) sind erfüllt.). Stetige lineare Abbildungen ϕ : V C heißen Linearformen, lineare Funktionale, Kovektoren oder Bras: ϕ αf + βg = α ϕ f + β ϕ g (14) = Die Bras bilden einen Vektorraum, den Dualraum V. Ist V ein Hilbertraum H mit Basis { e 1, e,... }, so gibt es eine Basis { e 1, e,... } in H mit e j e k = δ jk und H = H mit α j e j αj e j (15) j j Für L [R] bedeutet dies: Jede Linearform ϕ : f L [R] ϕ[f] C lässt sich schreiben als mit einem ϕ L [R]. ϕ[f] = ϕ f = Ist V kein Hilbertraum, so gilt dies nicht: Beispiel: V = S[R]. Betrachte δ : f S[R] δ[f] = f(0) Es gilt δ S [R], da die Punktauswertung linear und stetig ist. Symbolische Schreibweise wie in (16): dx ϕ (x)f(x) (16) δ[f] = f(0) =: dxδ(x)f(x), δ(x) = δ Funktion = δ Distribution 9

30 Dualraum zu S[R]: S [R] = Vektorraum der gemäßigten Distributionen = temperierte Distributionen = tempered distribitions ( S [R], L [R], S[R] ) ist ein Beispiel für ein Gelfandsches Raumtripel: S [R] L [R] S[R] Mehr Bras weniger Kets (17) Vorteil: In S [R] können wir für A = A jedem λ σ(a) eine Eigendistribution finden, z.b ψ p (x) = e ipx / L [R], aber mit der Zuordnung ψp(x) p gilt: außerdem ist für alle f S[R] p f = p P = p p, (18) dx ψ p(x)f(x) = dx e px f(x) (19) wohldefiniert und (19) beschreibt eine stetige lineare Abbildung von S[R] auf C. D.h. ebene Wellen sind gemäßigte Distributionen. Flexible Notation: f }{{} Bra S g }{{} Ket S = g }{{} S f }{{} S Achtung: Für f, g S [R] ist f g nicht immer definiert. Beispiel: ψ p ψ p = dx 1 =. verallgemeinerte Eigenfunktionen (Eigenbras) zu X gesucht: Lösung: Xψ x0 (x) = x 0 ψ x0 (x) mit x 0 R. (130) ψ x0 (x) = δ(x x 0 ) S [R] (131) Auch hier ist ψ x0 ψ x0 = dx δ(x x 0)δ(x x ) = nicht definiert! Die verallgemeinerten Eigenfunktionen selbstadjungierter Operatoren A sind vollständig. Die Entwicklung nach Eigenvektoren f = λ σ λ λ f wobei A λ = λ λ im endlichdimensionalen Fall liest sich nun (im -dimensinalen Fall) wie folgt (für ohne entartete Eigenvektoren): f = λ λ f + dλ λ λ f (13) λ σ σ c p 30

31 Ortsoperator: X ψ = x ψ (133) verallgemeinerte Eigenvektoren: Xδ(x x 0 ) = x 0 δ(x x 0 ) bzw. symbolisch X x 0 = x 0 x 0. ψ = dx 0 x 0 x 0 ψ (134) entspricht Impulsoperator: ψ(x) = P Ne i px R dx 0 δ(x x 0 ) dx δ(x x } {{ } 0 )ψ(x ) = ψ(x) x 0 } {{ } x 0 ψ = p Ne i px } {{ }, N = Normierungskonstante = p Die Entwicklung nach Eigenvektoren ψ = ψ(x) = Speziell für ψ = x 0 : dp e i px N } {{ } inverse Fouriertrafo p x 0 = 1 e i px 0 π dp p p ψ bedeutet dx px i e ψ(x ) } {{ } Fourier Trafo für N = 1 π (135) Ortseigenzustand in Impulsdarstellung (136) In (134) mit ψ = p p = R dx x x p (136) = Konsistenzcheck (der Vollständigkeit): 1 π e i px = x p dx x 1 e i px π = dx x x = 1 π e i px 1 e i px π (137) in (137) wurde verwendet: x x = dx δ(x x )δ(x x ) = δ(x x ) (138) 31

32 Normierung der Impulseigenzustände: analog zu (138). x p p e i px e i p = π π = 1 ( p (π)δ π p = 1 ( ) p p δ = δ(p p ) Projektion eines Zustandes ψ auf Ortseigenzustand: x ψ = ) (139) dx δ(x x )ψ(x ) = ψ(x) = Wellenfunktion in Ortsdarstellung (140) Projektion auf Impulseigenzustand: Umkehrfunktion p ψ = 1 π e i px ψ(x) =: ψ(p) = Impulsdarstellung = Fourier Transformierte von ψ(x) ψ(x) = x ψ = Ortsoperator in Impulsdarstellung: Nun ist p X ψ = p X p = = x p p x } {{ } = 1 π = 1 π i p = i = ψ(p ) dp dp e i p x ψ(p ) dp p X p p ψ dp p X p ψ(p ) ipx e dx x e ipx π π p δ(p p ) dx e ipx ip x e } {{ } πδ( p p ) (141) (14) (143) (144) 3

