Experimentalphysik IV

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1 Experimentalphysik IV Bernd von Issendorff 3. Juli Atomphysik 1.1 Bemerkungen zur Quantenmechanik Postulat: Materie hat Welleneigenschaften. Der Zustand eines Systems wird durch eine komplexwertige Wellenfunktion Ψ beschrieben: Ψ = Ψ( t }{{} Zeit, r 1, r 2, r 3,... ) } {{ } Systemvariablen Für ein einzelnes Teilchen (ohne Spin) ist die Wellenfunktion in Ortsdarstellung: Ψ = Ψ( }{{} r, t Ort }{{} Zeit Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort r anzutreffen: P r = Ψ( r, t) 2 = Ψ ( r, t) Ψ( r, t) (genauer: Ψ( r, t) 2 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte). Daher sollte Ψ quadratintegrabel sein: ˆ Ψ( r, t) 2 d r = 1 (V : gesamter Raum) V Die Wellenfunktion enthält nicht nur Informationen über die räumliche Verteilung, sondern auch über andere physikalische Eigenschaften. Extraktion der Informationen erfolgt über Operatoren. Einer physikalischen Größe O (Observable) ist ein hermitescher Operator Ô zugeordnet. Zu jedem dieser Operatoren gibt es Wellenfunktionen, für die gilt: ÔΨ = αψ Diese Wellenfunktionen heißen Eigenfunktionen des Operators, der reelle Wert α heißt Eigenwert (für hermitesche Operatoren sind die Eigenwerte immer reell!). Die Eigenwerte geben den Wert der physikalischen Größe im System an. Beispiele: Impulsoperator ˆpΨ = pψ Ortsoperator ˆpΨ = pψ gilt ebenso für Ortsfunktionen f(ˆx)ψ(x, t) = f(x)ψ(x, t) Die Operatoren lassen sich als mathematische Operatoren in den Variablen der Wellenfunktion ausdrücken. Beispiel: Impulsoperator für ein einzelnes Teilchen ) 1D: ˆpΨ(x, t) = i Ψ(x, t) x 3D: ˆ pψ( r, t) = Ψ( r, i t) = i / x / y / z Ψ( r, t) 1

2 Beispiel: einfachste Wellenfunktion für einzelnes Teilchen Ebene Welle Ψ( r) = e i k r = e i(kxx+kyy+kzz) mit Wellenvektor k, k = k = 2π λ Impulsoperator: ˆ pψ = i Ψ( r) = i i Der Eigenwert gibt den Impuls des Teilchens an: Hierfür gilt k x k y k z p = k e i k r = }{{} k Ψ( r) Eigenwert Dies ist die de Broglie-Beziehung. p = k = 2π λ = h λ Hieraus folgt direkt: je stärker sich eine Wellenfunktion mit dem Ort ändert, desto größer ist der Impuls Hamilton-Operator Der wichtigste Operator: verbunden mit Gesamtenergie eines Systems. Zugehörige Funktionen in der klassischen Mechanik: die Hamilton-Funktion H = T + V. Für ein einzelnes Teilchen lautet sie: H = T + V = p2 2m + V ( r) In der QM wird daraus der Hamilton-Operator Für Eigenfunktionen von H gilt: wobei E die Gesamtenergie ist. Ĥ = ˆT + ˆV HΨ = EΨ Damit lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung: ĤΨ = ( T + V )Ψ = EΨ Lösen der Schrödingergleichung bedeutet, dass man für ein gegebenes Ĥ die Funktionen sucht, die die Gleichung erfüllen Eigenschaften der Eigenfunktionen Für jeden zu einer Observablen gehörenden Operator gilt: die normierten Eigenfunktionen bilden einen orthonormalen, vollständigen Satz von Basisfunktionen. Beispiel: Hamilton-Operator Sei ĤΨ n = E n Ψ n 2

3 für einen Satz von Ψ n mit n =, 1, 2,... Dann gilt: ˆ Ψ m( r)ψ n ( r) d r } {{ } = für m n (orthogonal) V Skalarprodukt ˆ Ψ mψ m d r = 1 (normiert) V Außerdem gilt für eine beliebige mögliche Funktion Ψ: ˆ Ψ = c n Ψ n mit c n = Ψ nψd r n= (vollständig) Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion Bei zeitunabhängigen Ĥ ist die Zeitabhängigkeit einer Eigenfunktion von Ĥ gegeben durch: Ψ n ( r, t) = Ψ n ( r)e iωnt = Ψ n ( r)e i E t (mit E = ω) Der Index n heißt Quantenzahl und indiziert die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung (kann diskret sein oder auch kontinuierlich). Bei kontinuierlichen Quantenzahlen läßt sich Ψ nicht mehr als Summe schreiben, sondern es gilt Ψ = ˆ Als Folge aus der zeitabhängige Schreibweise gilt: c(k)ψ k dk ĤΨ n ( r, t) = E n Ψ n ( r, t) = i Für eine beliebige Wellenfunktion gilt damit: t Ψ n( r, t) Also ĤΨ = Ĥ c n Ψ n = c n ĤΨ n = c n E n Ψ n = n= = i n= n= n= c n ( i ) t Ψ n = c n Ψ n i t t Ψ n= ĤΨ = i Dies ist die zeitabhängige Schrödingergleichung! Einzelnes Teilchen im Potential V ( r) t Ψ Wellenfunktion: Hamiltonoperator: Φ( r, t) Ĥ = ˆT + ˆV = ˆ p 2 2m + V (ˆ r) = 1 2m (ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z) + V (ˆ r) = 2 2m ( 2 x y ) + V ( r) = z2 2m + V ( r) 3

4 Zeitabhängige Schrödingergleichung: Zeitunabhängig: i 2 Φ( r, t) = ( + V ( r))φ( r, t) t 2m E n Φ n ( r) = ( 2 2m + V ( r))φ n( r) Beispiel: eindimensional, Potential konstant (V (x) = ) zeitunabhängige Schrödingergleichung: Die Lösung lautet: mit Überprüfen: es ist Einsetzen: Man beachte: E k = 2 k 2 2m k=p = p2 2m 2 2 E k Φ k (x) = 2 2m x 2 Φ k(x) Φ k (x) = e ikx E k = 2 k 2 2m 2 x 2 eikx = k 2 e ikx 2 2m x 2 Φ k(x) = 2 k 2 2m Φ k(x) = E k Φ k (x) (die klassische kinetische Energie eines Teilchens) Quantenzahl k: Wellenzahl ( ˆ= Impuls) des freien Teilchens; kontinuierlicher Parameter (!) Achtung: für Licht gilt eine andere Beziehung: k, ν wird synonym mit E verwendet Zahlenwerte für Licht: E = ω = hν = h c λ = kc E k ν λ 1 ev ( J) 865 cm s nm IR 13.6 ev 19684cm s nm VUV 1.2 Wasserstoffatom Experiment: H 2 in Glasbehälter unter geringem Druck, daran Spannung von kv angelegt Lichtemission Das Lichtspektrum wird gemessen. Der Grund für die Emission ist die stattfindende Gasentladung: Stöße mit Elektronen führen hier zu Dissoziation, Ionisation und Anregung: e + H 2 2H + e H + e H + e H + e H + + 2e H + + e H + hν H H + hν Dissoziation Stoßanregung Ionisation Radiative Rekombination Emission 4

