Analytische Fortsetzung der Gross-Pitaevskii-Gleichung für PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate

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1 Analytische Fortsetzung der Gross-Pitaevskii-Gleichung für PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate Bachelorarbeit von Helmut Frasch 24. Februar 2014 Prüfer: Prof. Dr. Jörg Main 1. Institut für Theoretische Physik Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 57, Stuttgart

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3 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Motivation und Einführung in das Thema Aufbau der Arbeit PT -symmetrische Quantenmechanik Eigenschaften des PT -Operators Eigenwerte und Eigenzustände des PT -Operators Lineare PT -symmetrische Operatoren Konsequenzen des PT -symmetrischen Potentials Nichtlineare Operatoren Gross-Pitaevskii Gleichung für Bose-Einstein Kondensate Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) GPE mit schwacher Wechselwirkung Gross-Pitaevskii-Gleichung in dimensionslosen Koordinaten Bisherige Ergebnisse für eine GPE mit PT -symmetrischem Doppelmuldenpotential Kritische Punkte und analytische Funktionen Analytische Funktionen Bifurkationen Tangentenbifurkation Heugabelbifurkation Verhalten bei komplexen Parametern Exzeptionelle Punkte Bedeutung für die Gross-Pitaevskii Gleichung mit PT -symmetrischem Potential Analytische Fortsetzung der Gross-Pitaevskii-Gleichung Analytische Fortsetzung Bikomplexe Zahlen Fortsetzung mithilfe von bikomplexen Zahlen Fortsetzung durch PT -Konjugation PT -konjugierte bikomplexe GPE Analytisch erweiterte GPE mit Doppel-δ-Potential iii

4 Inhaltsverzeichnis Numerische Umsetzung der Nullstellensuche Spektrum der analytisch erweiterten GPE Wellenfunktionen Besonderheiten der kombinierten Zustände Zusammenfassung und Ausblick 47 A. Beweise zu bikomplexen und hyperkomplexen Zahlen 49 Literaturverzeichnis 53 Danksagung 55 iv

5 1. Einleitung 1.1. Motivation und Einführung in das Thema In der Quantenmechanik werden physikalische Messwerte mit den Eigenwerten von Operatoren eines Hilbertraums in Verbindung gebracht. Die Forderung von Hermitizität an die Operatoren stellt sicher, dass das Spektrum der Operatoren rein reell ist und somit auch wirklich physikalische Messgrößen beschreibt. Hermitizität selbst ist jedoch keine notwendige Folge eines allgemeineren physikalischen Konzepts und stellt daher auch keine notwendige Eigenschaft eines physikalisch sinnvollen Operators dar. Es müsste demnach auch andere Klassen von Operatoren geben, die ein reelles Spektrum ermöglichen. Eine solche Klasse von nichthermiteschen Operatoren sind die PT -symmetrischen Operatoren, welche von Bender und Boettcher anhand der Verallgemeinerung des harmonischen Potentials entdeckt wurden [1]. Ein Operator H ist PT -symmetrisch, wenn dieser mit dem Paritäts-Zeit-Operator PT kommutiert. Wenn die Eigenzustände von H zusätzlich Eigenzustände des PT -Operators sind, existiert ein reelles Spektrum des Operators H für diese Zustände. Durch nichthermitesche Operatoren können unter anderem offene Quantensysteme mit Gewinn- und Verlusteffekten viel einfacher beschrieben werden, als dies mit hermiteschen Operatoren der Fall ist. Die Realisierung eines PT -symmetrischen Systems ist bereits in optischen Wellenleitern beobachtet worden [2], da die Beschreibung der Moden im Wellenleiter auf eine zur Schrödingergleichung analoge Gleichung führt. Bislang wurde PT -Symmetrie aber noch in keinem echten quantenmechanischen System beobachtet. Ein Vorschlag der Realisierung eines solchen Quantensystems besteht in der Betrachtung eines Bose- Einstein-Kondensats (BEC) in einem Doppelmuldenpotential, bei dem Teilchen in der einen Mulde koheränt eingekoppelt und in der anderen Mulde koheränt ausgekoppelt werden [3]. Die Bose-Einstein-Kondensation beschreibt den Grundzustand der bosonischen Materie, welcher bei Temperaturen nahe des absoluten Nullpunkts auftritt. Verschiedene Bosonen können im Gegensatz zu Fermionen den gleichen quantenmechanischen Zustand einnehmen. Wenn alle Teilchen im Grundzustand sind, kann das System durch eine einzige makroskopische Wellenfunktion beschrieben werden. Die Dynamik eines BEC erfolgt gemäß der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE), die aus der Vielteilchen- Schrödingergleichung über eine Mean-Field-Näherung hergeleitet wird. Die GPE ist eine nichtlineare Differentialgleichung, welche in ihrer einfachsten Form eine schwache, kurzreichweitige Wechselwirkung zwischen den Teilchen berücksichtigt. Bei einem BEC 1

