Elektrische Leitfähigkeit für zufällige Schrödinger-Operatoren

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1 Elektrische Leitfähigkeit für zufällige Schrödinger-Operatoren Peter Müller LMU München

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Zufällige Schrödinger-Operatoren 3 2 Physikalische Heuristik zur elektrischen Leitfähigkeit 9 3 Nicht-kommutative L p -Räume ergodischer Operatoren 13 4 Lineare Antworttheorie in L p (K) 19 1

4 2 INHALTSVERZEICHNIS

5 KAPITEL 1 Zufällige Schrödinger-Operatoren Literatur: W.Kirsch, Random Schrödinger operators: A course in Lecture Notes in Physics, vol. 345, Springer 1989 L.Pastor, A.Figotin, Spectra of random and almost-periodic operators, Springer 1992 R.Carmona, J.Lacroix, Spectral theory of random Schrödinger operators, Birkhäuser 1990 P.Stollmann, Caught by disorder: Bounded states in random media, Birkhäuser 2001 W.Kirsch, An invitation to random Schrödinger operators, arxiv: Ziel: Elektrische Eigenschaften ungeordneter Materialien, z.b. Legierungen, dotierte Halbleiter Abbildung 1.1: irregulärer atomarer Festkörper 3

6 4 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN Modellbildung: Keine Wechselwirkung zwischen den Elektronen 1- Elektronen Hamilton-Operator: kinetische Energie + potetielle Energie } {{ } zufälliges Potential Dies ist das einfachste Modell (Anderson, 1958). 1.1 Definition Sei P 0 ein bezüglich des Lebesgue-Maßes absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf R mit dp 0 L (R) und kompaktem Träger. sei dν Ω := R Zd, d N, P := Z dp 0. Für ω = (ω x ) x Z d Ω und λ > 0 sei H ω := +λv ω auf l 2 (Z d ) ( ψ)(x) := y Zd x y =1 ψ(y) ψ l 2 (Z d ) (V ω ψ)(x) := ω x ψ(x) x Z d. Dies ist der sogenannte Hamilton-Operator des Anderson-Modells. 1.2 Bemerkung (i) (ω x ) x Z d kanonisch realisierte i.i.d. Zufallsvariablen (ii) = ( ) beschränkter selbstadjungierter Operator auf l 2 (Z d ). spec( ) = spec ac ( ) = [ 2d,2d] V ω beschränkter selbstadjungierter Multiplikationsoperatorinl 2 (Z d )für P-fast alle ω Ω, da suppp 0 kompakt ist. (iii) Wir haben drei Modellparameter: λ, d und dp 0 dν (a) H : ω H ω ist eine operatorwertige Zufallsvariable 1.3 Definition (und Lemma) H ergodisch (bezüglich Z d -Translationen) Für y Z d sei τ y : Ω Ω, ω τ y ω = (ω x+y ) x und U y : l 2 (Z d ) l 2 (Z d ), ψ u y ψ := ψ( y) (unitärer Verschiebungsoperator). Dann gilt (Beweis: Übung!) H τyω = U y Hω U y y Z d ω Ω. 1.4 Bemerkung (τ y ) y Z d ist Gruppe ergodischer Schifts auf Ω, das heißt gilt für eine Zufallsvariable X auf Ω X τ y = X y Z d, so folgt X = const. P-fast sicher.

7 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN Satz (Nicht-Zufälligkeit des Spektrums) Es existiert S x R kompakt, sodass spec x (H ω ) = S für P-fast alle ω Ω. Hierbei ist x {ac,sc,pp}. Nebenbedingung: spec pp (A) := {Eigenwerte von A}. [ Pastor 1980, Kunz/Souillard 1980, Kirsch/Martinelli 1982] Beweis: (Grundidee) Für alle E 1 < E 2 R ist X E1,E 2 τ y = X E1,E 2 für alle y Z d, wobei ω X ω E 1,E 2 := tr χ [E1,E 2 ](H ω ) messbarer Spektralprojektor. 1.6 Satz (Lage des Spektrums) Wir haben S = [ 2d,2d] +λ supp(p } {{ } 0 ) = spec( ) {E 0 +λν : E } {{ } 0 spec( ), ν supp(p 0 )}, wobei supp(p 0 ) = [v,v + ], v < E 0 < v +. Erwartung: λ Isolator = lokal Leiter = delokal 2d 2d E Abbildung 1.2: 1.7 Definition (Bereich (vollständiger/anderson-)lokalisierung) E loc := {E S : δ,c > 0 sodass x,y Z d E( sup δ x,f(h) χ [E δ,e+δ] (H) δ y 2 ) ce x y }, f L (R): f 1 wobei, das kanonische Skalarprodukt und δ einen kanonischen Basisvektor in l 2 (Z d ) bezeichne.