33 Einsetzen in (143): p X ψ P.I. = = i ( δ(p p ) ) i p ψ(p ) p ψ(p) (145) Impulsoperator in Impulsdarstellung: Zusammenfassung: Energie p P ψ = p p ψ = p ψ(p) Ortsdarstellung Impulsdarstellung Ortsoperator X xψ(x) ψ(p) i p Impuloperator P i x ψ(x) p ψ(p) klassische Mechanik: Hamiltonfunktion H(x j, p k ) QM: H(X j, P k ) Teilchen im Potenzial: H( #» X, #» P ) = Eigenzustände E zum Energieeigenwert E #» P m + V ( #» X) (146) H( #» X, #» P ) E = E E (147) Energiezustände heißen auch stationäre Zustände. Die diskreten Eigenwerte E n (= Elemente von σ p, n = 0, 1,,...) von H ( Energieniveaus ) entsprechen Bindungszuständen E n, da E n E n <. Die uneigentlichen Eigenwerte (= Elemente von σ c ) von H entsprechen Streuzuständen E, da E E =. Ortsdarstellung: (147) lautet in der Ortsdarstellung #» x H E = E #» x E. d 3 #» x #» x H #» x #» x E = E #» x E } {{ } } {{ } ψ E ( #» x ) ψ E ( #» x ) (148) 33

34 Es gilt und 3D-Version von (137): #»x H #» x = #» #» P x #» x m = #» x #» P #» x #» P = 1 m = 1 m #» x #» p = m + V ( X) #» #» x #» x m d 3 #» p Einsetzen in (149): #» #» P x #» x = 1 1 m m (π ) 3 / + #»x #» V ( X) #» x } {{ } V ( #» x ) #» x #» x } {{ } δ (3) ( #» x #» x ) #»x #» P #» p #»p #» P #» x d 3 #» p #» p #» x #» p #» p #» x (149) 1 (π ) 3 / e i #»p #»x (150) d #» p #» p e i #» p ( #» x #» x ) } {{ } e i #» p ( #» x #» x ) #» #» k p = m 1 (π) 3 d 3 #» k e i #» k ( #» x #» x ) } {{ } δ (3) ( #» x #» x ) Einsetzen in (148): ] d 3 #» x ψ E ( #» x ) [ m δ(3) ( #» x #» x ) + V ( #» x )δ (3) ( #» x #» x ) = Eψ E ( #» x ) (151) partielle Integration: [ ] d 3 #» x m ψ E( #» x ) + V ( #» x )ψ E ( #» x ) δ (3) ( #» x #» x ) = Eψ E ( #» x ) ] [ m + V ( #» x ) ψ E ( #» x ) = Eψ E ( #» x ) (15) (15) heißt zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Ihre Lösungen ψ E ( #» x ) sind Energie- Eigenfunktionen. Salopp: Hψ E ( #» x ) = Eψ E ( #» x ), H = m + V ( #» x ) = Hamilton Op. in Ortsdarstellung (153) 34

35 Impulsdarstellung: [ #»p m + V (i #» ] p ) ψ( #» p ) = E ψ( #» p ) mit #» p = / p x / p y / p z praktisch für lineare Potenziale V ( #» x ) = α #» x und für Streuprobleme. (154) 1.4 Tensorprodukt Hilberträume H = [ e 1, e,...] und H = [ e 1, e,...]. Tensorprodukt H H = [ e j e k ] (155) dabei werden die e j e k auch oft mit e j e k oder e je k bezeichnet. Für dimh = N, dimh = N ist dim [H H ] = N N. Für α = k α k e k und α = l α l e l ist α α = k,l α k α l e k e l (156) Nicht jedes Element von H H lässt sich schreiben als α α. Allgemein gibt es für λ H H Zahlen α kl C, so dass λ = kl α kl e k e l. (157) Bras: ( β β )( α α ) = β α β α ( ) ( ) = βk α k β l α l, für β = l Zu Operatoren A auf mathcalh, A auf H sind Operatoren auf H H mit k A 1 und 1 A (A 1)( α α ) = Aα α und (1 A )( α α = α A α Salopp schreibt man A (bzw. A ) statt A 1 (bzw. 1 A ). l β l e l (158) (159) 35

36 Insbesondere gilt denn AA α α = Aα A α = A A α α [A, A ] = 0, (160) Anwendung: H = [, ] beschreibt Spin-Freiheitsgrad (ist innerer Freiheitsgrad) und H = L [R] beschreibt äußere Freiheitsgrade (z.b. Orts-Wellenfunktion). Beliebiger Zustand χ in H H für H = [ ψ 1, ψ,...]: χ (157) = k=, α kl k ψ l l = α l ψ l + l l = ψ + ψ α l ψ l (161) Pauli-Spinor = zwei-komponentige Wellenfunktion ( ψ ( #» ) ( x ) ( #» ) x ) X ψ ( #» = x ) ( #» x ) X (158),(161) = ( #» ) x ψ #» x ψ (16) Interpretation: V S z = zu finden. d3 #» x x ψ = Wahrscheinlichkeit im Volumen V ein Elektron mit 1.5 Zeitentwicklung Klassische Mechanik: Symmetrien Noether Thm = Erhaltungsgrößen. z.b. Symmetrie unter Translationen #» x #» x + #» a = Impuls #» p erhalten ( d #» p dt = 0). QM : #» p ist Generator der Translationen: T #» a = e i #» a #» p ; T #» a ψ( #» x ) = ψ( #» x + #» a ) (siehe A7c) (163) Analogie zwischen klassischer Mechanik und QM: Symmetrie bzgl. t t + t = Hamiltonfunktion H ist zeitlich konstant: dh dt = 0. M(t 0 + t, t 0 )ψ( #» x, t 0 ) = ψ( #» x, t 0 + t) bzw. M(t 0 + t, t 0 ) ψ, t 0 = ψ, t 0 + t (164) mit dem Zeitentwicklungsoperator (= Translationsoerator in der Zeit) M(t 0, t, t 0 ) = e i th für dh dt = 0 (165) 36