6 1. Einleitung kommt es zu geringen Teilchenzahldichten, weshalb das Wechselwirkungspotential durch ein Streupotential genähert werden kann. Im Falle von Temperaturen nahe des absoluten Nullpunkts wird die Streuung allein durch die s-wellen Streulänge charakterisiert. Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen kann daher durch die Teilchenzahl und die Streulänge beschrieben werden. In einer experimentellen Realisierung des Bose-Einstein- Kondensats, können beide Größen gezielt beeinflusst werden, wobei man die Streulänge mithilfe von Feshbach-Resonanzen festlegt. Bisherige theoretische Untersuchungen eines BEC im PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential [4 8] konnten die Existenz von reellen sowie komplexen Eigenwerten nachweisen. Die komplexen Eigenwerte treten in zueinander komplex konjugierten Paaren auf. Es gibt auch Paare von reellen Eigenwerten, die bei einer bestimmten Stärke der Nichthermizität des Potentials in einen einzigen Eigenwert mit nur einem Eigenzustand überführt werden. Ein Punkt, in dem verschiedene Zustände in einen einzigen übergehen, wird allgemein als kritischer Punkt bezeichnet. In diesen kritischen Punkten entstehen bei weiterer Erhöhung der Nichthermizität auch die Zustände mit komplexen Eigenwerten. Bei der GPE kommt es auch vor, dass sich die Zahl der Zustände nach überschreiten des kritischen Punktes verändert. Dieses Verhalten konnte mit der nichtanalytischen Nichtlinearität der GPE in Verbindung gebracht werden. Die Gleichung kann durch eine analytische Erweiterung der Nichtlinearität auf eine Form gebracht werden, in der für jede Stärke des Potentials und der Nichtlinearität die Zahl der Lösungen erhalten bleibt. Bisher ist eine vollständige analytische Erweiterung nur gelungen, wenn die Algebra von den komplexen Zahlen auf die bikomplexen Zahlen erweitert wurde. Die Nichtlinearität der GPE mit schwacher Wechselwirkung hat die Form eines Betragsquadrats ψ(x) 2 der Wellenfunktion ψ. Unter Ausnutzung des PT -Operators konnte auch eine analytische Erweiterung innerhalb der komplexen Zahlen mit ψ(x) 2 ψ(x)ψ( x) gefunden werden, die einen Teil der Zustände als Lösung hat. In dieser Arbeit geht es darum diesen Ansatz zu verallgemeinern, so dass alle Zustände der bikomplex erweiterten GPE als Lösungen vorkommen. Als Ansatz dienen die Symmetrieeigenschaften der Lösungen mit komplexen Eigenwerten der ursprünglichen GPE. Es wird vermutet, dass ein Ansatz mit verschiedenen Wellenfunktionen ψ 1 und ψ 2 eine analytische Ersetzung ψ(x) 2 ψ 1 (x)ψ 2 ( x) liefert, die alle geforderten Lösungen zur Folge hat Aufbau der Arbeit Kapitel 2 beginnt mit den Eigenschaften des PT -Operators. Um PT -Symmetrie zu erfüllen ergeben sich Bedingungen an die nichthermiteschen Operatoren und vor allem an deren Potentiale. Es werden sowohl lineare, wie auch nichtlineare Operatoren untersucht. In Kapitel 3 wird die Gross-Pitaevskii-Gleichung für ein BEC mit schwacher Wechselwirkung hergeleitet. Anhand von vorhergehenden Arbeiten zu diesem The- 2

7 1.2. Aufbau der Arbeit ma, werden die Eigenschaften einer solchen GPE mit PT -symmetrischem Doppelmuldenpotential, sowie deren Spektrum für ein PT -symmetrisches Doppel-δ- Potential aufgeführt. Die kritischen Punkte des Spektrums werden in Kapitel 4 näher erläutert. Dazu gehören Bifurkationen und exzeptionelle Punkte. Zudem wird die Bedeutung von analytischen Funktionen für die Lösungen der Gleichung angesprochen. Kapitel 5 beschreibt schließlich die Ergebnisse dieser Arbeit. Zunächst werden die Eigenschaften von bikomplexen Zahlen dargestellt und die Erweiterung der GPE mit bikomplexen Zahlen vorgestellt. Es folgt eine genauere Herleitung der analytischen Erweiterung mit ψ(x) 2 ψ 1 (x)ψ 2 ( x), sowie der Zusammenhang der resultierenden Gleichungen mit der bikomplexen GPE. Schließlich wird die Gleichung mithilfe einer numerischen Nullstellensuche und Runge-Kutta-Integration für verschiedene Stärken des nichthermiteschen Anteils des Potentials als auch der Nichtlinearität gelöst. Aschließend kommt es zu einer Diskussion der Ergebnisse. Im Anhang A werden zusätzlich noch einige Beweise zu den Eigenschaften der bikomplexen Zahlen durchgeführt, die sich auf einen Teil der hyperkomplexen Zahlen verallgemeinern lassen. 3