8 6 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN 1.8 Bemerkung (i) Sei E E loc, I := [E δ,e+δ], f = e it, t 0, im Supremum erlaubt, ψ t := e ith χ I (H)δ 0 } {{ } ψ 0 E[sup δ x,ψ t 2 ] ce x t 0 } {{ } ψ t(x) ψ t (x) 2 q.m.w., dass dass ein Teilchen mit Anfangszustand ψ 0 (Energie I, ψ 0 (x) 2 ce x aus f 1) zur Zeit t bei x gefunden wird (dynamische Lokalisierung). (ii) Die Betonung in Definition 1.7 liegt auf f nicht glatt! Denn für alle f C (R) gilt: Für alle k N existiert c k > 0, sodass für alle x,y Z d δ x,f(h ω δ y ) c k 1+ x y k gleichmäßig in ω. [Deterministisches Ergebnis via Combes-Thomas- Abschätzung und Helffer-Sjøstrand-Formel; siehe Germinet/Klein, Proc. Amer. Math. Soc. 131, (2002)] (iii) Für µ R, T 0, E R sei χ ],µ] (E),falls T = 0 E fµ T (E) = (e (E µ)/t +1) 1,falls T 0 die Fermi-Funktion. T = µ T > 0 Abbildung 1.3: Sei T > 0 oder µ E loc. Dann folgt nach (ii): Für alle k N existiert ein c k > 0, sodass für alle x,y Z d E[ δ x,f T µ (H)δ y 2 ] c k 1+ x y k

9 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN 7 gilt. T > 0 klar; T = 0 und µ E loc ist eine Übung! Es gilt sogar exponentieller Abfall in x y für T = 0 und µ E loc [Aizenmann/Graf, J.Phys. A 32, (1998)]. 1.9 Satz (Dynamische Lokalisierung Spektrale Lokalisierung) S ac E loc = = S sc E loc ( S E loc = S pp E loc ) und für jede Eigenfunktion ψ ω E l2 (Z d ) von H ω mit Eigenwert E ω E loc gilt: lim sup x ln ψ ω E (x) x < 0 (exponentieller Abfall der Eigenfunktionen). Beweis: Verallgemeinerte Eigenfunktionen + RAGE-Theorem [siehe Kirsch 2007] 1.10 Satz (Anderson-Lokalisierung) d = 1: Für alle λ > 0 ist E loc = S d 1: (i) starke Unordnung: Es existiert ein λ 0 > 0, sodass für alle λ λ 0 : E loc = S. (ii) extreme Energien: (= nahe Bandkanten) Für alle λ > 0 existiert ein ε λ > 0 : E loc [inf(s),inf(s)+ε λ [ ]sup(s) ε λ,sup(s)]. [ Fröhlich/Spencer 1983, Aizenmann/Molchanov 1993, Germinet/Klein 2001, 2004] 1.11 Bemerkung für f.a.ω (i) E loc offen in S (nach Definition) = es existieren unendlich viele dicht liegende Eigenwerte {Ej ω } j N in E loc (beachte: {Ej ω } j N variieren in ω, während E loc unabhängig von ω). (ii) Vermutung für d 3: spektrale Delokalisierung: λ ]0,λ 0 [ und Intervall I S, sodass λ [0, λ] : S pp I = = S cc I ( S I = S ac I). (Bewiesen auf Bethe-Gitter statt Z d : Klein, 1996, Aizenmann/Warzel, Froese/Hasler/Spitze).

10 8 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN dynamische Delokalisierung auch nicht bekannt: Zum Beispiel Diffusion: ψ 0 l 2 (Z d ) und D > 0, sodass E[ x Z d x 2 (e ith ψ 0 )(x) 2 ] t Dt. Im Folgenden: Direkte physikalische Observable zur Charakterisierung als Leiter/Isolator.

