Baudynamik und Zustandsanalyse

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1 audynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die audynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem eitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der aumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische ösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 16 Einfeld- und Durchlaufträger unter bewegten asten 16.1 Eigenwerte von alken mit konstanter Massebelegung Den Ausgangspunkt der etrachtungen bildet die Definition des so genannten ERNOUI- EUER-alkens (ild ). Hierbei handelt es sich um einen geraden Träger mit einer gleichmäßig verteilten Masse. ezüglich seiner weiteren mechanischen Charakteristik werden dieselben Voraussetzungen herangezogen, die der Technischen iegelehre zugrunde liegen. Das bedeutet u. a. die Gültigkeit des HOOKEschen Gesetzes und der ERNOUI-Hypothese (vgl. hierzu auch [58, Kapitel 21]). ild a: Differenzielles iegebalkenelement (unverformt)

2 2 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb ild b: Differenzielles iegebalkenelement (verformt) Im Weiteren bleiben folglich die Querkraftdeformationen sowie die Rotationsträgheit der verformten alkenelemente (siehe ild b) aber auch die Dämpfung vernachlässigt. Wie leicht zu zeigen ist, stehen die vertikalen eschleunigungen der alkenmassenanteile dann allein mit den Querkraftzuwächsen im Gleichgewicht. Unter Nutzung der aus der Festigkeitslehre bekannten differenziellen eziehungen des geraden iegebalkens erhält man, wie unten gezeigt, für die eschreibung seines Eigenschwingungszustandes eine lineare, homogene und partielle Differenzialgleichung vierter Ordnung. Mit der Gleichgewichtsbedingung F z = x Q (x, t) dx - dx t,t w (x, t) = und den eziehungen gemäß [58, Kapitel 21] M (x, t) = - EM IM yy x,x w (x, t) Q (x, t) = - EM IM yy x,x,x w (x, t) folgt t,t w (x, t) + EM IM yy x,x,x,x w (x, t) = wobei IM yy - Flächenmoment 2. Ordnung um die y-iegeachse [m 4 ] EM - Elastizitätsmodul [N/m 2 ] = EM IM yy - iegesteifigkeit [Nm 2 ] M (x,t) Q (x, t) - zeit- und wegabhängiges iegemoment [Nm] - zeit- und wegabhängige Querkraft [N]

3 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 3 w (x, t) - zeitabhängige iegelinie [m] A - Querschnittsfläche [m 2 ] ρ - Dichte [kg/m 3 ] = ρ A dx i - Dichte pro ängeneinheit (Massebelegung) [kg/m] - änge eines differenziellen alkenelementes [m] - Stützweite des i-ten Feldes [m] bei einem Mehrfeldträger Versteckte Zelle zwecks estätigung der oben genutzten differenziellen eziehung, die an einem iegebalken zwischen Querkraft und Schnittmoment existiert Die oben blau hervorgehobene partielle DG (16.1.2) der iegeeigenschwingung eines alkens wird durch die Partikulärlösung w(x, t) = w(x) sin ω n t, die eine harmonische ewegung beschreibt, erfüllt. Der Ausdruck ω n repräsentiert die ungedämpften Eigenkreisfrequenzen. Nach Einsetzen in die DG (16.1.2) ergibt sich eine gewöhnliche homogene Differenzialgleichung: ω n 2 w[x] - x,x,x,x w[x] = Sofern es gelingt die entsprechenden Integrationskonstanten zu ermitteln, liefert die allgemeine ösung der eziehung (16.1.3) zu den jeweiligen Eigenkreisfrequenzen die zugehörigen Eigenformen: erg = DSolve ω n 2 w[x] - w''''[x], w[x], x w[x] e - x 1 4 x 1 4 C[2] + e C[4] + C[1] Cos x 1/4 ω n + C[3] Sin x 1/4 ω n 1/4 1/ Die DG (16.1.3) stellt ein klassisches Eigenwertproblem dar (vgl. Kapitel 12). Wie am eispiel eines Einfeldbalkens mit einem festen und einem beweglichen Gelenklager gezeigt werden kann, führt eine formale erücksichtigung der Randbedingungen (vgl. hierzu u. a. [58, Kapitel 21]) zunächst nur zur Triviallösung w(x) =. DSolve ω n 2 w[x] - w''''[x], w[], w[], - w''[], - w''[], w[x], x {{w[x] }} Einzig für die allgemein bekannten diskreten Eigenkreisfrequenzen des einfachen Gelenkbalkens von ω n = n2 π 2 2 mit n = 1, 2, 3,... (vgl. z.. [2], bzw. Absatz ) erhält man von null verschiedene Eigenformen. Sie lauten w(x) = C[3] sin ( n π x ). Die Konstante C[3] bleibt frei wählbar.