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9 2. PT -symmetrische Quantenmechanik 2.1. Eigenschaften des PT -Operators Der PT -Operator setzt sich aus dem Paritätsoperator P und dem Zeitumkehroperator T zusammen. Diese beiden Operatoren werden über ihre Transformationseigenschaften bezüglich des Orts- und Impulsoperators definiert: P ˆxP 1 = ˆx P ˆpP 1 = ˆp (2.1) T ˆxT 1 = ˆx T ˆpT 1 = ˆp. (2.2) Der Paritätsoperator stellt somit eine Ortsspiegelung dar, wohingegen der Zeitumkehroperator strenggenommen nur eine Umkehr der Bewegung bewirkt. Eine echte Zeitumkehr kann über einen Operator nicht definiert werden, da Zeit keine quantenmechanische Observable ist. Aus der fundamentalen Kommutatorrelation [ˆx, ˆp] = i folgt weiterhin T i T 1 = T ˆxT 1 T ˆpT 1 T ˆpT 1 T ˆxT 1 = ˆxˆp + ˆpˆx = i (2.3) was nur gilt wenn T ein antilinearer Operator mit T it 1 = i ist. Dadurch wird auch PT zu einem antilinearen Operator mit PT ˆx (PT ) 1 = ˆx PT ˆp (PT ) 1 = ˆp PT i (PT ) 1 = i. (2.4) In der Ortsdarstellung wirkt der PT -Operator als komplexe Konjugation mit gleichzeitiger Spiegelung des Ortes. Ein antilinearer Operator T (x) ist allgemein durch die Eigenschaft T (λx + µy) = λ T (x)+µ T (y) definiert, wobei λ und µ komplexe Zahlen sind. Dies bedeutet unter anderem, dass der Dirac sche Bra-ket-Formalismus auf solche Operatoren nicht vollständig übertragen werden kann, da Bra-Vektoren über lineare Funktionale definiert sind. Die Anwendung eines antilinearen Opertors auf einen Bra-Vektor zerstört dessen Linearität wodurch sich kein wohldefinierter Ausdruck mehr ergibt [9]. Dieses Problem kann umgangen werden indem man die Anwendung von antilinearen Operatoren auf Ket-Vektoren beschränkt. 5

10 2. PT -symmetrische Quantenmechanik Eigenwerte und Eigenzustände des PT -Operators Zweimaliges anwenden von PT auf einen beliebigen Zustand führt den Zustand in sich selbst über. Bei Anwendung auf einen Eigenzustand ψ von PT mit Eigenwert λ ergibt sich folglich PT PT ψ = PT λ ψ = λ λ ψ! = ψ λ 2 = 1 λ = e iφ. (2.5) Eigenzustände zum PT -Operator werden PT -symmetrische Zustände genannt. Alle anderen Zustände werden als PT -gebrochene Zustände bezeichnet. Für einen Eigenzustand φ mit Eigenwert 1 gilt in der Ortsdarstellung x PT φ = φ ( x) = Re φ( x) Im φ( x) = Re φ(x) + Im φ(x) = φ(x). (2.6) Eigenzustände zum Eigenwert 1 besitzen also einen symmetrischen Realteil und einen antisymmetrischen Imaginärteil. Veränderung der Phase eines solchen Zustandes durch φ = e iθ φ verändert auch den Eigenwert gemäß: PT φ = φ PT e iθ φ = e iθ φ e iθ PT φ = e iθ φ PT φ = e i2θ φ. (2.7) Also führt die Veränderung der Phase zu einem Eigenzustand mit Eigenwert e i2θ. Bei einer Wahl von θ = ±π/2 Wird der Realteil antisymmetrisch und der Imaginärteil symmetrisch. Der Eigenwert zu einem solchen Zustand ergibt sich aus (2.7) zu 1. Wird also ein einzelner PT -symmetrischer Zustand betrachtet, so kann immer entweder der Real- oder Imaginärteil der Wellenfunktion in einem vorgegebenen Punkt x 0 durch die Wahl der globalen Phase auf 0 gesetzt werden Lineare PT -symmetrische Operatoren Der bisherige Formalismus der Quantenmechanik postuliert, dass jede physikalische Observable durch einen hermiteschen Operator dargestellt werden kann. Jede Messung projiziert den Zustand des Systems auf einen der Eigenzustände des Operators. Die Norm des projizierten Zustandes gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei einer Messung den Eigenwert des Operators zu erhalten, sofern der Ausgangszustand normiert war. Hermitesche Operatoren garantieren zum einen reelle Eigenwerte und damit eine einfache Korrespondenz der Messwerte zu den Eigenwerten. Andererseits sind Zustände zu verschiedenen 6

