Baudynamik und Zustandsanalyse

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1 Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 2.3 Wellen [37] Die periodische Veränderung einer physikalischen Größe, die sowohl zeitlich als auch räumlich erfolgt, kennzeichnet eine Welle. Durch den Begriff der Welle wird in der Physik ein wichtiger Teil der objektiv vorhandenen Raum-Zeit erfasst. Eine Welle kann man sich als Kopplung sehr vieler, gleichartiger schwingungsfähiger Systeme vorstellen. In der Mechanik wäre dies z. B. eine in Reihe geschaltete Pendelkette. Der Schwingungszustand bildet sich dabei in einem Raumpunkt in eine zeitlich sich nicht verändernde Raum-Richtung (Ausbreitungsrichtung bzw. Wellennormale) aus Am Anfang dieses Abschnittes widmen wir uns zunächst den harmonischen Wellen. Streng mathematisch gesehen, ist eine harmonische Welle nur möglich, wenn alle Einschwingvorgänge abgeklungen sind (vgl. hierzu Absätze 7.27 ff.). Das Modell der harmonischen Welle setzt somit eine unendliche räumliche und zeitliche Ausdehnung voraus Um den Sachverhalt anschaulich zu machen, erzeugen wir eine ebene harmonische Welle, deren zeitliche und räumliche Periodizität in der nachfolgend ausgewiesenen mathematischen Form erfasst wird. Eine ebene Welle liegt z. B. bei der ungestörten Ausbreitung eines ideal parallelen Lichtbündels vor. Wenn die x-achse die Ausbreitungsrichtung ist, lautet die einfachste Form einer Wellengleichung: a = A Cos[ω t - Ω x + φ] mit A Ω λ ω T φ - Amplitude der physikalischen Größe a, die sich wellenartig verändert - Kreiswellenzahl mit Ω = 2 π in [m -1 ] λ - Wellenlänge in [m] - Kreisfrequenz ω = 2π f = 2 π in [s -1 ] - Periodendauer in [s] - Phasenverschiebung in [rad] v phase - Phasengeschwindigkeit der Welle v phase = ω Ω = λ f in [m s-1 ] t x - Zeit in [s] - Weg in [m] T Im Weiteren werden Beispiele verschiedener Darstellungsformen für ebene Wellen aufgezeigt. Hierbei verdeutlicht insbesondere die letzte Animationsgrafik, bei der eine diskrete Auflösung einer Welle in ihre einzelnen Wellenpunkte vorgenommen wurde, auf sehr anschauliche Weise das innere Wesen der Wellenbewegung.

2 2 baudyn_02_3_wellen.nb Wellenlänge Frequenz Phasenverschiebung Out[6]= Anmerkung: Für das obige festgehaltenene Bild wurden die Parameter λ = 15 m, f = 1.5 Hz und φ = 2 ausgewählt.

3 baudyn_02_3_wellen.nb 3 Wellenlänge Frequenz Phasenverschiebung Anmerkung: Für die obige festgehaltene Grafik wurden die Parameter λ = 10 m, f = 1.0 Hz und φ = π ausgewählt.

4 4 baudyn_02_3_wellen.nb Zeitpunkt Wellenlänge 1.0 Ebene Welle - ohne Zeitachse Out[10]= Physikalische Größe a Weg in [m] Anmerkung: Für das obige festgehaltene Bild wurde der Parameter λ = 10 m bei t = 0 ausgewählt. Zeitpunkt Wellenlänge Ebene Welle - ohne Zeitachse Out[12]= Weg in [m] Physikalische Größe a Anmerkung: Für das obige festgehaltene Bild wurde der Parameter λ = 10 m bei t = 0 ausgewählt Wenn beliebig im Raum verlaufende ebene, aber auch andere Wellen, wie Zylinder- und Kugel-

5 baudyn_02_3_wellen.nb 5 wellen, erzeugt werden sollen, ist es zweckmäßig, die Wellengleichung (2.3.3) in vektorieller Schreibweise darzustellen: a = A * Cos[ω t - Ω (veks.vekn 0 ) + φ] mit - Amplitude der Welle veks = x veki + y vekj + z vekk - Raum- oder Ortsvektor vekn 0 - Einheitsvektor der Wellennormalen (Ausbreitungsrichtung) veki, vekj, vekk - Einheitsvektoren A * Anmerkung: Bezüglich der vektoriellen Schreibweise vergleiche man die versteckte Zelle nach dem Absatz zur Vektorkinematik. Ebene Welle Zylinderwelle Kugelwelle veks {x, 0, 0} {x, y, 0} {x, y, z} Out[15]= vekn 0 x x 2, 0, 0 x x 2 +y 2, y x 2 +y 2 y (x 2 + y 2 + z 2 ),, 0 x (x 2 + y 2 + z 2 ), z (x 2 + y 2 + z 2 ) vekn veks.vekn 0 x 2 (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) Die oben angeführten Beispiele für drei verschiedene harmonische Wellenarten unterscheiden sich nach dem Charakter der Flächen konstanter Phasen: Ebene Welle parallele Ebenen, Kugelwelle Kugelflächen mit gemeinsamen Zentrum, Zylinderwelle Zylinderflächen mit gemeinsamer Achse Im Absatz handelte es sich um ebene Wellen mit der Wellennormalen vekn 0 konstant, deren Amplituden A * A nicht ortsabhängig sind. Wir generieren nun eine Zylinderwelle mit vekn 0 ± vekr 0. Hierbei muss jedoch die Ortsabhängigkeit der Amplitude A * A / R beachtet werden (siehe Absatz 2.3.9). Die Erregungsquelle einer Zylinderwelle stellt eine unendlich lange Gerade dar. Es gilt: a = A R Cos[ω t - Ω veks.vekn 0 + φ] A x 2 + y 2 Cos 2 π f t - 2 π λ ± x 2 + y 2 + φ In[16]:= {λ = 5, f = 1, φ = 0, A =.1, tmax = 10, xmax = ymax = 15 };

