Baudynamik (Master) SS 2014

Transkript

1 Baudynamik (Master) SS Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden 3.1 Einige Prinzipien der Mechanik und Herleitung der Schwingungsgleichungen Einige Prinzipien der Mechanik 3.1. Herleitung der Schwingungsgleichungen 3. Ungedämpfte freie Schwingungen 3..1 Eigenfrequenzen und Eigenformen 3.. Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen 3..3 Modalmatrix und modale ransformation 3..4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme

2 Baudynamik (Master) SS Gedämpfte freie Schwingungen Eigenwertproblem 3.3. Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung 3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Direkte Lösungsmethode 3.4. Methode der Modaltransformation 3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen Direkte Lösungsmethode 3.5. Methode der Modaltransformation 3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden Modale Reduktion 3.6. Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode

3 Baudynamik (Master) SS Ungedämpfte freie Schwingungen 3..1 Eigenfrequenzen und Eigenformen

4 3..1 Eigenfrequenzen und Eigenformen Zwei Freiheitsgrade: δμ x+x oder Κx+ Μ x δ : Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix Κ : Steifigkeitsmatrix Μ : Massenmatrix Lösungsansatz: x A cos( ωt α)

5 Eigenfrequenzen und Eigenformen Eigengleichungen: oder 1 δ Μ ω I A ( Κ ) ω M A δ : Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix Κ : Steifigkeitsmatrix Μ : Massenmatrix Ι : Einheitsmatrix ω : Eigenfrequenzen Α : Eingenvektoren, Eigenformen

6 Eigenfrequenzen und Eigenformen Bedingung für nicht-triviale Lösungen: 1 Det I ω δ Μ ( oder Κ M) Det ω Charakteristische Gleichung für die Eigenfrequenzen Eigenfrequenzen : ω, ω ( ω < ω ) 1 1 Eigenvektoren : A, A 1

7 Bemerkungen: Eigenfrequenzen und Eigenformen ( Κ ω ) 1 1 ( Κ ω ) M A M A Eigenfrequenzen und Eigenformen sind wichtige dynamische Systemeigenschaften. Die Eigenfrequenzen sind die Eigenwerte des Eigenwertproblems. Die Eigenvektoren werden häufig als Eigenformen oder Eigenmoden bezeichnet.

8 Homogene Lösung Lösung: xa c cos( ωt α ) + A c cos( ω t α ) Insgesamt 4 Unbekannten aus 4 Anfangsbedingungen (pro Masse Anfangsbedingungen)! x 1() 1 1() 1 () x x x v, () x() x x x () v

9 Bemerkungen zu Freiheitsgraden Methode der konzentrierten Massen Kontinuierliches System: Unendlich viele Freiheitsgrade m1, m,..., mn i 1 wx ( ) ai( t) ϕi( x) Methode der verallgemeinerten Koordinaten n Diskretes System: Endlich viele Freiheitsgrade

10 Bemerkungen zu Freiheitsgraden Die Anzahl der Freiheitsgrade ist im Allgemeinen nicht gleich der Anzahl der Massen. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist abhängig von der Annahme (dehnstarr, dehnbar, etc.). Die Anzahl der Freiheitsgrade ist unabhängig von der statischen Unbestimmtheit und der geometrischen Unbestimmtheit. Je mehr Freiheitsgrade, desto genauer sind die Ergebnisse, desto aufwendiger ist die dynamische Berechnung.

11 Eigenfrequenzen und Eigenformen n Freiheitsgrade: Κx+ Μ x x A cos( ωt α) ( Κ ) ω M A ( Κ M) Det ω Eigenfrequenzen : ω, ω,..., ω 1 n Eigenvektoren : A1, A,..., An

12 Homogene Lösung Lösung: xac cos( ωt α ) + A c cos( ω t α ) A c cos( ω t α ) n n n n Insgesamt xn Unbekannten aus xn Anfangsbedingungen (pro Masse Anfangsbedingungen)! x1 v1 x v x (), x () x v n n

13 Baudynamik (Master) SS Ungedämpfte freie Schwingungen 3.. Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen

14 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen Die Berechnung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung bei großen Matrizen (größer als 3x3) ist meistens sehr aufwendig. Daher werden häufig numerische Näherungsverfahren angewendet. Dazu gehören numerische Methoden für symmetrische Matrizen und dünnbesetzte große Matrizen: Potenzmethode Inverse Iteration Lanczos-Verfahren Arnoldi-Verfahren Jacobi-Verfahren Jacobi-Davidson-Verfahren Satz für die Eigenfrequenzen: Wenn M und K reell, symmetrisch und positiv definit sind, dann existieren n positive reelle Eigenfrequenzen (n Anzahl der Freiheitsgrade). Wenn M reell, symmetrisch und positiv definit, und K reell, symmetrisch und semi-positiv definit ist, dann existieren n nichtnegative Eigenfrequenzen (n Anzahl der Freiheitsgrade).