4 4 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb Table DSolve n4 π 4 w[x] - w''''[x], w[], 4 w[], - w''[], - w''[] ==, w[x], x, {n, 1, 5} w[x] C[3] Sin π x 2 π x, w[x] C[3] Sin, w[x] C[3] Sin 3 π x 4 π x 5 π x, w[x] C[3] Sin, w[x] C[3] Sin Da zur ösung von Eigenwertaufgaben eine umfangreiche iteratur existiert, wird an dieser Stelle, wie so oft in meinen Skripten, die heuristische Vorgehensweise gewählt. Wir bleiben bei unserem Einfeldbalken. Das Einsetzen der vier Randbedingungen aus dem Absatz in die eziehung (16.1.4) liefert uns vier estimmungsgleichungen, die im Anschluss in Matrizenform aufbere itet werden. w = e - x 1 4 x 1 4 C[2] + e C[4] + C[1] Cos x 1/4 ω n + C[3] Sin x 1/4 ω n ; 1/4 1/4 C[1] + C[2] + C[4] e C[2] + e C[4] + C[1] Cos 1/4 ω n + C[3] Sin 1/4 ω n 1/4 1/4 - - C[1] ω n + C[2] ω n + C[4] ω n e- C[2] ω n + e 1 4 C[4] ω n C[1] Cos ω n C[3] Sin ω n - e e C[2] ω n - e C[2] + e 1 4 C[1] + C[2] + C[4] C[4] + C[1] Cos C[3] Sin 1 4 C[1] ω n - C[2] ω n - C[4] ω n 1 4 C[4] ω n - C[1] Cos 1 4 ω n + C[3] Sin 1 4 ω n Die Matrizengleichung matw vekc = vekn hat nur dann nichttriviale ösungen vekc, wenn die Determinante von matw gleich null ist: FullSimplify[Reduce[Det[matW], ω n, Reals]]

5 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 5 > && > && ω n 4 π 2 C[1] 4 4 ω n && (( < && 1 + C[1] ) ( > && C[1] 1)) π 2 (1 + 2 C[1]) 4 4 ω n && (( < && 1 + C[1] ) ( > && C[1] )) && C[1] Integers ( && ω n > ) ( && ω n ) Als Anwendungsbeispiel dient der Versuchsbalken aus [48]. Die Verifikation der im Absatz ausgewiesenen eziehung für ω n bereitet keine besonderen Schwierigkeiten. In[6]:= EM = ; IA yy = ; = 6.117; = 5.932; = EM IA yy ; Table ω 2 j+1 = (π + 2 π j) 4 4, {j,, 2} ; Table ω 2 j = 4 π 2 j 4 4, {j, 1, 3} ; test = MatrixForm Table ω n n2 π 2 2, {n, 1, 6} ; ω [s -1 ]: Test mit (16.1.6): True True True True True True f [Hz]: Wir untersuchen jetzt den durchlaufenden Zweifeldbalken aus [48] (vgl. auch Kapitel 29), der die beiden ungleichen Stützweiten = m m (vgl. hierzu auch [57]) besitzt. Nach Einsetzen der acht Randbedingungen in die für jedes alkenfeld getrennt aufgestellte DG (16.1.4), erhält man acht estimmungsgleichungen: EM = , IA yy = , = 6.117, 1 = 2.352, 2 = 3.58, = EM IA yy ; erg1 = DSolve ω n 2 w[x1] - w''''[x1], w[x1], x1, erg2 = DSolve ω n 2 w[x2] - w''''[x2], w[x2], x2

