Elemente der Mathematik. Sachsen 12

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1 Elemente der Mathematik Sachsen 12 ClassPad-Materialien (Betriebsystemversion 3.04) Erstellt von: Steffen Einhorn, Jens Spiegelhauer, Peter Weigert 2010 Schroedel / 2010 CASIO Europe GmbH

2 Inhaltsverzeichnis 1 Integralrechnung Der Begriff des Integrals Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand-Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integration mit Hilfe von Stammfunktionen Berechnen von Flächeninhalten Anwendung des Integrals Beurteilende Statistik Grundprobleme der Beurteilenden Statistik Konfidenzintervalle für die Erfolgswahrscheinlichkeit p Bestimmung eines genügend großen Stichprobenumfanges Alternativtest Fehler 1. Art und Fehler 2. Art Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit Signifikanztest Operationscharakteristik Abstände und Winkel Skalarprodukt und Vektorprodukt Orthogonalität zweier Vektoren-Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Orthogonalität von drei Vektoren Vektorprodukt Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene Von einer Parameterdarstellung zu einer Koordinatengleichung Untersuchung von Lagebeziehungen mithilfe von Normalenvektoren Abstandsberechnungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Die HESSE sche Normalenform einer Ebene Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zueinander windschiefer Geraden Winkel zwischen Ebenen und Geraden Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen Weitere Anwendungen/Vorbereitung auf das Abitur Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 2

3 1 Integralrechnung 1.1 Der Begriff des Integrals Die Ermittlung des Integrals einer Funktion f von a nach b ist mit folgenden Möglichkeiten auf dem ClassPad realisierbar. symbolische Ebene Abbildung 1.1 Abbildung 1.2 graphische Ebene Abbildung 1.3 Abbildung 1.4 Abbildung 1.5 Zeichnen des Graphen Auswahl des Verfahrens Eingabe der Grenzen Kennzeichnung der Fläche Ausgabe Näherungswert Der Grundgedanke der Ermittlung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Flächen über Treppenfiguren und das Bilden der Grenzwerte für Obersummen und Untersummen kann wie im folgenden Beispiel realisiert werden. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 3

4 Beispiel: Zur Erweiterung eines Erholungsgebietes soll durch eine Stadt ein privates Grundstück erworben werden. Das Grundstück liegt an einem Teich. Der private Eigentümer als Verkäufer und die Stadt Chemnitz als mögliche Käuferin müssen sich über den Kaufpreis einigen. Beide vereinbaren, die Größe des Grundstückes zu ermitteln und dabei eine Einteilung in Rechtecke vorzunehmen. Der Preis von 28 pro m² soll eingehalten werden. Die Stadt plant Haushaltsmittel in Höhe von zum Kauf des Grundstücks ein. Reichen diese Mittel aus? Diskutieren Sie den Sachverhalt aus Sicht des Verkäufers und der Stadt. Abbildung 1.6 Bestimmung der Gleichung der Randfunktion: Abbildung 1.7 Im Weiteren wird die Idee der Einteilung in bekannte Flächen (Rechtecke) aufgegriffen. Beginnend mit jeweils zwei Rechtecken wird die Verfeinerung durchgeführt. Abbildung 1.8 Abbildung 1.9 Abbildung 1.10 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 4

5 Diese Verfeinerung führt zu einer allgemeinen Breite An dieser Stelle ist der Einsatz der Tabellenkalkulation möglich und sinnvoll. ( Anzahl der Rechteckflächen). Abbildung 1.11 Die Umsetzung dieser Grenzwertbildung kann auch im Hauptmenü des ClassPad realisiert werden. Abbildung 1.12 Daran anknüpfend erfolgt die Umsetzung auf ein beliebiges Intervall. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 5

6 Abbildung 1.13 Dieser Prozess sollte von den Schülern an weiteren einfachen Beispielen selbstständig durchgeführt werden. Eine abschließende formale Verkürzung wird mit dem Einsatz des Summenzeichens realisiert. Dies ist als Verallgemeinerungsprozess anhand vieler ganzrationaler Funktionen sinnvoll zu gestalten. Abbildung 1.14 Abbildung 1.15 Abbildung 1.16 Abbildung 1.17 Abbildung 1.18 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 6

7 Weitere Berechnungen können als Umkehraufgaben (Bestimmung der Grenze bei vorgegebenem Integral) sowohl mit und ohne Einsatz des Hilfsmittels gestaltet werden. (siehe EdM SN 12, S. 22) Abbildung Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand-Integralfunktion Der Zusammenhang zwischen Änderungsraten und Bestand kann an Beispielen, wie S. 23, untersucht werden: Ausgehend von den gemessenen Daten ist es möglich, eine Treppenfunktion zu rekonstruieren. Die Summe der einzelnen Rechteckflächen ergibt näherungsweise den Verbrauch in diesem Intervall. Abbildung 1.20 Abbildung 1.21 Eine Verfeinerung führt wieder zum gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersumme. Abbildung 1.22 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 7