11 2.2. Lineare PT -symmetrische Operatoren Eigenwerten orthogonal zueinander. Kommutierende Operatoren besitzen gemeinsame Eigenzustände zu im Allgemeinen verschiedenen Eigenwerten. Durch diese Eigenschaft und die Orthogonalität der Zustände kann eine vollständige Orthonormalbasis zu einem Satz kommutierender Observablen gefunden werden, wodurch eine eindeutige Beschreibung des Systems möglich ist. Die Dynamik eines Quantensystems wird durch die Schrödingergleichung postuliert. Die ausschließliche Verwendung von hermiteschen Operatoren impliziert dadurch eine unitäre Zeitentwicklung, welche die Norm der Zustände erhält. Die Einführung des hermiteschen Operators in den Formalismus der Quantenmechanik erfolgte allein aus diesen mathematischen Gründen. Hermitizät folgt also an sich aus keinem physikalischen Konzept und ist zudem auch keine notwendige Bedingung für reelle Eigenwerte. Hermitizät eines Operators wird üblicherweise durch H = H definiert. Diese Definition gilt strenggenommen nur in endlichdimensionalen Hilberträumen. In unendlichdimensionalen Hilberträumen werden durch diese Bedingung nur selbstadjungierte Operatoren definiert während hermitesche Operatoren allgemeiner durch ψ H φ = φ H ψ (2.8) gegeben sind. Der adjungierte Operator H kann auch durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einem entsprechenden Operator A durch H = AHA 1 dargestellt werden. Hermitizät von H ist also gleichbedeutend mit H = AHA 1 [H, A] = 0. (2.9) Es stellt sich die Frage, ob auch andere, mit H kommutierende Operatoren ein reelles Spektrum ermöglichen. Der bereits vorgestellte PT -Operator wird dieser Anforderung gerecht, so dass ein anderer Satz von Operatoren mit reellen Eigenwerten durch die PT -Symmetrie [H, PT ] = 0 (2.10) beschrieben wird. Mit dieser Bedingung folgt für einen Eigenzustand ψ von H zu einem nichtentartetem Eigenwert µ HPT ψ = PT H ψ = PT µ ψ = µ PT ψ. (2.11) Ist einerseits ψ ein PT -symmetrischer Zustand, so gilt µ = µ und der Eigenwert ist reell. Andererseits fordert ein nichtentarteter reeller Eigenwert, dass ψ und PT ψ linear abhängig sind, wodurch die PT -symmetrie des Zustandes folgt. Handelt es sich um einen PT -gebrochenen Zustand, dann gibt es ein Paar von zueinander komplex konjugierten Eigenwerten. Das gleiche gilt bei linearen Hamiltonoperatoren auch für entartete Eigenwerte. Ein Beweis dazu findet sich in [4, 5]. Zusätzlich ist der Eigenraum 7

12 2. PT -symmetrische Quantenmechanik zu einem solchen entarteten Eigenwert invariant gegenüber der Anwendung des PT - Operators. Ob die so erhaltene Menge von Operatoren größer als die Menge der hermiteschen Operatoren ist, kann nicht beantwortet werden. Es ist möglich, ein alternatives Skalarprodukt bezüglich des PT -Operators zu konstruieren, welches (2.8) für PT -symmetrischer Operatoren erfüllt [10]. Dadurch scheint die PT -symmetrische Quantenmechanik lediglich eine andere Darstellungsmöglichkeit der herkömmlichen Quantenmechanik zu sein [11] Konsequenzen des PT -symmetrischen Potentials Aus (2.10) folgt für das Potential eines allgemeinen PT -symmetrischen Hamiltonoperators H = ˆp2 2m + V (ˆx): PT PT H = HPT PT HPT 1 = H ( ) ˆp 2 2m + V (ˆx) PT 1 = ˆp2 2m + V (ˆx) PT V (ˆx)PT 1 = V (ˆx) V (ˆx) = V ( ˆx). (2.12) Analog zu einem Eigenzustand des PT -Operators mit Eigenwert 1 muss das Potential einen symmetrischen Real- und einen antisymmetrischen Imaginärteil bezüglich des Ortsoperators haben. Hermitesche Potentiale müssen diese Symmetrieeigenschaften bezüglich einer beliebigen Basis des Hilbertraums erfüllen. Adjungiert man das Potential, ergibt sich: d 3 x d 3 x x x V (ˆx) x x V (ˆx) = R 6 = d 3 x d 3 x x V (x)δ(x x ) x R 6 = d 3 x x x V (x) R 3 = V (ˆx). (2.13) Hermitesche Potentiale müssen also reell sein, während dies für PT -symmetrische Potentiale nicht mehr gilt. Demnach unterscheidet sich der adjungierte Operator zu H um einen Imaginärteil, H = H + H H = H + 2iImV. (2.14) 8