6 6 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb w[x1] e x1 ω n C[2] + e x1 ω n C[4] + 1. C[1] Cos x1 ω n + 1. C[3] Sin x1 ω n, w[x2] e x2 ω n C[2] + e x2 ω n C[4] + 1. C[1] Cos x2 ω n + 1. C[3] Sin x2 ω n w1 = e ` x1 ω n C[2] + e ` x1 ω n C[4] + 1.` C[1] Cos `x1 ω n + 1.` C[3] Sin `x1 ω n, w2 = e ` x2 ω n C[6] + e ` x2 ω n C[8] + 1.` C[5] Cos `x2 ω n + 1.` C[7] Sin `x2 ω n ; {erg1 = w1, erg11 = D[w1, x1], erg12 = - D[w1, x1, x1], erg2 = w2, erg21 = D[w2, x2], erg22 = - D[w2, x2, x2]}; Expand[{erg1 /. x1, erg1 /. x1 1, erg12 /. x1, erg2 /. x2, erg2 /. x2 2, erg22 /. x2 2, (erg12 /. x1 1) - (erg22 /. x2 ), (erg11 /. x1 1) - (erg21 /. x2 )}] C[1] + 1. C[2] + 1. C[4], e ω n C[2] + e ω n C[4] + 1. C[1] Cos ω n + 1. C[3] Sin ω n, C[1] ω n C[2] ω n C[4] ω n, C[5] + 1. C[6] + 1. C[8], e ω n C[6] + e.4118 ω n C[8] + 1. C[5] Cos.4118 ω n + 1. C[7] Sin.4118 ω n, e ω n C[6] ω n e.4118 ω n C[8] ω n C[5] Cos.4118 ω n ω n C[7] Sin.4118 ω n ω n, e ω n C[2] ω n e ω n C[4] ω n C[5] ω n C[6] ω n C[8] ω n C[1] Cos ω n ω n C[3] Sin ω n ω n, e ω n C[2] ω n e ω n C[4] ω n C[6] ω n C[7] ω n C[8] ω n C[3] Cos ω n ω n C[1] Sin ω n ω n Um beispielsweise die ersten sechs Eigenwerte zu berechnen, folgen wir dem Algorithmus vom Absatz und bauen die entsprechenden Matrizen für die Matrizengleichung matw vekc = vekn auf.

7 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 7 matw = w 1,1 w 1,2 w 1,3 w 1,4 w 1,5 w 1,6 w 1,7 w 1,8 w 2,1 w 2,2 w 2,3 w 2,4 w 2,5 w 2,6 w 2,7 w 2,8 w 3,1 w 3,2 w 3,3 w 3,4 w 3,5 w 3,6 w 3,7 w 3,8 w 4,1 w 4,2 w 4,3 w 4,4 w 4,5 w 4,6 w 4,7 w 4,8 w 5,1 w 5,2 w 5,3 w 5,4 w 5,5 w 5,6 w 5,7 w 5,8 w 6,1 w 6,2 w 6,3 w 6,4 w 6,5 w 6,6 w 6,7 w 6,8 w 7,1 w 7,2 w 7,3 w 7,4 w 7,5 w 7,6 w 7,7 w 7,8 w 8,1 w 8,2 w 8,3 w 8,4 w 8,5 w 8,6 w 8,7 w 8,8 ; vekc = C[1] C[2] C[3] C[4] C[5] C[6] C[7] C[8] ; vekn = ; Dank des numerischen ösungsalgorithmus FindRoot bereitet es keine Schwierigkeiten die maßgebenden Eigenkreisfrequenzen in aufsteigender Folge herauszufiltern: {deltaomega = 25, precision = 35}; Table deltaomega i 2, FindRoot Det[matW], ω n, deltaomega i 2, WorkingPrecision 35, PrecisionGoal precision, AccuracyGoal 35, MaxIterations 5, {i, 1, 7} 25, ω n , {1, {ω n }}, {225, {ω n }}, {4, {ω n }}, {625, {ω n }}, {9, {ω n }}, {1225, {ω n }} Mit der Matrizengleichung matw vekc = vekn können nun die Konstanten C[1] bis C[8] bestimmt und die zugehörigen Eigenformen gemäß Absatz (16.1.1) ausgeweisen werden, wobei wir uns auf die Darstellung der ersten drei Eigenwerte begrenzen: 1. Eigenform Solve[{(matW /. ω n `15.).vekC vekn, C[8] 1}, {C[1], C[2], C[3], C[4], C[5], C[6], C[7], C[8]}] {{C[1]., C[2] 17.41, C[3] , C[4] , C[5] 142.4, C[6] , C[7] , C[8] 1.}} Anmerkung: C[8] = 1 zu setzen, stellt eine Modalität von vielen dar (vgl. die dritte Eigenform!).