5 Emittiertes Licht zeigt diskrete Linien mit Energien (Rydberg-Ritz-Formel) E = Ry( 1 n 2 1 ), Ry = 13.6eV, n, m = 1, 2, 3,... m2 Erklärung: Elektron im H-Atom besetzt Zustände mit Energien E n = Ry 1 n 2, n, m = 1, 2, 3,..., Beim Wechsel zwischen Zuständen wird die Differenzenergie abgestrahlt (bzw. absorbiert). Bemerkung: Ionisationsenergie (-potential) ist die Energie, um ein Elektron freizusetzen: Für n = 1 IP = 13.6 ev = 1 Ry Bohrsches Atommodell (1913) Annahme: Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Kern (Proton). Die beiden Teilchen haben folgende Eigenschaften: Elektron (m e = kg, q e = e = C) Proton (m p = kg, q p = +e = C) (Experimtenteller Befund: die Ladungen q e und q p unterscheiden sich höchstens um C.) Kreisbewegung: Kräftegleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft und Coulomb-Kraft: m e v 2 r = p2 2m e = e 2 4πɛ r 2 e 2 8πɛ r Potentielle Energie (Coulomb-Potential): E pot = e2 4πɛ r Kinetische Energie: E kin = p2 = e2 2m e 8πɛ r E kin = 1 2 E pot (Virialsatz!) Annahme: Elektron bildet eine stehende Welle auf der Kreisbahn (Elektronenwelle mit Wellenlänge λ), also: nλ = 2πr Mit der de-broglie-beziehung: n h p = 2πr p = n, n = 1, 2, 3,... r Damit: mit n 2 2 2m e r 2 = e2 8πɛ r r n = 4πɛ 2 me 2 n2 = a n 2 a = 4πɛ 2 me 2 5

6 (erlaubte Radien r n, a =Bohr-Radius= m). Zugehörige Energie: also mit E n = E pot + E kin = 1 2 E pot = e2 = e2 1 8πɛ r n 8πɛ a E n = Ry 1 n 2 Ry = cm 1 Richtiges Ergebnis (aber zwei Fehler in der Herleitung!). Bemerkung: der angegebene Wert von Ry gilt für m p. Für die endliche Masse m p muss für das Elektron die effektive Masse µ = m em p m e + m p.9995m e benutzt werden (Elektron und Proton kreisen um gemeinsamen Schwerpunkt). Damit wird n 2 Ry H = µ m e Ry ˆ= cm 1. Für Deuterium (Kern aus Proton und Neutron) ist Ry D = µ m e Ry ˆ= cm Quantenmechanik: Teilchen im kugelsymmetrischen Potential In einem kugelsymmetrischen Potential V (r, θ, φ) = V (r) gilt Drehimpulserhaltung. Klassisch ist der Drehimpuls L = r p In der QM: Operator in Ortsdarstellung: z-komponente: Einführung von Kugelkoordinaten: ˆ L = ˆ r ˆ p = ˆ L = i ŷˆp z ẑ ˆp y ẑ ˆp x ˆxˆp z ˆxˆp y ŷˆp x y z z y z x x z x y y x ˆL z = i (x y y x ) 6

7 Transformation durch Ersetzung der Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten durch Ableitungen nach den Kugelkoordinaten, also z.b.: x = r x r + θ x θ + φ x φ Damit wird: ˆL x = i (sin φ θ ˆL y = i ( cos φ θ ˆL z = i φ + cot θ cos φ φ ) + cot θ sin φ φ ) und ˆ L 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z = 2 1 ( tan θ θ + 2 θ sin θ 2 φ 2 ) Man kann zeigen: es gibt Funktionen, die gleichzeitig Eigenfunktionen sind zu ˆ L 2 und ˆL z (oder auch zu ˆ L 2 und ˆL x, etc.). Es gibt keine Funktionen, die gleichzeitig Eigenfunktionen sind zu ˆL x und ˆL y (oder ˆL x und ˆL z, etc.). Bedeutung: nur der Betrag des Drehimpulses und seine Projektion auf eine Achse ( Quantisierungsachse ) können festgelegt werden. Anschaulich: der Drehimpuls präzediert um die Quantisierungsachse (festgelegt z.b. durch B- Feld). 7

8 Betrag und Projektion auf z-achse sind konstant: die Projektionen auf x- und y-achse ändern sich ständig. Die Eigenfunktionen von ˆ L 2 und ˆL z heißen Kugelflächenfunktionen Yl m (θ, φ). Es gilt: mit ˆ L 2 Yl m (θ, φ) = l(l + 1) 2 Yl m (θ, φ) ˆL z Yl m (θ, φ) = m Yl m (θ, φ) l =, 1, 2,..., m = l, (l 1),...,,..., +l Drehimpulsquantenzahl magnetische Quantenzahl in der QM sind nur Drehimpulse erlaubt mit Betrag l(l + 1) ; diese können nur bestimmte Winkel zur Quantisierungsachse annehmen (genauer: diese Zustände bilden die Basis, mit der sich alle Drehimpulse beschreiben lassen). Beispiel: l = 2 L = 6 m = 2, 1,, 1, 2 L z = m 8

9 Konkret gilt: Y (θ, φ) = Y 1 1 (θ, φ) = Y 1 (θ, φ) = Y 1 1 (θ, φ) = Y 2 2 (θ, φ) = Y 1 2 (θ, φ) = Y 2 (θ, φ) = 1 4π 3 sin θe iφ 8π 3 4π cos θ 3 sin θeiφ 8π 15 32π sin2 θe 2iφ 15 sin θ cos θe iφ 8π 5 16π (3 cos2 θ 1). Vorfaktoren aus Normierung: Wie bei allen normierten Eigenfunktionen gilt bei Integration über gesamten Raum: ˆ2π πˆ Yl m (θ, φ) 2 sin θdθdφ = 1 Ebenso gilt: ˆ2π πˆ (Y m l ) Y m l sin θdθdφ = δ ll,mm (= 1 falls m = m und l = l ) Die Funktionen bilden also ein orthonormales System! Das Betragsquadrat der Funktionen gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Beispiele: Y 2 = 1 4π Y 1 2 = 3 4π cos2 θ (bevorzugter Aufenthalt bei θ = oder θ = π, kein Aufenthalt bei θ = π 2 ) 9

