Baudynamik und Zustandsanalyse

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1 Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 14 Modalanalyse diskreter Systeme 14.1 Allgemeines In den Kapiteln 11 und 12 sind bereits erste wesentliche Überlegungen zur Modalanalyse formuliert worden. Diese beschränkten sich aber zunächst nur auf die Eigenwerte und deren zugehörige idealisierten Ersatzsysteme Wir leiten jetzt die modale Vorgehensweise für ein beliebiges inhomogenes, ungedämpftes Mehrmassensystem her. Dazu ist es zweckmäßig, die Gleichgewichtsgleichungen in eine geeignete Matrizenform zu transformieren. Diese lautet in allgemeiner Form: matma vekv + matka vekv = vekf mit matma matka vekv vekv vekf - Massenmatrix - Steifigkeitsmatrix - Vektor der globalen Freiheitsgrade (Verschiebungen, Verdrehungen) - Vektor der 2. Ableitung des Vektors vekv nach der Zeit - Vektor der Störfunktionen (Kraft-, Weg-, Unwuchterregung) Der Vektor der globalen Freiheitsgrade, der sowohl weg- als auch zeitabhängig ist, wird derartig mit den Eigenformen des Systems verknüpft, dass seine Aufspaltung in einen allein weg- und in einen allein zeitabhängigen Teil gelingt (vgl. hierzu Absatz 11.12): vekv = matef vekq mit matef vekq - Matrix der Eigenformen (wegabhängig - zeitunabhängig) deren Spalten stellen die Eigenvektoren des Systems dar - Vektor der generalisierten Koordinaten (wegunabhängig - zeitabhängig) Damit erhält die Matrizengleichung (14.1.2) den unten angeführten Ausdruck. Wenn dieser von links mit der transponierten Eigenformmatrix multipliziert wird, entstehen die uns aus dem Absatz bekannten Diagonalmatrizen der generalisierten Massen bzw. Steifigkeiten. Zusätzlich erscheint auf der rechten Seite die generalisierte Erregung matef T vekf. matma mat EF vekq'' + matka matef vekq = vekf matef T matma matef vekq'' + matef T matka matef vekq = matef T vekf matm G vekq '' + matk G vekq = matef T vekf

2 2 baudyn_14_modalanalyse.nb Werden die Eigenformen gemäß Absatz normiert, bekommt die letzte Gleichung im Absatz eine bemerkenswerte, logisch einfache Endform: mate vekq'' + matλ vekq = matef T vekf Der Ausdruck mate steht für eine Einheitsmatrix und matλ kennzeichnet die Diagonalmatrix der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen. Das obige Gleichungssystem beinhaltet folglich eine Gruppe von n Einzelgleichungen. Das ursprüngliche n-fache Mehrmassensystem ist in eine Gruppe n voneinander unabhängiger Einmassenschwinger entkoppelt worden. Jeder der Einmassenschwinger kann nach den z. B. in den Kapiteln 7 bzw. 10 beschriebenen Methoden berechnet werden. Zum Schluss superponiert man die Teilergebnisse gemäß Absatz Dreimassenschwinger mit Krafterregung Ausgangspunkt ist das Gleichungssystem des Absatzes Auf der rechten Seite werden jedoch noch zwei Erregerkräfte, die auf die Massepunkte m 1 und m 3 in Richtung der Freiheitsgrade einwirken, ergänzt: m 1 x 1 ''[t] + k 1 (x 1 [t] - x 2 [t]) = F 1 [t] m 2 x 2 ''[t] + k 2 (x 2 [t] - x 3 [t]) - k 1 (x 1 [t] - x 2 [t]) = 0 m 3 x 3 ''[t] + k 3 x 3 [t] - k 2 (x 2 [t] - x 3 [t]) = F 3 [t] Wir übernehmen die Masse- und Steifigkeitsmatrix matma bzw. matka und ergänzen die Vektoren der globalen Freiheitsgrade sowie der Erregung. Das neue Gleichungssystem ist mit dem obigen des Absatzes identisch: matma = m m 2 0 matka = 0 0 m 3 k 1 -k 1 0 -k 1 k 1 + k 2 -k 2 0 -k 2 k 2 + k 3 vekf = F 1 [t] 0 F 3 [t] vekv = x 1 [t] x 2 [t] x 3 [t] vekv'' = x 1 ''[t] x 2 ''[t] x 3 ''[t] FullSimplify[MatrixForm[matMA.vekV '' + matka.vekv] MatrixForm[vekF]] F 1 [t] 0 F 3 [t] k 1 (x 1 [t] - x 2 [t]) + m 1 x 1 [t] k 1 (-x 1 [t] + x 2 [t]) + k 2 (x 2 [t] - x 3 [t]) + m 2 x 2 [t] -k 2 x 2 [t] + (k 2 + k 3 ) x 3 [t] + m 3 x 3 [t] Im Weiteren nutzen wir das Zahlenbeispiel aus dem Kapitel 12 (siehe insbesondere die Absätze 12.9 bzw ). Zuerst ermittelt bzw. stellt man die Matrix der Eigenformen matef auf. Im Anschluss werden die Vektoren der globalen Koordinaten gemäß Absatz 14.1 ff. durch die generalisierten Koordinaten ausgedrückt. ersteform = { `, `, `} zweiteform = { `, `, `} dritteform = { `, `, `}