6 6 baudyn_02_3_wellen.nb Zeit Out[17]= ClearAll; {λ = 5, f = 1, φ = 0, A =.1, tmax = 10, xmax = ymax = 15} ;

7 baudyn_02_3_wellen.nb 7 Zeit Bei einer Kugelwelle ist die Wellenfront eine Kugeloberfläche. Die Ortsabhängigkeit der Amplitude lautet A * A/R, der Einheitsvektor der Wellennormalen bleibt derselbe, vekn 0 ± vekr 0. Eine solche Welle entsteht beispielsweise bei der ungehinderten Ausbreitung des Lichtes von einer idealen Punkt-quelle. Ihre Gleichung erhält in Analogie zur Zylinderwelle (Absatz 2.3.7) die Form: a = A R Cos[ω t - Ω veks.vekn 0 + φ] A 2 π Cos 2 π f t - x 2 + y 2 + z 2 λ x 2 + y 2 + z 2 + φ In[18]:= ClearAll; {λ = 5, f = 1, φ = 0, A = 1, tmax = 1, xmax = ymax = zmax = 15 };

8 8 baudyn_02_3_wellen.nb Zeit Out[20]= In [37] wird die Erklärung warum die Amplituden bei einer Zylinder- oder Kugelwelle ortsabhängig sind, mit der Tatsache begründet, dass der zeitliche Mittelwert der Energiedichte bzw. Intensität auf jedem konzentrischem Kreis oder jeder konzentrischen Kugel konstant sein muss. Da weiterhin der Umfang eines Kreises dem Radius, die Oberfläche einer Kugel dem Quadrat des Radius und die Energiedichte einer Welle wiederum dem Amplitudenquadrat proportional sind, gelten die in den Absätzen und ausgewiesen spezifischen Amplituden A *. Versteckte Zelle zum besseren Verständnis der oberen Aussage In ausreichend großer Entfernung vom Erregerzentrum ist es möglich, Kugel- oder Zylinderwellen lokal durch ebene Wellen anzunähern. Bei Oberflächenwellen (Wasserwellen) ist die Kreiswelle das zweidimensionale Pendant der von einem Zentrum ausgehenden Kugelwelle. Da sich bei einer Kreiswelle wiederum, die Energiedichte bzw. Intensität auf den Umfang des Kreises verteilt, entspricht die analytische Form einer Kreiswelle der einer Zylinderwelle Analog zu den Schwingungen (vgl. Abschnitt 2.4) kann jede beliebige Welle als Superposition harmonischer Wellen dargestellt werden. Wie wir in der letzten Animationsgrafik des Absatzes anschaulich sehen konnten, bewirkt eine harmonische Welle an jedem Ort des Wellenraumes eine harmonische Schwingung. Eine Welle ist durch Amplitude, Kreisfrequenz, Kreiswellenzahl und Phasenverschiebung eindeutig bestimmt. Das Produkt von Wellenlänge und Frequenz liefert ihr fundamen - tales Charakteristikum, die Phasengeschwindigkeit Die Phasengeschwindigkeit liefert jedoch keinen Anhalt darüber mit welcher Geschwindigkeit harmonische Wellen ein Signal übertragen. Da diese weder Anfang noch Ende haben, sind sie als