10 Y = 3 8π sin2 θ (kein Aufenthalt bei θ = oder θ = π) Der Phasenfaktor e imφ gibt die Drehrichtung an (analog zu ebener Welle: e ikx Bewegung in x- Richtung, e ikx Bewegung entgegen der x-richtung) e i m φ : rechtshändige Rotation um z-achse e i m φ : linkshändige Rotation um z-achse m = : Drehimpuls steht senkrecht zur z-achse wegen Präzession kein resultierender Drehsinn Wasserstoffatom in der Quantenmechanik Hamiltonoperator für das Elektron: Ĥ = ˆ p 2 2µ e2 4πɛ ˆ r = E kin + E pot Zeitunabhängige Schrödingergleichung (Ortsdartstellung): Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: = 1 r ĤΨ( r) = ( 2 2µ e2 )Ψ( r) = EΨ( r) 4πɛ r 2 r 2 r + 1 r 2 ( 2 θ tan θ θ + 1 sin 2 θ 1 2 φ 2 ) = 1 r 2 r 2 r 1 2 ˆ L r 2 2

11 Damit: Schrödingergleichung des H-Atoms in Kugelkoordinaten: ˆ L 2µ r r 2 r + 2µr 2 e2 )Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ) 4πɛ r ( 2 Ansatz für Wellenfunktion (Separation): Ψ(r, θ, φ) = R(r)Y m l (θ, φ) Hierfür gilt: ˆ L 2 2µr 2 R(r)Y m l (θ, φ) = l(l + 1) 2 2µr 2 R(r)Y m l (θ, φ) ( 2 1 l(l + 1) 2 r + 2µ r r2 2µr 2 V (r)) R(r)Yl m (θ, φ) = E R(r)Yl m (θ, φ) 2 Koeffizientenvergleich ( Teilen durch Yl m ) führt zur Radialgleichung : ( 2 1 2µ r r 2 r l(l + 1) 2 + 2µr } {{ } 2 e2 ) R(r) = E R(r) 4πɛ r } {{ } kin. Energie eff. Potential 2 (mit l(l+1) 2 2µr 2 : Zentrifugalpotential). Klassisch gilt: Zentrifugalkraft im rotierenden System F Z = µv2 r = p2 µr = L2 µr 3 Potential Quantenmechanik: ˆ V Z (r) = F Z dr = r L 2 l(l + 1) 2 L2 2µr 2 Graphisch: effektives Potential V (r) = l(l+1) 2 2µr e2 2 4πɛ r Für jeden dieser Potentialtöpfe gibt es eine unendliche Serie von Wellenfunktionen (zugeordneten Laguerre-Polynomen). 11

12 Bemerkung: die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ergibt sich durch Integration der 3D-Aufenthaltswahrscheinlichke P (r, θ, φ) = R(r)Y m l (θ, φ) 2 P (r) = ˆ2π Diskussion für verschiedene Lösungen R nr,l(r): l = ( s -Zustände) πˆ R(r) 2 Y m l (θ, φ) 2 r 2 sin θ dθdφ = r 2 R(r) 2 = rr(r) 2 Grundzustand (n r = 1): Energie: (n r = 2): Energie: R 1, (r) = 1 E 1, = R 2, (r) = 1 a 3 /2 a 3 /2 2e r /a e2 8πɛ a = Ry 1 2 (1 E 2, = 1 4 Ry r 2a )e r 2a (n r = 3): Energie: R 3, (r) = 1 a 3 / r (1 + 2r2 3a 27a 2 ) e r 3a E 3, = 1 9 Ry Bemerkung: die Radialquantenzahl n r ist gleich der Zahl der radialen Knoten+1! Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der verschiedenen Zustände: 12

13 Anschauliche Bescheibung: das Elektron schwingt durch den Ursprung; es hat die höchste Aufenthaltswahrscheinlichkeit am äußeren Umkehrpunkt. l = 1 ( p -Zustände): Grundzustand (n r = 1): R 1,1 (r) = 2 1 r e r 2a 3 (2a ) 3 /2 2a E 1,1 = Ry 1 4 (n r = 2): R 2,1 (r) = (3a ) 3 /2 r (2 r )e r 3a 3a 3a E 2,1 = Ry 1 9 Aufenthaltswahrscheinlichkeit: 13

14 l = 2 ( d -Zustände): E 1,2 = Ry 1 9 E 2,2 = Ry 1 16 Die Energien sind identisch für n r + l = const.! (gilt aber nur für 1 r -Potentiale) neue Quantenzahl: Hauptquantenzahl n = n r + l Damit Wellenfunktionen: Ψ n,l,m (r, θ, φ) = R (n l),l Y m l (θ, φ) Vollständig angegeben: 14

15 für n,l,m Ψ E n,l,m = E n Bezeichnung 1,, 1 π 1 2,, 1 32π 1 2,1, 1 a 3 /2 1 32π a 3 /2 1 2,1,±1 1 64π a 3 / ,, 3,1, 81 3π 2 81 π a 3 /2 1 a 3 /2 a 3 /2 e r /a 1Ry 1s (2 r a )e r /2a Ry n 2 r a e r /2a cos θ r a e r /2a sin θ e ±iφ = Ry 4 2s Ry 4 2p Ry 4 2p (27 18 r a + 2 r2 )e a 2 r /3a Ry 9 3s (6 r a ) r a e r /3a cos θ Ry 9 3p Bemerkung: Für l = n 1 (also n r = 1) ist die Bewegung in r minimal, die sind also Kreisbahnen. Hier gilt P (r) = rr(r) 2 = r 2n e 2r na dp dr = (2nr 2n 1 + r 2n ( 2 na ))e 2r na = r = n 2 a (Bohr-Radius!) Das Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht dem Radius des n-ten Zustands des Bohr-Atoms! Kinetische Energien der Bewegung im H-Atom Für Eigenfunktionen einer Observablen gilt: (mit O R). Ist Ψ keine Eigenfunktion, gilt ÔΨ( r) = OΨ( r) ÔΨ = f( r)ψ( r) Um den mittleren Wert von Ô auszurechnen, muss über den Ort gemittelt werden: ˆ < Ô > Ψ= Ψ ( r)ôψ( r)d r (Erwartungswert von Ô). Wir betrachten die kinetischen Energien der Bewegung: Radial: Ê r = ˆp2 r 2m = 2 2m (1 2 r r 2 r) Tangential: ˆ L 2 Ê l = 2mˆ r 2 Es gilt: es gibt gemeinsame Eigenfunktionen zu Ĥ und ˆ L 2, aber nicht zu Ĥ und ˆp2 r oder zu Ĥ und ˆ L 2. (Drehimpuls ist Erhaltungsgröße, aber nicht die kinetische Energie der Drehbewegung). ˆ r 2 Ausrechnen der Erwartungswerte: < Êr > l,n,m = < Êl > l,n,m = ˆ ˆ 2π ˆ π = 2 2m = ˆ ˆ ˆ 2π ˆ π l(l + 1) 2 2m R (r)yl m (θ, φ)[ ˆp2 r R(r)[( 1 r ˆ 2 r 2 r)r(r)]r2 dr R (r)y m l (θ, φ)[ R(r) 1 r 2 R(r)r2 dr 15 2m R(r)Y l m (θ, φ)]r 2 sin θdθdφdr ˆ L 2 2mr 2 R(r)Y l m (θ, φ)]r 2 sin θdθdφdr