11 KAPITEL 2 Physikalische Heuristik zur elektrischen Leitfähigkeit Elektrische Leitfähigkeit: Quantifizierung der Fähigkeit eines Materials auf ein angelegtes elektrisches Feld mit einem elektrischen Strom zu reagieren. Räumlich konstantes, zeitabhängiges Feld: Abbildung 2.1: Energie: H E (t) := H +E(t) X, H hier gemäß Anderson, Operator: (X α ψ)(x) := x α ψ(x), α = 1,...,d. elektrische Stromdichte für nicht wechselwirkende, identische Elektronen: Q.m. Erwartungswert des Geschwindigkeitsoperators eines elektrons mit Fermi-Funktion J(tE) α := τ(w E (t)ẋα) (2.1) mit - Spur pro Volumen τ := E[ δ 0,( )δ 0 ] 9

12 10 2. PHYSIKALISCHE HEURISTIK ZUR ELEKTRISCHEN LEITFÄHIGKEIT - Geschwindigkeitsoperator Ẋ (nicht zufällig!) Ẋ α := i[h(t),x α ] = i[,x α ]. (Übung: (Ẋαψ)(x) = iψ(x+e α ) iψ(x e α )) - Zeitentwickelter Zustand im E-Feld aus thermodynamischem Gleichgewicht (Temperatur T 0, chemische Potential µ R) zur Zeit t = : w E (t) (zufällig!) löst das Anfangswertproblem der Liouville-von Neumann-Gleichung d dt wω E (t) = i[hω E (t),wω E ] lim t w ω E (t) = ft µ (Hω ) - in geeignetem nicht-kommutativen L p -Raum von Operatoren: Siehe nächstes Kapitel. - chemisches Potential µ codiert die Elektronendichte (Jargon für T = 0: µ = Fermi-Energie) Da (2.1) nicht berechenbar für beliebige E(t) ist (viel zu kompliziert!), beschäftigen wir uns mit der Linearen Antworttheorie: falls J(t, E) Taylorentwickelbar in E bis zur Ordnung 2 ist, so ist die erwartete Form: J(t,E) α = d β=1 t keine E 0 -Terme, da E = 0 J = 0 dt ˇσ αβ (t t )E β (t ) +O(E 2 ). } {{ } J lin (t,e) α Lineare Antwortfunktionen t ˇσ αβ (t) R - Maß wiestarkeine-felde β (t )indervergangenheit (t t Kausalität!) Stromdichte J(t,E) α in der Gegenwart beeinflusst. - wird ausschließlich durch H (hier: Anderson) bestimmt Falls E(t) = R dν eiνt σ αβ (ν)êβ(ν) [E reel Ê(ν) = Ê( ν)] J lin(t,e) α = d β=1 R dν eiνt σ αβ (ν)êβ(ν) Stromdichte in linearer Antwort. Komplexe frequenzabhängige Leitfähigkeit (Matrix mit Einträgen) ν σ αβ (ν) := 0 dt e iνt ˇσ αβ (t), ν R. } {{ } R

13 2. PHYSIKALISCHE HEURISTIK ZUR ELEKTRISCHEN LEITFÄHIGKEIT 11 In-/außerphasiger Anteil ν Re(σ αβ (ν)),gerade in ν i Im(σ αβ (ν)),ungerade in ν Zerlegung J lin (t,e) α = J in lin (t,e) α } {{ } Anteil von Re + Jlin ant (t,e) α. } {{ } Anteil von i Im in- beziehungsweise außerphasiger Anteil des linearen Antwortstroms. Interpretation: E(t) = E 0 cos(ν 0 t) (bzw. sin(ν 0 t)). Ziele: J in lin cos(ν 0 t) (bzw. sin(ν 0 t)) J ant lin sin(ν 0t) (bzw. cos(ν 0 t)) Mathematische Rechtfertigung des obigen Vorgehens Dichte σ αβ durch Spektraleigenschaften von H aus Kubo-Formel Für T = 0 und µ E loc : σ αβ (0) } {{ } = 0 α,β = 1,...,d Gleichstromleitfähigkeit