13 2.2. Lineare PT -symmetrische Operatoren Orthogonalität von Zuständen ψ i zu unterschiedlichen Eigenwerten α i wird im hermiteschen Fall durch die Rechnung ψ m H ψ n = ψ m H + 2iImV ψ n (α n α m ) ψ m ψ n = ψ m 2iImV ψ n (2.15) gezeigt. Da der Imaginärteil des Potentials nicht in jedem Fall verschwindet, gilt dies für die Zustände eines PT -symmetrischen Operators im Allgemeinen nicht mehr. Auch die Normerhaltung wird durch den Imagärteil des Potentials aufgehoben, wenn die Dynamik weiterhin gemäß der Schrödingergleichung beschrieben wird: d dt ψ ψ = ψ t ψ + ψ t ψ = i ( ψ H ψ ψ H ψ ) = 2 ψ ImV (ˆx) ψ. (2.16) In der Ortsdarstellung kann die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x) = ψ(x) 2 werden, wodurch aus (2.16) mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte betrachtet die Kontinuitätsgleichung j(x) = i 2m (ψ(x) ψ (x) ψ (x) ψ(x)) (2.17) d dt ρ(x) + divj(x) = 2 ρ(x)imv (x) (2.18) folgt. In ihr beschreibt der Term 2 ρ(x)imv (x) eine Quelle bei positivem Imaginärteil des Potentials und eine Senke bei negativem Imaginärteil. PT -symmetrische Operatoren mit einem imaginären Beitrag zum Potential können also keine geschlossenen Systeme beschreiben. Die Normerhaltung ist eine notwendige physikalische Forderung an ein geschlossenes Quantensystems. Dies hängt mit der Interpretation der Norm als Wahrscheinlichkeit zusammen [9]. Operatoren mit imaginärem Potential können bezüglich dieser Norm also nur offene Systeme beschreiben, wobei eine physikalisch sinnvolle Normierung der Zustände nur im Rahmen eines abgeschlossenen Systems geschehen kann. Es sei angemerkt, dass die Kopplung von zwei offenen Systemen mit zueinander konjugierten Potentialen zu einem hermiteschen Gesamtsystem führt. Die Norm des Hilbertraums wird durch dessen Skalarprodukt induziert. Ein Skalarprodukt, welches (2.8) bezüglich PT -symmetrischer Operatoren erfüllt, sichert die Orthogonalität der Zustände und die Normerhaltung auch in PT -symmetrischen Systemen. Die dadurch induzierte Norm beschreibt allerdings eine andere physikalische Größe, wie zum Beispiel den Paritätserwartungswert [4]. 9

14 2. PT -symmetrische Quantenmechanik 2.3. Nichtlineare Operatoren In dieser Arbeit wird ein nichtlineares Quantensystem betrachtet. Das heißt, es gibt einen Term H nl = f(ψ) im Hamiltonoperator, der vom Zustand selbst abhängt. Der Hamiltonoperator selbst ist eine Summe seiner linearen und nichtlinearen Anteile, H = H l + H nl = H l + f(ψ), (2.19) wobei der lineare Anteil weiterhin die Form H l = ˆp2 + V (ˆx) hat. Betrachtet man Gleichung (2.8) für einen solchen Operator, so kann dieser nur hermitesch sein, wenn der 2m nichtlineare Anteil die Bedingung ψ f(φ) φ = φ f(ψ) ψ (2.20) erfüllt. Weil Hermitizität also von den Hilbertraumzuständen selbst abhängt, wird die Menge der möglichen hermiteschen nichtlinearen Operatoren stark eingeschränkt. Bei Annahme von PT -Symmetrie wird mit (2.10) eine schwächere Bedingung an die Nichtlinearität gestellt: PT f(ψ) ψ = f(pt ψ)pt ψ. (2.21) Die PT -Symmetrie eines nichtlinearen Operators der Form (2.19) hängt also nur von der PT -Symmetrie seiner Zustände und des linearen Potentials ab. Ist der Zustand PT - symmetrisch, gilt außerdem PT f(ψ) ψ = f(e iφ ψ)e iφ ψ = e iφ f(e iφ ψ) ψ, (2.22) wodurch die Nichtlinearität invariant gegenüber der Phase der Wellenfunktion sein muss, um PT -Symmetrie zu garantieren. Die Eigenschaft (2.10) garantiert allerdings nur noch ein reelles Spektrum, wenn die Eigenwerte nicht entartet sind. Dies folgt aus (2.11), da diese Gleichung auch für nichtlineare Operatoren gilt. Allerdings folgt trotzdem, dass die Eigenwerte in komplex konjugierten Paaren auftreten deren Eigenzustände durch den PT -Operator in einander übergehen. Gleichung (2.11) besagt auch weiterhin, dass der Eigenwert genau dann reell ist, wenn der Zustand PT -Symmetrie hat. Interessant ist diese Eigenschaft insbesondere, wenn der nichtlineare Hamiltonoperator stetig aus dem rein linearen Operator hervorgeht. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn der Operator f(ψ) stetig von einem Parameter α abhängt und für einen bestimmten Wert des Parameters verschwindet. 10