16 Ebenso: potentielle Energie: < ˆV > n,l,m = e 2 4πɛ ˆ R n,l (r) 1 r R n,l(r)r 2 dr Für die verschiedenen Zustände ergeben sich folgende Resultate: Zustand n,l,m pot. En. < V > rad. kin. En. < E r > tang. kin. En.< E k > E ges 1s 1,, e2 4πɛ a = 2Ry 1Ry 1Ry 2s 2,, 2Ry 1 4 Ry 1 4 Ry 1 4 2p 2, 1, 2Ry 1 4 Ry 1 12 Ry 2 12 Ry 1 4 2p 2, 1, ±1 3s 3,, 2Ry 1 9 Ry 1 9 Ry 1 9 3p 3, 1, 2Ry 1 9 Ry 5 81 Ry 4 81 Ry 1 9 3d 3, 2, 2Ry 1 9 Ry Ry Ry 1 9 Für alle Zustände trägt die radiale Bewegung zur kinetischen Energie bei; am wenigsten für die Kreisbahn mit l = n 1. Damit Niveau-Schema H-Atom: Fehler des Bohr-Modells: Grundzustand als l = 1 angenommen kinetische Energie in radialer Richtung vernachlässigt Wasserstoffähnliche Systeme Die Ergebnisse gelten für jedes Zwei-Körpersystem aus positiv und negativ geladenen Teilchen: 1. hochgeladene Ionen (Kern + 1e ) 16

17 z.b.: He +, Ar 17+, U 91+ hier gilt Wellenfunktionen: z.b. Bohr-Radien: Energien: 2. Positronium (Positron + Elektron) a a Z Ψ 1,, (r, θ, φ) = 1 ( Z ) 3 /2 e Zr a π a r n = n 2 a Z E n = Ze2 8πɛ n 2 a Z = Z 2 Ry n 2 effektive Masse: µ = 1 2 m e Ry P o = 1 2 Ry Bohr-Radien: r n = 2n 2 a tatsächlich beobachtet! (zerfällt durch e + e + 2γ) 3. Myon-Atom (Proton + Myon) m µ = 2m e Ry My = 2Ry E n = 2 Ry n 2 ; r n = 1 2 n2 a 4. Rydberg-Atome bzw. -Moleküle, für hochangeregte Zustände (möglichst mit l = n 1) gilt auch hier: E n = Ry 1 n 2 17

18 beobachtet in Photoabsorption: Zwischenstand: Wellenfunktionen des H-Atoms in einfachster Näherung besprochen. Jetzt: Feinstruktur, Hyperfeinstruktur, QED-Effekte Dafür: Einführung magnetische Momente, Spin Magnetisches Moment der Bahnbewegung der Elektronen Wasserstoffatom im Magnetfeld B bzw. im Vektorpotential A (mit B = A). Generalisierter Impuls des Elektrons: P = ( p + e A) Homogenes Magnetfeld: Hamilton-Operator: A = 1 2 r B (ˆ p + e ˆ A) 2 = p 2 + e B ˆ L + e 2 4 ˆr2 B 2 Ĥ = ˆ p 2 2m + V (ˆ r) = ˆ p 2 2m + V (ˆ r) } {{ } H ohne Magn.Feld + eb ˆ L + e2 } 2m {{ } 8m ˆr2 B 2 } {{ } paramagn. Term diamagn. Term Magnetisches Moment der Bahnbewegung Elektron auf Kreisbahn entspricht Strom durch runde Leiterschleife. Magnetisches Moment: µ = I A 18

19 ( A ˆ=Flächennormale). Für das Elektron gilt: Potentielle Energie im Magnetfeld: I = e 1 τ = e v 2πr A = πr 2 e A µ = ev 2πr πr2 e A = evr 2 e A = emvr 2m e A = e 2m l e A = e L 2m µ = µ B L mit µ B = e 2m (Bohr-Magneton, µ B ev T ) E pot = µ B = µ B L B (höchste Energie für parallele Ausrichtung) Für B e z : E pot = µ B LB e z = µ B L zb Eigenwerte von Êpot: µ B mb mit (m l = l,...,,..., l) Im Magnetfeld ist die m l -Entartung aufgehoben! Damit würde für die Energien im H-Atom folgendes Schema gelten: Achtung: Stimmt so nicht wegen des Spins des Elektrons! (Zeeman-Effekt) Bohr-Atom im Magnetfeld Alternative Herleitung: wir betrachten das Kräftegleichgewicht in einem Bohr-Atom im Magnetfeld: (Kreisbahn B) v 2 m e r = e2 4πɛ r 2 ± evb p2 m e r = e2 4πɛ r 2 ± em evb m e E kin = p2 2m = e2 8πɛ r ± erp 2m B = e2 8πɛ r ± e 2m LB Veränderung der Energie um e 2mLB! (Umlaufgeschwindigkeit bzw. -frequenz ändert sich proportional zu B) 19

