Tutorium: Diskrete Mathematik

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Franz Kurzmann
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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

2 Definition I Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. einobjekt,das zu anderen addiert und mit Zahlen, die Skalare genannt werden, multipliziert werden kann. (Quelle: Wikipedia) 3 Definition II In der analytischen Geometrie kann man einen Vektor als ein Objekt au assen, dass eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann als Pfeil aufgefasst werden, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet. 4

3 Definition III Jedem Punkt (x; y) 2 R 2 bzw. zugeordnet werden. (x; y; z) 2 R 3 kann ein Vektor Analoges gilt auch fäur alle Punkte (x ;x 2 ;:::;x n ) 2 R n. 5 Schreibweise I Ein Vektor kann wie folgt dargestellt werden: v x ya : z Anstatt die einzelnen EintrÄage mit x, y oder z zu bezeichnen, ist auch die folgende Notation sehr gebräauchlich: v v v 2 v 3 A : 6

4 Schreibweise II Bisher haben wir immer als Spaltenvektoren betrachtet: v v A : AlternativkannmanaberauchalsZeilenvektoren betrachten: v = v v 2 v 3 : Zur besseren ÄUbersicht däurfen zwischen den einzelnen EintrÄagen auch Trennzeichen { beispielsweise Kommas oder Semikolons { gesetzt werden: v = v ; v 2 ; v 3 : v 2 v 3 7 Nullvektor Als Nullvektor wird der folgende spezielle Vektor bezeichnet, dessen EintrÄage alle Null sind: B v C. A : OftwirdderNullvektormitodero bezeichnet. 8

5 Transponieren von käonnen transponiert werden. Das bedeutet nichts anderes, als einen Zeilenvektor als einen Spaltenvektor aufzuschreiben { und andersherum: v v A wird zu v T =(v ;v 2 ;v 3 ); v 2 v 3 u =(u ;u 2 ;u 3 ) wird zu u T u u 2 u 3 A : 9 Länge eines Vektors Die LÄange eines Vektors läasst sich leicht mit Hilfe des Skalarprodukts oder geometrisch Äuber den Satz des Pythagoras bestimmen. Es gilt q v = v 2 + v2 2 + v2 3 : Allgemein gilt q v = v 2 + :::+ v2 n :

6 Normieren von Unter einem normierten Vektor v zu einem Vektor v versteht man einen Vektor der LÄange, der dieselbe Richtung wie v besitzt. Man erhäalt den normierten Vektor v zu einem beliebigen Vektor v, indemmanv mit dem Reziproken seiner LÄange multipliziert. v = jvj v Addition von Die Addition von erfolgt komponentenweise: a + b a a 2 A b b 2 A a + b a 2 + b 2 A : a 3 b 3 a 3 + b 3 Gra sch kann man die Vektoraddition als HintereinanderhÄangen der betrachten. a a+b b b a 2

7 Subtraktion von Die Subtraktion von erfolgt ebenfalls komponentenweise: a b a a 2 b b 2 A a b a 2 b 2 A : a 3 b 3 a 3 b 3 Man kann die Subtraktion auch als Addition des Vektors b zum Vektor a betrachten. Gra sch sieht dies wie folgt aus: a-b b a 3 Skalare Multiplikation EinVektorkannmiteinemkonstantenFaktor 2 R multipliziert werden. Den Wert nennt man Skalar. a a a 2 A a a 2 A a 3 a 3 Man kann die skalare Multiplikation als Strecken oder Stauchen des Vektors interpretieren. -a ½ a a 2a 4

8 Aufgaben Aufgabe a) Berechne die Summe und die Di erenzen der beiden a =(5; ; 23) und b =(4; 2; 7). b) Berechne die Summe und die Di erenzen der beiden a =(47; 8; ) und b =(3; 42). Aufgabe 2 Gegeben seien die v =(; 2; 3), v 2 = (7; 5; 3) und v 3 =(; 2; ). Berechne die LÄange des Vektors v = v v 2 +3v 3. 5 Aufgaben Aufgabe 3 Kannst du entscheiden, ob die v v 2 =( 2; 4; ) orthogonal sind? = (4; 2; 5) und 6

9 Skalarprodukt I Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine weitere Art der Vektormultiplikation. Dabei werden die komponentenweise multipliziert und diese Produkte aufsummiert: a b a a 2 b b 2 A = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 : a 3 b 3 Man nennt dies auch die Koordinatenform des Skalarprodukts. 7 Skalarprodukt II Anhand des Skalarprodukts zweier a und b kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen diesen beiden ziehen. Es gilt a b = () a?b: In Worten: Das Skalarprodukt zweier ist genau dann, wenn die beiden senkrecht zueinander (orthogonal)sind. 8

10 Skalarprodukt III Eine andere Art, das Skalarprodukt zu de nieren, ist die folgende: a b = jaj jbj cos : ²jaj und jbj sind die LÄangen der a und b; ² ist der zwischen den beiden eingeschlossene Winkel. 9 Skalarprodukt IV Aus der Formel a b = jaj jbj cos kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen den beiden a und b ziehen: cos = a b jaj jbj : Hieraus folgt μ a b =arccos : jaj jbj 2

11 Skalarprodukt V Abschlie¼end sehen wir uns an, wie die bereits erwäahnte Koordinatenform des Skalarprodukts hergeleitet werden kann. Gegeben seien die beiden u = (u ;u 2 ;u 3 ) und v = (v ;v 2 ;v 3 ). ' sei der zwischen u und v eingeschlossene Winkel. Nach dem Kosinussatz gilt Umformen ergibt jv uj 2 = jvj 2 + juj 2 2jujjvj cos ': jujjvj cos ' = 2 ³jvj 2 + juj 2 jv uj 2 : 2 Skalarprodukt VI Einsetzen der De nition des Skalarprodukt ergibt u v = ³jvj juj 2 jv uj : 2 Mit der bekannten Formel fäur den Betrag eines Vektors erhalten wir: u v = ³ u u2 2 + u2 3 + v2 + v2 2 + v2 3 2 (v u ) 2 (v 2 u 2 ) 2 (v 3 u 3 ) = ³2u v +2u 2 v 2 +2u 3 v 3 2 = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 : 22

12 Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt (auch Äau¼eres Produkt, vektorielles Produkt oder Vektorprodukt )istebenfallseineart,zweia und b zu multiplizieren. Das Resultat ist ein neuer Vektor c, dersowohl senkrecht zu a (d.h. a?c) als auch senkrecht zu b (d.h. b?c)steht: a b a 2 b 3 a 3 b 2 c = a b a 2 b 2 A a 3 b a b 3 A : a 3 b 3 a b 2 a 2 b Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im R 3 de niert! 23 Aufgaben Aufgabe 4 Gegeben sind die folgenden a, b und c: a 3 A ; b 5 A und c 6 2A 2 2 a) Bestimme a b, a c sowie b c. Welche der a, b und c sind senkrecht zueinander? b) Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auch senkrecht zu b ist.gibdiesenalsnormiertenvektoran. 24

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