Baudynamik und Zustandsanalyse

Transkript

1 Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische ösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 17 Kragarm unter bewegten asten 17.1 In Fortführung zu den Überlegungen im Kapitel 16 soll an dieser Stelle der Speziallfall eines Kragbalkens, der durch eine Gruppe konstanter Einzellasten mit gleichbleibender Geschwindigkeit belastet wird (Bild 17.1), analysiert werden. Den Ausgangspunkt für die Berechnung stellt wieder die partielle Differenzialgleichung ( ) dar: EM IM yy x,x,x,x w[x, t] μ t,t w[x, t] 2 μ ω b t w[x, t] = p[x, t] Bild 17.1: Ein Gruppe konstanter Einzellasten bewegt sich entlang eines Kragarmes 17.2 Als ösungsverfahren bedienen wir uns der modalen Analyse des Abschnittes Deshalb müssen zuerst die ungedämpften Eigenkreisfrequenzen und Eigenschwingformen bestimmt werden. Dazu nutzen wir die bereits in der iteratur aufbereiteten Ergebnisse, wie sie z. B. in [2] bzw. [24] zu finden sind (vgl. hierzu auch Absatz 11.3). Die Eigenwertgleichung bzw. Frequenzdeterminante für einen Kragarm lautet cos(λ) cosh(λ) 1 =. Als Eingabeparameter benötigt man die Kraglänge in [m], die Massebelegung μ in [kg/m], die Biegesteifigkeit B = EM IM yy in [Nm 2 ] sowie die Anzahl maxn der gewünschten Eigenformen: In[38]:= maxn = 3; = 15; μ = 13; B = ;

2 2 baudyn_17_kragarm_bewegte_lasten.nb In[39]:= Table erg[r] = FindRoot 1 Cosh[lambda] Cos[lambda], lambda, 2 r - 1 π, 2 {r, 1, maxn} ; vekλ = MatrixForm[Table[λ r = erg[r][[1, 2]], {r, 1, maxn}]]; vekω = Table ω i = λ i 2 2 B μ, {i, 1, maxn} ; "Ungedämpfte Eigenkreisfrequenzen ω i [s -1 ]: " MatrixForm[vekω] Out[42]= Ungedämpfte Eigenkreisfrequenzen ω i [s -1 ]: In[43]:= Do w j [x] = Cosh λ j x - Cos λ j x Sinh λ j - Sin λ j - x Sinh λ j Cosh λ j Cos λ j - Sin λ j x, {j, 1, maxn} ; Darstellung[{w 1 [x], w 2 [x], w 3 [x]}, x,,, "Trägerlänge in [m]", Black, " w(x) in [m]", Black, " Ersten drei Eigenformen ", Black, Black, ightgreen, {{Red, Thick}, {Blue, Thick}, {Green, Thick}, {Yellow, Thick}, {Brown, Thick}}] 2 Ersten drei Eigenformen 1 Out[44]= w(x) in [m] Trägerlänge in [m] 17.3 Eine wichtige Kontrolle für die qualitative Richtigkeit der Eigenformen ist die Bestätigung ihrer Orthogonalitätseigenschaft (siehe Absatz ): w i [x] w j [x] dx = für i j und w i [x] w j [x] dx = für i j

3 17.7 Es fehlt nur noch die Bestimmung der generalisierten Kräfte Q i (t). Im Falle einer einzigen Einzelbaudyn_17_kragarm_bewegte_lasten.nb Die Bestimmung der generalisierten Massen und Steifigkeiten sowie die Verifikation der ungedämpften Eigenkreisfrequenzen des Absatzes 17.2 erfolgt in Anlehnung an den Absatz : Out[45]= vekm G , vekk G Out[46]= ω i [s -1 ]: , ω i 2 [s -1 ]: Analog zum Absatz wird das gewünschte entkoppelte Differenzialgleichungssystem aufgebaut: vekef = 1 m G,1 ( w 1 [x] w 2 [x] w 3 [x] ), vekq = Q 1 Q 2 Q 3, vekq = q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] MatrixForm Transpose[vekEF].(μ vekef). t,t vekq dx // N MatrixForm Transpose[vekEF]. (2 μ ω b vekef). t vekq dx // N MatrixForm Transpose[vekEF].(B x,x,x,x vekef).vekq dx // N MatrixForm Transpose[vekEF].(μ vekef).vekq dx // N ; q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] i q 1 [t] i q 2 [t] ( i) q 3 [t] ω b 2. q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] ω b q 1 [t] 2. q 2 [t] q 3 [t] ω b i q 1 [t] i q 2 [t] (2.. i) q 3 [t] 1. q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] i q 1 [t] 1. q 2 [t] i q 3 [t] i q 1 [t] i q 2 [t] (1.. i) q 3 [t] 1. Q Q Q Q 1 1. Q Q i Q i Q 2 (1.. i) Q Setzt man die gegenüber eins sehr kleinen Werte null, dann erhalten wir das unten angeführte Gleichungssystem, das problemlos auf beliebig viele Eigenformen erweiterbar ist: q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] ω b 2 q 1 [t] ω b 2 q 2 [t] ω b 2 q 3 [t] q 1 [t] q 2 [t] q 3 [t] Q 1 Q 2 Q 3