37 Differenziell: i t ψ( #» x, t 0 + t) (164) = i t M(t 0 + t, t 0 )ψ( #» x, t 0 ) = i t e i th ψ( #» x, t 0 ) Für t 0 = 0: = He i th ψ( #» x, t 0 ) = Hψ( #» x, t 0 + t) i t ψ( #» x, t) = Hψ( #» x, t) bzw. i t ψ, t = H ψ, t (166) (166) heißt zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. Für dh dt 0 sind (165) und (166) nicht mehr äquivalent. (166) stimmt auch für dh dt 0. Gilt [H(t 1 ), H(t )] = 0 für alle t 1, t, so Zeitgeordnetes Produkt: M(t 0 + t, t 0 ) = e i t0 +t t 0 dt H(t ) (167) T A(t 1 )B(t ) = T B(t )A(t 1 ) = θ(t 1 t )A(t 1 )B(t ) + θ(t t 1 )B(t )A(t 1 ) { A(t 1 )B(t ), t 1 > t (168) = B(t )A(t 1 ), t 1 < t Analog T A(t 1 )B(t )C(t 3 ) = θ(t 1 t )θ(t t 3 )A(t 1 )B(t )C(t 3 ) + θ(...)... Für t 1 = t ist T A(t 1 )B(t ) i.a. nur für A = B definiert. Anwendung: t 0 +t t 0 +t t 0 +t t 1 dt 1 dt T H(t 1 )H(t ) = dt 1 dt H(t 1 )H(t ) + dt H(t )H(t 1 ) (169) t 0 t 0 t 0 t 0 t 1 t 0 +t t 0 +t d dt (169) = dt T H(t 0 + t)h(t ) + dt 1 T H(t 1 )H(t 0 + t) (170) t 0 t 0 Regel: d dt Daraus folgt: t a t dt dt f(t )g(t ) = b t d dt (169) = H(t 0 + t) t 0 +t Dabei ist die Zeitordnung trivial wegen t 0 + t t 1. b t 0 +t t dt f(t)g(t ) + dt f(t )g(t) a t 0 dt 1 H(t 1 ) (171) 37

38 zeitgeordnete Exponentialreihe = Dyson-Reihe [ t0 +t ] T exp A(t ) dt := 1 + t 0 k=1 Gilt [A(t), A(t )] = 0, so ist T exp = exp [ d t0 +t ] dt T exp A(t ) dt = t 0 n=1 1 t0 +t t0 +t dt 1... dt k T A(t 1 )... A(t k ) (17) R! t 0 t 0 1 [ t 0 +t dt... n! t 0 t0 +t t0 +t t 0 dt n T A(t 0 + t)a(t )... A(t n ) t0 +t t0 +t + dt 1 dt 3... dt n T A(t 1 )A(t 0 + t)... A(t n ) t 0 t 0 t t0 +t t0 +t ] + dt 1... dt n 1 T A(t 1 )... A(t n 1 )A(t 0 + t) t 0 t 0 1 t0 +t t0 +t = A(t 0 + t) dt 1... dt n 1 T A(t 1 )... A(t n 1 ) (n 1)! t 0 t 0 n=1 Mit n n + 1 findet man [ d t0 +t ] dt T exp dt A(t ) t 0 Sehr praktisch für gekoppelte Differntialgleichung: [ t0 +t ] = A(t 0 + t)t exp dt A(t ) t 0 (173) c 1 = A 11 (t)c A 1n (t)c n. c n = A n1 (t)c A nn (t)c n, also #» c = A(t) #» c. Lösung: [ t denn #» c (173) (t) = A(t) T exp Im allgemeinen Fall ist #» c (t) = T exp [ t ] dt A(t ) #» c (0). } 0 {{ #» c (t) } M(t 0 + t, t 0 ) = T exp 0 ] dt A(t ) #» c (0), (174) [ i t0 +t ] dt H(t ), (175) t 0 38