20 Matrixbeschreibung des Drehimpulsoperators Betrachten l = 1: die Basisfunktionen sind hier Y1 1 (θ, φ), Y1 (θ, φ), Y1 1 (θ, φ) beliebige Funktion f(θ, φ) zu l = 1 kann geschrieben werden als: Als Vektor geschrieben: mit Normierung: f(θ, φ) = Der Operator ˆL z auf f angewandt ergibt: 1 c m Y1 m (θ, φ) m= 1 f = c 1 c c 1 1 c m 2 = 1 m= 1 ˆL z f = ˆL 1 z c m Y1 m (θ, φ) = = m= 1 1 c m m Y1 m (θ, φ) m= 1 1 c m ˆLz Y1 m (θ, φ) m= 1 ˆL z lässt sich also als Matrix schreiben: ˆL z c 1 c c 1 ˆL z = = c 1 c 1 Dies bedeutet: ˆL z f = c 1 Y 1 1 (θ, φ) + Y 1 (θ, φ) + ( )c 1 Y 1 1 (θ, φ) Die Eigenvektoren von ˆL z (zu den Eigenwerten,, ) sind natürlich die Vektoren 1, 1, 1 L y lautet in Ortsdarstellung: Damit ist die Matrixdarstellung von L y : ˆL y = i ( cos φ + cot θ sin φ θ φ ) ˆL y Y1 1 (θ, φ) = 1 ( i )Y1, etc. 2 ˆL y = i 2 i 2 i 2 i 2 und die von L x : ˆL x =

21 Damit gilt auch: ˆ L 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z = Die Eigenwerte hiervon sind: 2 2 = l(l + 1) 2 Es gilt: Jeder Drehimpulsoperator zur Drehimpulsquantenzahl l läßt sich als (2l + 1)-dimensionale Matrix schreiben! Spin des Elektrons Elektronen haben einen Drehimpuls mit Quantenzahl s = 1 2. Operatoren: ( Drehung um sich selbst, tatsächlich relativistischer Effekt) ˆ s 2 Ψ = s(s + 1) 2 Ψ = Ψ s z Ψ = m s Ψ, m s = ± 1 2 Zwei Eigenzustände! (s = 1 2, m s = ± 1 2 ) jede Spinwellenfunktion läßt sich schreiben als: Ψ = 1/2 c m Ψ m = c + Ψ + + c Ψ m= 1 /2 ( ) c+ Als Vektor: Ψ =, c c ± : komplexe Zahlen mit c c 2 = 1 (normiert) Die Operatoren der Spinkomponenten als Matrizen: s z = 2 σ z = ( ) s x = 2 σ x = ( ) s y = 2 σ y = ( ) i 2 i ( ) 1 σ i : Pauli-Matrizen (mit σi 2 = ) 1 Operator des Spin-Vektors: ˆ s = ŝx ŝ y ŝ z = 2 (jede Komponente ist Matrix und wirkt auf Vektor im Spinraum!) σ x σ y σ z z.b. Spin in x-richtung: ŝ x = s e x = ŝ x ŝ y ŝ z 1 = ŝ x = 2 σ x 21

22 Anschauliche Bedeutung der Eigenwerte: Spin präzediert um die z-achse (Winkel θ =54.7 ) Magnetisches Moment des Elektrons Auch für Elektronenspin gilt: Drehung erzeugt magnetisches Moment. Analog zudem magnetischen Moment der Bahnbewegung µ = µ B L gilt hier: µ s = g s µ B s mit g s = 2 (gyromagnetischer Faktor) Der Faktor 2 ist eine Abweichung vom Verhalten eines klassischen Kreisstroms! Damit ist die z-komponente des magnetischen Moments: ˆµ z = g s µ B ŝz mit Eigenwerten µ B das magnetische Moment des Elektrons ist so groß wie das einer Bahn mit l = 1! Messung von µ e : Stern-Gerlach-Versuch 22

23 Die Kraft auf das Atom im inhomogenen Magnetfeld ist: F z = z V = z ( µ B) = z µ zb = µ z z B Aus der gemessenen Ablenkung ergibt sich µ B. = µ B B z (wegen m s = ± 1 /2) Wichtiges Prinzip: die Messung von µ z (bzw. s z ) ergibt nur Eigenwerte ±µ B (bzw. 1 /2) Eine Messung führt zum Kollaps der Wellenfunktion, d.h. einer Projektion auf einen der möglichen Eigenzustände! (gilt hier nur für inhomogenes Magnetfeld, welches die Zustände trennt) Bemerkung.: g s ist nicht exakt 2! Messung durch Speicherung von spinpolarisierten Elektronen im B-Feld (im Vakuum) Elektron kreist mit Zyklotronfrequenz ω z = eb m Der Spin mit Larmorfrequenz: ω L = g s eb 2m Herleitung: Zyklotronfrequenz mrω 2 z = evb = erω z B ω z = eb m Larmorfrequenz: ω = Drehmoment Drehimpuls = µ zb s z = gµ B 2 B = g eb 2m 2 Für g z : Veränderung des Spinzustands mit der Zeit: Tatsächlich beobachtet! Ergebnis: g s = (Genauigkeit: !) Abweichung von 2 durch QED-Effekte (läßt sich theoretisch exakt berechnen!) 23

24 1.2.9 Wellenfunktion mit Spin Für ein Teilchen mit Spin 1 /2 wird die Wellenfunktion geschrieben als: ( ) ( ) a aψ( r) Ψ s ( r) = Ψ( r) = b bψ( r) Spinoperator: ŝ z Ψ z ( r) = 2 ( 1 1 ) ( ) a Ψ( r) = b Ψ( r) ( aψ( r) bψ( r) ) für a=1, b=: s z ( Ψ( r) ) = 2 ( Ψ( r) ) ; m s = + 1 /2 für a=, b=1: s z ( Ψ( r) ) = 2 ( Ψ( r) ) ; m s = 1 /2 Die Eigenfunktionen von ŝ z, ˆ L 2 und ˆL z lauten: ( ) ms + m Ψ ms,l,m l (θ, φ, r) = s Y m s m l m (θ, φ)r(r) s ( ) ( ms + m = s )Yl m (θ, φ)r(r) ( m s m s )Yl m (θ, φ)r(r) mit ˆ L 2 Ψ mslm l = l(l + 1) 2 Ψ mslm l ˆL z Ψ mslm l = m l Ψ mslm l ˆ S 2 Ψ mslm l = Ψ mslm l Spin-Bahn-Wechselwirkung ŝ z Ψ mslm l = m s Ψ mslm l Ein Elektron im Atom erfährt das E-Feld: Bewegung im E-Feld erzeugt B-Feld: E = e 4πɛ r 3 r B = 1 c 2 E v = 1 mc 2 E p (im Bezugssystem des Elektrons: kreisender Kern erzeugt B-Feld) Im Atom: B = 1 e mc 2 4πɛ r 3 r p B e = 4πɛ mc 2 r 3 L 24