15 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen Eine Matrix ist positiv definit, falls ihre quadratische Form positiv ist, d.h. xkx> Eine Matrix ist semi-positiv definit, falls ihre quadratische Form nicht negativ ist, d.h. xkx

16 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen Eigenschaften der Eigenformen: Die Elemente der Eigenvektoren A i sind nicht unabhängig voneinander und können nicht eindeutig bestimmt werden. A i können nur für ihre Verhältnisse oder mit einer Normierung bestimmt werden. Häufig verwendete Normierungen: 1.) A 1 oder A 1 (Ingenieurnormierung) 1i ni im M AiM ik K AiK.) A 1 (Massennormiert, wichtig für Modalanalyse) 3.) A 1 (Steifigkeitsnormiert, manchmal numerisch vorteilhaft) Umrechnung: A i A im A i M A i

17 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen Orthogonalität: 1.) Ai M A j ( i j) 1. Orthogonalität.) Ai K A j ( i j). Orthogonalität Physikalische Bedeutung: Schwingt ein System in einer bestimmten Eigenform, leisten seine rägheitskräfte keine Arbeit auf andere Eigenformen. Seine Energie kann also nicht auf andere Eigenformen übertragen werden. Die Orthogonalitätseigenschaft der Eigenvektoren wird häufig bei iterativen Bestimmungen der Eigenvektoren ausgenutzt.

18 Baudynamik (Master) SS Ungedämpfte freie Schwingungen 3..3 Modalmatrix und modale ransformation

19 Modalmatrix Eigenmatrix oder Modalmatrix: Φ [ A, A,..., A ] A A A A A A A A A n 1 n 1 n n1 n nn (hier : A i A im!) A A i i M A 1 (Massennormiert) M A i j (Orthogonalität) Φ M Φ I ( ω ) ( ω ) ( Κ i ) ω M A Ai Κ i M Ai Ai ΚAi ωi Ai ΜAi Ai Κ jm A j Ai ΚA j ωj Ai ΜA j i 1 ω K 1 ω Φ Φ ω

20 Modale ransformation Modaltransformation: x Φq Κ Φq+ ΜΦ q x : Physikalische Koordinaten q: Modale Koordinaten ΦΚΦ ΦΜΦ ω q+ q q+ q I ω Entkoppelte Differentialgleichungen! q x Φq Rücktransformation

21 q + ω q q c ωt α q + ω Modale ransformation q cos( ) q c cos( ω t α ) Insgesamt n Unbekannten aus n Anfangsbedingungen (pro Masse )! q ( ) Φ x() Φ x; q() Φ x() Φ v Beachte: -1 Φ MΦ I Φ Φ M Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auch nach der Rücktransformation durchgeführt werden!

22 Modalanalyse Die Methode der modalen ransformation wird häufig auch als Modalanalyse bezeichnet. Die grundlegende Idee der Modalanalyse besteht darin, Schwingungen von Mehrfreiheitsgradsystemen als Superposition der Schwingungen von mehreren Einfreiheitsgradsystemen darzustellen.

23 Baudynamik (Master) SS Ungedämpfte freie Schwingungen 3..4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme

24 Rayleigh und Ritz Lord Rayleigh ( ) Walter Ritz ( ) Quelle:

25 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme Potentielle Energie: Kinetische Energie: E E p k 1 kx 1 mx E E p k 1 1 xkx xmx E E p,max k,max 1 1 AKA AMA ω E E p k 1 1 AKA ωt x Acos( ωt α) cos ( α) AMA t ω sin ( ω α) Energieerhaltung: E p,max E k,max ω AKA AMA Rayleigh-Quotient

26 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme Bemerkungen: Falls der exakte Eigenvektor A verwendet wird, dann erhält man auch die exakte Eigenfrequenz. Falls nur eine Näherungslösung für den Eigenvektor verwendet wird, dann erhält man eine Näherungslösung für die Eigenfrequenz: ω i AKA AMA Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer als die exakte Eigenfrequenz ist: ω i i ω i i, exakt Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz verwendet. Als Näherungslösung für den Eigenvektor kann die statische Lösung verwendet werden. i i