14 12 2. PHYSIKALISCHE HEURISTIK ZUR ELEKTRISCHEN LEITFÄHIGKEIT

15 KAPITEL 3 Nicht-kommutative L p -Räume ergodischer Operatoren Wir betrachten den Hilbert-Raum H = l 2 (Z d ) und die messbare Abbildung A : Ω BL(H), ω A ω, wobei BL(H) die Menge der beschränkten linearen Operatoren auf H bezeichne. Darüberhinaus ist ω ϕ,a ω ψ messbar für alle ϕ,ψ H.Essei(τ x ) x Z d einegruppeergodischer TransformationenaufΩ.Wir benötigen eine Referenz-Algebra und eine halbendliche, normale, treue Spur. 3.1 Definition (Referenz-Algebra) K := {A : Ω BL(H) messbar, ergodisch, A < }, mit A := P-essup ω Ω A Op. Analog zu 1.3 ist A τxω = U xa ω U x mit U x unitäre (projektive) Darstellung von Z d auf H. 3.2 Lemma K ist von Neumann-Algebra, das heißt -invariante, schwach abgeschlossene Unteralgebra von BL(H Ω ), wobei H Ω := Ω P (dω) H := {Ψ = (ψ ω ) ω Ω : ψ ω H für P-fast alle ω Ω, ω ψ ω messbar, Ψ,Ψ Ω < }. Φ,Ψ Ω := Ω P(dω) ϕω,ψ ω sei das zugehörige Skalarprodukt. Beweis: (Skizze) Ziel: Benutze von Neumanns Bikommutantensatz: K von Neumann-Algebra in BL(H) K = K. Hierbei bezeichnet K := {A BL(H Ω ) : [A,A] = 0 a K} die Kommutante und K := (K ) K die Bikommutante. Wir müssen zeigen, dass K K gültig ist. klar: K BL(H Ω ) [ω (AΨ) ω := A ω ψ ω messbar (zerlegbarer Operator: Diagonal in ω)] Charaktersisierung: 13

16 14 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN 3.3 Satz A BL(H Ω ) zerlegbar A M, wobei M := {M f BL(H Ω ) : f L (Ω,P)} und (M f Ψ) ω := f(ω)ψ ω [Beweis: Dixmier, Cor., p.188] A ergodisch U x A ω = A τ xω U x x Z d. Definiere Ûx BL(H Ω ) via (ÛxΨ) ω := U x ψ τ xω, also A ergodisch S U, wobei U := {Ûx : x Z d } K = M U K M U M U K K M M und K K U U, d.h K M U = K 3.4 Definition (und Lemma; Spur auf K) Sei τ : K C, A dp(ω) δ 0,A ω δ 0 =: τ(a). Dann gilt (i) τ(a) A A K, also τ K (ii) τ(a A) = τ(aa ) A K (iii) Treu: 0 A 0 τ(a) > 0 Ω (iv) Normal: Für alle beschränkten, wachsenden Netzte (A i ) i I τ(sup i I A i ) = sup i I τ(a i ). Es sei erwähnt, dass aus (i) und (ii) die Endlichkeit folgt. gilt Beweis: (i) klar! (ii) τ(a A) Parseval = τ x maßerh. = x Z d x Z d Ω Ω = τ(aa ) dp(ω) δ 0,A ω δ x δ x,a ω δ 0 dp(ω) δ 0,A ω δ x δ x,a ω δ 0

