Baudynamik (Master) SS Beispiele: Ungedämpfte freie Schwingungen
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- Johannes Ursler
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1 Baudynamik (Master) SS 7 Beispiee: Ungedämpfte freie Schwingungen
2 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie : Eigenfrequenzen und Eigenformen m m m m, m m m Steifigkeitsmatrix: K= k k 48EI Massenmatrix: m m M= m m Schwingungsgeichungen: K w+mw Lösungsansatz: w cost
3 Ungedämpfte freie Schwingungen K- M K- M k 5k m 7 7 = 5k 6k m det( K- M)=4m km k 86, 4 k m 86 k 86,59 k, k,767 k 4 m m 4 m m
4 Hereitung der Schwingungsgeichungen Zu jeder Eigenfrequenz gehört ein Eigenvektor: Die beiden Komponenten eines Eigenvektors können nicht eindeutig bestimmt werden, da sie nicht unabhängig voneinander sind. Eine Komponente davon kann zu normiert werden. Die andere Komponente kann dann aus einer der beiden Schwingungsgeichungen bestimmt werden. k 5k z. B.: a = a aus der. G.: m a a a,7 7 7 a a,7. Eigenvektor 4
5 Hereitung der Schwingungsgeichungen naog für : a a, 58. Eigenvektor, 58,7. Eigenform. Eigenform 5
6 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie : Normierung und Orthogonaität der Eigenvektoren m m Ingenieurnormierung: Massennormierung: ngabe siehe Beispie!,7 M= m M M = = M M M M,58, 4m 5, 668m,975, 4m m, 97, 4 5, 668m m, 64 6
7 Orthogonaität: Ungedämpfte freie Schwingungen M M M M M M M M M M M M Hausaufgaben: ) Bestimmen Sie die steifigkeitsnormierten Eigenvektoren ) Überprüfen Sie die Orthogonaität der steifigkeitsnormierten Eigenvektoren: K,. K K K K K K K K K K K K K 7
8 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie : Modamatrix m m ngabe siehe Beispie! Modamatrix: M,975, 4 =, M = m, 97 m, 64,975, 4 M M m, 97, 64 M, K I ω 8
9 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie 4: Freiheitsgrade m m m m m m E E E nzah der Freiheitsgrade = nzah der Massen =! nzah der Freiheitsgrade = 4 nzah der Massen =! nzah der Freiheitsgrade = nzah der Massen =! Die nzah der Freiheitsgrade ist im gemeinen nicht geich der nzah der Massen. Die nzah der Freiheitsgrade ist abhängig von der nnahme (dehnstarr, dehnbar, etc.). Die nzah der Freiheitsgrade ist unabhängig von der statischen Unbestimmtheit und der geometrischen Unbestimmtheit. 9
10 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie 5: Lösung ungedämpfter freier Schwingung m m m Ende des Kragträgers wird eine wirkende Kraft F pötzich entfernt. Danach schwingt der räger frei. Sonstige ngaben: Siehe Beispie! w F w nfangsbedingungen: w w () () w w F EI 5F 48EI w () v w () v
11 Ungedämpfte freie Schwingungen Lösungsweg : Konventionee Methode w= c cos( t ) c cos( t ) M M us den nfangsbedingungen: w () = c cos c cos w M M c w () = c sin ( ) sin ( ) v M M Die. Geichung ist automatisch erfüt, fas! c c w M M c M c M Mw M M M M M F c MMw,64 m EI
12 Ungedämpfte freie Schwingungen naog: F c MMw,6 m EI Einsetzten der 4 Konstanten iefert: w ( t) =,64 m M cos t,6 m M cos t F EI
13 Ungedämpfte freie Schwingungen Lösungsweg : Modatransformation w= q q q q q q q q b cos t, q b cos t Die 4 Konstanten können aus den 4 nfangsbedingungen bestimmt werden.