15 3. Gross-Pitaevskii Gleichung für Bose-Einstein Kondensate Ein Bose-Einstein-Kondensat beschreibt den Grundzustand eines Quantensystems, welches nur aus Bosonen besteht. Die Aufteilung der Welt in fermionische und bosonische Materie basiert auf Symmetrieeigenschaften von ununterscheidbaren Teilchen. Die Wellenfunktion eines Systems aus Fermionen ist antisymmetrisch unter Paarvertauschung der Teilchen während bosonische Wellenfunktionen symmetrisch bei Paarvertauschung sind. Aufgrund dieser Eigenschaft folgt für Fermionen das Pauli-Prinzip, wonach verschiedene Fermionen nicht den gleichen quantenmechanischen Zustand besetzen können. Bosonen hingegen können gleiche Zustände besetzen, so dass der Grundzustand eines bosonischen Systems gleichzeitig der Grundzustand der einzelnen nicht wechselwirkenden Teilchen ist. Dadurch ist die Beschreibung des Gesamtsystems durch eine makroskopische Wellenfunktion möglich. Die theoretische Existenz dieses neuen Zustandes der Materie wurde erstmals 1924/25 von Bose [12] und Einstein [13, 14] behandelt. Gemäß der von ihnen entwickelten Verteilungsfunktion für Bosonen, der Bose-Einstein- Statistik, stellt sich der Grundzustand erst bei Temperaturen nahe des absoluten Nullpunkts ein, sobald eine kritische Temperatur unterschritten wird. Die Wellenfunktion des Grundzustandes hängt allerdings auch von der Wechselwirkung zwischen allen Atomen des Kondensats ab. Bei schwacher Wechselwirkung wird die Dynamik durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) beschrieben [15]. Eine experimentelle Realisierung von Bose-Einstein-Kondensaten erfolgte erst 1995 von Davis et al. [16] und Anderson et al. [17] Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) Grundsätzlich wird die Dynamik eines Systems mit reinen Zuständen durch die Schrödingergleichung beschrieben. Die stationäre Vielteilchen-Schrödingergleichung für ein aus N Teilchen bestehendes Quantensystem mit Zweiteilchenwechselwirkung W (ˆx i ˆx j ) lautet ( N i=1 ˆp 2 N i 2m + i=1 V (ˆx i ) N i=1 ) N W (ˆx i ˆx j ) Ψ = E Ψ. (3.1) Dabei ist V (ˆx i ) das Einteilchenpotential, m die Masse jedes Teilchens und Ψ der Gesamtzustand. Für den Grundzustand kann eine Näherung vorgenommen werden, in der j i 11

16 3. Gross-Pitaevskii Gleichung für Bose-Einstein Kondensate Ψ als Tensorprodukt aller N Einteilchenzustände Ψ = ψ 1 ψ 2 ψ N (3.2) ausgedrückt wird. Da der Grundzustand gesucht ist, sollten im Nachhinein alle Einteilchenzustände gleich sein. In Ortsdarstellung ergibt sich somit: x Ψ = N ψ(x i ). (3.3) i=1 Die Energie des Grundzustandes wird durch einen Mean-Field-Ansatz angenähert, bei dem die Wellenfunktion eines Einteilchenzustandes durch die gemittelte Wellenfunktion aller anderen Einteilchenzustände beeinflusst wird. Dazu wird eine Variation der Wellenfunktionen durchgeführt, so dass sich die Mean-Field-Energie E mf durch Minimierung des Funktionals E = Ψ H Ψ (3.4) Ψ Ψ ergibt. Die Berechnung dieser Gleichung erfolgt in Ortsdarstellung für die einzelnen Terme des Hamiltonoperators aus (3.1) H = ( N i=1 ˆp 2 N i 2m + i=1 V (ˆx i ) N i=1 ) N W (ˆx i ˆx j ) = H T + H V + H W. (3.5) j i Mit normierten Zuständen Ψ Ψ = 1 ergeben sich die einzelnen Terme des Gesamtfunktionals zu E T = Ψ H T Ψ = N i=1 ) d 3 x ψ (x i ) ( 2 2m i ψ(x i ) d 3 xψ (x) ψ(x) (3.6) = N 2 2m E V = Ψ H V Ψ = N d 3 xψ (x)v (x)ψ(x) (3.7) E W = Ψ H W Ψ = N i=1 N j i = N(N 1) 1 2 d 3 x i d 3 x d 3 x j ψ (x i )ψ (x j ) 1 2 W ( x i x j )ψ(x i )ψ(x j ) d 3 x ψ (x)ψ (x )W (x x )ψ(x)ψ(x ). (3.8) Die Variation des Funktionals (3.4) lässt es zu, die Bra- und Ket-Zustände als unabhängig voneinander zu betrachten. Ein hermitescher Hamiltonoperator führt bei einem nichtentarteten Eigenwert zwangweise auf die Gleichheit der beiden Zustände. Es reicht 12