9 baudyn_02_3_wellen.nb 9 Modelle zur Signalübertragung ungeeignet. Eine harmonische Welle verbreitet folglich Energie ohne Stofftransport. Versteckte Zelle zu einem Gedanken, der irgendwann zu Ende gedacht werden sollte In der Baudynamik spielen Wellen insbesondere als Wasser- und Erdbebenwellen eine wichtige Rolle. Die Wellenausbreitung findet hierbei im Medium Wasser bzw. Erdreich statt. Beide können als elastische Halbräume beschrieben werden. Sie repräsentieren folglich isotrope, linear elastische Kontinua In einem idealen unbegrenzten elastischen Vollraum existieren nur Transversalwellen (S- Wellen) und/oder Longitudinalwellen (P-Wellen). Für den ersten Wellentyp findet man in der Literatur auch die Bezeichnung der Kompressionswelle, für den zweiten den Begriff der Scherwelle. Diese Raumwellen erzeugen keine Rotationen der virtuellen Raumpartikel, sondern nur deren Translationen, die gemäß der beiden Wellentypen zueinander orthogonal ausgerichtet sind. Infolge bestimmter Randbedingungen, z. B. der eines elastischen Halbraums, kommt es zur unterschiedlichen Überlagerungen (Superpositionen) dieser beiden Grundtypen. Eines der bekanntesten der möglichen Ereignisse ist das Auftreten von Oberflächenwellen. Man vergleiche hierzu die Ausführungen zum Begriff der Erdbebenwellen im Absatz des Kapitels 22 Beanspruchungen infolge Erdbeben Die mathematisch-physikalische Erfassung realer räumlicher Wellen im Erdreich ist außerordentlich kompliziert und komplex. Wesentliche qualitative Zusammenhänge lassen sich jedoch bereits mittels der Überlagerung eindimensionaler ebener Wellen aufzeigen. Im Kapitel 27 Längsschwingungen gerader Stäbe wird die Wellendifferenzialgleichung für den Fall der eindimensio-nalen Wellenausbreitung abgeleitet (siehe Absätze 27.8 ff.). Das geschieht anhand einer Grenzwertbe-trachtung, bei der das diskrete Modell von in Reihe geschalteter Einzelmassen zu einem Kontinuum approximiert wird. Das Ergebnis lautet: t,t u[x, t] = c 2 x,x u[x, t] mit c = c P = ϱ EM EM ϱ - longitudinale Wellenausbreitungsgeschwindigkeit(P - Welle) - Dichte der Masse - Steifemodul (Elastizitätsmodul bei behinderter Seitendehnung) In Analogie zu den primären Kompressionswellen findet man die Differenzialgleichung der beiden zugehörigen eindimensionalen sekundären Scherwellen: t,t v[x, t] = c 2 x,x v[x, t] bzw. t,t w[x, t] = c 2 x,x w[x, t] mit c = c S = ϱ G G ϱ - transversale Wellenausbreitungsgeschwindigkeit(S - Welle) - Dichte der Masse - Schub - oder Gleitmodul

10 10 baudyn_02_3_wellen.nb Anmerkung: Statt der Begriffe Wellenausbreitungs- bzw. Wellengeschwindigkeit ist es streng physikalisch gesehen besser, den Begriff der Phasengeschwindigkeit einer Welle (siehe Absatz 2.3.3) zu verwenden. Somit gilt c P v phase, P ω P Ω P bzw. c S v phase, S ω S Ω S Ein spezieller Lösungsansatz für die drei obigen eindimensionalen Differenzialgleichungen im Raum könnte beispielsweise folgende Form besitzen (vgl. Absatz ): u = A 1 e i (ω P t-ω P x) + A 2 e i (ω P t+ω P x) = A 1 Cos[ω P t - Ω P x] + i A 1 Sin[ω P t - Ω P x] + A 2 Cos[ω P t + Ω P x] + i A 2 Sin[ω P t + Ω P x] v = A 3 e i (ω S t-ω S x) + A 4 e i (ω S t+ω S x) = A 3 Cos[ω S t - Ω S x] + i A 3 Sin[ω S t - Ω S x] + A 4 Cos[ω S t + Ω S x] + i A 4 Sin[ω S t + Ω S x] w = A 5 e i (ω S t-ω S x) + A 6 e i (ω S t-ω S x) = A 5 Cos[ω S t - Ω S x] + i A 5 Sin[ω S t - Ω S x] + A 6 Cos[ω S t + Ω S x] + i A 6 Sin[ω S t + Ω S x] In diesem Absatz wird der Versuch unternommen, eine RAYLEIGH-Oberflächenwelle phänomenologisch zu erzeugen und grafisch darzustellen. RAYLEIGH sagte das Vorhandensein dieser Wellenart bei Erdbeben mittels mathematischer Überlegungen voraus. Ihr experimenteller Nachweis gelang erst später. Bei einer RAYLEIGHwelle vollführen die Bodenpartikel im Bereich der Oberfläche, einer Wasserwelle ähnlich, elliptische Bewegungen, die sich aus ihrem Rauf und Runter bzw. Hin und Her ergeben. Diese Effekte sind der Überlagerung von Scher- und Kompressionswellen geschuldet. In[21]:= {T P =.5, λ P = 10, T S =.5, λ S = 10, maxi = 25, Δx =.5, maxj = 10, Δy =.5}; ω P = 2 π, f P = 1, Ω P = 2 π, ω S = 2 π, f S = 1, Ω S = 2 π ; T P T P λ P T S λ S T S

11 baudyn_02_3_wellen.nb 11 Zeitpunkt t Fiktive Ebene RAYLEIGHwelle Out[26]= Zeitpunkt t Fiktive Ebene RAYLEIGHwelle - Ausschnitt Out[27]=