25 Potentielle Energie des Spins in diesem Feld: mit g s = 2: V = µ sb g s µ B = s B = g s V = e 2 4πɛ m 2 c 2 r 3 L s Achtung: nur korrekt bis auf Faktor 2! (Thomas-Faktor) V = e 2 8πɛ m 2 c 2 r 3 L s Energie hängt ab von relativer Ausrichtung von L und s! e e 2m 4πɛ mc 2 r 3 s L Die Wechselwirkung muß im Hamiltonoperator berücksichtigt werden H = H + γ(r) L s Hier ist H der Hamiltonoperator ohne Spin-Bahn-WW, γ die Kopplungskonstante. Durch die Kopplung sind L und s nicht mehr unabhängig: sie bilden einen Gesamtdrehimpuls J = L + s Der Gesamtdrehimpuls im kugelsymmetrischen System ist Erhaltungsgröße gemeinsame Eigenfunktionen zu Ĥ und ˆ J 2, Ĵ z Einschub: Kommutatoren Lassen sich zu den Operatoren  und ˆB gemeinsame Eigenfunktionen finden mit so gilt: ÂΨ a,b = aψ a,b, ˆBΨa,b = bψ a,b Dies wird geschrieben als Kommutator:  ˆBΨ a,b = ÂbΨ a,b = baψ a,b ˆBÂΨ a,b = ˆBaΨ a,b = abψ a,b ( ˆB ˆBÂ)Ψ = ( ˆB ˆBÂ) = [Â, ˆB] Man sagt, die Operatoren vertauschen, falls [Â, ˆB] =. Nur dann lassen sich gemeinsame Eigenfunktionen finden! Beispiel: Vertauschung von Orts- und Impulsoperatoren [ˆx, ˆp z ] = (x i z i z x) = (x i z x i z ) = ˆx und ˆp z vertauschen! Scharfer Ort in x-richtung und scharfer Impuls in z-richtung sind möglich! [ˆx, ˆp x ] = (x i x i x x) = (x i x + i i x ) = i ˆx und ˆp x vertauschen nicht! Scharfer Ort und scharfer Impuls in x-richtung sind nicht möglich! Unschärfeprinzip! Für den einfachen Hamiltonoperator des H-Atoms (ohne Spin-Bahn-WW) Ĥ = p2 2m + V ( r) gilt: [ˆ L 2, Ĥ] = ; [ˆL z, Ĥ] = ; [ ˆ S 2, Ĥ] = ; [ŝ z, Ĥ] = Es gibt also gemeinsame Eigenfunktionen von Ĥ (Energie), ˆ L (Drehimpuls) und ˆ s (Spin), mit Quantenzahlen: n, l, m l, s, m s 25

26 Gekoppelte Drehimpulse Für den Kopplungsoperator ˆ L ˆ s gilt: [ ˆ J, ˆ L ˆ s] =, [ ˆ Jz, ˆ L ˆ s] =, [ˆ L 2, ˆ L ˆ s] =, [ˆ s 2, ˆ L ˆ s] = aber: und [ˆ Lz, ˆ L ˆ s] [ˆ s z, ˆ L ˆ s] Gleiches gilt für die Kommutatoren mit Ĥ = Ĥ + γ ˆ L ˆ s Es lassen sich also gemeinsame Eigenfunktionen finden von Ĥ, ˆ J 2, Ĵ z, ˆ l 2, ˆ s 2 aber nicht zu Ĥ und ˆL z oder ŝ z! (präzedierender Drehimpuls) Anschauliche Erklärung: L und s präzedieren um J; die Projektion von J auf z-achse ist wohldefiniert, aber nicht die von L oder s! Für die neue Quantenzahl j gilt: l s j l + s (Vektoraddition) Für m j gilt: Dies sind (2j+1) Zustände. m j = j,...,,..., +j Da die Quantenzahlen l und s weiterhin definiert sind, lassen sich die neuen Eigenfunktionen von Ĥ als Superposition von l, s Funktionen mit verschiedenen m l, m s ausdrücken (diese bilden eine vollständige Basis für Funktionen mit gegebenen l, s!) 26

27 Clebsch-Gordan-Koeffizienten Dirac-Schreibweise: Zustand wird als Ket-Vektor geschrieben: Ψ = Ψ > Ortsdarstellung: Ψ( r) =< r Ψ > Impulsdarstellung: Ψ( p) =< p Ψ > Konjugiert-Komplex : Bra-Vektor < Ψ Skalar-Produkt: < ψ φ > Vollständigkeitsrelation (diskrete Funktionen): 1 n >< n = 1 =... n 1 Damit gilt Für Ortszustand gilt analog: Ψ >= n ˆ n >< n Ψ >= 1 Ψ > r >< r d r = 1 Skalarprodukt in Ortsdarstellung: ˆ < ψ φ > = < ψ 1 φ >= ˆ = ψ ( r)φ( r)d r < ψ r >< r φ > d r Eigenzustände des H-Atoms in Dirac-Schreibweise: mit Ψ n,l,m = n, l, m > Ĥ n, l, m > = E n n, l, m > ˆ L 2 = l(l + 1) 2 n, l, m > ˆL z = m n, l, m > Jetzt: ein Eigenzustand j, m j, l, s > zu ˆ J 2, Ĵ z, ˆ l 2, ˆ L 2 läßt sich als Superposition der Eigenzustände von ˆ L 2, ˆL z, ˆ s 2, ŝ z schreiben: j, m j, l, s >= l, m l, s, m s >< l, m l, s, m s j, m j, l, s > m l,m s Daraus folgt j, m j, l, s >= c ml,m s l, m l, s, m s > m l,m s mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten c ml,m s =< l, m l, s, m s j, m j, l, s > 27