39 denn i t M(t 0 + t, t 0 ) (173) = H(t 0 + t)h(t 0 + t, t 0 ). Bemerkung uzm Vorzeichen in (165) bzw. (166): Erfüllt ψ( #» x, t) die Gleichung i t ψ( #» x, t) = Hψ( #» x, t), so erfüllt ψ ( #» x, t) die zeitgespiegelte Schrödinger-Gleichung: i ψ ( #» x, t) = Hψ ( #» x, t)) (176) } {{ t} i ( t) Das Vorzeichen in (165) ist zunächst willkürlich. Zum relativen Vorzeichen zu (163): freies Teilchen: ψ p ( #» x, t = 0) = e i #» p #» x = T #» x 1. Es gilt i t ψ p = p m ψ p. = ψ p ( #» x, t) = e i Et ψ p ( #» x, 0) mit E = p m = e i ( #» p #» x Et) = ebene Welle (177) Das relative Vorzeichen ist so gewählt, dass Wellenfronten in #» p -Richtung (und nicht in ( #» p )-Richtung ) laufen. Ein Standard-Lösungsweg der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung: ψ(t) = n H ψ, t = n c n (t) E n + de c(e, t) E mit H E = E E σ c c n (t)e n E n + de c(e, t)e E und hat für dh dt d.h. = die Lösung ψ, t = n i ψ, t = H ψ, t t c n (0)e i Ent E n + σ c c n (t) = c n (0)e i Ent c(e, t) = c(0)e i Et de c(e, 0)e i Et, (178) Energie-Eigenzustände: i t E, t = E E, t : E, t = e i Et E }{{} E,0 39

40 1 = E, t E, t = E E stationäre Zustände. Schrödinger Bild: i ψ, t = H ψ, t = ψ, t = U(t, 0) ψ, 0 (179) t [ mit U(t, 0) = T exp i ] t 0 dt H(t ). Zeitentwicklung steckt in den Zuständen, nicht in den Operatoren, die jedoch eine explizite von außen vorgegebene Zeitabhängigkeit haben könne. (Bsp. Magnetfeld B(t) #» im Labor H(t)) Heisenberg-Bild: ψ H = U (t, 0) ψ, t } {{ } S =U(0,t) (179) = U (t, 0)U(t, 0) ψ, 0 S (180) = ψ, 0 S A H (t) = U (t, 0)A S (t)u(t, 0) (181) d (193) A(t) = i ( ) d dt H(t)A H(t) + U (t, 0) dt A S(t) U(t, 0) i A H(t)H(t) (18) = i [H, A H(t)] + t A H(t), wobei d dt A H(t) = U (t, 0) [ d dt A S(t) ] U(t, 0). Aus (18) folgt nach H S (t) = H H (t) = H(t). (18) ist die Bewegungsgleichung im Heisenbergbild. klassische Mechanik i [, ] Poisson-Klammer (18) für A H = X H und A H = P H, H = P m + V (X H) X H (t) = i = i [H, X(t)] [ ] P m, X H A7b = i m ( i )P H = i m P H, P H (t) = i [H, P H] (183) = i [V (X H), P H ] A7b = V (X H) X H (184) 40

41 (183), (184) entsprechen den Lösungen der Hamilton schen Bewegungsgleichungen. Teilchen im Potenzial.1 V = 0 (freies Teilchen) H = P m Zeitentwicklung i t p, t = E p, t H p, t = E p, t mit E = p m (185) Impulsdarstellung: p, t = e i Et p = e ip m t p (186) }{{} p,0 p p, t = e ip t m δ(p p ) (187) Gauß sches Wellenpaket ( ) d Φ(p, t = 0) = p Φ, t = 0 := π e (p p 0 ) d (188) Ortsdarstellung: ϕ(x, t) = 1 π (189) = Φ(p, t) = p Φ, t = p e Ht Φ, t = 0 = e i Ht p Φ, 0 = e i P t m p Φ, 0 ( d = e ip t m p Φ, 0 = e ip t m Φ(p, 0) ( d (188) = π )1/4 exp dp Φ(p, t)e i px )1/4 π 3 4 ( d )1/4 1 = π 3 [ i dp exp [ dp exp a [ (p p 0) d i p t ] m ( px p t m ( p b a ) (p p 0) d ] ) + b a c ] (189) (190) 41

42 { mit a = d + i t m, b = d p 0 + i x, c = d p 0 (191) Variablentransformation: p = p b a. Im p' trägt nicht bei für Re { alter neuer} Integrationsweg Im (-b_ a ) Re p' trägt nicht bei für Re Integrand analytisch ohne Singularitäten im Gebiet zwischen altem und neuem Integrationsweg. Residuensatz = ϕ(x, t) (190) = ϕ(x, t) = ( d π 3 d π )1/4 1 dp exp [ ap + ba ] c } {{ } [ ] π a exp b a c [ ( )] 1 b a exp Re a c = d π 1 [Re a exp b a ] a c (19) (193) Mit ist v = p 0 m und (t) = t md (194) und a = d4 4 + t 4m = [ d4 1 + (t) ] 4 (195) (Re b a ) a c (x vt) = d(1 + (t )) (196) Einsetzen von (195) und (196) in (193): ϕ(x, t) = 1 [ ] d 1 π exp (x vt) 1 + (t) d (1 + (t) ) (197) Das Wellenpaket bewegt sich nach rechts mit Geschwindigkeit v und zerfließt, d.h. die Breite d(1 + t) wächst linear mit t. 4