8 Der Benzinverbrauch ist die momentane Änderungsrate der Menge des verbrauchten Kraftstoffs. Indem der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt wurde, schloss man von dieser Änderungsrate auf den gesamten Verbrauch. Die vorgegebenen Änderungsraten können als Messwerttabellen oder Funktionsterme vorgegeben werden oder aus Graphen abgelesen werden. Beispiel: Abbildung 1.23 Eine Maus einer bestimmten Art hat zur Geburt eine durchschnittliche Masse von. Die Wachstumsrate ist nicht konstant, sondern durch den Term ( Zeit in Wochen) gegeben. Bestimmen Sie die Zunahme in den ersten 20 Wochen und die Masse der Maus nach dieser Zeitdauer. Masse nach 20 Wochen = 10g + Zunahme in den 20 Wochen Zunahme 112,7g Gesamtmasse 122,7g Abbildung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung In diesem Kapitel sollte weitgehend hilfsmittelfrei in der graphischen und rechnerischen Ebene gearbeitet werden. Zur Unterstützung und zur Kontrolle können die bisher kennengelernten Untersuchungsmethoden des ClassPads verwendet werden. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 8

9 1.4 Integration mit Hilfe von Stammfunktionen Die Bestimmung von Stammfunktionen in der symbolischen Ebene ist im Wesentlichen mit der Bestimmung von bestimmten Integralen gleich. Der Unterschied besteht nur im Weglassen der Integrationsgrenzen. Mit definierten Funktionen kann ebenso gearbeitet werden. Abbildung 1.25 Abbildung Berechnen von Flächeninhalten Die Berechnung bestimmter Integrale wird verwendet, um den Inhalt von Funktionsgraphen begrenzter Flächen zu ermitteln. Die Anwendung des absoluten Betrages kann dabei sinnvoll sein. Das Objekt sollte dabei in verschiedenen Ebenen betrachtet werden (symbolisch, graphisch). Eine Definition der Funktion bietet sich vor allem bei komplexeren Termen an. Abbildung 1.27 Abbildung 1.28 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 9

10 Es ist möglich, die betrachtete Fläche zu visualisieren. Betrag Abbildung 1.29 Abbildung 1.30 Für Flächen, die ober- und unterhalb der x-achse liegen, kann man den Inhalt über die entsprechenden Teilflächen oder mit Hilfe der Betragsfunktion bestimmen. Abbildung 1.31 Abbildung 1.32 Abbildung 1.33 Abbildung 1.34 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 10

11 In Aufgaben mit Parametern sollte die symbolische Ebene zur Berechnung und die graphische Ebene zur Visualisierung benutzt werden. Beispiel: EdM SN 12, S. 43 Nr. 6 Abbildung 1.35 Abbildung 1.36 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 11

12 Beispiel: EdM SN 12, S. 45 Nr. 14 h) Abbildung Anwendung des Integrals Die inhaltliche Erweiterung erfolgt in diesem Kapitel im Wesentlichen auf die Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern und von Bogenlängen. Das Volumen von Rotationskörpern kann analog zu der Bestimmung von Flächeninhalten graphisch oder mit Hilfe des CAS bestimmt werden. Abbildung 1.38 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 12

13 In der graphischen Ebene ist es auch hier möglich, die Grenzen als genaue Werte einzugeben. Abbildung 1.39 Abbildung 1.40 Abbildung 1.41 Zur Berechnung der Bogenlänge steht im Aktions- bzw. Interaktivmenü die Funktion arclen zur Verfügung. In die Parameterliste müssen der Funktionsterm, die Variable, Start und Endwert eingegeben werden. Abbildung 1.42 Abbildung 1.43 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 13