8 8 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 1 1. Eigenform für ω 1 = [s -1 ] -1 w(x) in [m ] Trägerlänge in [m ] 2. Eigenform Solve[{(matW /. ω n `25.). vekc vekn, C[8] 1}, {C[1], C[2], C[3], C[4], C[5], C[6], C[7], C[8]}] {{C[1]., C[2] , C[3] , C[4] , C[5] , C[6] , C[7] , C[8] 1.}} Anmerkung: C[8] = 1 zu setzen, stellt eine Modalität von vielen dar (vgl. die dritte Eigenform!). 2. Eigenform für ω 2 = [s -1 ] -5 w(x) in [m ] Trägerlänge in [m ] 3. Eigenform

9 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 9 Solve[{(matW /. ω n `35.). vekc vekn}, {C[1], C[2], C[3], C[4], C[5], C[6], C[7], C[8]}] {{C[1]., C[3] C[2], C[4] C[2], C[5] C[2], C[6] C[2], C[7] C[2], C[8] C[2]}} Anmerkung: C[2] wurde in der folgenden, nicht geöffeneten Zelle gestrichen, da virtuell zu eins gesetzt! 3. Eigenform für ω 3 = [s -1 ] 1 w(x) in [m ] Trägerlänge in [m ] 16.2 Einfeldbalken unter einer rollenden Einzelkraft Die erforderliche asisgleichung findet man, indem die im Abschnitt 16.1 abgeleitete Differenzialgleichung des ungedämpften iegebalkens in formaler Analogie zu den differenziellen eziehungen eines Einmassenschwingers (siehe Absätze 7.1 bzw. 7.4) auf einen gedämpften und krafterregten Fall erweitert wird. Im Ergebnis dessen erhalten wir eine partielle inhomogene Differenzialgle - ichung 4. Ordnung, die in dieser verallgemeinerten Form zur Analyse eines breiten Spektrums geschwindigkeitsgedämpfter ERNOUI-EUERbalken mit konstanter Massebelegung und beliebiger Krafterregung p(x, t) genutzt werden kann [23][64]: x,x,x,x w[x, t] + t,t w[x, t] + 2 ω b t w[x, t] = p[x, t] Mit dem Parameter ω b definieren wir eine globale Abklingkonstante, die nur unter bestimmten Annahmen mit der Interpretation der Absätze bzw. 7.4 in Übereinstimmung gebracht werden kann. Als ösungsverfahren wählen wir die modale Analyse, die man in der iteratur auch als Analyse nach den Eigenschwingungsformen bezeichnet [2]. Die im Kapitel 14 für diskrete Modelle ausgewiesenen Algorithmen werden für die nun vorliegenden Kontinua in modifizierter Form angewendet. Wesentliche Grundelemente dieser Methode sind schon im Kapitel 11 abgeleitet und erfolgreich genutzt worden Die erechnung der ungedämpften Eigenfrequenzen und Eigenformen eines Einfeldbalkens mit konstanter Massebelegung (ild a) erfolgte bereits im Absatz Um diese Eigenfor-

10 1 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb men grafisch darstellen zu können, benötigen wir ein numerisches eispiel. Die freie Konstante C[3] wird hierbei eins gesetzt: In[16]:= "Anzahl der Eigenformen: " NumberForm[n = 5] = 15, = 13, = ; Out[16]= Anzahl der Eigenformen: 5 Out[19]= Ungedämpfte Eigenkreisfrequenzen ω i [s -1 ]: Erste fünf Eigenformen 1..5 Out[21]=. w(x) in [m ] Trägerlänge in [m ] Wie unten gezeigt, besitzen die Eigenformen erwartungsgemäß die sich als sehr wertvoll erweisende Eigenschaft der Orthogonalität. Diese ermöglicht es uns im Weiteren, ein entkoppeltes Differenzialgleichungssystem zu erzeugen (siehe Kapitel 14). w i [x] w j [x] dx = für i j und w i [x] w j [x] dx = o o 2 für i j