43 t 1 t > t 1 Zerfließen ist Folge der Impulsunschärfe in (189) analog zu einer Ladung Schrotkugeln. Aus (197) finden wir X = ϕ, t X ϕ, t = dx x ϕ(x, t) = vt (198) ( X) = ϕ, t X X ϕ, t = d 1 + (t) (199) mit Aufgabe 8, wobei b = d(1 + (t)). P und ( P ) findet man am einfachsten aus (189): P = (189) = ( d ( d = π dp p ϕ(p, t) π )1/ )1/ = p 0 = unabhängig von t dp p exp [ (p p 0) d ] dp (p + p 0 ) exp [ p d ] (00) ( P ) = P p 0 = d mit Aufgabe 8 (01) (199), (01) = = minimale Unschärfe für t = 0. X P = 1 + (t) (0). Kastenpotential Betrachte V (x) = V 0 θ(a x ), V 0 > 0 (03) 43

44 V(x) -a a x -V 0 Anwendung: abgeschirmte Störstellen in Halbleitern Kernphysik Dimensionsloser Parameter: mv0 a ξ = (04) Bindungszustände ψ n (x): Hψ n (x) = E n ψ n (x), also { } d m dx ψ En ψ n (x), x > a n(x) = (05) (E n + V 0 )ψ n (x), x < a ψ n(x) ist unstetig bei x = a mit Sprung ± V 0 = ψ n(x) ist stetig mit Knick bei x = a Lösung von (05) für x > a: ψ n (x) ist stetig E n > 0: ψ n (x) sin(qx), { cos(qx) nicht } normierbar Streuzustände. Nn e κnx, x < a E n < 0: ψ n (x) = N ne κnx (06), x > a m( En) Paritätsope- mit κ n = und Normierungskonstante N n, N n rator = Raumspiegelungsoperator: Pψ(x) = ψ( x) (07) In unserem Fall: HPψ(x) = Hψ( x) = [ d ] m dx + V (x) ψ( x) PHψ(x) = [ d ] m d( x) + V ( x) ψ( x) = Hψ( x) wegen V ( x) = V (x) = [H, P] = 0 (08) 44

45 = Es gibt eine Basis aus gemeinsamen Eigenfunktionen von H und P. P = 1 = Eigenwerte ± 1 (09) gerade Funktionen (EW 1): Pψ(x) = ψ( x) = ψ(x): ψ(x) ungerade Funktionen (EW -1): Pψ(x) = ψ( x) = ψ(x) ψ(x) x gerade Lösungen: N n = N n in (06). oszillierend ψ n (x) = C n cos(q n x) für x a mit m(en + V 0 ) q n = (06) und (10) = V 0 < E < 0 (10) Exponentielle Lösung (E < V 0 ) in x a erfüllen nicht die Stetigkeit von ψ n (x) und ψ n(x) bei x = ±a. Stetigkeit: (06), (10) = ψ n (a) = N n e κna! = C n cos(q n a) (11) ψ n(a) = N n κ n e κna! = C n q n sin(q n a) (1) 45

46 (1) (11) = κ n = q n tan(q n a) Wegen = κ n q n = tan(q n a) (13) ξ (04) = a mv 0 = a m(v 0 + E E) (06) = a [ qn + κ ] n bedeutet (13) (14) bestimmt q n a und damit E. tan(q n a) = ξ (q n a). (14) q n a tan(qa) ξ (qa) q 0 aq q q 4 π π 3 π π ξ 5 π qa Zahl der geraden Lösungen: Energie-EW n g = [ ] ξ π + 1 (15) Insbesondere E 0 existiert immer und E n (10) = q n m V 0 (16) V 0 < E n < π ungerade Lösungen: N n = N n in (06) und 8ma ψ n (x) = S n sin(q n x) (17) 46

47 Stetigkeitsbedingungen liefern analog zu (11) bis (13): cot(q n a) = κ n ξ = (q n a) q n q n a (18) ξ (qa) aq cot(qa) q 1 q 3 π π 3 π π ξ 5 π qa Ungerade Lösungen gibt es also nur für ξ π, also mv 0 a > π 4 Lsg: 1 ψ n (x) x 4 x 0 n = 0 n = 1 n = n = 3-1 Zustand q n a Symmetrie Knotenzahl n = 0 [0, π ] gerade 0 n = 1 [ π, π] ungerade 1 n = [π, 3 π] gerade 47

48 .3 Harmonischer Oszillator Betrachte H = P m + mω X, (19) d.h. Federkonstante κ = mω. Algebraische Lösung (H. Born, N. Wiener): x 0 = mω = H = ω }{{} char. Energie [ 1 P x ( ) ] X x 0 Vernichtungsoperator (= Absteigeoperator), annihilation op: a = 1 ( X + i P x ) 0 x 0 Erzeugungsoperator (= Aufsteigeoperator), creation op a = 1 ( X i P x ) 0 x 0 Es gilt für den Kommuator: [a, a ] = 1 ] [ ]) i ([P x 0, Xx0 X, P x 0 x 0 (110) = 1 i ( i i ) = 1 Besetzungszahl-Operator: (0) (1) () (3) (4) Na a (5) () und (3) liefern: N = 1 = 1 ( X i P x 0 x 0 ) ( X + i P x 0 x 0 ) ( X x 0 + P x 0 + i [x, P ] ) = H ω 1 = H = ω(n + 1 ) (6) 48