17 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN 15 (iii) Sei A 0 und 0 = τ(a) = Ω dp(ω) δ 0,A ω δ 0 } {{ } 0 0 = δ 0,A ω δ 0 für P-fast alle ω Ω x Z d δ x,a ω δ x = δ 0,Ux Aω U } {{ x δ } 0 A τxω x,y Z d δ x,a ω δ y A 0 = Cauchy-Schwarz (A ω ) δx } {{ } δ x,a ω δ y =0 = 0 ω Ω x, P(Ω x ) = 1 (A ω ) 1 2 δx,(a ω ) 1 2 δy (A ω ) δy Sei Ω := x Z d Ω x, so folgt P( Ω) = 1 und für alle ω Ω δ x,a ω δ y = 0 x,y Z d A ω = 0. (iv) Folgt aus sup i I ϕ 0,A ω i ϕ 0 = ϕ 0,sup i I A ω i ϕ 0 für P-fast alle ω. 3.5 Definition ( Nicht-kommutative L p -Räume) Für p [1, [ ist A p := τ( A p ) 1 p Norm auf K (τ treu, A := (A A) 1 2). Setze für p [1, ] 3.6 Bemerkung L p (K) := K. (i) Definition 3.5 benutzt die Endlichkeit von τ. Falls τ nur halbendlich ist, führe eine Vervollständigung bezüglich der τ-maß-topologie ein (generelles Vorgehen!). (ii) L p (K) enthält unbeschränkte Operatoren für p <. 3.7 Satz (i) L p (K)isteinBanach-Raumfürallep [1, ],insbesondereistl (K) = K. (ii) L 2 (K) ist ein Hilbert-Raum bezüglich A,B := τ(a B). (iii) Für alle p [1, ]; 1 p + 1 q = 1 und A Lp (K), B L q (K) gilt: AB,BA L 1 (K), τ(ab) = τ(ba)und τ(ab) A p B q (Hölder)

18 16 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN (iv) L (K) L p (K) L p (K) L 1 (K) für alle p > p ]1, [. Moral: Wie komm. L p -Räume mit endlichem Maß! 3.8 Definition Sei K B := {A K : R > 0, sodass δ x,aδ y = 0, falls x y > R} -Unteralbegra der endlichen Bandoperatoren. Für α {1,...,d} ist α : A i[x α,a] =: α A wohldefiniert als Abbildung von K B in sich selbst (Übung). Setze := ( 1,..., d ) 3.9 Bemerkung X α ist nicht ergodisch!!! δ x, α Aδ y = (x y) δ x,aδ y 3.10 Lemma ( Nicht-Kommutativer Sobolev-Raum) Für alle p [1, ] gilt: (i) W 1,p (K) := {A L p (K) : α A L p (K), α = 1,...,d} liegt dicht in L p (K) und ist -Derivation auf W 1,p (K). (ii) τ( A) = 0 für alle A W 1,1 (K) Beweis: (Grundidee) (i) K B liegt dicht in K bezüglich (siehe Dombrowski), K p = L p (K) K p B = L p (K) und K B W 1,p (K). -Derivation: α A = ( α A), α linear und α (AB) Rechnen = ( α A)B +A( α B) für alle A,B W 1,p (K) mit AB,( α A)B,A( α B) L p (K) (ii) klar, da X αδ0 = Bemerkung Gemäß Bemerkung 1.8(iii) ist f T µ (H) W1,p (K) p [1, [, falls T > 0 und µ E loc Definition Sei H L (K) und p [1, ]. Wir definieren den Liouville-Operator L : L p (K) L p (K), A i[h,a].

19 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN Bemerkung (i) cl BL(L p (K)) mit L 2 H (ii) Für p = 2 ist L = L auf L 2 (K) (Übung) (iii) Für alle A L p (K) und für alle B L q (K) mit = 1 gilt p q τ((la)b) = τ(a(lb)) (Übung)

20 18 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN

21 KAPITEL 4 Lineare Antworttheorie in L p (K) Grundvoraussetzungen: H wie in Definition 1.1 Ê (C c(r)) d, Ê( ν) = Ê(ν), E(t) := R dν eiνt Ê(ν) Für η > 0 sei F η (t) := t ds eηs E(s) adiabatische Einschalten } {{ } E η(s) Ungleichung: Da H Eη (t) = H +E η (t)x nicht beschränkt, verwende H η (t), ( H ω η(t)ψ)(x) := y Zd x y =1 für alle ψ l 2 (Z d ) und für alle x Z d. physikalisch gleichwertig: e ifη(t)(y x) ψ(y)+ω x ψ(x) i t ψ t = H ω E η (t)ψ t i t ψ t = H ω E η (t) psi t ( ) mit psi t := e ifη(t)x ψ t. H η (t) L (K) für alle t. 4.1 Satz (Yosida; Propagator für Schrödinger-Gleichung) Für P-fast alle ω Ω und für alle t,s R existiert ein U ω (t,s) BL(l 2 (Z d )) unitär, sodass U ω (t,r)u ω (r,s) = U Ω (t,s,),u ω (t,t) = 1,U ω (t,s) = (U ω (s,t)) i t Uω (t,s)ϕ = H ω η (t)uω (t,s)ϕ (also:( )) i s Uω (t,s)ϕ = U ω (t,s) H ω η (s)ϕ (t,s) U ω (t,s) stark stetig Beweis: Satz XIV.3.1 in Yosida, Func. Analysis, Bemerkung Spezialfall E(T) = 0 (also H η (t) = H): mit U (ω) 0 (t) := e ithω. U (ω) (t,s) = U (ω) 0 (t s) 19

