Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

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1 Übungsaufgaben zur Vektorrechnung W. Kippels 9. Januar Inhaltsverzeichnis Aufgaben. Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe d Aufgabe e Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 7a Aufgabe 7b Aufgabe Aufgabe Aufgabe 9a Aufgabe 9b Aufgabe Lösungen der Aufgaben 7. Aufgabe Aufgabe a

2 .. Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe d Aufgabe e Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 7a Aufgabe 7b Aufgabe Aufgabe Aufgabe 9a Aufgabe 9b Aufgabe

3 Aufgaben Lösen Sie die nachfolgenden Aufgaben. Die Lösungen befinden sich im nächsten Kapitel.. Aufgabe Sind die Vektoren linear abhängig Aufg. a und b bzw. komplanar Aufg. c bis e?.. Aufgabe a.. Aufgabe b.. Aufgabe c c =.. Aufgabe d c =..5 Aufgabe e c =. Aufgabe Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Vektoren komplanar sind! a 5 c =

4 . Aufgabe Stehen die Vektoren zueinander senkrecht orthogonal?.. Aufgabe a.. Aufgabe b.. Aufgabe c. Aufgabe Bestimmen Sie den Parameter so, dass die Vektoren aufeinander senkrecht stehen!.. Aufgabe a 5.. Aufgabe b 5.5 Aufgabe 5 Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile! 6 b = c = 8 d = 7 e =

5 .6 Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren! 8 c = d = Aufgabe 7 Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!.7. Aufgabe 7a 8.7. Aufgabe 7b Aufgabe 8 Bestimmen Sie die fehlende Komponente so, dass sich ein Winkel von 6 zwischen den beiden Vektoren a und b ergibt! 7 5 5

6 .9 Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Parameter, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen!.9. Aufgabe 9a y c = z.9. Aufgabe 9b y c = 5 8 z. Aufgabe Bestimmen Sie einen Vektor d senkrecht zu a und b mit dem Betrag von c! 9 c =, 5 6

7 Lösungen der Aufgaben. Aufgabe.. Aufgabe a Sind die Vektoren linear abhängig? Lösung: linear abhängig. Ich berechne die Determinante det a, b. Ist sie Null, dann sind die Vektoren det a, b = = = Die Determinante ist Null. Die Vektoren sind linear abhängig... Aufgabe b Sind die Vektoren linear abhängig? Lösung: linear abhängig. Ich berechne die Determinante det a, b. Ist sie Null, dann sind die Vektoren det a, b = = = Die Determinante ist nicht Null. Die Vektoren sind linear unabhängig. Alle Hintergrundinformationen zu Determinanten, was das ist und wie sie berechnet wird, ist hier zu finden: 7

8 .. Aufgabe c Sind die Vektoren komplanar? c = Lösung: Ich berechne die Determinante det a, b, c. Ist sie Null, dann sind die Vektoren komplanar. det a, b, c = = = Die Determinante ist Null. Die Vektoren sind komplanar... Aufgabe d Sind die Vektoren komplanar? c = Lösung: Ich berechne die Determinante det a, b, c. Ist sie Null, dann sind die Vektoren komplanar. det a, b, c = = = Die Determinante ist nicht Null. Die Vektoren sind nicht komplanar. 8

9 ..5 Aufgabe e Sind die Vektoren komplanar? c = Lösung: Ich berechne die Determinante det a, b, c. Ist sie Null, dann sind die Vektoren komplanar. det a, b, c = = + + = Die Determinante ist nicht Null. Die Vektoren sind nicht komplanar.. Aufgabe Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Vektoren komplanar sind! a 5 c = Lösung: Vektoren a, b und c komplanar det a, b, c = Der fehlende Parameter ist: a = 5 det a, b, c = a 5 a = + + a + = a + 6 = 6 a = 6 : a = 5 9

10 . Aufgabe.. Aufgabe a Stehen die Vektoren zueinander senkrecht orthogonal? b = Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b =. a b = = + =.. Aufgabe b Die Vektoren sind nicht orthogonal. Stehen die Vektoren zueinander senkrecht orthogonal? b = Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b =. a b = = + =.. Aufgabe c Die Vektoren sind orthogonal. Stehen die Vektoren zueinander senkrecht orthogonal? Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b =. a b = = + + = + = Die Vektoren sind orthogonal.