28 Nicht alle m l, m s werden benötigt. Es gilt: Ĵ z j, m j, l, s > = m j j, m j, l, s > = (ˆL z + Ŝz) = m l,m s c ml,m s l, m l, s, m s > m l,m s c ml,m s (m l + m s ) l, m l, s, m s > Gleichheit nur für m l + m s = m j! Nur diese Funktionen tragen bei! Beispiel: Wasserstoffzustand 2p1/2, m j = 1 /2 Für diesen gilt: j = 1 /2, m j = 1 /2, l = 1, s = 1 /2 > 2 1 = 3 l = 1, m l = 1, s = 1 /2, m s = 1 /2 > 3 l = 1, m l =, s = 1 /2, m s = + 1 /2 > Die Wellenfunktion ist also: Und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Ψ(r, θ, φ) = 1 3 R 2,1(r)Y1 (θ, φ) 2 3 R 2,1(r)Y1 1 (θ, φ) Ψ 2 = 1 3 R 2,1(r) 2 Y 1 (θ, φ) R 2,1(r) 2 Y 1 1 (θ, φ) 2 = R 2,1 (r) 2 ( π cos2 θ π sin2 θ) = R 2,1 (r) 2 1 4π Das ist isotrop! L S-Kopplung kann also die räumliche Struktur der Wellenfunktion ändern! Beispiel: Zustand 2p3/2, m j = 3 /2 j = 3 /2, m j = 3 /2, l = 1, s = 1 /2 > = l = 1, m l = 1, s = 1 /2, m s = 1 /2 > Hier gibt es nur eine Möglichkeit für m l, m s! Die Wellenfunktion ist damit ( ) R2,1 ( r)y 1 Ψ = 1 (θ, φ) Hier ergibt sich keine Veränderung der räumlichen Verteilung durch die Spin-Bahn-Kopplung! Feinstrukturkonstante Dies ist eine sehr verbreitete Konstante, die mehrere Naturkonstanten zusammenfaßt. Sie hat aber auch eine anschauliche Bedeutung: sie zeigt an, wie relativistisch die Bewegung des Elektrons im Wasserstoffatom ist. Die Geschwindigkeit des Elektrons auf der 1. Bohr schen Bahn beträgt: v = p m = a m Mit a = 4πɛ 2 e 2 m ergibt sich: v = e2 4πɛ Das Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit beträgt: α = v c = e2 4πɛ c = e2 2ɛ hc

29 Die ist die Feinstrukturkonstante. Damit lassen sich verschiedene Größen des Wasserstoffatoms einfach ausdrücken. Kinetische Energie auf 1. Bohr scher Bahn: E kin = 1 2 mv2 = 1 2 mα2 c 2 = mc2 2 α2 = 1 Ry Wegen des Virialsatzes ist die kinetische Energie gleich der Bindungsenergie. Damit sind die Energien der Zustände des H-Atoms: E n = 1Ry 1 n 2 = 1 mc2 2 α2 n 2 Bohr-Radius: a = vm = αmc : Compton-Wellenlänge, Ausdehnung des Elektrons ) ( mc Relativistische Behandlung des H-Atoms (Feinstruktur) Exakt: Dirac-Gleichung mit Spinor Ψ = Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4 i t Ψ = (ˆα 1cˆp x + ˆα 2 cˆp y + ˆα 3 cˆp z + ˆβmc 2 + V ( r))ψ, ˆα i = ( σi σ i ) (, (σ i Paulimatrizen), ˆβ 1 = 1 Die Dirac-Gleichung läßt sich für kleine Geschwindigkeiten entwickeln und auf eine Schrödingergleichung zurückführen, mit dem Hamilton-Operator wobei: Ĥ = mc 2 + p2 4 ˆ p + V ( r) 2m 8m 3 c m 2 c 2 r r V ( r) L s + mc 2 = Ruheenergie des Elektrons p 2 + V ( r) 2m = Ĥ ˆ p 4 8m 3 c 2 = Ŵmv 1 1 2m 2 c 2 r r V ( r) L s = ŴLS 2 8m 2 c 2 V ( r) = ŴD (Darwin-Term) Betrachtung der einzelnen Terme: 1. Ŵ mv : Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse Die relativistische Energie des Elektrons läßt sich entwickeln E = c m 2 c 2 + p 2 = mc 2 = mc 2 + p2 2m p4 8m 3 c p2 m 2 c 2 mc2 (1 + ) 2 8m 2 V ( r) +... c2 p2 2m 2 c 2 p4 8m 4 c ) Damit ist Ŵmv die erste relativistische Korrektur der Energie! Der Erwartungswert des Operators in Störungsrechnung ist: < Ŵmv > n,l,m = ˆ Φ n,l,m( r)ŵmvφ n,l,m ( r)d r = mc2 2 α4 1 n 3 ( 3 4n 1 l + 1 /2 ) 29

30 Dies ist immer <! Die kinetische Energie zu gegebenem Impuls wird durch die Massenzunahme verkleinert! Größenordnung: 2. Ŵ LS : Spin-Bahn-Kopplung < Ŵmv > = E n α 2 1 n ( 3 4n 1 l + 1 /2 ) E n n 2 Es ist Daraus folgt Damit ist Für l = : Für l : Ŵ LS = = = 1 1 2m 2 c 2 r r V ( r) L s 1 e 2 2m 2 c 2 4πɛ r 3 L s e 2 8πɛ m 2 c 2 r 3 L s J 2 = ( L + s) 2 = L 2 + s L s L s = 1 2 ( J 2 L 2 s 2 ) < ˆ Lˆ s >n,l,j,s = 1 2 (j(j + 1) 2 l(l + 1) 2 s(s + 1) 2 ) < Ŵ L s >= wobei < ŴLs > n,l,j = mc2 4 α4 1 n 3 l(l )(l + 1)(j(j + 1) l(l + 1) 3 4 ) mc 2 Im H-Atom ist j = l ± 1 /2, damit: 1 4 α4 2 n 3 l(l + 1 = 2 )(l + 1) 2 < γ(r) > n,l,j < ŴLs > = 2 2 < γ(r) > ((l ± 1 /2)(l ± 1 /2 + 1) l(l + 1) 3 4 ) = Asymmetrische Aufspaltung: { 2 2 < γ(r) > l fuer j = l + 1 /2 2 2 < γ(r) > ( l 1) fuer j = l 1 /2 3

31 Schwerpunkt der aufgespaltenen Niveaus: Im Mittel also keine Verschiebung! 3. Ŵ D : Darwin-Term Es ist Damit Für l = : j,m j < ŴLs > j,mj = ((2l + 2)l 2l(l + 1)) 2 2 < γ > Ŵ D = = = 2 8m 2 V (r) c2 2 e2 8m 2 ( ) 1 c2 4πɛ r = 2 e 2 32πm 2 c 2 ɛ ( 4πδ(r)) < ŴD > n,l = 2 e 2 8m 2 c 2 Ψ n () 2 ɛ = fuer l < ŴD > = mc 2 α 4 1 n 3 Damit ergibt sich die Feinstruktur : Es gibt also keine Abhängigkeit von l! < ŴF s > = < Ŵmv > + < ŴLs > + < ŴD > = mc2 α 4 2n 3 ( 3 4n 1 j + 1 ) 2 Gilt auch für die exakte Lösung der Dirac-Gleichung E n,j,l, 1/2 = mc 2 α (n j 1 /2+ (j+ 1 /2) 2 α 2 ) 2 Damit ergibt sich das Niveauschema des H-Atoms mit Feinstruktur 31

