Potentialtöpfe und Potentialbarrieren

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1 Potentialtöpfe und Potentialbarrieren Potentialtopf Potentialbarriere V V -V < V > für x < V ( x = ± V für x a für x > a Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen V(x : x > L / V ( x = V : x > L / V(x -L / L / -L/ L / x. Fall: V=-V, E< -V - lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden

2 Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen Die diskrete Natur der Lösungen ergibt sich jetzt wieder aus den Stetigkeitsbedingungen: ( L / = ( L / '( L / = '( L / I II I II ( L / = ( L / '( L / = '( L / II III II III 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten + αβγ,,, γ (mit k bzw. κ als Parameter W in ev.5 Ψ W.5 Ψ W.5.5 x i n n m - L / L / Gleichungssystem hinschreiben Determinante = setzen Bedingungen für k bzw. κ kl κ = k tan für symm. (cosinusartig kl κ = k cot für antisymm. (sinusartig m V Weiterhin gilt: κ +k = ħ = C Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen Symmetrische (gerade Lösungen: cos( L A kx für x ug ( x = L L A cos( k e xp κ ( x L für x > W in ev.5 Ψ W Antisymmetrische (ungerade Lösungen: sin( L B kx für x uu ( x = L L B sin( k e x p κ ( x L für x > -Stetigkeitsbedingungen werden nur für -diskrete k erfüllt: endliche Anzahl von Wellenfunktionen mit diskreten Energiewerten.5 Ψ W L / L / x i n n m -im Gegensatz zur klassischen Lösung endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit ausserhalb der Topfes!! Quantenmechanischer Tunneleffekt Teilchen tunnelt aus dem Topf heraus

3 Potentialtopf: E>, Kontinuumslösungen Klassisch für E>: Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst V(x - L / L / Quantenmechanisch für E>: L L Aus gedämpft ( x = B sin( k e x p κ ( x wird Kontinuum L L ( x = B sin( k s i n ( κ '( x Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes. wobei - V mv κ = k ħ Qualitatives Bild der Lösungen: Potentialtopf: E>, instationäre Lösungen Ansatz für die Lösung also: + α exp( ikx + α exp( ikx : x < L / + + ( x = γ exp( ik ' x γ exp( ik ' x : -L/< x < L/ + β exp( ikx + β exp( ikx : x > L / R T..ergibt eine üble Rechnerei. V(x a Typischere Situation: Elektron kommt nur einer Seite: Ebene Welle läuft von links nach rechts Die Rechnerei ist damit immer noch heftig. - C Was interessiert uns denn eigentlich? Ähnlich zur Optik sind die Reflexions - und der Transmissionskoeffizienten (die Ströme relevant. (R+T=

4 Potentialtopf: E>, Kontinuumslösungen T + = β ; α R = α α + + R V(x T sin ( me ( + V / ħ a T ( E> = ( + 4( E / V ( E / V + a -C nπ Resonanzen für k ' = me a ε = ħ also immer dann, wenn die halbe Materiewellenlänge (oder ein ganzzahliges Vielfaches in den Potentialtopf hineinpasst Potentialtopf: E>, Kontinuumslösungen Ähnliches Verhalten wie beim Durchgang von Licht (=elektromagneti sche Welle durch ein Fabry-P erot-interferometer: 4

5 Potentialbarriere E<V : Tunneleffekt in Reinkultur d e n n : V Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit %iger Wahrscheinlichkeit reflektiert werden. Quantenmechanisch durchtunnelt es mit einer gewissen Wahrschei nlichkeit die Barriere sinh ( mv ( E / ħ a T ( E < V = ( + 4( E / V ( E / V Potentialbarriere -hinter der Potentialstufe nach rechts laufende Welle mit räumlich konstanter Aufenthaltswahrscheilichkeit -vor der Potentialstufe bildet sich durch Interferenz von hinlaufender und reflektierter Welle eine räumlich periodische Aufenthaltswahrscheinlichkeit aus 5

6 Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die Tunneldiode Für die Stromdichte gilt dann: V F = d Sehr starke Feldabhängigkeit, hohe Nichtlinearität des Bauelementes 6

7 Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die Tunneldiode Für die Stromdichte gilt dann: V F = d Sehr starke Feldabhängigkeit, hohe Nichtlinearität des Bauelementes Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die Tunneldiode Metall-I solator-tunneldiode Tunneldiode in Mikrowellenschaltkreisen Z e n e r -Diode zur Spannungsstabilisierung 7

8 Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die resonante Tunneldiode Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die resonante Tunneldiode statt normaler Diodenkennlinie -Bereich mit negativem differentiellen Widerstand 8

9 Anwendung von Potentialbarriere: Das Rastertunnelmikroskop Die Potentialbarriere Gibt im Prinzip genau die Lösung wie beim Potentialtopf f ü r E > : E>V V sin ( me ( V / ħ a T ( E > V = ( + 4( E / V ( E / V V 9