11 . Aufgabe.. Aufgabe a Bestimmen Sie den Parameter so, dass die Vektoren aufeinander senkrecht stehen! 5 Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b =. Der fehlende Parameter lautet: =.. Aufgabe b a b = = = + = = Bestimmen Sie den Parameter so, dass die Vektoren aufeinander senkrecht stehen! 5 Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b =. 5 Der fehlende Parameter lautet: = a b = = = 5 = : 5 =

12 .5 Aufgabe 5 Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile! 6 b = c = 8 d = 7 e = 9 Lösung: Die Länge des Pfeiles entspricht dem Betrag des Vektors. Daher bestimme ich zunächst die Beträge der Vektoren. a = + = 69 = b = = 7, 8 c = = 68, 96 d = = 79, 8 e = = 7, Durch Vergleich der Werte am besten der eakten mit Wurzel ergibt sich folgende Reihenfolge: b e c a d Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren! 8 c = d = 5 6 Lösung: a = + = 69 = b = + 8 = 5 = 5 c = + + = 69 = d = = 65 = 5 a = b = 5 c = d = 5

13 .7 Aufgabe 7.7. Aufgabe 7a Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren! b = 8 Lösung: Zur Lösung dient die Grundformel: a b cos a a b a b cos a a b : a b cos a a b b = a b a a b b = arccos a b a 8 b = arccos a b = arccos 5 a arccos 55 a b, 5 Der Winkel zwischen den Vektoren ist: a b, 5

14 .7. Aufgabe 7b Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren! Lösung: Zur Lösung dient die umgestellte Grundformel: a arccos a b a b a a b b = arccos a b 9 6 a 6 8 b = arccos a b = arccos 9 6 a arccos a b 8, 857 Der Winkel zwischen den Vektoren ist: a b 8, 857

15 .8 Aufgabe 8 Bestimmen Sie die fehlende Komponente so, dass sich ein Winkel von 6 zwischen den beiden Vektoren a und b ergibt! 7 5 Lösung: Zur Lösung dient die Grundformel: a b cos a a b a b cos a b = a b : a b cos 6 = 5 + 6, 5 = = = = = : 7 6 = / = ± / = 7 6 ± 5 6 = 6 = Im Verlauf der Lösung entstand eine Wurzelgleichung, die gelöst werden musste. Bekanntlich können dabei Pseudo-Lösungen entstehen, die aber die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Eine Probe mit beiden gefundenen Lösungskandidaten ist also unumgänglich. Probe mit = 6 : 5? = + 6? = + 5? = + 5

16 5 Probe mit = : ? = 7 +? =? = + 5 = Es gibt also nur eine Lösung, nämlich: = 7 + 6

17 .9 Aufgabe 9.9. Aufgabe 9a Bestimmen Sie die Parameter, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen! y c = z Lösung: Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens. Die konkreten Werte werden eingesetzt. a b a b = a c a c = b c b c = a b = a c = b c = y y z z = = = 5y + = 5 z = + y z = 5y = z = 5 +y z = Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Lösungsverfahren gelöst werden. Man erhält die Lösungen: = y = z = Weitere Informationen zu möglichen Lösungsverfahren für Lineargleichungssysteme sind hier zu finden: 7

18 .9. Aufgabe 9b Bestimmen Sie die Parameter, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen! y 5 c = 8 z Lösung: Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens. Die konkreten Werte werden eingesetzt. a b a b = a c a c = b c b c = a b = a c = b c = y y 5 8 z 5 8 z = = = y 9 = z = 5y + 8 z = y = 5 + z = 98 5y z = 8 Da in Gleichung das Produkt y vorkommt, handelt es sich nicht um ein lineares Gleichungssystem. Einige Lösungsverfahren müssen daher entfallen. Daher verwende ich das Einsetzungsverfahren, denn das funktioniert immer. Ich löse Gleichung nach z auf und setze das Ergebnis in Gleichung ein. Gleichung bleibt erhalten, da dort kein z vorkommt. 5y z = 8 5y z = 8 5y : z = 6 + 5y 8

19 Eingesetzt in : y = y = y = 8 Jetzt stelle ich diese Gleichung nach y um und setze das Ergebnis in ein y = 8 5 5y = 8 5 : 5 y = Eingesetzt in : y = = = = + = / = 6 ± 6 / = 6 ± = = Zu jedem -Wert gibt es passende y- und z-werte. y = = = y = = = z = 6 + 5y = = 6 z = 6 + 5y = = 56 Lösungen: = y = z = 6 und = y = z = 56 9

20 . Aufgabe Bestimmen Sie einen Vektor d senkrecht zu a und b mit dem Betrag von c! 9 c =, 5 Lösung: Einen beliebigen Vektor senkrecht zu a und b findet man leicht mit Hilfe des Kreuzproduktes. Da er vermutlich noch nicht die richtige Länge hat, nenne ich ihn nicht d sondern e. e = a 9 b = = 9 = 7 9 Jetzt wird der Betrag von c und e bestimmt. c = + +, 5 = 55, 5 5, 966 e = = 697 5, 96 Ich berechne das Verlängerungsverhältnis λ = c das in Wahrheit für eine Verkürzung e sorgt, mit dem e multipliziert werden muss, um d zu erhalten. λ = c e = 55, =, 5 Damit erhalten wir: d = λ e =, 5 7 =, 5 Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung. Auch der Vektor, der d genau entgegengesetzt ist, ist eine Lösung. Wir erhalten also: d =, 5 und d =, 5