14 nfangsbedingungen: w= q Ungedämpfte freie Schwingungen q= w= Mw ( MI = M) q() bcos q () = = Mw q() bcos q () bsin q () = Mw q() bsin Die. Geichung ist automatisch erfüt, fas! b,64 = Mw b,6 - m F EI 4
15 Bemerkung: Ungedämpfte freie Schwingungen q () t,64 cos q= q() t,6cos t t q w= q q m F EI M M M M q F =,64M cost, 6M cost m EI Die npassung an die nfangsbedingungen kann auch nach der Rücktransformation durchgeführt werden! q w= q q = b cos t b cos t M M M M q M M q q w() w w () v b, b,, 5
16 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie 6: Rayeigh-Verfahren für diskretes System m m Bestimmung der. Eigenfrequenz mit dem Rayeigh- Verfahren. ngaben: Siehe Beispie! Rayeigh-Quotient: K M Statische Biegeinie: w F w w w F EI 5F 48EI w 5 w
17 Hereitung der Schwingungsgeichungen k 5 k 5 k k K K M 5 5 5,95 M m m m m K k /6 M,95m k, 5 m Zum Vergeich: Ergebnis aus dem Zweimassenschwinger,59 k m 7
18 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie 7: Rayeigh-Verfahren für kontinuieriches System EI,, M Bestimmung der. Eigenfrequenz mit dem Rayeigh- Verfahren. Rayeigh-Quotient: EI W ( x) dx mwx ( ) dx Massenbeegung: m M Biegeinie: Die geometrischen (wesentichen) W( x) ax RB sind erfüt: W () W () 8
19 Ungedämpfte freie Schwingungen EI W ( x) dx EI a dx EI 4a 5 mwx ( ) dxm ax dxma 5 EI W ( ) x dx EI 4a EI 5 4 mwx ( ) dx ma /5 m Zum Vergeich: Exaktes Ergebnis,9 EI m 4 9
20 Ungedämpfte freie Schwingungen Beispie 8: Ritz-Verfahren für kontinuieriches System EI,, M Bestimmung der Eigenfrequenzen mit dem Ritz- Verfahren. Biegeinie: x x W ( x) a( x) a( x) a a ( x) ( x) Die geometrischen (wesentichen) RB sind erfüt: W () W ()
21 Ungedämpfte freie Schwingungen ( x), ( x) 6 x EI k EI ( x) ( x) dx4 EI k EI ( x) ( x) dx6 EI k k 6 EI k EI ( x) ( x) dx m m ( x) ( x) dx m 5 m m ( x) ( x) dx m 6 m m m 6 m m ( x) ( x) dx m 7
22 Ungedämpfte freie Schwingungen K EI 4 6 /5 /6, m 6 M /6 /7 K M K- M a Det m -,974EI m EI 5 6 EI,48,,595 m EI m 4 4 Zum Vergeich: Exaktes Ergebnis EI,9, 484 m EI m 4 4
23 Ungedämpfte freie Schwingungen Eigenvektoren: : K- M a 4 6 /5 /6 a EI m 6 /6 /7 a EI EI 4 m 6 m a 5 6 a,84 x x W ( x) a( x) a( x),84
24 Ungedämpfte freie Schwingungen naog: : K- M a 4 6 /5 /6 a EI m 6 /6 /7 a a, 6 x x W ( x) a( x) a( x),6. Eigenform. Eigenform W ( x) W ( x) 4
25 Vergeich: Diskret ( Masse) Ungedämpfte freie Schwingungen Diskret ( Massen) Rayeigh (diskret) Rayeigh (kontinu.) Ritz (kontinu.) Exakt,45,6,7 4,47,5,5 6,6 4,8, EI m 4 m / / m EI,, M m /4 /4 m /4 /4 m EI,, M Einmassenschwinger: M m M m m Zweimassenschwinger: M 4m M 4 m m Bemerkung: Fas die i-te Eigenfrequenz zu bestimmen ist, dann immer i+ erme im Ritz-nsatz verwenden! 5
26 Baudynamik (Master) SS 7 Beispie: Gedämpfte freie Schwingungen 6
27 Gedämpfte freie Schwingungen Beispie 9: Gedämpfte freie Schwingungen m m Lösung: mit der Modatransformation ngaben: Wie im Bsp.! m m, m m m Jetzt aber mit Dämpfung: D D,5 5% w= q Einmassenschwinger! q Dq q q D q q t q ce cos t, q c e cos t t d d 7
28 Gedämpfte freie Schwingungen Mit: D, D, D, D d d Die 4 Konstanten können aus den 4 nfangsbedingungen bestimmt werden. nfangsbedingungen: w= q q= w= Mw ( M I = M) q() ccos q () = = Mw q() ccos q () c sin cos () q () = d q c d sin cos = Mw - 8
29 Gedämpfte freie Schwingungen us der. Geichung: tan tan D D d D D d,87 us der. Geichung: ccos,64 = Mw ccos, 6 m F EI c,64 = c,6 m F EI 9
30 Gedämpfte freie Schwingungen t q,64e cos dt,87 m EI t q, 6e cos d t,87 m EI F F q w q q M M M M q t t F w,64 Me cos dt,87,6 Me cos dt,87 m EI q
31 Gedämpfte freie Schwingungen Näherung: t t F w,64me cos d t,87, 6Me cos d t,87 m EI t e t t m t =,64 cos, 6 cos e M M F EI Vergeich mit der ungedämpften freien Schwingung: F w=,64 M cos t,6m cos t m EI
