6 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

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1 6 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 6.. Steifigkeitsformulierung 6. Formulierung der Bewegungsgleichung 6.. Gleichgewichtsformulierung Die Freiheitsgrade sind die horizontalen Verschiebungen und u auf Höhe der Massen m und m Steifigkeitsmatrix K k k ( k k ) k k k k k (6.5) Einheitsverschiebung Einheitsverschiebung u m u c u k f () t c ( u u ) k ( u ) m u c ( u u ) k ( u ) f () t (6.) m u ( c c )u c u ( k k ) k u f () t m u c u c u k k u f () t (6.) m m u u ( c c ) c u c c u ( k k ) k k k u f () t f () t (6.3) Mu Cu Ku f() t (6.4) Alessandro Dazio 9 Alessandro Dazio 3

2 Massenmatrix M M m m Bewegungsgleichung m m u u ( k k ) k k k u (6.6) (6.7) Anhand der Arbeitsgleichung kann die Einsenkung Δ die am Ort d infolge einer Einheitskraft F am Ort a entsteht, berechnet werden. Δαδ (, ) αδα δ F ( ) - 3 mit α -- a d und δ -- (6.9) 6 Die Nachgiebigkeitsmatrix besteht aus folgenden Elementen: u DF (6.) Mu Ku 6..3 Nachgiebigkeitsformulierung (6.8) d d F u d d F (6.) Anhand von Gleichung (6.9) können die Faktoren d ij berechnet werden: d Δ( 3, 3) (6.) d Δ( 3, 3) (6.3) Nachgiebigkeitsmatrix D d Δ( 3, 3) (6.4) d Δ( 3, 3) (6.5) Und die Nachgiebigkeitsmatrix D wird D (6.6) Alessandro Dazio 3 Alessandro Dazio 3

3 Steifigkeitsmatrix K K D (6.7) 6..6 Direct Stiffness Method Steifigkeitsmatrix eines Balkenelements Massenmatrix M m M m Bewegungsgleichung (6.8) Die Steifigkeitsmatrix K eines Balkenelements mit konstanter Biege- und Dehnsteifigkeit ist bekanntlich: m m u u Mu 6..4 Prinzip der virtuellen Arbeit Siehe [Web] 6..5 Energieformulierung Ku Siehe [Web] u (6.9) (6.) F F F F 3 F 4 F 5 F 6 Ku EA EA EA EA u u 5 u 6 (6.) (6.) Wenn die axiale Dehnung des Stabs nicht berücksichtigt wird, vereinfacht sich die Matrix wie folgt: Alessandro Dazio 33 Alessandro Dazio 34

4 Bewegungsgleichung: K 3 Beispiel Kragarm (6.3) m m -- m m -- u u u u (6.5) (6.6) Statische Kondensierung: Zusammenstellen der Steifigkeitsmatrix: F F F 3 F u (6.4) m m -- m tt u u k tt k t k t k 3 u u (6.7) (6.8) mit Alessandro Dazio 35 Alessandro Dazio 36

5 m tt k tt k t u k t k u (6.9) kˆ tt (6.36) Aus der zweiten Zeile von Gleichung (6.9) kann folgender Ausdruck hergeleitet werden: u k kt (6.3) Durch Einsetzen von : kˆ tt (6.37) Durch Einsetzen von Gleichung (6.3) in der ersten Zeile von Gleichung (6.9) bekommt man: m tt m tt k tt k t k und mit : m tt m tt kt ( k tt k t k kt ) k t k tt k t k tkkt ( ) kˆ tt kkt (6.3) (6.3) (6.33) mit kˆ tt k tt k t (6.34) Wobei kˆ tt die kondensierte Steifigkeitsmatrix ist, und in unserem Fall beträgt sie: kˆ tt (6.35) Die endgültige Bewegungsgleichung des Kragarms ist deshalb: m -- m -- 4 Bemerkungen (6.38) Die Direct Stiffness Method wird bei der Finiten Elemente Methode verwenden. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix K eines Balkenelements und Hinweise zur Zusammenstellung der Steifigkeitsmatrix von ragwerken sind in folgender iteratur zu finden: [Prz85] [Bat96] Przemieniecki J.S.: heory of Matrix Structural Analysis. Dover Publications, New York 985. Bathe K-J.: Finite Element Procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, 996. Alessandro Dazio 37 Alessandro Dazio 38