27 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme 1 l M 1 [ ] Formänderungsenergie: Ep U dx EI( x) w ( x, t) dx EI( x) 1 l Kinetische Energie: Ek m( x) [ w( x, t) ] dx 1 l cos ( ω α ) ( ) ( ) l [ ] Ep U t EI x W x dx 1 l Ek ω sin ( ωt α) m( x) [ W( x) ] dx w W( x)cos( ωt α) E p,max E k,max ω l l [ ] EI( x) W ( x) dx [ ] mx ( ) W( x) dx Rayleigh-Quotient

28 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme Bemerkungen: Falls die exakte Biegelinie W(x) verwendet wird, dann erhält man auch die exakte Eigenfrequenz. Falls nur eine Näherungslösung für die Biegelinie verwendet wird, dann erhält man auch nur eine Näherungslösung für die Eigenfrequenz: l EI( x) W ( x) dx ωi l mx ( ) W ( x) dx Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer als die exakte Eigenfrequenz ist: ω ω i i, exakt Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz verwendet. Als Näherungslösung für die Biegelinie kann die statische Biegelinie verwendet werden. Je weniger die Näherungslösung von der exakten Biegelinie abweicht, desto genauer ist die abgeschätzte Eigenfrequenz im Rayleigh-Verfahren. Die Näherungslösung für die Biegelinie soll mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen.

29 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme Das Ritz-Verfahren ist eine Erweiterung des Rayleigh-Verfahrens (daher auch als Rayleigh-Ritz- Verfahren bekannt), indem man einen mehrgliederigen Ansatz macht: W( x) aiϕi( x) n i 1 a i werden als verallgemeinerte Koordinaten und ϕ i (x) werden als Ritz-Basisfunktionen oder Formfunktionen bezeichnet. n entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade. Mit der Energiebetrachtung erhält man nun den Rayleigh-Quotienten: Ra ( ) Damit der Fehler minimal bleibt, muss gelten: i l i i i 1 ω n l n EI( x) a ϕ ( x) dx mx ( ) aiϕi( x) dx i 1 Ra ( i ) 1 U U E U U E ai E ai E ai ai E ai ω U E

30 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme U a i E a i n l a EI( x) ϕ ( x) ϕ ( x) dx k a j j i ij j j 1 j 1 n l a m( x) ϕ ( x) ϕ ( x) dx m a j j i ij j j 1 j 1 n n Daraus ergibt sich: n j 1 ( ω ) k m a ij ij j Oder in Matrizenschreibweise: ( K ω ) M a

31 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme Die verallgemeinerte Steifigkeitsmatrix K und die verallgemeinerte Massenmatrix M können aus den folgenden Gleichungen bestimmt werden: l k EI( x) ϕ ( x) ϕ ( x) dx ij i j l m m( x) ϕ ( x) ϕ ( x) dx ij i j

32 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme Bemerkungen: Falls nur ein Glied im Ritz-Ansatz verwendet wird, dann ergibt sich als Sonderfall das Rayleigh- Verfahren. Das Rayleigh-Verfahren ist nur für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz geeignet, während das Ritz- Verfahren auch für höhere Frequenzen geeignet ist. Man kann zeigen, dass die Eigenfrequenzen aus dem Ritz-Verfahren immer größer als die exakten Werte sind: ω ω i i, exakt Je mehr Glieder verwendet werden, desto genauer sind die Ergebnisse, desto aufwendiger ist die Berechnung. Der Ritz-Ansatz muss mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen. Wird das Ritz-Verfahren nicht auf die gesamte Struktur, sondern nur auf ein Element angewendet, dann ist das Ritz-Verfahren identisch mit der finiten Elemente Methode (FEM).

33 FEM wx ( ) aϕ + aϕ + aϕ + aϕ x x ϕ1 ( x) l l a 1 a EI, ml, a 4 a 3 x x ϕ ( x) x 1 + l l ϕ 1 ϕ x x ϕ3 ( x) 3 l l ϕ ( x) x x x + l l 1 ϕ ϕ 4 x/ l 1

34 FEM Eigenschaften der Formfunktionen: ϕ () 1, ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () 1, ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () l 1, ϕ () l ϕ () l ϕ () l ϕ () l 1, ϕ () l ϕ () l ϕ () l l k EI ϕ ( x) ϕ ( x) dx ij i j K EI l l l 6 4l 6 l l l 6 l 6 4l l m m ϕ ( x) ϕ ( x) dx ij i j 156 l 54 13l m l 4l 13l 3l M l 156 l 13l 3l l 4l