3 baudyn_14_modalanalyse.nb 3 matef = m 1 = 38.7 m 2 = 7.65 m 3 = 98.9 k 1 = 1750 k 2 = k 3 = vekq = q 1 q 2 q 3 vekq'' = q 1 '' q 2 '' q 3 '' Matrizengleichung des gewählten Systems: 1750 x 1 [t] x 2 [t] x 1 [t] x 1 [t] x 2 [t] x 3 [t] x 2 [t] x 2 [t] x 3 [t] x 3 [t] F 1 [t] 0 F 3 [t] Modifiziertes Matrizensystem gemäß (14.1.4) matef T.matMA.matEF.vekq'' + matef T.matKA.matEF.vekq == matef T.vekF : q q q q q q q q q q q q q q q q q q F 1 [t] F 3 [t] F 1 [t] F 3 [t] F 1 [t] F 3 [t] Um das erwünschte entkoppelte modale Gleichungssystem zu erhalten, muss sowohl eine zweckgerichtete Bearbeitung der generalisierten Masse- sowie Steifigkeitsmatrix als auch eine Normierung der Eigenformen gemäß Absatz durchgeführt werden: matm G = Modifizierte matef : Normierte matm G :

4 4 baudyn_14_modalanalyse.nb Normierte matk G : Entkoppeltes modales Gleichungssystem : q q q q q q F 1 [t] F 3 [t] F 1 [t] F 3 [t] F 1 [t] F 3 [t] Endergebnis der Superposition: x 1 [t] x 2 [t] x 3 [t] q q q q q q q q q Dreimassenschwinger mit Wegerregung Im Abschnitt 13.4 wurde die Lösung für den obigen Dreimassenschwinger als ein gedämpftes System, das einer Wegerregung ausgesetzt ist, aufbereitet. Anhand dieses Standardbeispiels wollen wir nun die Vorgehensweise der Modalanalyse aufzeigen und die Ergebnisse beider Methoden miteinander vergleichen Wir wählen dieselben Eingabedaten, die dem Absatz bzw. Absatz zugrunde liegen. Die Dämpfungskoeffizienten sind jetzt aber auf null gesetzt. Somit gilt für die modifizierten bzw. normierten Eingangsmatrizen gemäß Absatz : {m 1 = 38.7, m 2 = 7.65, m 3 = 98.9, k 1 = 1750, k 2 = , k 3 = } {c 1 = 0, c 2 = 0, c 3 = 0, A h = 1, ω err = 30} matma = m m 2 0 matka = 0 0 m 3 k 1 -k 1 0 -k 1 k 1 + k 2 -k 2 0 -k 2 k 2 + k 3 lamda = Solve[Det[(matKA - λ n matma)] 0, λ n ] Table[λ n = lamda[[n, 1, 2]], {n, 1, 3}] Tableω 2 n,ungedämpft λ n, {n, 1, 3} {{λ n }, {λ n }, {λ n }} 2 ω 1,ungedämpft , ω 2,ungedämpft , ω 3,ungedämpft