49 Also: Eigenzustände von H sind Eigenzustände von N und umgekehrt. n ist ein Eigenket zum Eigenwert n. N n = n n mit n R wegen N = N (7) n = n n n = n N n = n a a n = an an = an 0 [N, a ] = [a a, a ] = a [a, a ] + [a, a ] a } {{ } } {{ } =1 =0 = a [N, a] = [a, N] = ( a ) = a (8) (9) (30) Betrachte a n : Na n = ([N, a] + an) n = a n + an n = (n 1)a n (31) = a n ist Eigenket zu N mit Eigenwert n 1 oder a n = 0. Ist a n = 0, so ist N n = a a n = 0 = n = 0, Achtung: 0 }{{} 0. Nullvektor N 0 = 0 (3) Aus (31) folgt durch vollsändige Induktion, dass a k n Eigenvektor zu N mit Eigenwert n k ist, außer wenn k n N. Wegen (8) muss für Eigenwerte n k 0 sein. Wäre n / N 0, so könnten wir mit hinreichend großem k Gleichung (8) verletzen Konstruktion der Eigenkets: Zwei Möglichkeiten: = n N 0 (33) 49

50 1.) Der Grundzustand 0 ist nicht entartet.) Der Grundzustand ist entartet Welche Möglichkeit realisiert ist, hängt vom Hilbertraum H ab. Normierung: (9) = Na n = a N n + [N, a ] n } {{ } } {{ } n n a a n = a n a n = (n + 1)) a n } {{ } EZ zu N mit EW n+1 = n aa n = n [a, a ] n + n } {{ } }{{} a a n =1 =N = 1 + n = n + 1 = 1 n+1 a n ist normiert (34) Im Fall 1 (nichtentarteter Grundzustand 0 ) definierten wir rekursiv: n (34) = 1 n a n 1 = 1 n(n 1) a n (35) = 1 n! a n 0 Weiter a n (34) = 1 n aa n 1 = 1 [a, a ] n } {{ } =1 = 1 n n n 1 n n a a }{{} =N n 1 (36) = n n 1 Zuammenfassung von (34) und (36): a n = n + 1 n + 1 a n = n n 1 (37) 50

51 und Haben wir im Fall 1 mit (35) alle EZ gefunden? Ja! a n n = n! 0 (38) Beweis: Angenommen, es gibt außer n in (35) einen weiteren Ket n mit N n = n n und n n = 0, so ist n entartet. Wegen (31) ist a n n EZ von N zu n = 0. Da n = 0 nicht entartet ist, folgt: = = a n n = e iϕ n! 0 (39) 1 n! a n a n n = e iϕ 1 a n 0 n! (35) = e iϕ n 1 n a n a n n = e iϕ n n n! } {{ } a n n Ann. = 0 = a n n = 0. Wid. zu (39) Im Fall haben wir Grundzustände 0, λ, λ = Entartungsindex Analog findet man: n, λ = 1 n! a n 0, λ sind alle EZ zum Eigenwert n von N. Wegen (6) sind die Energieeigenwerte E n = ω(n + 1 ), n N 0 (40) V (x) ω 3 1 E 0 E 1 E Streuzustände gibt es nicht! 51

52 H = L [R], Ortsdarstellung. Also = 0 = x a 0 () = 1 x a 0 (37) = 0 X + i P x 0 x 0 [ d dx + x x 0 0 (41) ist eine DGL 1. Ordnung. Standard-Lösungsweg: = 1 [ x x 0 + i x 0 Ansatz: [ d e f(x) dx + x ] x ψ 0 (x) = 0 0 = [ d dx f (x) + x ] x e f(x) ψ 0 (x) = 0 0 } {{ } =0 ( x x0 ) i d dx ] x 0 } {{ } ψ 0 (x) ] ψ 0 (x)0 (41) Wähle f (x) = x, also f(x) = 1 x 0 = d [ ( ) ] ( ) e 1 x x 0 ψ 0 (x) = 0, also ψ 0 (x) = Ce 1 x x 0 dx Normierung: 1 = 0 0 = C dx e ( x x 0 ) = C x 0 π Wähle C = (x 0 π) 1 = Grundzustand-Wellenfunktionen: Übrigen: n > 0 ψ n (x) = x n (35) = 1 x a n 0 n! Dimensionslose Variable ψ 0 (x) = (x 0 π) 1 e 1 ( x x 0 ) (4) ξ := x x 0 = 1 [ ] 1 x d n x n! n 0 ψ 0 (x) x 0 dx 5

53 Damit gilt: ψ n (x 0 ξ) = 1 [ 1 n! n (4) = (x 0 π) 1 ξ d dξ ] n ψ 0 (x 0 ξ) 1 1 n! n [ ξ d dξ ] n e ξ (43) = (x 0 πn! n ) 1 Hn (ξ)e ξ mit H n (ξ) := e ξ [ ξ d ] n e ξ (44) dξ Operator-Identität: A ξ := e ξ ( ξ d ) e ξ dξ = d dξ, (45) denn: A ξ ψ(ξ) = e ξ = e ξ ( ξ d ) e ξ ψ(ξ) dξ [ ] ξe ξ ξ ξ d ψ(ξ) ξe ψξ e dξ ψ(ξ) (45) = Einsetzen von (45) in (44): = d dξ ψ(ξ) ( 1) n dn dξ n = An ξ = ξ e ist die Definitions-Gleichung der Hermite-Polynome: [ ξ d ] n e ξ dξ dn H n (ξ) = ( 1) n e ξ dξ n e ξ (46) H 0 (ξ) = 1 H 1 (ξ) = ξ H (ξ) = 4ξ H 3 (ξ) = 8ξ 3 1ξ H 4 (ξ) = 16ξ 4 48ξ + 1 H 5 (ξ) = 3ξ 5 160ξ ξ (47) 53