6 6. Freie Schwingungen 6.. Eigenschwingungen Mu Ku ösungsansatz: (6.39) u() t q n ()φ t n wobei q n () t A n cos( ω n B n sin( ω n (6.4) Durch zweimal Ableiten: qn () t ω n[ An cos( ω n B n sin( ω n ] ω nqn () t u () t ω nqn () t φ n (6.4) (6.4) Durch Einsetzen von Gleichungen (6.4) und (6.4) in (6.39): Auch im Fall von Gleichung (6.45) gibt es immer die triviale ösung φ n, die eine Absenz von Bewegung bedeutet. Falls die Matrix A eine Inverse A besitzt, kann Gleichung (6.45) wie folgt umgeformt werden: Aφ A n A und deshalb: φ n (6.46) (6.47) Das bedeutet, wenn die Matrix A eine Inverse A besitzt, hat Gleichung (6.45), bzw. Gleichung (6.44), nur die triviale ösung von Gleichung (6.47). Die Inverse der Matrix A hat die Form: [ ω nmφn Kφ n ]q n () t (6.43) -Â A A (6.48) Gleichung (6.43) ist erfüllt wenn q n () t. Es handelt sich dabei um eine triviale ösung. Dies bedeutet, dass keine Bewegung stattfindet, da u() t q n ()φ t n. Um keine triviale ösung zu bekommen muss deshalb der Klammerausdruck in Gleichung (6.43) Null sein: Oder: [ ω nm K]φn (6.44) Aφ n mit A ω nm K (6.45) Wenn die Determinante A gleich Null ist, dann ist die Matrix singulär und besitzt keine Inverse. Gleichung (6.44) hat deshalb nur eine nicht-triviale ösung wenn: ω nm K (6.49) Die Determinante ergibt ein Polynom N-tes Grads in ω n, die charakteristische Gleichung genannt wird. Die N Nullstellen der charakteristischen Gleichung werden Eigenwerte genannt und daraus können die N Eigenkreisfrequenzen ω n des Systems berechnet werden. Alessandro Dazio 39 Alessandro Dazio 4

7 Wenn die Eigenkreisfrequenzen ω n bekannt sind, können bis auf einer multiplikativen Konstante die Vektoren φ n aus Gleichung (6.44) bestimmt werden. Es gibt N unabhängige Vektoren die auch als Eigenvektoren bezeichnet werden. Zusammenfassung Ein Mehrmassenschwinger mit N -Freiheitsgrade hat N Eigenkreisfrequenzen ω n ( n,, 3,, N ) und N Eigenvektoren. Jeder Eigenvektor hat N Elementen. Die Eigenkreisfrequenzen sind steigend angeordnet ( ω < ω < < ω n ) Eigenkreisfrequenzen und Eigenvektoren sind Eigenschaften des Mehrmassenschwingers und sind nur von seinen Masse- Steifigkeitseigenschaften abhängig. Der Index n bezeichnet die Numerierung der Eigenschwingung und die erste Eigenschwingung ( n ) wird als Grundschwingung bezeichnet. 6.. Beispiel Zweimassenschwinger Es wird jetzt ein regelmässiges Zweimassenschwinger berücksichtigt mit m m m und k k k Die Bewegungsgleichung geht Gleichung (6.7) hervor: m u u k Eigenwerte Die Eigenwerte werden aus der Determinante berechnet: Man erhält eine quadratische Gleichung in u (6.5) (6.5) 4 ( k ω nm) ( k ωnm) ( k) ( k) m ωn 3kmω n k (6.5) und die beide ösungen ergeben die Eigenwerte (6.53) Zu jedem der beiden Eigenwerte lässt sich ein Eigenvektor und eine Eigenkreisfrequenz bestimmen Grundschwingung 3 Mit dem kleineren Eigenwert ω -- 5 k --- erhält man die m k ω K ω nm nm k k k ω nm 3km ± 9k m 4k m 3 ± 5 k ω n m --- m ω n ω n 3 5 k. Eigenkreisfrequenz ω k (6.54) m m --- Alessandro Dazio 4 Alessandro Dazio 4

8 Indem man den Eigenwert in das Gleichungssystem ω 3 k -- 5 k --- m k m φ [ K ω M]φ 3 5 k k k m φ m (6.55) einsetzt, erhält man zwei voneinander abhängige Gleichungen, mit denen die Form des. Eigenvektors φ bestimmt werden kann. Die erste Zeile ergibt die Gleichung: ( 5)k ( 5) φ und (6.56) kφ φ ----φ Durch Einsetzen in der zweiten Zeile: Schwingung Freiheitsgrad Höhere Schwingung Grundschwingung: 3 5 k ω k m m --- φ φ -- 5 φ.68 Es kann wie bei der Grundschwingung vorgegangen werden und es ergeben sich folgende Resultate: kφ ( 5)k ( 5) φ kφ kφ φ φ (6.57) Wie erwartet ist der Eigenvektor bis auf eine multiplikative Konstante bestimmt und kann deshalb beliebig normiert werden und zwar: dass das grösste Element des Eigenvektors gleich Eins ist dass ein gegebenes Element des Eigenvektors gleich Eins ist... Schwingung Freiheitsgrad Höhere Schwingung 3 ω 5 -- k k m m --- φ φ φ Alessandro Dazio 43 Alessandro Dazio 44