17 3.1. Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) also aus, nur nach der Wellenfunktion ψ zu variieren. Aufgrund der Normierung der Zustände wird die Variation unter der Nebenbedingung ( N Ψ Ψ = d 3 x ψ (x)ψ(x)) = 1 (3.9) durchgeführt. Mit der Optimierungsmethode der Lagrange-Multiplikatoren kann die Nebenbedingung über einen Lagrange-Parameter µ in der Form E µ = µ ( Ψ Ψ 1) = 0 (3.10) in das Funktional eingeführt werden. Der Term mit dem Lagrange-Parameter wird in negativer Form eingeführt, so dass das Funktional dann E = E T + E V + E W E µ (3.11) lautet. Die Variation δe ist eine lineare Operation, wodurch die einzelnen Terme für sich variiert werden können. Wenn nach δψ variiert wird, führt dies auf die Ausdrücke δe T = 2 2m N d 3 x δψ (x) { ψ(x)}, (3.12) δe V = N d 3 x δψ (x) {V (x)ψ(x)}, (3.13) { } δe W = N(N 1) d 3 x δψ (x) d 3 x ψ (x )W (x x )ψ(x)ψ(x ), (3.14) { ( ) } N 1 δe µ = µn d 3 x δψ (x) ψ(x) d 3 x ψ x ψx (3.9) = µn d 3 x δψ (x) {ψ(x)}. (3.15) Das Funktional nimmt ein Minimum an wenn es gemäß δe = 0 stationär wird. Dies muss für jedes δψ erfüllt werden, so dass sich mit (3.11) bis (3.15) die Gleichung ) N ( 2 + V (x) + (N 1) d 3 x ψ (x )W (x x )ψ(x ) µ ψ(x) = 0 (3.16) 2m ergibt. Für große Teilchenzahlen kann weiterhin N 1 N vereinfacht werden. Die Gross-Pitaevskii-Gleichung mit einem allgemeinen Wechselwirkungspotential ergibt sich, wenn die letzte Gleichung durch N dividiert wird: ) ( 2 2m + V (x) + N d 3 x ψ (x )W (x x )ψ(x ) ψ(x) = µ ψ(x). (3.17) Thermodynamisch betrachtet entspricht diese Herleitung der Minimierung der Freien Energie F = E µn mit dem chemischen Potential µ. Damit kann der Lagrange- Parameter µ mit dem chemischen Potential identifiziert werden. 13

18 3. Gross-Pitaevskii Gleichung für Bose-Einstein Kondensate 3.2. GPE mit schwacher Wechselwirkung Bei vielen Arten von bosonischen Systemen besteht nur eine schwache Wechselwirkung der Teilchen untereinander. In dieser Arbeit werden sich die Untersuchungen auf ein solches System mit schwacher Wechselwirkung beschränken. Es handelt sich bei dieser Wechselwirkung um eine kurzreichweitige Van-der-Waals-Wechselwirkung, die auch oft als Kontaktwechselwirkung bezeichnet wird. Das Zwei-Teilchen-Potential W kann mit dieser Wechselwirkung durch ein Lennard-Jones-Potential W (r) = C n r n C r 6 (3.18) beschrieben werden, wobei r den Abstand zwischen den Teilchen bezeichnet und n > 6 sein muss. Die GPE kann letztendlich mit einem einfacheren Potential auskommen. Hierzu wird die Streutheorie zu Rate gezogen, da Kondensate mit relativ geringer Teilchenzahldichte betrachtet werden, in denen sich schwach wechselwirkende Teilchen wie bei einem Streuexperiment verhalten. Wenn das Problem bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt behandelt wird, reduziert sich der Großteil der Wechselwirkung zwischen den Atomen auf eine s-wellen-streuung. Die gesamte Wechselwirkung kann dann durch die Streuwellenlänge a dieses Orbitals beschrieben werden. Um das Lennard-Jones- Potential zu modellieren, muss das Streupotential lediglich eine Streuung beschreiben, welche die gleiche Streulänge wie bei einem Lennard-Jones-Potential annimmt. Dadurch reicht es aus, ein Pseudopotential [15] W (x x ) = 2π 2 a M δ(x x ) (3.19) mit der reduzierten Masse M zweier Teilchen zu untersuchen. Im Kondensat sollen nur Teilchen von gleicher Masse m sein, weshalb die reduzierte Masse zu M = m/2 wird. Negative Streulängen a beschreiben eine attraktive Wechselwirkung, während positive Streulängen eine abstoßende Wechselwirkung zur Folge haben. Wird das Pseudopotential in die GPE (3.17) eingesetzt, ergibt sich die Gross-Pitaevskii-Gleichung mit schwacher Wechselwirkung zu ( 2 2m + V (x) + a ) 4π 2 m N ψ(x) 2 ψ(x) = µ ψ(x). (3.20) 3.3. Gross-Pitaevskii-Gleichung in dimensionslosen Koordinaten Die numerische Lösung von Differentialgleichungen erfordert die Wahl einer geeigneten Größenordnung der vorkommenden Zahlen. Wird eine ungeeignete Skala verwendet, kann die Lösung an numerischen Instabilitäten scheitern. Eine dimensionslose Formulierung 14