54 Aus δ nm = n m = dxß, kψ n(x) ψ m (x) folgen mit (43) die Orthogonalitätsrelationen dξ e ξ H n (ξ)h m (ξ) = π n n!δ nm (48) Aus n=0 n n = 1 folgt die Vollständigkeitsrelation ψ n (x)ψn(x ) = x n n x Mit (43) Weitere Eigenschaftende: Erzeugende Funktionen: Hermitescher DGL: n=0 n=0 = x x = δ(x x ) (49) H n (ξ)h n (ξ ) = πn! n e ξ δ(ξ ξ ) (50) n=0 e t itξ = n=0 1 n! tn H n (ξ) (51) [ d dξ ξ d ] dξ + n H n (ξ) = 0 (5) klassische Physik: niedrigste Energie E = 0 QM:... E 0 = ω Nullpunktsenergie Ein Zustand mit E = 0 würde X P verletzen. Inverse von ()/(3): X = x 0 (a + a ) (53) P = i (a a) (54) Damit folgt: n X n (53) = x 0 n a + a n (37) = x 0 = 0. [ n n n 1 } {{ } =0 + ] n + 1 n n + 1 } {{ } =0 54

55 Ebenso n P n (54) = 0 ( X) = n X n (53) = x 0 = x 0 n (a + a ) n [ n a n + n aa + a a n } {{ } } {{ } =0 = n [a,a ]+N n =1 ] n a n } {{ } =0 + (55) = x 0 [ n n + n N n ] (n + 1) ( P ) = n P n = x 0 (54) = = x 0 x 0 n (a a) n n a a + aa n = hbar x (n + 1) 0 (56) = X P = (n + 1) (57) = Grundzustand 0 hat minimale Unschärfe 1 ψ n (x) x 4 x 0 n = 0 n = 1 n = n = 3-1 klassisch: Aufenthalt nur dort, wo E V ist, also x x 0 n + für den n-ten Energiezustand E n. 55

56 QM: ψ n (x) > 0 auch für x > n + Zeitentwicklung Aus (18) folgt Außerdem Also wobei X = X(0) und P = P (0). Analog: Schrödinger Bild : n, t = e i n Ent n Heisenberg Bild : a(t = 0) = a d dt a = i [H, a] (6) = iω = iω[n, a] (39) = iωa [N + 1, a ] a(t) = a(0)e iωt (58) (59) a (t) = a (0)e iωt (60) = X(t) (53) = x 0 (ae iωt + a e iωt ) = x ] 0 [(a + a ) cos(ωt) + (a a)i sin(ωt) (53),(54) = X cos(ωt) + x 0 P sin(ωt) (0) = X cos(ωt) + 1 mω P sin(ωt) (61) P (t) = P cos(ωt) mωx sin(ωt) (6) = klassische Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators Welche Zustände zeigen die Schwingungen des klassischen Oszillators? Nicht die Energie-Eigenzustände: n X(t) n (181),(165) = n e i Ht Xe i Ht n = e i Ent n X n e i Ent = n X n, 56

57 jedoch für sogenannte kohärente Zustände λ. λ X(t) λ = x 0 A cos(ωt λ) Nachtrag zum Thema Heisenberg-Bild: H = P m + V (X) (183), (189) implizieren für jeden Zustand ψ: d dt ψ X ψ = 1 ψ P ψ m d ψ P ψ = ψ V dt x ψ = m d d P X = = dt dt x V (X) (63) (63) heißt Ehrenfest sches Theorem. Damit ψ X ψ die klassischen Bewegungsgleichung erfüllt, muss ψ V x ψ = V ( ψ X ψ ) (64) x gelten. (64) gilt sogar für alle ψ H, wenn V höchstens quadratisch ist. 3 Drehung, Drehimpuls, Spin 3.1 Drehungen und ihre Erzeuger passive Drehung in R 3 um Achse #» n (mit #» n = 1) mit Winkel ϕ: Aufgabe 6e): Vektor #» a R 3 wird in a #» ϕ gedreht, wobei #» a ϕ = cos ϕ #» a + (1 cos ϕ)( #» a #» n) #» n sin ϕ( #» n #» a ) (65) Kurznotation: #» ϕ = ϕ #» n beschreibt die Drehung. Suche Matrix R( #» ϕ) R 3 3 mit #» a ϕ = R(ϕ) #» a für alle #» a R 3 (66) 57