9 Freie Schwingung des Zweimassenschwingers Gemäss Gleichung (6.4) ist die freie Schwingung des Zweimassenschwingers: u [ C cos( ω C sin( ω ]φ [ C 3 cos( ω C 4 sin( ω ]φ (6.58) [ C cos( ω C sin( ω ] φ u C 3 φ [ cos( ω C 4 sin( ω ] φ φ (6.59) Fall : u.68, u., v v Verschiebung u [m] Erste Eigenform Zweite Eigenform Gesamtverschiebung Noch unbekannt sind die Konstanten C bis C 4, die anhand der Anfangsbedingungen von Gleichung (6.6) bestimmt werden können: ( ) u u ( ) u Anfangsbedingungen: (6.6) u ( ) v u ( ) v Die Konstanten werden zu: φ u φ u φ C, v φ v C (6.6) φ φ φ φ - ( φ φ φ φ )ω φ u φ u φ C 3, v φ v C (6.6) φ φ φ φ 4 - ( φ φ φ φ )ω Verschiebung u [m] Zeit [s] Erste Eigenform Zweite Eigenform Gesamtverschiebung 5 5 Zeit [s] Alessandro Dazio 45 Alessandro Dazio 46

10 Fall : u., u.68, v v Fall 3: u.68, u., v v Verschiebung u [m] Erste Eigenform Zweite Eigenform Gesamtverschiebung Verschiebung u [m] Erste Eigenform Zweite Eigenform Gesamtverschiebung Zeit [s] Zeit [s] Verschiebung u [m] Erste Eigenform Zweite Eigenform Gesamtverschiebung Verschiebung u [m] Erste Eigenform Zweite Eigenform Gesamtverschiebung Zeit [s] Zeit [s] Alessandro Dazio 47 Alessandro Dazio 48

11 6.3 Modalmatrix und Spektralmatrix Alle N-Eigenwerte und alle N-Eigenvektoren können kompakt mit Matrizen ausgedrückt werden: Modalmatrix Φ [ ] φ jn Spektralmatrix Ω φ ω ω ω N φ φ N φ φ φ N φ N φ N φ NN Gleichung (6.44) kann wie folgt umgeformt werden: Kφ n Mφ n ω n (6.63) (6.64) (6.65) Und es wird sofort ersichtlich, dass die Bestimmungsgleichung für alle Eigenwerte und alle Eigenvektoren anhand der Modalund der Spektralmatrix ausgedrückt werden kann und zwar wie folgt: KΦ MΦΩ (6.66) 6.4 Eigenschaften der Eigenvektoren 6.4. Orthogonalität der Eigenvektoren Die Orthogonalitätsbedingungen der Eigenvektoren lauten: φ n Kφr und φ n Mφr für n r (6.67) und können anhand von Gleichung (6.65) nachgewiesen werden. Gleichung (6.65) soll zuerst für den Vektor n aufgestellt und auf beiden Seiten mit vormultipliziert werden: φ r Kφn ω n φ r Mφn φ r (6.68) Gleichung (6.68) soll transponiert werden und dabei sollen die Eigenschaften der symmetrischen Matrizen K K und M M verwendet werden: φ n Kφr (6.69) Gleichung (6.65) soll jetzt für den Vektor r aufgestellt und auf beiden Seiten mit vormultipliziert werden : φ n Kφr ω n φ n Mφr φ n ω r φ n Mφr (6.7) Gleichung (6.7) kann jetzt von Gleichung (6.69) abgezählt werden zu: ω n ω ( r )φ n Mφr (6.7) Alessandro Dazio 49 Alessandro Dazio 5

