2. Einmassenschwinger. Inhalt:

Transkript

1 . Einmassenschwinger Inhalt:.1 Bewegungsdifferentialgleichung. Eigenschwingung.3 Harmonische Anregung.4 Schwingungsisolation.5 Stossartige Belastung.6 Allgemeine Belastung.7 Nichtlineare Systeme.8 Dämpfungsarten

2 . Einmassenschwinger.1 Differentialgleichung der Bewegung Grössen: m Masse Federsteifigeit c Dämpfungsraft x Weg x Geschwindigeit x Beschleunigung Summe der Kräfte aus Massenpuntsystem m x cx x p(t) (.)

3 . Einmassenschwinger.1 Differentialgleichung der Bewegung Grössen: m Masse Federsteifigeit c Dämpfungsraft x Weg x Geschwindigeit x Beschleunigung Summe der Kräfte aus Massenpuntsystem m x cx x p(t) (.)

4 . Einmassenschwinger. Eigenschwingung (1) m x cx x 0 (.3) Lösungsansatz: rt x( t) C e (.4) Einsetzen von (.4) in (.3) und durch m dividieren r wobei c m r n n m (.5b) Lösung und damit Art der Bewegung ist von c abhängig c bestimmt die Art der Bewegung 0 ω n : Eigenreisfrequenz

5 . Einmassenschwinger. Eigenschwingung () Definitionen (.9) t T T (Schwingdauer) = Periode [s] f = Frequenz = 1/T [s -1 ] = [Hz] f = ω n / π ω = Kreisfrequenz = π f ω n = Eigenfrequenz ungedämpftes System ω d = Eigenfrequenz gedämpftes System n m

6 . Einmassenschwinger. Eigenschwingung () ω n = Eigenfrequenz ungedämpftes System ω d = Eigenfrequenz gedämpftes System m x cx x 0

7 . Einmassenschwinger. Ungedämpfter Einmassenschwinger C = 0 Lösung der Gleichung.5b : r iω n Einsetzen in Bewegungsgleichung i t i t 1 xt C e C e n n () Umformen mit Hilfe der Eulergleichung c m r n x( t) B1 sin( nt) B cos( nt) Konstanten B 1 und B aus Anfangsbedingungen r 0 (.6) (.7) (.8) n m

8 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (1) C > 0 Lösung der Gleichung.5b : r c m c m r c m r n n (.1) 0 n m > 0 überritisch gedämpft 3 Lösungen = 0 ritisch gedämpft < 0 unterritisch gedämpft

9 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger () 0 c = m ω = c c ritisch gedämpft r c m -ωnt x(t) = C1 e + C e ω n t

10 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (3) c < c c negativ (unterritisch) r D D c c D c m c n n n n System hat nun eine neue Eigenfrequenz (.13) (.14) Dämpfungsverhältnis D n 1 D (.15) wobei D n

11 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (4) D t n x( t) e B sin( Dt) B 1 cos( D t (.18) Amplitude f(d, ω n, t) Wie ungedämpft aber ω D anstelle ω n

12 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (5) c > c c D > 100 % positiv D t n x ( t ) e B sinh( ˆ t ) B 1 cosh( ˆ t ˆ n D 1 wobei ˆ n! Eigenreisfrequenz des überritisch gedämpften Systems

13 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (6) Verschiedene Anfangsbedingungen x x t0 t0 x v 0 0

14 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (7) ritisch Gleicher Anfangswert, aber Amplitude wird langsamer abgebaut! Einfluss der Dämpfung x x t0 t0 x v 0 0

15 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger (8) D ω D /ω n 1% % % % % 0.95 Im Allgemeinen darf für leine Dämpfung (ca. < 30 %) mit der ungedämpften Eigenreisfrequenz oder Eigenfrequenz gerechnet werden! 40% % % 0.80

16 . Einmassenschwinger. Gedämpfter Einmassenschwinger, Übersicht (9)

17 . Einmassenschwinger.3 Harmonische Anregung z.b. - Maschinen mit rotierenden Teilen - Grundlage für andere, nicht harmonische Anregungen Fourierreihenzerlegung onstante Anregung (p 0 = Konstante): mx cx x p0 sin( t ) quadratische Anregung (ω : Fliehräfte massgebend): m x cx x a sin( t)

18 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, ungedämpfter Einmassenschwinger (1) allgemeine Lösung = homogene + partiuläre Lösung Ansatz: mx x p0 sin( t ) x t x x () h p x B sin( t) B cos( t) h 1 n n (.0) (.1) x Csin( t) p C in Gleichung.0 einsetzten : (.) p0 p0 1 m 1 n (.3) Definition Frequenzverhältnis (.4)

19 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, ungedämpfter Einmassenschwinger () p0 1 xt ( ) xh xp B1sin( nt) Bcos( nt) sin( t) 1 p0 1 xt () sin tsinnt 1 (.5) (.6) Einsenung unter statischer Last. Verstärungsfator β = 0 1 β = 1 β = 0 3. Schwingung mit Erregerfrequenz 4. Schwingung mit Eigenfrequenz

