Homogene Systeme in höheren Dimensionen

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1 56 4 Systeme von Differenzialgleichungen gefunden, so sind deren ilder, ' = T, Lösungen in den y-koordinaten. llerdings ist das uffinden einer geeigneten Transformation T gleichbedeutend mit der estimmung der Eigenwerte und -vektoren von. Es wird also nicht wirklich einfacher. ndererseits ist aber klar, dass das Phasenportrait eines System y = y sich nur durch eine Ähnlichkeitstransformation von dem eines entsprechenden einfachen Systems in optimalen Koordinaten unterscheidet. Für die bisher betrachten typischen 2-dimensionalen Systeme sieht das folgendermaßen aus. Homogene Systeme in höheren Dimensionen etrachte nun y = y mit einer n n-matrix mit n 2. ngenommen, wir können durch eine Ähnlichkeitstransformation also durch Wahl geeigneter Koordinaten in eine einfachere Gestalt bringen. Eine Vereinfachung wäre zum eispiel eine lockdiagonalform, T 2 T = =... C m mit jeweils quadratischen reellen Matrizen,.., m. In diesem Fall werden die Differenzialgleichungen entkoppelt: Lösungen in den Koordinaten eines locks k sind unabhängig von den Lösungen in den Koordinaten jedes anderen lockes l mit l î k. Wir können somit jedes kleinere System z = k z, z 2 R n k, separat lösen und erhalten die Lösung des Gesamtsystem als ungestörte Überlagerung dieser einzelnen Lösungen. m einfachsten ist dies natürlich, wenn die löcke - oder 2-dimensional sind. Im -dimensionalen Fall haben wir einen reellen Eigenwert mit einem Eigenvektor. Im 2-dimensionalen Fall haben wir entweder zwei komplex konjugierte Eigenwerte mit komplexen Eigenvektoren, oder einen reellen Eigenwert

2 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten mit Eigenvektor und Nebenvektor. In allen diesen Fällen kennen wir die Lösungen bereits. Daraus ergibt sich folgender Satz, dem wir noch eine Definition voranstellen. Definition Eine n n-matrix heißt halbeinfach, wenn sie im Komplexen diagonalisierbar ist. In diesem Fall gibt es also eine asis aus reellen und/oder komplexen Eigenvektoren von. Ein Eigenwert kann dabei auch mehrfadh auftreten. 7 Satz Die n n-matrix sei halbeinfach mit Eigenwerten,.., r, r + ± i r +,.., m ± i m und zugehörigen Eigenvektoren v k respektive w k = v k + iu k. Dann bilden e kt v k, k r, (6) sowie die Komponenten von e kt cos k t [u k,v k ] sin k t sin k t, r + k m, cos k t ein Fundamentalsystem zu y = y. Jede Linearkombination aus diesen Lösungen ergibt somit eine Lösung dieser Differenzialgleichung. Die allgemeine Lösung ist die ungestörte Überlagerung der Exponenziallösungen zu den reellen Eigenwerten, und der Strudel- oder Zentrumslösungen zu Paaren komplexer Eigenwerte. Entsprechend ist das Fundamentalsystem zu modifizieren, wenn es einen reellen Eigenwert mit einem 2-dimensionalen verallgemeinerten Eigenraum gibt. In diesem Fall existiert wieder ein Eigenvektor v und ein Nebenvektor w, und das System in (6) ist entsprechend zu modifizieren. Dies entspricht einen 2-dimensionalen Jordanblock k =. uf größere Jordanblöcke gehen wir gleich kurz ein..ò eispiel etrachte y = y mit C =

3 .Ò 58 4 Systeme von Differenzialgleichungen Die Eigenwerte sind und 2 ± 3i, Eigenvektoren sind beispielsweise w = (, 3, ), v + iu = (, i, ) = (,, ) + i(,, ). Die allgemeine Lösung lautet damit '(x) = ae x w + e 2x (b sin 3x + c cos 3x)v + e 2x (b cos 3x c sin 3x)u mit reellen Parametern a, b, c. Schreiben wir noch b = r cos und c = r sin mit r 2 = b 2 + c 2, so wird dies zu '(x) = ae x w + r e 2x sin(3x + )v + r e 2x cos(3x + ) u. In der reellen asis w,v,u erhält durch C y = Tz, T = 3, übrigens die lockdiagonalgestalt T C T = = Matrix-Exponenzialfunktion Es gibt noch eine zumindest formal sehr einfache Möglichkeit, eine homogene lineare Differenzialgleichung zu lösen. Das skalare nfangswertproblem y = ay, y() = y, hat ja die eindeutige Lösung y(x) = e ax y. Etwas ganz naloges gilt aber auch für y = y. Wir müssen dazu nur das Exponenzial einer Matrix erklären. ekanntlich ist e x = X k x k k,