12 Falls die Eigenwerte verschieden sind, ist ( ω n ω r ) für n r und der Ausdruck φ n Mφr muss verschwinden. Falls ein Eigenwert mehrfach vorkommt, sind die entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig und können so gewählt werden, dass sie orthogonal sind (Beweis komplizier. Somit wird gezeigt, dass für n r φ n Mφr ist. Der Nachweis, dass für n r φ n Kφr wird, wird unter Berücksichtigung von Gleichung (6.7) erbracht. Wir haben bereits gesehen, dass für n r die rechte Seite von Gleichung (6.7) gleich Null ist, dann soll auch die linke Seite von Gleichung (6.7) Null sein, was den gesuchten Nachweis erbringt. Beispiel Zweimassenschwinger Die Orthogonalität der Eigenvektoren des Zweimassenschwingers von Abschnitt 6.. wird überprüft: Bezüglich der Massenmatrix φ Mφ -- m -- m( 5 5) 5 5 m ( 5).38m (6.7) φ Mφ -- m 5 m 5 -- (6.73) φ Mφ 5 m m (6.74) φ Mφ 5 m m -- m ( ).38m (6.75) Bezüglich der Steifigkeitsmatrix φ Kφ -- k k -- k( 5 5) k k ( 5).58k (6.76) φ Kφ -- 5 k k k k -- 5 (6.77) φ Kφ 5 k k k k (6.78) φ Kφ 5 k k k -- k k 5 -- ( ) 3.68k (6.79) Alessandro Dazio 5 Alessandro Dazio 5

13 6.4. ineare Unabhängigkeit der Eigenvektoren Die Eigenvektoren sind linear unabhängig. Um dies zu beweisen, muss gezeigt werden, dass wenn α φ α φ α n φ n (6.8) alle α i müssen null sein. Wir multiplizieren von links mit φ i M und erhalten φ i M ( α φ α φ α n φ n ) φ i Mφi α i (6.8) Da φ i Mφi, muss α i, deshalb sind die Eigenvektoren linear unabhängig. Die Eigenschaft, dass die Eigenvektoren linear unabhängig sind, ist deshalb wichtig, da sie erlaubt einen beliebigen Verschiebungsvektor u als inearkombination aus den Eigenvektoren zu bilden Entkoppelung der Bewegungsgleichung Die Bewegungsgleichung für freie Schwingungen ist Mu Ku und als ösungsansatz kann der Verschiebungsvektor u() t q i ()φ t i i angenommen werden. Wobei: (6.8) (6.83) φ i q i : linear unabhängige Eingenvektoren des Systems : modale Koordinaten Der Verschiebungsvektor u() t und seine zweifache Ableitung (6.84) können in Gleichung (6.8) eingesetzt werden und diese soll links mit multipliziert werden: (6.85) Wegen der Orthogonalitätsrelationen bleibt von der Summe nur ein erm: wobei: u () t qi()φ t i i φ n φ n M qi ()φ t i φ K n qi ()φ t i i φ n Mφn qn () t φ n Kφn q n () t i (6.86) Modale Masse: m* n φ n Mφn (6.87) Modale Steifigkeit: k* n φ n Kφn (6.88) und Gleichung (6.86) kann wie folgt geschrieben werden: m * n qn () t k n * q n () t (6.89) Wir können für jedes n eine solche Gleichung aufstellen, was zu N entkoppelten Einmassenschwingern führt und die tatsächliche Verschiebung wird zusammengesetzt aus: Alessandro Dazio 53 Alessandro Dazio 54

14 In Matrizenschreibweise: mit N u() t q i ()φ t i n m * Φ MΦ und K * Φ KΦ m* n Beispiel Zweimassenschwinger (6.9) q () t u() t Φq() t mit q (6.9) q N () t M * q M * K * q k * k* n (6.9) (6.93) Die modalen Massen und die modalen Steifigkeiten des Zweimassenschwingers von Abschnitt 6.. wurden bereits während der Kontrolle der Orthogonalität der Eigenvektoren überprüft (siehe Gleichungen (6.7), (6.75), (6.76) und (6.79)) und betragen: m* m( 5 5) φ Mφ ( 5).38m (6.94) k* k( 5 5) φ Kφ -- ( 5).58k k* k φ Kφ -- ( 5 5) 3.68k Erster modaler Einmassenschwinger: m * q () t k * q () t.38mq () t.58kq () t k* ω.58k k.38m m --- m * (6.96) (6.97) (6.98) (6.99) (6.) Die Eigenkreisfrequenz entspricht Gleichung (6.54) dieses Kapitels Zweiter modaler Einmassenschwinger: m * q () t k * q () t.38mq () t 3.68kq () t k* ω 3.68k k.38m m --- m * Die Eigenkreisfrequenz entspricht das Resultat auf Seite 44. (6.) (6.) (6.3) m* m φ Mφ --- ( 5 5).38m (6.95) Alessandro Dazio 55 Alessandro Dazio 56