32 Hyperfeinstrukturwechselwirkung Der Kern besitzt einen Spin I. Die zugehörigen Operatoren sind: Beispiele: ˆ I 2 I, m I > = I(I + 1) 2 I, m I > Î z I, m I > = m I I, m I > Proton: I = 1 /2 (Wasserstoff-Kern) Neutron: I = 1 /2 Deuterium: I = 1 (Spins von Proton und Neutron parallel) Helium 4 He: I = (Spins der Protonen und Neutronen jeweils antiparallel) Für größere Kerne ist I eine Kombination aus Spins und Bahndrehimpulsen der Protonen und Neutronen. Der Kernspin erzeugt ein magnetisches Moment mit dem Kernmagneton und dem gyromagnetischer Faktorg I. Dieser nimmt ungewöhnliche Werte an: µ I = g I µ K I µ K = e µ B 2m p 1836 Proton g P = 5.58 Neutron g N = 3.83 Grund: Protonen und Neutronen haben innere Struktur (Quarks) Das magnetische Moment des Kerns richtet sich im magnetischen Feld des Elektrons aus. Das 32

33 mittlere Magnetfeld des Elektrons am Ort des Kerns hängt vom Drehimpuls ab: B = β J Wechselwirkungsenergie: V = µ I B Zugehöriger Term des Hamiltonoperators (magnetische Dipolhyperfein-WW): Ĥ MD = ˆ µ I ˆ B = g I µ K ˆ I ˆ B = g I µ K 2 β ˆ I ˆ J Wie bei Feinstruktur: führt zu gekoppeltem Drehimpuls F = I + J Damit neue Quantenzahlen F, m F, I, J, l, s (aber nicht mehr m I, m J, m l, m s ) Erwartungswert von ĤMD, mit Î Ĵ = 1 2 ( ˆ F 2 ˆ I 2 ˆ J 2 ): A: Hyperfein-Kopplungskonstante Für den 1s-Zustand des H-Atoms ist < ĤMD > = < g I µ K 2 β 1 2 ( ˆ F 2 ˆ I 2 ˆ J 2 ) > = A 2 (F (F + 1) I(I + 1) J(J + 1)) 2 A = g e g p µ B µ K R 1 (r = ) 2 Hier ist I = 1 /2, J = s = 1 /2; damit gibt es zwei Hyperfeinzustände: F = mit < ĤMD >= 3 4 A 2 F = 1 mit < ĤMD >= 1 4 A 2 Der Übergang F = F = 1 wird in der Astronomie beobachtet: 21 cm-linie Für höhere Zustände ist die Aufspaltung kleiner: 33

34 Weitere Terme der Hyperfeinwechselwirkung: Einfluss des Kernvolumens Einfluss elektrisches Quadrupolmoment des Kerns Noch klassisch beschreibbar. Zusätzlich muß aber Quantisierung des elektromagnetichen Feldes berücksichtigt werden! QED-Effekte: Lamb-Shift Quantisiertes E-Feld: Coulomb-Wechselwirkung durch Austausch von (virtuellen) Photonen. Feynman-Graphen: Es gibt aber auch Prozesse höherer Ordnung: z.b.: Emission und Reabsorption eines Photons durch das Elektron (führt zu Zitterbewegung ) oder auch 34

35 Virtuelle Paarerzeugung ( Vakuumpolarisation, führt zur Abschwächung des Felds) Effekte: g e weicht von 2 ab Elektronen mit großer Aufenthaltswahrscheinlichkeit im starken Feld (also l = ) sind schwächer gebunden ( Lamb-Shift ) Damit kann man die Niveaustruktur des H-Atoms zusammenfassen: Präzisionsspektroskopie am H-Atom Methoden: Emissionsspektroskopie 35

36 Absorptionsspektroskopie Begrenzung der Auflösung: apparativ: Spektrometer mit Gitter Auflösung: Zahl der beleuchteten Gitterstriche mal Beugungsordnung R 1 5 = λ λ = f f (für optische Frequenzen f = Hz fuer hν = 2.5 ev f = 1 5 f = Hz) Fabry-Perot-Interferometer Transmission für Resonanzbedingung: nλ = l Auflösung R 1 6 (opt. Frequenz f 6MHz) Laser 36

37 Erreichte Auflösung: R 1 14 f 6Hz Enorme technische Herausforderung! Wellenlängengenauigkeit entspricht der Genauigkeit der Resonatorlänge. bei R = 1 14, l = 1m l = 1 14 m! (1 Atomkerndurchmesser!) (nur möglich mit aktiver Stabilisierung!) Ebenso: Luftdichte im Resonator (Brechungsindex n = 1.3 bei Normalbedingung) muß auf 1 / = konstant gehalten werden ( Druck und Temperatur konstant auf 1 11! Hier ist es also besser, im Vakuum zu arbeiten) physikalisch: Lebensdauer starke Übergänge (z.b. 2p 1s) haben eine Lebensdauer von τ 1 ns Linienbreite f = 1 1 2π τ 16 MHz schwache Übergänge haben längere Lebensdauern (z.b. 1s F = 1 F = : τ 1s f.16 Hz) Stoßverbreiterung Unterbrechung der Emission beim Stoß mit anderen Gasatomen. z.b.: 1 mbar H Stöße s f 6 MHz Dopplereffekt verschobene Frequenzen f = f (1 + v Atom c ) Geschwindigkeitsverteilung in einer Richtung p(v) = e mv2 2 /k B T Wasserstoff: Dopplerverschiebung bei v = 22 m s, f = Hz f = v c f = 44 MHz (!) Die Dopplerverbreiterung ist also die Hauptursache endlicher Auflösung! Lösung: direktes Messen kleiner Energieunterschiede (Mikrowellenspektroskopie) dopplerfreie Messmethoden 37

38 Dopplerfreies Messen vektoriell: Idee: Absorption zweier Photonen Für ein Photon aus Quelle 1 gilt im Bezugsystem des Atoms: ω = ω + v k 1 2 Photonen aus Quelle 1 und 2: 2ω eff = 2ω + v( k 1 + k 2 ) = 2ω für k 1 = k 2 Anwendung: H-Atom 1s 2s Alternativ: Sättigungsspektroskopie Strahl 1 regt an, Absorption von Strahl 2 wird gemessen Bei ω = ω : ruhende Atome werden durch Strahl 1 angeregt und können Strahl 2 nicht mehr abschwächen. führt zu Lamp-dip im Absorptionsspektrum. 38