4 4 baudyn_17_kragarm_bewegte_lasten.nb last P k=1 (t) = P in [N], die mit einer konstanten Geschwindigkeit v in [m/s] den im Absatz 17.2 verwendeten Kragarm von links nach rechts überquert, gilt die Beziehung (siehe Absatz ): Q i [t] = 1 P DiracDelta[x - v t] w i [x] dx = P w i[t v] m G,i m G,i 17.8 Für das erste Berechnungsbeispiel wird eine Einheitslast P 1 = 1N gewählt. Der Ausdruck β = ω b ω i erfasst den Dämpfungsgrad das Balkens. Die frei wählbaren Eingangsparameter (blau) lauten schließlich: In[47]:= maxn = 3, β =.5, v = 5, w statisch = P 3 3 B ; 17.9 Als ösungsfunktion dient das Faltungsintegral ( ). Wir untersuchen die zeitliche Veränderung der Durchbiegungen an der freien Kragarmspitze. Dargestellt wird dies zunächst anhand der dynamischen Vergrößerungsfunktion DMF (siehe Absatz 7.33). Die dafür notwendige Bezugsgröße der statischen Durchbiegung w statisch am Kragarmende ist oben bereits ausgewiesen worden. DMF von w dynamisch Out[48]= DMF Bevor wir uns nun einem Anwendungsbeispiel aus dem Brückenbau mit einer Gruppe von Einzellasten widmen, muss noch der Fall t > T über = betrachtet werden (T über Überfahrtzeit einer v Einzellast). Im dem Augenblick, wo die Einzellast den Träger verlässt, beginnt das Ausschwingen des Balkens, das allein von den beiden Anfangsbedingungen, d. h. der Auslenkung und der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = T über bestimmt wird (siehe Absatz 1.11). Zum Zwecke der Vergleichbarkeit zeigen wir jetzt den unmittelbaren Funktionsverlauf der dynamischen Durchbiegungen w dynamisch (x =, t).

5 baudyn_17_kragarm_bewegte_lasten.nb 5 In[49]:= P = 1, maxt = 2 v ; w dynamisch Out[52]= w dynamisch [m] In der obigen Darstellung repräsentiert der Teil der blauen inie mit w dynamisch den Zeitbereich während dessen sich die ast auf dem Balken befindet. Der Teil des strichlierten roten inienzuges mit w dynamisch gehört zum Ausschwingungsvorgang. Bemerkenswert ist, dass die maximalen dynamischen Durchbiegungen am freien Ende des Kragarmes erst nach dem Verlassen der Einzellast auftreten Wie bereits angedeutet, wird jetzt der obige Basisalgorithmus auf die Kragkonstruktion einer Eisenbahnbrücke angewendet. Deren baudynamischen Parameter sind uns aus den vorherigen Absätzen bereits bekannt. Hinzu kommt einzig die Erweiterung auf eine fiktive astgruppe von dreißig Einzellasten mit P k=1 (1) 3 = k in [kn], die untereinander einen konstanten astabstand von Δ = 1,9 m haben. Zum Zeitpunkt t k=1 = fährt die erste ast bei x = auf den Balken. Da alle Einzellasten die gleiche Geschwindigkeit besitzen, ist die Bereitstellung ihrer Auffahrtzeitpunkte t k in [s] unproplematisch: In[53]:= {maxn = 1, maxk = 3, Δ = 1.9};

6 6 baudyn_17_kragarm_bewegte_lasten.nb Out[54]= vekp k : {195., , , , , , , , , 2637., , , , , , , , , , , , , , 2919., , , , , , } Out[55]= vekt k : {.,.38,.76,.114,.152,.19,.228,.266,.34,.342,.38,.418,.456,.494,.532,.57,.68,.646,.684,.722,.76,.798,.836,.874,.912,.95,.988, 1.26, 1.64, 1.12} Out[56]= Überfahrtzeit einer ast in [s]: Zunächst schieben wir aber noch den Sonderfalll von nur drei Einzellasten ein, um auf einen interessanten Sachverhalt aufmerksam zu machen. Gewählt werden die erste, die mittlere und die letzte Einzellast und eine Geschwindigkeit von v 169,972 m/s, damit es zu einer synchronen Überlagerung der Ausschwingungsanteile der ersten (rot) und der letzten Kraft (grün) kommt. Hingegen besitzt die zweite Kraft (blau) hinsichtlich der beiden anderen eine gegenläufige Wirkung. Für das Auffinden der dazu relevanten Zeitabstände ist die Definition der Wegkreisfrequenz Ω = 2 π [m -1 ] hilfreich, die über die Geschwindigkeit v [m/s] in die Zeitkreisfrequenz ω = v Ω [s -1 ] transformierbar ist (man vgl. hierzu u. a. auch den Absatz bzw. den Absatz ). w dynamisch.5. w dynamisch [m] Nun folgt die grafische Aufbereitung für die astgruppe des Absatzes mittels der Built-In- Funktion Manipulate des Programmsystems MATHEMATICA. Hierbei ist eine anschauliche interaktive Variation des Zeitfensters innerhalb dieser Darstellung möglich.

7 baudyn_17_kragarm_bewegte_lasten.nb 7 mint maxt w dynamisch w dynamisch [ m]