11 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 11 MatrixForm Table NIntegrate w i [x] w j [x], {x,, }, {i, 1, n}, {j, 1, n} Zur zielgerichteten Umformung der partiellen DG (16.2.1) bedient man sich zweier Produktansätze: w(x, t) = w i (x) q i (t) und p(x, t) = w i (x) Q i (t) mit w (x, t) w i (x) q i (t) Q i (t) - zeitabhängige iegelinie [m] - ortsabhängige, normierte i-te Eigenform - zeitabhängige i-te generalisierte Koordinate der i-ten normierten Eigenform - zeitabhängige i-te generalisierte Kraft - Massebelegung [kg/m] - Stützweite des Einfeldträgers [m] ( x,x,x,x w i [x] q i [t]) + (w i [x] t,t q i [t]) + 2 ω b (w i [x] t q i [t]) = (w i [x] Q i [t]) (w i [x] t,t q i [t]) + 2 ω b (w i [x] t q i [t]) + ( x,x,x,x w i [x] q i [t]) = (w i [x] Q i [t]) Zwischen der obigen Gleichung und der eziehung (14.1.4) des Kapitels 14 besteht eine Analogie. Um sie anschaulich machen zu können, nutzen wir das eispiel vom Absatz , wobei wir uns zwecks Übersichtlichkeit wieder auf die ersten fünf Eigenwerte beschränken werden. Im Gegensatz zum Kapitel 14 berücksichtigen wir die Dämpfung als ein zusätliches estandteil. (w i [x] t,t q i [t]) + 2 ω b (w i [x] t q i [t]) + ( x,x,x,x w i [x] q i [t]) = w i [x] Q i [t] matma matef vekq'' + matka matef vekq = vekf Im ersten Schritt wird die zur diskreten Vorgehensweise analoge Matrizengleichung des Kontinuums aufbereitet, welche im Anschluss mit dem transponierten Eigenformvektor von links erweitert wird:

12 12 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb vekef t,t vekq + 2 ω b vekef t vekq + x,x,x,x vekef vekq = vekef vekq Transpose[vekEF] ( vekef) t,t vekq + Transpose[vekEF] (2 ω b vekef) t vekq + Transpose[vekEF] ( x,x,x,x vekef) vekq = Transpose[vekEF] ( vekef) vekq Im nächsten Schritt bestimmen wir gemäß Kapitel 11 die generalisierten Massen und Steifigkeiten für alle n Eigenformen. Anhand des eispiels lässt sich nachweisen, dass sie uns ohne Schwierigkeiten zu den im Absatz berechneten ungedämpften Eigenkreisfrequenzen ω i führen. Folglich muss es auch gelingen, das obige Gleichungssystem (16.2.7) in ein entkoppeltes System von n idealisierten Einmassenschwingern zu überführen. emerkenswert ist übrigens die Konstanz der generalisierten Massen m G,i für alle n Eigenformen. In[22]:= vekm G == MatrixForm Table m G,i = w i [x] 2 dx, {i, 1, n} // N, vekk G == MatrixForm Table k G,i = ( x,x w i [x]) 2 dx, {i, 1, n} // N Out[22]= vekm G , vekk G In[23]:= " ω i [s -1 ]: " MatrixForm Table k G,i m G,i // N, {i, 1, n}, " ω i 2 [s -1 ]: " MatrixForm Table k G,i m G,i // N, {i, 1, n} Out[23]= ω i [s -1 ]: , ω i 2 [s -1 ]: Wir kehren zur Matrizengleichung (16.2.7) zurück und normieren dieses auf m G,1 (siehe Absatz 12.19) und integrieren alle Matrizenelemente über die Stützweite :

13 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 13 vekef = 1 m G,1 ( w 1 [x] w 2 [x] w 3 [x] w 4 [x] w 5 [x] ); vekq = Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 ; vekq = q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] q 4 [t] q 5 [t] ; MatrixForm Transpose[vekEF].( vekef). t,t vekq dx // N + MatrixForm Transpose[vekEF]. (2 ω b vekef). t vekq dx // N + MatrixForm Transpose[vekEF].( x,x,x,x vekef).vekq dx // N MatrixForm Transpose[vekEF].( vekef).vekq dx // N q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] q 4 [t] q 5 [t] + 2. ω b q 1 [t] 2. ω b q 2 [t] 2. ω b q 3 [t] 2. ω b q 4 [t] 2. ω b q 5 [t] + q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] q 4 [t] q 5 [t] Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q Die Zahlen vor den generalisierten Koordinaten q i (t) entsprechen den Quadraten der ungedämpften Eigenkreisfrequenzen ω i 2 (siehe Absatz ), womit eine vollständige Übereinstimmung zu den in den Absätzen f. festgehaltenen Aussagen hergestellt ist. leibt einzig und allein noch die estimmung der generalisierten Kräfte Q i (t) offen. Unter Ausnutzung der Orthogonalitätseigenschaft der Eigenformen und der Integralbeziehung für die generalisierte Masse (siehe Absatz bzw. Absatz 11.13) erhält man schließlich: (w i [x] Q i [t]) = p[x, t] (w i [x] Q i [t]) w i [x] dx = p[x, t] w i [x] dx Q i [t] w i [x] 2 dx = p[x, t] w i [x] dx m G,i Q i [t] = p[x, t] w i [x] dx Q i [t] = 1 p[x, t] w i [x] dx m G,i