19 3.4. Bisherige Ergebnisse für eine GPE mit PT -symmetrischem Doppelmuldenpotential der GPE überführt die Gleichung in eine allgemeine Form, die für den Vergleich mit konkreten physikalischen Größen beliebig skaliert werden kann. Als ersten Schritt einer solchen Formulierung wird eine charakteristische Längenskala a 0 eingeführt. Dadurch wird der Ortsvektor durch x = x/a 0 ersetzt. Diese Veränderung wirkt sich in der GPE sowohl auf die Wellenfunktion ψ als auch auf den Laplace-Operator aus. Weil die Normierung erhalten bleiben muss, verändert sich die Wellenfunktion durch die Forderung d 3 x ψ( x) 2 = d 3 x ψ(x) 2 ψ( x) = a ψ(x). (3.21) Dies wirkt sich wie folgt auf die GPE aus: ( 2 + V (a 0 x) + 4π 2 a ) 2ma 2 0 a 3 0m N 2 ψ( x) a ψ( x) = µ a 2 ψ( x). 0 (3.22) Nun muss nur noch die Energieskala E 0 = 2 gewählt werden. Dadurch werden gleichzeitig das chemische Potential µ und das Einteilchenpotential V 2ma 2 0 verändert: µ = µ E 0, Ṽ ( x) = V (a 0 x) E 0. (3.23) Die GPE verändert sich mit diesen Ersetzungen zu ( + Ṽ ( x) + 8π a N a ψ( x) 2) E 0 a ψ( x) = µ E0 a ψ( x). (3.24) 0 Wird nun noch durch E 0 a 3/2 0 geteilt und der dimensionslose Nichtlinearitätsparameter g = 8π a a 0 N (3.25) eingeführt, ergibt sich die GPE in der Form, wie sie von nun an für den Rest dieser Arbeit verwendet wird. Zustätzlich werden die Tilden für eine bessere Darstellung weggelassen: ( + V (x) + g ψ(x) 2 ) ψ(x) = µ ψ(x). (3.26) 3.4. Bisherige Ergebnisse für eine GPE mit PT -symmetrischem Doppelmuldenpotential In dieser Arbeit wird die GPE mit einem PT -symmetrischen Doppel-δ-Potential V (γ, x) = ((1 iγ)δ(x + b) + (1 + iγ)δ(x b)) (3.27) untersucht. Der positive Imaginärteil bei x = b beschreibt eine Teilchenquelle und der negative Imaginärteil bei x = +b eine Teilchensenke. Wie im Kapitel über die 15

20 3. Gross-Pitaevskii Gleichung für Bose-Einstein Kondensate Re(κ) γ 1 γ γ Im(κ) PT-symmetrisch PT-gebrochen γ 1 γ γ Abbildung 3.1.: Spektrum der GPE mit Doppel-δ-Potential und einem Nichtlinearitätsparameter g = 1.0 in Abhängigkeit des Nichthermitizitätsparameters γ. Die Parameter γ i der kritischen Punkte werden bei größeren Nichtlinearitätsparametern kleiner. Ein funktionaler Zusammenhang γ i (g) wurde in [6] berechnet. Zwischen den beiden kritischen Punkten verdoppelt sich die Anzahl der Lösungen. PT -symmetrische Quantenmechanik gesagt wurde, beschreibt ein solches Potential ein offenes Quantensystem, das an die Quellen und Senken gekoppelt ist. Das Potential beschreibt allerdings keine Realisierung der Kopplung, sondern nur den Effekt von Quellen und Senken in diesem System. Werden die Kopplungspotentiale explizit in den Hamiltonoperator gebracht, wird dieser wieder hermitesch. Das kann zum Beispiel durch weitere Potentialmulden erreicht werden, mit denen die Teilchen durch einen Tunnelprozess auskoppeln und wieder einkoppeln können [6, 18]. Das Spektrum der dimensionslosen GPE mit Doppel-δ-Potential in Abhängigkeit des Nichthermitizitätsparameters γ ist für den Nichtlinearitätsparameter g = 1.0 in Abbildung 3.1 dargestellt. Das chemische Potential wurde hier durch µ = κ 2 ersetzt, so dass der Zustand mit größeren Werten von κ der Grundzustand ist. Der Abstand 2b zwischen den beiden δ-potentialen muss größer als ein bestimmter Wert sein, um neben dem Grundzustand auch einen angeregten Zustand vorzufinden. Das charakteristische Merkmal dieses Spektrums ist die Existenz von Punkten, an denen mehrere Lösungen gleich werden. Diese Punkte an den Werten γ 1,2 des Nichthermitizitätsparameters werden kritische Punkte genannt. Der Punkt bei γ 1 wird als erster kritischer Punkt und der Punkt bei γ 2 als zweiter kritischer Punkt bezeichnet. Man erkennt, dass ein Teil des Spektrums mit rein reellen Eigenwerten κ existiert. Diese Lösungen besitzen PT - symmetrische Zustände. Ab dem ersten kritischen Punkt kommen auch Lösungen mit komplexen Eigenwerten und PT -gebrochenen Zuständen auf. Die komplexen Eigenwerte treten in zueinander komplex konjugierten Paaren auf. Dieser Umstand folgt notwendi- 16