58 (65) = ( 3 ) a ϕk = cos ϕa k + (1 cos ϕ) a m n m n k sin ϕ = (66) = 3 [R( ϕ)] #» km a m m=1 n=1 [R( #» ϕ)] km = cos ϕδ km + (1 cos ϕ)n k n m sin ϕ 3 m,l=1 ε klm n l a m 3 ε klm n l, d.h. (67) l=1 R( ϕ) #» cos ϕ + (1 cos ϕ)n 1 (1 cos ϕ)n 1 n + sin n 3 (1 cos ϕ)n 1 n 3 sin ϕn = (1 cos ϕ)n 1 n sin ϕn 3 cos ϕ + (1 cos ϕ)n (1 cos ϕ)n n 3 + sin ϕn 1 (1 cos ϕ)n 1 n 3 + sin ϕn (1 cos ϕ)n n 3 sin n 1 cos ϕ + (1 cos ϕ)n 3 (68) Spezialfall: Drehung um z-achse: #» n = (0, 0, 1) 0 cos ϕ sin ϕ 0 R 0 = sin ϕ cos ϕ 0 (69) ϕ Drehmatrizen sind orthogonal: R( #» ϕ) R( #» ϕ) = 1 mit det R( #» ϕ) = 1. Auch: Alle Matrizen T mit R R = 1 und det R = 1 sind Drehmatrizen. Bestimmung von ϕ und #» n aus R(ϕ): #» n ist Eigenvektor zum EW 1 ϕ kann über die Spur von R( #» ϕ) berechnet werden: tr R( ϕ) #» (67) = cos ϕ }{{} tr 1 =3 R( #» ϕ) #» n = #» n (70) +(1 cos ϕ) k Die Menge aller Drehmatrizen bildet eine Lie-Gruppe. n k } {{ } =1 = 1 + cos ϕ (71) Definitionseigenschaften einer Lie-Gruppe 1.) Es gibt ein Einselement 1: R( #» ϕ)1 = 1R( #» ϕ) = R( #» ϕ) 58

59 .) R( ϕ #» 1 ) R( ϕ #» ) ist Drehmatrix und in R( ϕ #» 3 ) = R( ϕ #» 1 )R( ϕ #» ) ist ϕ #» 3 eine stetige Funktion von ϕ #» 1 und ϕ #» (sogar analytisch) 3.) R 1 ( ϕ #» 1 ) ist Drehmatrix 4.) ( R( ϕ #» 1 )R( ϕ #» ) ) R( ϕ #» 3 ) = R( ϕ #» 1 ) ( R( ϕ #» )R( ϕ #» 3 ) ) Die Lie-Gruppe der Drehung im R 3 heißt SO(3). Dabei steht S für speziell, d.h. det R = 1, O für orthogonal und 3 für den R 3. Infinetissimale Drehung: δϕ 1 in (67): wobei also R(δϕ #» n) = 1 + δϕi #» n ω = 1 + iδϕ 3 n l ω (l) (7) l=1 iω (l) km = ε klm (73) iω (1) = 0 0 1, (74) iω () = (75) iω (3) = (76) Die ω (l) heißen Generatoren der SO(3). Aufbau einer endlichen Drehung aus infinitesimalen Drehungen: δϕ = ϕ N. Dann: das ist eleganter als (67). Alternativ: Euler-Winkel: Die Generatoren der SO(3) erfüllen: [R(δϕ #» [ n)] N = 1 + i ϕ ] #» n ω #» N N = R( ϕ) #» [ ( ϕ )] = lim R #» N n = e iϕ n #» #»ω = e i ϕ #» ω #» N N (77) R(α, β, γ) = R(α #» e z )R(β #» e y )R(γ #» e z ) (78) [ ω (j), ω (k)] = i 3 ε jkl ω (l) (79) l=1 59

60 Beweis: [ω (j), ω (k)] ln = 3 m=1 (73) = [ ] ω (j) lm ω(k) mn ω (k) lm ω(j) mn 3 (ε ljm ε mkn ε lkm ε mjn ) m=1 = (δ lk δ jn δ ln δ jk δ lj δ kn + δ ln δ jk ) 3 = ε jkm ε lmn = i m=1 3 ε jkm ω l n (m) m=1 Der von { ω (1), ω (), ω (3) } aufgespannte Vektorraum heißt Lie-Algebra so(3). Also: #» q ω so(3) = e i #» q #»ω SO(3). Allgemein: Ein Satz { ω (1),..., ω (n) } von Matrizen oder linearen Operatoren bildet eine Lie-Algebra, wenn [ω (j), ω (k) ] = i l f jkl ω (l) (80) mit f jkl C. Die Zahlen f jkl heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra bzw. Lie-Gruppe { e i #» q #»ω } ist dann Lie-Gruppe. Betrachte: ω (j) ω (j) mit [ω (j), ω (k) ] = i l f jkl ω (l), eine sogenannte Darstellung der Lie-Algebra. Die Matrizen e i ϕ #» ω #» bilden eine Darstellung der Lie-Gruppe: Aus e i ϕ #» #» 1 ω e i ϕ #» #» ω = e i ϕ #» #» 3 ω folgt e i ϕ #» #» 1 ω e i ϕ #» #» ω = e i ϕ #» #» 3 ω Darstellung der so(3) mit Matrizen: denn wegen (76) ist ω (j) ω (j) = 1 σ j (81) [ 1 σ j, 1 σ k] = i 3 l=1 ε jkl σ l 60