Die Schrödinger Gleichung

Transkript

1 Die Schrödinger Gleichung Eine Einführung Christian Hirsch Die Schrödinger Gleichung p. 1/16

2 Begriffserklärung Was ist die Schrödingergleichung? Die Schrödinger Gleichung p. 2/16

3 Begriffserklärung Was ist die Schrödingergleichung? Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt als Wellengleichung die zeitliche Entwicklung des Zustands eines unbeobachteten Quantensystems. (Wikipedia) Die Schrödinger Gleichung p. 2/16

4 Grundlagen Der Zustand eines Teilchens kann durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben werden. Die Schrödinger Gleichung p. 3/16

5 Grundlagen Der Zustand eines Teilchens kann durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben werden. ψ(x) 2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen am Ort x aufhält. Die Schrödinger Gleichung p. 3/16

6 Grundlagen Der Zustand eines Teilchens kann durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben werden. ψ(x) 2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen am Ort x aufhält. ψ(x) 2 dx = 1 Die Schrödinger Gleichung p. 3/16

7 Grundlagen Der Zustand eines Teilchens kann durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben werden. ψ(x) 2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen am Ort x aufhält. ψ(x) 2 dx = 1 ψ(x) x Die Schrödinger Gleichung p. 3/16

8 Grundlagen Der Zustand eines Teilchens kann durch die Wellenfunktion ψ(x) beschrieben werden. ψ(x) 2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen am Ort x aufhält. ψ(x) 2 dx = 1 ψ(x) 2 x Die Schrödinger Gleichung p. 3/16

9 Formel Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalen Schrödingergleichung Die Schrödinger Gleichung p. 4/16

10 Formel Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalen Schrödingergleichung h2 2m ψ (x) + E pot ψ(x) = E ges ψ(x) Die Schrödinger Gleichung p. 4/16

11 Herleitung? Fundament der Quantentheorie Die Schrödinger Gleichung p. 5/16

12 Herleitung? Fundament der Quantentheorie Keine Herleitung im eigentlichen Sinne möglich Die Schrödinger Gleichung p. 5/16

13 Herleitung? Fundament der Quantentheorie Keine Herleitung im eigentlichen Sinne möglich Allerdings: Plausibilitätsbetrachtungen möglich; z.b. Potentialtopf Die Schrödinger Gleichung p. 5/16

14 Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden x Die Schrödinger Gleichung p. 6/16

15 Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden E pot 0 L x Die Schrödinger Gleichung p. 6/16

16 Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein konstantes Potential Die Schrödinger Gleichung p. 7/16

17 Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein konstantes Potential Wahl des günstigen Bezugssystem E pot = 0 Die Schrödinger Gleichung p. 7/16

18 Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein konstantes Potential Wahl des günstigen Bezugssystem E pot = 0 h2 2m ψ (x)+ 0 ψ(x) = E ges ψ(x) Die Schrödinger Gleichung p. 7/16

19 Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein konstantes Potential Wahl des günstigen Bezugssystem E pot = 0 h2 2m ψ (x) = E ges ψ(x) Die Schrödinger Gleichung p. 7/16

20 Probeansatz Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx) Die Schrödinger Gleichung p. 8/16

21 Probeansatz Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx) h2 2m (A sin(bx)) = E ges A sin(bx) Die Schrödinger Gleichung p. 8/16

22 Probeansatz Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx) h2 2m (A sin(bx)) = E ges A sin(bx) h2 2m Ab2 sin(bx) = E ges A sin(bx) Die Schrödinger Gleichung p. 8/16

23 Probeansatz Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx) h2 2m (A sin(bx)) = E ges A sin(bx) h2 2m Ab2 sin(bx) = E ges A sin(bx) h2 2m b2 = E ges Die Schrödinger Gleichung p. 8/16

24 Nebenbedingungen ψ(0) = 0, ψ(l) = 0 Die Schrödinger Gleichung p. 9/16

25 Nebenbedingungen ψ(0) = 0, ψ(l) = 0 ψ(x) = A sin(bx) Die Schrödinger Gleichung p. 9/16

26 Nebenbedingungen ψ(0) = 0, ψ(l) = 0 ψ(x) = A sin(bx) bl = kπ b = kπ L Die Schrödinger Gleichung p. 9/16

27 Nebenbedingungen ψ(0) = 0, ψ(l) = 0 ψ(x) = A sin(bx) bl = kπ b = kπ L Einsetzen in E ges = h2 2m b2 = h2 8π 2 m b2 Die Schrödinger Gleichung p. 9/16

28 Nebenbedingungen ψ(0) = 0, ψ(l) = 0 ψ(x) = A sin(bx) bl = kπ b = kπ L Einsetzen in E ges = h2 2m b2 = E ges = h2 k 2 8mL 2 h2 8π 2 m b2 Die Schrödinger Gleichung p. 9/16