5 baudyn_14_modalanalyse.nb 5 matm G = matk G = ` ` ` matef = ` ` ` ` ` ` ` ` ` Der Vektor der Erregungsfunktionen beträgt in Anlehnung an Absatz 13.2: vekf = 0 k 2 A h Sin[ω err t] -k 2 A h Sin[ω err t] Somit erhält das entkoppelte Gleichungssystem die Form: vekq = q 1 q 2 q 3 vekq'' = q 1 '' q 2 '' q 3 '' vekv = x 1 [t] x 2 [t] x 3 [t] MatrixForm[matm G.vekq '' + matk G.vekq ] MatrixForm[Transpose[matEF].vekF] q 1 + q q 2 + q q 3 + q Sin[30 t] Sin[30 t] Sin[30 t] Die rechnerische Analyse der drei entkoppelten, ungedämpften Einmassensysteme kann nach dem Algorithmus vom Absatz 7.18 erfolgen. Das Endergebnis für die zeitlichen Verläufe der globalen Verschiebungen lautet schließlich: MatrixForm[vekV] MatrixForm[matEF.vekq] x 1 [t] x 2 [t] x 3 [t] q q q q q q q q q Um die Richtigkeit der Überlegungen aufzuzeigen, werden die numerischen Ergebnisse mit denen gemäß Abschnitt 13.4 verglichen, die in den unten ausgewiesenen Grafiken den rotpunktierten Linien entsprechen. Die Verläufe der Schwingwege laut der modalen Analyse sind schwarz dargestellt.

6 6 baudyn_14_modalanalyse.nb 14.4 Zweimassenschwinger Als ein weiteres Beispiel wird der im Bild dargestellte Zweimassenschwinger untersucht. Zuerst sind wieder die Eigenwerte zu bestimmen. Ausgangspunkt dafür ist das unten angeführte System von Differenzialgleichungen, bei dem die Dämpfungsanteile vernachlässigt sind.

7 baudyn_14_modalanalyse.nb 7 Masse Masse + + m 1 m 2 Feder k 1 Feder k 2 Feder k 3 x 1 x 1 x 2 x 2 Bild : Zweimassensystem mit zwei Festhaltungen gleisys = { m 1 x 1 '' + k 1 x 1 + k 2 (x 1 - x 2 ) == 0, m 2 x 2 '' + k 3 x 2 + k 2 (x 2 - x 1 ) == 0} x 1 = x 1,n Sin[ω n t], x 2 = x 2,n Sin[ω n t], x 1 '' = D[x 1, {t, 2}], x 2 '' = D[x 2, {t, 2}] Simplify[MatrixForm[gleisys]] Sin[t ω n ] k 1 x 1,n - m 1 ω 2 n x 1,n + k 2 x 1,n - x 2,n 0 Sin[t ω n ] k 3 - m 2 ω 2 n x 2,n + k 2 -x 1,n + x 2,n 0 mata = -m 1 ω n 2 + k 1 + k 2 -k 2 -k 2 -m 2 ω n 2 + k 3 + k 2, vekx[n] = x 1,n x 2,n "mata.vekx[n] = " MatrixForm[matA.vekx[n]] MatrixForm 0 0 "matma = " MatrixFormmatMA = m m 2 "matka = " MatrixFormmatKA = mata + ω n 2 matma mata.vekx[n] = k 1 + k 2 - m 1 ω n 2 x 1,n - k 2 x 2,n -k 2 x 1,n + k 2 + k 3 - m 2 ω n 2 x 2,n 0 0 matma = m m 2 matka = k 1 + k 2 -k 2 -k 2 k 2 + k 3 {m 1 = 5, m 2 = 5, k 1 = 500, k 2 = 250, k 3 = 500} vekλ: , vekω n:

8 8 baudyn_14_modalanalyse.nb matef: , matm G: Modifizierte matef: Normierte matm G : Normierte matk G : Wie leicht zu sehen ist, entspricht die normierte Massenmatrix matm G der Einheitsmatrix und die normierte Steifigkeitsmatrix matk G der Matrix der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen matλ. Somit bereitet es keine Schwierigkeiten, die modale Lösungsmatrix bei Vorhandensein spezieller Erregungen aufzustellen. vekq = q 1, vekq'' = q 1'' 50 Sin[12 t], vekf = q 2 q 2 '' -75 Sin[12 t], vekv = x 1[t] x 2 [t] Entkoppeltes modales Gleichungssystem : Sin[12. t] Sin[12. t] 100. q 1 + q q 2 + q 2 Endergebnis der Superposition: x 1[t] x 2 [t] q q q q 2

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