14 14 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb "Nachweis für 'm G,i Q i (t)' : " MatrixForm Table 5 (w i [x] Q i [t]) w i [x] dx, {i, 1, 5} Nachweis für 'm G,i Q i (t)' : 975 Q 1 [t] 975 Q 2 [t] 975 Q 3 [t] 975 Q 4 [t] 975 Q 5 [t] Für den Fall einer konstanten Einzelkraft P (t) = P in [N], die sich mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit v [m/s] über den alken bewegt, lautet der astprozess p(x, t) mittels der DIRACfunktion (siehe Absatz 31.3): p[x, t] = P DiracDelta[x - v t] Die entkoppelten Differenzialgleichungen des Absatzes sind jede für sich relativ elegant mit dem Faltungsprodukt q i (t) * g i (t) lösbar. Unter erücksichtigung der unten nochmals angeführten eziehungen (7.4), (1.1.8), und (1.1.9) bereitet die Auffindung der ösungsfunktion für q i (t) keine Probleme: Absatz 7 _ 4 : Absatz 1 _ 1 _ 8 : ω 2 1 x[t] + 2 ω b1 x [t] + x [t] = F[t] m t x[t] y[t] * g[t] = y[τ] g[t - τ] dτ Absatz 1 _ 1 _ 9 : g[t] = m ω ω b1 ω 1 2 e -tω b1 Sin ω ω b1 ω 1 2 t q i [t] = t Q i [τ] ω i ω b ω i 2 e -(t-τ) ω b Sin ω i 1 - ω b ω i 2 (t - τ) dτ für t < T über mit Q i [t] = 1 P DiracDelta[x - v t] w i [x] dx = P w i[t v] m G,i m G,i Versteckte Zelle zwecks estätigung der oben ausgewiesenen Umformung von Q i (t) Der Parameter T über = [s] erfasst die Überfahrtzeit der Einzellast. Wir nutzen wieder das v obere eispiel, um eine geeignete Parameteruntersuchung durchführen zu können. Dabei soll analysiert werden, wie sich die Durchbiegung in Feldmitte in zeitlicher Abhängigkeit vom astort der Einzellast ändert. Wir beschränken uns auf die erste Eigenform. Die dynamischen Durchbiegungswerte werden auf die statische Durchbiegung in Feldmitte infolge der Einzellastamplitude

15 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb 15 bezogen, womit die Ordinate der dynamischen Vergrößerungsfunktion DMF (Dynamic magnification factor) des Absatzes 7.33 entspricht. Zusätzlich führen wir zwecks Verallgemeinerung der Ergebnisse noch den dimensionslosen Geschwindigkeitsparameter α = π v ω i = ω ω i ein. Die gewählten Eingangsgrößen betragen schließlich: In[24]:= i = 1, P = 1234, ω i = 54.41, m G,i = 975, ω b =.1 ω i, w statisch = P 3 48 ; Geschwindigkeitsparameter α Out[25]=.6 α v [m/s] v 6. DMF von w dynamisch (/2) in Abhängigkeit von v [m/s] Out[26]= DMF Zeit [s] Die obige Animationsgrafik ist mit der uilt-in-funktion Manipulate des Programmsystems MATHEMATICA erstellt worden. Somit ist eine anschauliche interaktive Variation der Überfahrtgeschwindigkeit innerhalb dieser Darstellung möglich. Die rot ausgewiesenen dynamischen iegelinien werden mit den blau gezeichneten verglichen, die gemäß Gleichung (2) aus [23, S. 27] berechnet

16 16 baudyn_16_balken_bewegte_lasten.nb worden sind. Die Ergebnisse stimmen vollkommen überein, wenn man, statt sich auf die statische Durchbiegung nach der Technischen iegelehre zu beziehen, die quasistatische Verschiebung heranzieht, die über die generalisierte Steifigkeit der auf eins genormten iegelinie berechnet worden ist (siehe unten; vgl. auch Absatz 11.17). In[27]:= w iegelehre P 3 48 // N, w quasistatisch P m G,i ω i 2, w quasistatisch P k G,i // N Out[27]= w iegelehre , w quasistatisch , w quasistatisch Anmerkung: Im Kontext zu dem oben abgeleiteten Algorithmus enthalten die im ild 4 von [23, S. 29] dargestellten inien im ereich t T über teilweise Unstimmigkeiten, deren Entstehen im Nachgang leider nicht mehr erklärbar ist. Vermutlich sind sie den damals dem Ingenieur zur Verfügung stehenden Rechenhilfsmitteln geschuldet.