35 Baudynamik (Master) SS Gedämpfte freie Schwingungen Eigenwertproblem

36 Eigenwertproblem Kx + Dx + Mx λ [ K + λd + M] A x Ae λt Det( K + λd + λ M) Komplex konjugierte Eigenwerte: λ δ ω n an a1 a λ + + λ+ i (j 1,,..., n) j j d, j

37 Bemerkungen: Eigenwertproblem Die Eigenwertberechnung bei gedämpften Systemen ist im Allgemeinen sehr aufwendig. Falls δ j positiv (schwache Dämpfung) ist, dann hat man eine gedämpfte Schwingung mit abklingenden Amplituden. Falls δ i negativ (starke Dämpfung) ist, dann hat man keine Schwingung (Kriechbewegung). D ist im Allgemeinen symmetrisch. Die Modalmatrix Φ kann die Steifigkeitsmatrix K, aber nicht die Dämpfungsmatrix D diagonalisieren. D.h., eine Entkoppelung der Schwingungsgleichungen ist durch eine Modaltransformation bei gedämpften Schwingungen im Allgemeinen nicht möglich. Nur durch spezielle Annahmen für die Dämpfung (modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung, siehe später) können die Schwingungsgleichungen durch eine Modaltransformation entkoppelt werden.

38 Eigenwertproblem Kx + Dx + Mx KΦq+ DΦq + MΦq x Φq Τ Τ Τ Φ KΦq+ Φ DΦ q + Φ MΦq diagonal i. A. nicht diagonal diagonal Entkoppelung der Gleichungen i. A. nicht möglich! Dämpfung: Stahlbeton: 5% Stahl: etwa 1%-% Τ Φ Φ: Φ Φ Τ Τ K modale Steifigkeitsmatrix MΦ: modale Massenmatrix DΦ: modale Dämpfungsmatrix

39 Baudynamik (Master) SS Gedämpfte freie Schwingungen 3.3. Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung

40 Ungedämpft: Gedämpft: q + ω q q + dq + ω q Modale Dämpfung! Modale Dämpfung Modale Dämpfung! q + Dω q + ω q q + Dωq + ωq D1ω 1 d Dω Modale Dämpfung: In jeder modalen Gleichung wird ein Dämpfungsterm addiert!

41 Modale Dämpfung Lösung: δ1t q c e ωt cos( α ) δt q c e ω t cos( α ) Insgesamt n Unbekannten aus n Anfangsbedingungen (pro Masse )! q ( ) Φ x() Φ x; q() Φ x() Φ v Rücktransformation: x Φq Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auch nach der Rücktransformation durchgeführt werden!

42 Rayleigh-Dämpfung Rayleigh-Dämpfung: (Proportionale Dämpfung, Bequemlichkeitshypothese) D α M + βk Kx + Dx + Mx K Φq + (αm + βk) Φq + MΦ q x Φq Φ KΦq ω + (α Φ MΦ + βφ KΦ)q + Φ MΦq I d ω I q + dq + ω q

43 D ω d 1 1 D ω Rayleigh-Dämpfung Im Modalraum ist die modale Dämpfung also identisch mit der Rayleigh-Dämpfung! D j α β 1 α + βω j ω j ωω 1 ( D1ω Dω1) ω ω 1 ( Dω Dω ) ω 1 1 ω1 Lösung: δi q c e t cos( ωt α ), ( i 1,,...,n) i i i i Insgesamt n Unbekannten aus n Anfangsbedingungen (pro Masse )! q ( ) Φ x() Φ x; q() Φ x() Φ v Rücktransformation: x Φq

44 Baudynamik (Master) SS Ungedämpfte erzwungene Schwingungen Direkte Lösungsmethode 3.4. Methode der Modaltransformation

45 Direkte Lösungsmethode Κx+ Μ x F Harmonischer Lastvektor: Gesamtlösung: F() t Fcos( Ωt) x() t x () t + x () t h p Homogene Lösung: siehe freie Schwingungen!: Partikularlösung: Ansatz vom yp der rechten Seite x ( Κ Μ) p dyn () t x cos( Ωt α) Ω xp K Dynamische Steifigkeitsmatrix ( ) 1 δ( Ω ) H( Ω ) K K Ω M 1 dyn p F 1 xp Kdyn F δ dyn Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix H oder Übertragungsmatrix bezeichnet.