29 Normierung ψ(x) 2 dx = 1 Die Schrödinger Gleichung p. 10/16

30 Normierung ψ(x) 2 dx = 1 L 0 A2 sin 2 (bx)dx = 1 Die Schrödinger Gleichung p. 10/16

31 Normierung ψ(x) 2 dx = 1 L 0 A2 sin 2 (bx)dx = 1 A 2 L 0 1 cos(2bx) 2 dx = 1 Die Schrödinger Gleichung p. 10/16

32 Normierung ψ(x) 2 dx = 1 L 0 A2 sin 2 (bx)dx = 1 A 2 L 0 [ A 2 1 cos(2bx) 2 x (2 kπ L ) 1 sin(2 kπ L x ) 2 dx = 1 ] L 0 = 1 Die Schrödinger Gleichung p. 10/16

33 Normierung ψ(x) 2 dx = 1 L 0 A2 sin 2 (bx)dx = 1 A 2 L 0 [ A 2 1 cos(2bx) 2 x (2 kπ L ) 1 sin(2 kπ L x ) 2 dx = 1 ] L 0 = 1 A 2 L 2 = 1 A = 2 L Die Schrödinger Gleichung p. 10/16

34 Interpretation als stehende Welle Ergebnis der Schrödingergleichung 2 ψ(x) = L sin( kπ L x) Die Schrödinger Gleichung p. 11/16

35 Interpretation als stehende Welle Ergebnis der Schrödingergleichung 2 ψ(x) = L sin( kπ L x) kπ L λ = 2π λ = 2L k λ 2 k = L Die Schrödinger Gleichung p. 11/16

36 Interpretation als stehende Welle Ergebnis der Schrödingergleichung 2 ψ(x) = L sin( kπ L x) kπ L λ = 2π λ = 2L k λ 2 k = L Die Schrödinger Gleichung p. 11/16

37 Interpretation als stehende Welle Ergebnis der Schrödingergleichung 2 ψ(x) = L sin( kπ L x) kπ L λ = 2π λ = 2L k λ 2 k = L Die Schrödinger Gleichung p. 11/16

38 Interpretation als stehende Welle Ergebnis der Schrödingergleichung 2 ψ(x) = L sin( kπ L x) kπ L λ = 2π λ = 2L k λ 2 k = L Die Schrödinger Gleichung p. 11/16

39 Interpretation als stehende Welle Ergebnis der Schrödingergleichung 2 ψ(x) = L sin( kπ L x) kπ L λ = 2π λ = 2L k λ 2 k = L Die Schrödinger Gleichung p. 11/16

40 Kinetische Energie Untersuchung des Terms h2 2m ψ (x): Die Schrödinger Gleichung p. 12/16

41 Kinetische Energie Untersuchung des Terms h2 2m ψ (x): h2 2m ψ (x) = h2 2m ( 2 L sin( kπ L x)) Die Schrödinger Gleichung p. 12/16

42 Kinetische Energie Untersuchung des Terms h2 2m ψ (x): h2 2m ψ (x) = h2 2m ( 2 L sin( kπ L x)) = h2 8π 2 m k 2 π 2 L 2 2 L sin( kπ L x) = h2 8m k 2 (k λ 2 )2 ψ(x) Die Schrödinger Gleichung p. 12/16

43 Kinetische Energie Untersuchung des Terms h2 2m ψ (x): h2 2m ψ (x) = h2 2m ( 2 L sin( kπ L x)) = h2 8π 2 m k 2 π 2 L 2 2 L sin( kπ L x) = h2 8m h 2 p2 ψ(x) = 2λ 2 m 2m ψ(x) = E kinψ(x) k 2 (k λ 2 )2 ψ(x) Die Schrödinger Gleichung p. 12/16

44 Fazit des Gedankenversuchs Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für E ges möglich (Eigenwerte) Die Schrödinger Gleichung p. 13/16

45 Fazit des Gedankenversuchs Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für E ges möglich (Eigenwerte) Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen Die Schrödinger Gleichung p. 13/16

46 Fazit des Gedankenversuchs Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für E ges möglich (Eigenwerte) Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen Komplexitätssteigerung bei mehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen Die Schrödinger Gleichung p. 13/16

47 Fazit des Gedankenversuchs Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für E ges möglich (Eigenwerte) Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen Komplexitätssteigerung bei mehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen Oft keine Lösung in geschlossener Form möglich Die Schrödinger Gleichung p. 13/16

48 Ausblicke: Endlicher Potentialtopf x Die Schrödinger Gleichung p. 14/16

49 Ausblicke: Endlicher Potentialtopf ψ(x) x Die Schrödinger Gleichung p. 14/16

50 Ausblicke: Endlicher Potentialtopf ψ(x) x Die Schrödinger Gleichung p. 14/16

51 Ausblicke: Tunneleffekt x Die Schrödinger Gleichung p. 15/16

52 Ausblicke: Tunneleffekt ψ(x) x Die Schrödinger Gleichung p. 15/16

53 Ausblicke: Tunneleffekt ψ(x) x Die Schrödinger Gleichung p. 15/16

54 Ausblicke: Tunneleffekt ψ(x) x Die Schrödinger Gleichung p. 15/16

55 Für Spielereien Die Schrödinger Gleichung p. 16/16