32 Baudynamik (Master) SS 7 Beispie: Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
33 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Beispie : Ungedämpfte erzwungene Schwingung F F m m m m, m m m Erregerkräfte: F F cos( t) * F F cos( t) * nfangsbedingungen: w() w, w ()= Lösung: * * F F cos( t) F * F cos( t) cos( t) * * F F F cos( t) F Gesamtösung: w wh wp Homogene Lösung: siehe Bsp. 5! w h = c cos( t ) c cos( t ) M M
34 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Partikuarösung:.) Direkte Methode w * p =wpcos( t K- M w F K dyn Kw Mw F p * * p p dyn k 5k m w K F * * p dyn 7 7 = 5k 6k K K- M m K dyn 6k 5k m 7 7 5k k m 7 7
35 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen = det K Da = (siehe Bsp. 5!): dyn K dyn 6k 5k m 7 7 5k k m 7 7 6k 5k * * * m 7 7 F w p =KdynF * 5k k F m 7 7 5
36 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Gesamtösung: w w w = c t c t w t * h p Mcos( ) Mcos( ) p cos nfangsbedingungen: w() w : c cos( ) c cos( ) wp w * M M w() : c * Mcos( ) cmcos( ) w wp c sin( ) c sin( ) M M 6
37 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen us der. B: c c w w * M M p c M c M M w M M M M M w * p c * M p M w w naog: * c MM w wp Nachtei der direkten Methode: Man muss immer die inverse dynamische Steifigkeitsmatrix biden, was bei großen Matrizen recht schwierig ist! 7
38 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Partikuarösung:.) Modatransformation w = q p p q q q q q p p M q p p M F F * M * M 8 q () t q p cos( t ) F F
39 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen q q cos t t * F cos p M q q cos t t * F cos p M F F wp F F F MM M M imim i i Bestimmung der Konstanten c, c, und : Wie bei der direkten Methode zuvor! 9
40 Baudynamik (Master) SS 7 Beispie: Gedämpfte erzwungene Schwingungen 4
41 Gedämpfte erzwungene Schwingungen Beispie : Gedämpfte erzwungene Schwingung Lösung: F F m m m m, m m m * F F cos( t) Erregerkräfte: * F F cos( t) w() w, w ()= v nfangsbedingungen: Modae Dämpfung: D D,5 5% Die direkte Methode ist kompizierter in diesem Fa, da sie die Lösung der kompizierten Eigenwertgeichung benötigt! Die Modatransformation ist hierbei dagegen einfacher wegen der nnahme der modaen Dämpfung. F * * F F cos( t) F * cos( t) cos( t) * * F F F cos( t) F 4
42 Gedämpfte erzwungene Schwingungen Gesamtösung: w w w h p Homogene Lösung: siehe Bsp. 9! t t w = c e cos( t ) c e cos( t ) h M d M d Partikuarösung: Modatransformation w = q p p q q D q q p p p M D q q F p p p M F Einmassenschwinger! 4
43 Gedämpfte erzwungene Schwingungen q V F cos t * p M q V F cos t * p M tan tan D V 4D D V 4D q p wp qp M M Mq p Mq p q p V V F cos, t F cos t * * M M M M i Vi i im F * im cos t i 4
44 Gedämpfte erzwungene Schwingungen Gesamtösung: t t w w w c e cos( t ) c e cos( t ) w ( t) nfangsbedingungen: w() w : h p M d M d p c cos( ) c cos( ) w () w M M p c cos( ) c cos( ) w wp M M w p vg. Bsp.! c c cos( ) M w w M p cos( ) M w w M p f f (I) 44
45 Gedämpfte erzwungene Schwingungen w () v : w w w t t () t c e cos( t ) e sin( t ) h p M d d d t t c M e cos( dt) de sin( dt) V * V * MMF MM sin t F sin t w p () t w () c cos( ) sin( ) M d c cos( ) sin( ) M d V sin V F sin F v * * M M M M v p 45
46 Gedämpfte erzwungene Schwingungen c c cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) v vp M M c c cos( ) sin( ) Mv v p cos( ) sin( ) Mv v p M M (II) (I) und (II) biden 4 Geichungen für 4 Unbekannten c, c, und! (I) in (II) eingesetzt: M w w M v v sin( ) p c d p M sin( ) p c d p M w w M v v M M M 46
47 Gedämpfte erzwungene Schwingungen c c sin( ) M v v M w w g p p M M d sin( ) M v v M w w g p p M M d (III) (I) + (II) : c cos ( ) c sin ( ) f g c cos ( ) c sin ( ) f g c f g c f g 47
48 Gedämpfte erzwungene Schwingungen (III) / (I): tan( ) tan( ) g f g f 48
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