46 Methode der Modaltransformation Κx+ Μ x F x Φq ΚΦ q+ ΜΦ qf F() t Fcos( Ωt) Harmonische Erregung q q F Φ ΚΦ +ΜΦ Φ ( ) ω Φ q+ q F q q + q h p x Φq Rücktransformation

47 Methode der Modaltransformation Homogene Lösung: siehe freie Schwingungen!: Partikularlösung: Ansatz vom yp der rechten Seite q () t q p cos( Ωt α ) q + ω q Φ F p p q ip A ω im i Ω F n 1M 1M M M nm nm im im xp A A + A A + + A A F A A F ω1 Ω ω Ω ωn Ω i 1 ωi Ω δ dyn

48 Baudynamik (Master) SS Gedämpfte erzwungene Schwingungen Direkte Lösungsmethode 3.5. Methode der Modaltransformation

49 Direkte Lösungsmethode: Homogene Lösung Κx + Dx + Μ x h h h vgl.: Gedämpfte freie Schwingungen! x () h t Bemerkung: Die homogene Lösung bei gedämpften Systemen klingt mit der Zeit rasch ab, so dass nach kurzer Zeit (im eingeschwungenen Zustand) nur die Partikularlösung maßgebend bleibt.

50 Direkte Lösungsmethode: Partikularlösung Κx + Dx + Μ x F p p p F() t F i t e Ω x p () t x i t pe Ω ( Κ i Μ) +ΩD-Ω x F p ( Κ+ i Μ) ΩD Ω xp F K dyn Dynamische Steifigkeitsmatrix 1 xp Kdyn F δ dyn Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix ( i ) 1 δ( Ω ) H( Ω ) K K+ ΩM Ω M 1 dyn Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix H oder Übertragungsmatrix bezeichnet.

51 Methode der Modaltransformation Κx+ Dx + Μ x F ΚΦq+ DΦq+ ΜΦq F x Φq Φ ΚΦq+ DΦq+ ΜΦq Φ F F() t Fcos( Ωt) ( ) F * * q+dq+ ω q F F () t F cos( Ωt) * * q D q q F t * i + iωi i + ω i i i cos( Ω ) q / ω +( D / ω ) q + q ( F / ω ) cos( Ωt) * i i i i i i i i (vgl. gedämpfter Einmassenschwinger!)

52 Methode der Modaltransformation q h () t q t V F t * ip () i ( i / ωi )cos( Ω αi ) Partikularlösung Diη 1 tan( αi), V 1 η i i i 1 i + 4Diηi ( η ) x h () t Φq h q p () t F A * i im F qq h + q p V x () t A A F cos( t α ) n i p im im Ω i i ωi x Φq Rücktransformation

53 Baudynamik (Master) SS Modale Reduktion und Vergleich der Methoden Modale Reduktion 3.6. Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode

54 Modale Reduktion Die Lösung einer Schwingung ist die gewichtete Superposition der Eigenschwingungen (Eigenformen, Eigenmoden). Daher wird die Methode der Modaltransformation auch als Methode der Modalsuperposition oder Modalsuperpositionsmethode bezeichnet. Niedrige Eigenformen leisten größere Beiträge und höhere Eigenformen haben kleinere Beiträge. x q A A A A A () t Φ 1q1+ q+ + NqN + N+ 1qN nqn Wichtig! Weniger wichtig! x A1q1+ Aq + + ANq N Φ( N N) q Modale Reduktion Große Rechenaufwandsreduzierung falls N<<n!

55 Modale Reduktion Modale Reduktion reduziert den Rechenaufwand, aber wie bestimmt man die Grenze N? Faustregel: [ Ω ] Frequenzband der Erregung: Ω Ω, Obergrenze der Eigenfrequenzen: 1,5Ω ω i min max max

56 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode Direkte Methode Modale Methode Dämpfung Beliebig. Beliebig. Entkoppelung Nein. Ja, nur mit Annahme (modal oder Rayleigh). Aufwand Groß, da K dyn für jede Anregungsfrequenz neu zu berechnen und zu invertieren ist. Klein, wenn Entkoppelung oder modale Reduktion (N<<n). Genauigkeit Hoch. Hoch wenn keine modale Reduktion. Niedrig bei modaler Reduktion. Linearität Empfehlung Anwendbar auch bei Nichtlinearität. Bei Stoß (schmallbandig) (direkte Zeit-Integration) Nur anwendbar bei Linearität. Bei Erdbeben, Wind (breitbandig)