20 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, gedämpfter Einmassenschwinger (1) mx cx x p t 0 sin (.19) mx cx x p e 0 i t omplexe Formulierung (.7) x( t) i( t ) Ansatz partiuläre Lösung: (.8) Be in (.6) verschwindet der Term der Schwingung mit Eigenfrequenz. Nur Anteil mit Erregerfrequenz bleibt (stationäre Lösung) (.8) in (.7) B i i t pe pe o o x( t) m ci (.9) (.30) m ci

21 . Einmassenschwinger Mit.3 "Konstante" Anregung, gedämpfter Einmassenschwinger () n und D c mn xt () Erweitern mit i t pe o 1 id (1 id ) (.31) xt () p 0 i t 1 id e 1 D (.3)

22 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, gedämpfter Einmassenschwinger (3) (.3) ann durch zwei rotierende Vetoren dargestellt werden: t = 0: t > 0:

23 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, gedämpfter Einmassenschwinger (4) p 0 e i t p id 1 ( D ) 0 A 1 ( D ) 1 und p0 e i t (.33a) 1 1 ( D ) D arctg 1 0 θ 180 (.33b) Verstärungsfator A A V x st p 0 1 ( D ) 1 (.34)

24 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, gedämpfter Einmassenschwinger (5)

25 . Einmassenschwinger.3 Gedämpfter Einmassenschwinger mit quadratischer Anregung (1) Modell einer Maschine mit Unwucht x x esin t m (.38) Verbleibende statische Masse der Maschine Bewegungsgleichung der Unwucht d M m x m x esin t cx x 0 dt (.39)

26 . Einmassenschwinger.3 Gedämpfter Einmassenschwinger mit quadratischer Anregung () m sin Mx cx x e t (.40) me xt ( ) A me e i t 1 id 1 ( D ) 1 1 ( D ) Identisch zu.19 /.3 (.41) (.4).4 in dimensionslose Form bringen: A V m e M 1 ( D ) Vergleiche Fall p o sin(ωt) (.43)

27 . Einmassenschwinger.3 Gedämpfter Einmassenschwinger mit quadratischer Anregung (3) Resonanzurve bei quadratischer Anregung

28 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, alternative Darstellung (1) Problem: Klassische Darstellung (.36) V x p max 0 / ( m ) ( c) Zeigt gut Einfluss von ω und D Aber in der Praxis: D aum änderbar m leicht änderbar leicht änderbar Von m abhängig n m Andere Darstellung erwünscht!!!

29 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, alternative Darstellung () - Bei pratischen Anwendungen werden Resonanzurven mit expliziter Darstellung der Massen und Federsteifigeiten verwendet m und lassen sich am ehesten beeinflussen D lässt sich aum beeinflussen V x p max Verstärungsfator: (.36) 0 m c mit a 0 c B und m c V 1 1 Ba 0 a0 (.37)

30 . Einmassenschwinger.3 "Konstante" Anregung, alternative Darstellung (3) pratische Darstellung: V 1 1 B a 0 a0 V A Dimensionslose Frequenz: nicht von m abhängig a 0 Dimensionsloser Massenfator: B A m c p 0 c

31 . Einmassenschwinger.3 Eigenschaften von Resonanzurven (1) z. B. Experiment ω ω Schwinger x x max ω

32 . Einmassenschwinger.3 Eigenschaften von Resonanzurven () Versuchsresultate: - Eindeutige Resonanzspitzen - Amplituden begrenzt - Ähnlich Einmassenschwinger mit quadratischer Anregung

33 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Einmassenschwinger T Periode [s] f = Frequenz = 1/T [s -1 ] = [Hz] mx cx x p() t n m gültig bis D ~ 30% c c D c m cr Kritische Dämpfung n

34 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Harmonische Anregung (1) Wichtig:- Maschinen - andere Anregungen FFT Typen: p 0 sin sin t t Fliehräfte (onstant) (quadratisch) Lösung:Schwingungsgleichung x(t) = Einsenung unter stat. Last Verstärungsfator Schwingung f(t) abhängig β = ω/ω n Anteile: - ω abhängig - ω n abhängig (lingt ab wenn gedämpft)

35 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Harmonische Anregung () Resonanzurven: p 0 sin(ω t) aω sin(ω t)

36 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Harmonische Anregung (3) Resonanzurven für verschiedene Dämpfungsverhältnisse D Resonanzurven für verschiedene Massenverhältnisse B

37 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Harmonische Anregung (4) Konstante Anregung Bestimmen von D und ω n Quadratische Anregung Bestimmen von D und ω n

38 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Harmonische Anregung (5)

39 . Einmassenschwinger Zusammenfassung Harmonische Anregung (6)