4 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten und entsprechend für e ax. Die rechte Seite ist aber auch für eine quadratische Matrix wohldefiniert, denn k ist induktiv wohldefiniert durch Õ I, k Õ k, k. Definition Das Exponenzial einer quadratischen Matrix ist definiert als e Õ X k k k = I Die Konvergenz dieser Reihe ist kein Problem und zeigt man wie im klassischen reellen Fall durch Wahl einer geeigneten Norm für Matrizen. Setzt man zum eispiel so gilt hierfür kxk kk Õsup xî kxk = sup kxk, kxk= k k k kk k, und man kann wie immer abschätzen. Entsprechend ist dann e x = X k k k x k. Diese Reihe konvergiert gleichmäßig auf beschränkten x-intervallen und definiert deshalb eine differenzierbare bbildung in x, deren bleitung man durchgliedweises differenzieren erhält. Es gilt deshalb (e x ) = X k k (x k ) k = X (k ) k x k k = X k k+ x k = X k k x k = e x. k k 8 Satz Das nfangswertproblem y = y, y() = y besitzt die eindeutige Lösung y(x) = e x y. (7) Es ist ja y() = e y = y und y (x) = (e x ) y = e x y = y(x).

5 6 4 Systeme von Differenzialgleichungen Für erechnungen von Hand ist (7) allerdings meist unpraktisch. Es gibt allerdings zwei interessante Spezialfälle. Zum einen sind die Diagonalmatrizen. Hier gilt offensichtlich e diag(,.., n) = diag(e,..,e n ). Zum anderen sind die Jordanblöcke, also =. = I + N, N =.. C.. (8).. C Dies beruht auf folgenden zwei Hilfssätzen. 9 Lemma Für jede quadratische Matrix gilt e I+ = e e. Dies beweist man durch usmultiplizieren in der Exponenzialreihe. ber chtung: Dies ist ein Spezialfall. Im llgemeinen ist e + nicht daselbe wie e e. Dies ist ein wichtiger Unterschied zur reellen Exponenzialfunktion. 2 Lemma Für die Matrix N in (8) gilt.... N k. = C mit k Nullen am nfang der ersten Zeile und Einsen nur in der k + -ten Diagonalen. Insbesondere ist N n =. Für einen Jordanblock ergibt sich damit folgender 2 Satz Für einen m m-jordanblock = I + N gilt

6 .Ò Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten x x2 x m.. 2 (m ) x m 2 x.. e x = e x (m 2) x C Es ist ja e x = e Ix+Nx = e x e Nx = e x I + Nx + N 2 x Nm x m (m ) da die Exponenzialreihe für N nach dem m, -ten Glied abbricht..ò Für = gilt also e x = e x x. Mit dem Eigenvektor e und dem Nebenvektor e 2 erhalten wir damit das Ergebnis von Satz 5, nämlich das Fundamentalsystem e x e, e x e 2 + xe x e. Da sich jede quadratische Matrix in eine Jordansche Normalform bringen lässt, erhalten wir damit zumindest folgendes qualitative Resultat über die Struktur aller möglichen Lösungen einen homogenen linearen Differenzialgleichung. 22 Satz Die Matrix habe die Eigenwerte,.., r, r + ± i r +,.., m ± i m mit Vielfachheiten,.., m. Dann ist jede Komponente einer Lösung von y = y eine Linearkombination aus den Funktionen p k (t)e kt, k r, und den Funktionen p k (t)e kt cos k t, q k (t)e kt sin k t, r + k m,

7 62 4 Systeme von Differenzialgleichungen mit Polynomen p k und q k vom Grad kleiner als k für alle k. Jede Komponente kann also nur eine Linearkombination aus bestimmten Exponenzial-, Sinus- und Cosinusfunktion sowie Potenzen von x bis zu einer bestimmten Ordnung sein. Schlussfolgerungen 23 Satz Das Spektrum von liegt in der linken komplexen Halbebene genau dann, wenn lim '(x) = x für jede Lösung ' von y = y. ) Für ein Produkt f aus einem Polynom und einer trigonometrischen Funktion und < gilt lim x e x f (x) =. Da jede Komponente einer Lösung ' von y = y aufgrund des letzten Satzes aus einer Linearkombination solcher Funktionen besteht, gilt daher auch lim x '(x) =. Eigenwert ( Dies zeigen wir indirekt. Existiert wenigstens ein reeller oder komplexer = + i mit, so existiert dazu auch wenigstens ein reeller oder komplexer Eigenvektor v und damit eine reelle oder komplexe Lösung '(x) = e x v dieser Differenzialgleichung. Ihr Real- oder Imaginärteil liefert eine reelle Lösung ', die für x nicht gegen Null konvergiert. 24 Satz Das Spektrum von liegt in der rechten komplexen Halbebene genau dann, wenn lim '(t) = t für jede Lösung ' von y = y außer der Gleichgewichtslösung. Es liegt auf der imaginären chse genau dann, wenn lim log '(x) = x± x für jede Lösung ' von y = y außer der Gleichgewichtslösung. Dies sei als Übung überlassen.