10 Der harmonische Oszillator -ein weiteres exakt lösbares und immer wieder auftauchendes Problem. (Fast alle Potentiale können in erster Näherung als parabolisch beschrieben werden. - Oszillatoren... schwingende Gebilde auch eine Frage in diesem Zusammenhang: Was sind eigentlich Photonen und Phononen? - Wackelnde Atome in Kristallgittern - Oszillierende elektromagnetische Felder z.b. Si Der harmonische Oszillator: Klassisch Klassisch: Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung von der Ruheposition F ( x = Gx F = dv / dx oder wegen als Potential geschrieben G V ( x = x Klassische Bewegungsgleichung: d x + ω x = dt m i t ω = G m x

11 Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch Stationäre Schrödinger-Gleichung: ħ d ω + = mdx ( x x ( x E ( x...um eine handhabbare Differentialgleichung zu erzeugen, wird die Variable u eingeführt: mω u = x ħ x Damit ergibt sich dann d E ( u u ( u ( u du + = ħω Lösungen dieser DGL kann man suchen,... lässt man aber besser die Mathematiker finden... Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch Die Lösungen haben die Form u n ( u = An exp Hn ( u wobei H n die Hermite schen Polynome sind: H ( u = H ( u = u H u u ( = 4 H u u u ( = 8 H u u u 4 4 ( = mit dem rekursiven Bildungsgesetz: H ( u = uh ( u ( n H ( u n n n E,V u

12 Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch Die Lösungen haben die Form u n ( u = An exp Hn ( u wobei H n die Hermite schen Polynome sind:...wieder mal alternierend symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen. E,V u Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch Die Lösungen haben die Form u n ( u = An exp Hn ( u wobei H n die Hermite schen Polynome sind: Für die Energieeigenwerte gilt: E = ( n+ ħω n=,,... E,V Im Gegensatz zu den rechteckigen Potentialtöpfen äquidistante Energieniveaus! u

13 Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch Eigenschaften der Lösungen: - nichtverschwindende Nullpunktsenergie -diskrete Energieniveaus (...diesmal ohne besondere Stetigkeitsbetrachtungen heraus gekommen -äquidistante Energieniveaus Sprechweise: Es werden Phononen der Energie ħω angeregt. E,V z.b. Si u Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch Aber: Befindet sich das System in einem Eigenzustand ist der Erwartungswert <x>=. Oszillationen ähnlich dem klassischen Verhalten ergeben sich wieder nur durch die Überlagerung von Eigenzuständen zu Wellenpaketen. E,V Dem klassischen Oszillator am nächsten kommen die kohärenten Zustände: En ( xt, = c exp i t n ( x nn n= ħ m i t c nn = n n exp( n n! Dies ergibt eine Poisson-Verteilung mit d e m M i t t e l n u n d d e r S t a n d a r d a b w e i c h u n g n. u

14 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Klassische Energie des harmonischen Oszillators: p mω E = H = + x m Eine ähnliche Relation gilt für das elektromagnetische Feld. Für die Energie einer stehenden elektromagnetischen Wellen in einem Hohlraum gilt: L W = ε E + B dx µ 4

15 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Klassisch: Feldstärke der Felder kann kontinuierlich erhöht werden Quantenmechanisch: Energie des Feldes kann wie beim harmonischen Oszillator nur in Portionen von ħω aufgenommen und abgegeben werden: E,V Photonen u Quantenmechanische Probleme in D zu lösen ist dann die dreidimensionale S.-Glg: ħ d ( x V ( x ( x E ( x mdx + = ħ ( r V ( r ( r E ( r m + = Nehmen wir den dreidimensionalen harm. Oszi.: m V ( r = ωix i = i Das Potential ist somit additiv V ( r = f ( x + g ( y + hz ( x y z 5

16 Quantenmechanische Probleme in D Bei einem additiven Potential ist die S.-Glg. separierbar: Produktansatz: = = i = ( xyz,, ( x ( y ( z ( x Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt: i i V ( r = f ( x + f ( y + f ( z = fi ( xi i = ħ ( + + ( x ( y ( z + ( f ( x + f ( y + f ( z ( x ( y ( z = m x y z E ( x ( y ( z ħ ( ''( x ( y ( z + ( x ''( y ( z + ( x ( y ''( z + m ( f ( x + f ( y + f ( z ( x ( y ( z = E ( x ( y ( z Quantenmechanische Probleme in D ħ ''( x ''( y ''( z ( x + f ( y + f ( z = E = Ex + Ey + E m ( ( f ( x ( y ( z z Gleichung muss gelten für alle x,y,z. Daher muss auch einzeln gelten: ħ ''( x ħ + f ( x = E ''( x + f ( x ( x = E ( x m x x ( x m e t c. e t c. D.h. die Funktionen müssen die eindimensionalen S.-Glg. erfüllen. Die dreidimensionale Lösung ergibt sich dann als Produkt der D-Lösungen. Zustände: ( xy,, z = nx ( x ny ( y nz ( z Für die Energieeigenwerte gilt in diesem Fall: Enx, ny, nz = Enx + Eny + Enz = ħ ( ni + ωi i = Sprechweise: Zustand wird beschrieben durch die drei Quantenzahlen nx,ny,nz 6

17 Der dreidimensionale harmonische Oszillator Einfache Notation in Dirac-Schreibweise: = nx, ny, nz E Falls ω i fü r alle Raumrichtungen gleich ist, dann ergeben sich entartete Zustän d e : [ ħω] x 4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -fach entartet nicht entartet 6 -fach entartet y z Ende 7.. 7