22 20 4. LINEARE ANTWORTTHEORIE IN L P (K) 4.3 Definition (und Lemma) Für alle p [1, ], für alle A L p (K) und für alle t,s R sei Es gilt: U(t,s) BL(L p (K)) (Messbarkeit). U(t,s)A : ω U ω (t,s)a ω U ω (s,t). U(t,s) ist eine Isometrie, für p = 2 unitär. (t,s) U(t,s) stark stetig. i t U(t,s)A = [ H η (t),u(t,s)a]. i s U(t,s)A = U(t,s)([ H η (t),a]). Aus den letzten beiden Punkten folgt U(t,s) und U(t,s) liegen in t s BL(L p (K)). Analoges gilt für U 0 (t) := e itα 4.4 Satz Sei p [1, [, T > 0 oder µ E loc. Das Anfangswertproblem i t w E η (t) = [ H η (t),w Eη (t)] lim t w Eη (t) = f T µ(h) hat eine eindeutige Lösung t w(t) L p (K), wobei w Eη (t) = lim U(t,s)w 0 s = f T µ( H η (t)) t ds e ηs U(t,s)(E(s) f T µ( H η (s))). Beweis: Satz 4.1, Definition und Lemma 4.3. Explizizte form der Lösung durch Differenzieren bestätigen. Benutze H ω η (t) = eifη(t) X H ω e ifη(t) X f T µ ( H ω η (t)) = eifη(t) X f T µ (Hω )e ifη(t) X in l 2 (Z d ) f T µ ( H η (t)) = e Fη(t) (f T µ (H)) in Lp (K). 4.5 Satz Sei T > 0 oder µ E loc. Dann ist R γ J(t,γE η ) := τ(w γeη (t) H η (t))

23 4. LINEARE ANTWORTTHEORIE IN L P (K) 21 differenzierbar in γ = 0 und für alle α {1,...,d} J lin (t,e η ) α := γ γ=0 J(t,γE η ) α d ( t = τ ds e ηs E β (s) ( ) e i(t s)l β fµ T (H)) α H β=1 d = e ηt dν e iνt Ê β (ν)σ αβ (ν,η) β=1 R mit σ µ,t αβ (ν,η) := τ ( t ds ( e i(t s)(l+ν iη) β fµ(h) ) ) T α H = iτ((l+ν iη) 1 β f T µ (H)) αh adiabatisch regularisierte Leitfähigkeit. 4.6 Definition Sei T > 0 oder µ E loc, sei B R Borel. Σ µ,t αβ (B) := π α H,χ B (L) β f T µ (H) Leitfähigkeitsmaß (gerades, positives Maß!). Damit σ µ,t αβ (ν,η) = i Σ µ,t αβ π (dλ) 1 λ+ν iη. R 4.7 Satz J in lin (t,e) α := lim ηց0 = d β=1 d β=1 R R ( ) dν e iνt Ê(ν) Re σ µ,t αβ (ν,η) Σ µ,t αβ (dν) eiνt Ê(ν). Beweis: ( ) Re σ µ,t αβ (ν,η) = Σ µ,t αβ (dλ) η/π R (λ+ν) 2 +η Bemerkung (i) Ob Σ µ,t αβ absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist, ist ein offenes ( ) σ µ,t αβ (ν) = Σµ,T αβ (dν). dν Problem. Sollte dies gelten, so wäre Re

24 22 4. LINEARE ANTWORTTHEORIE IN L P (K) (ii) Definition 4.6 ist die Kubo-Formel für das Leitfähigkeitsmaß. 4.9 Satz(Gleichstromleitfähigkeit) Es sei µ E loc, so gilt lim ηց0 σµ,0 αβ (0,η) = iτ { fµ(h) [ 0 α fµ(h), 0 β fµ(h) ]} 0 = 0.