14 2 Beurteilende Statistik Da im Lernbereich Beurteilende Statistik vorwiegend binomialverteilte Zufallsgrößen betrachtet werden, soll noch einmal kurz auf einige wichtige Veränderungen der Version eingegangen werden. Eine wichtige Verbesserung ist die Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit in einem Rechenschritt. Dafür wählt man im Menü <Aktion> oder <Interaktiv> erst den Menüpunkt <Verteilung> und dann <binomialcdf> aus. Die Berechnung von P (a X b) bei gegebener Versuchsanzahl n und vorgegebener Erfolgswahrscheinlichkeit p erfolgt z. B. im Menü <Aktion> durch binomialcdf(a,b,n,p). Einfacher und selbsterklärend erscheint die Eingabe im Menü <Interaktiv>. Hier ist a als untere und b als obere Intervallgrenze zu verstehen. Weiterhin wird noch die Versuchsanzahl n und unter <pos> die Erfolgswahrscheinlichkeit p eingegeben. Ein Berechnungsbeispiel wird im Abschnitt 2.1 angegeben. Abbildung 2.1 Abbildung 2.2 Abbildung Grundprobleme der Beurteilenden Statistik Im Zusammenhang mit der Wiederholung der Sigma- Regeln wird auf Seite 95 im Lehrbuch die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (42 X 58) gezeigt. Es handelt sich um einen 100-fachen Münzwurf mit n = 100 und p = 0,5. Mit der Version verkürzt sich diese Berechnung folgendermaßen: Abbildung 2.4 Abbildung 2.5 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 14

15 Die Eingabe Menü <Interaktiv> (links) liefert dann das Ergebnis (rechts). Die Werte können auch, wie bereits beschrieben, direkt im Menü <Aktion> in der gegebenen Reihenfolge eingegeben werden. Beispiel: EdM SN 12, S. 97, Nr. 5 Lösung: Nach Veröffentlichungen des Statistischen Bundesamtes waren 62,9 % der Haushalte in Deutschland im Jahre 2008 mit einem DVD- Player ausgestattet. Eine Stichprobe vom Umfang 720 wird durchgeführt. In wie vielen Haushalten wird man einen DVD- Player vorfinden? Ermitteln Sie Bereiche, in denen diese Anzahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % [95 %] liegen wird. Abbildung 2.6 m Erwartungswert μ ; s Standardabweichung σ Bei mindestens 90%iger Sicherheit liegt die Anzahl der DVD- Player in der 1,64σ- Umgebung, bei mindestens 95%iger Sicherheit in der 1,94σ-Umgebung von µ. Wenn man die untere Grenze abrundet und die obere Grenze aufrundet, kann man davon ausgehen, dass die angegebene Wahrscheinlichkeit mindestens erreicht wird. Eine Überprüfung mit dem Befehl <binomalcdf> ist in jedem Fall empfehlenswert. Bei einer mindestens 90 %igen Sicherheit erhält man durch Anwendung der im Lehrbuch beschriebenen Rundungsregel das Intervall [431; 475]. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 91,75%. Überprüft man mit <binomalcdf>, so erkennt man, dass das Intervall in dem Fall auch noch auf [432; 474] verkleinert werden kann. Die Wahrscheinlichkeit beträgt dann immerhin noch 90,29%. Für den Fall der 95%igen Sicherheit ergibt sich durch Anwendung der Rundungsregel das Intervall [427; 479]. Aus der Überprüfung mit dem Befehl <binomalcdf> ist wiederum ersichtlich, dass das Intervall ebenfalls wieder auf [428; 478] verkleinert werden kann. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 15

16 Abbildung 2.7 Beispiel: EdM SN 12, S. 101, Nr. 2 Veränderung der - Umgebung bei wachsendem n Ein Würfel soll 500- Mal geworfen werden. Wir machen Prognosen für die Entwicklung der relativen Häufigkeiten, bei denen die Augenzahl 1 auftreten wird. Bestimmen Sie dazu 1,96 - Umgebungen von p für die Zwischenstände nach 100, 200, 300, 400 und 500 Würfen. Stellen Sie die Veränderung der Umgebung grafisch dar. In der Statistik- Anwendung kann man ohne Weiteres eine größere Anzahl von Würfen für die grafische Darstellung nutzen. Die Listen können folgendermaßen angelegt werden: list1 list2 list3 list4 list5 n p - 1,96 p + 1,96 seq(x, x, 25, 500, 25) (n*1/6*5/6)^0. 5 /n 1/6 1,96*list3 1/6 + 1,96*list3 Sollen die Listen umbezeichnet werden, muss dies vor dem Eintragen der Werte erfolgen. Es ist zu überlegen, ob dies stets notwendig ist. Zum Ausfüllen der 1. Spalte kann man den Befehl <seq(term, Variable, untere Grenze, obere Grenze, Schrittweite)> nutzen und diesen in der Berechnungszeile <Cal> einfügen. Die grafische Darstellung wurde im Beispiel folgendermaßen realisiert: Die Werte p - 1,96 wurden als Statistik- Graph 1 eingestellt. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 16

17 Abbildung 2.8 Abbildung 2.9 Durch die Einstellung <Pkte-Plot> als Typ werden auch nur isolierte Punkte gezeichnet. Stellt man als Typ <xypolygon> ein, so werden die Punkte verbunden. Abbildung 2.10 Abbildung 2.11 Die Werte p + 1,96 wurden als Statistik- Graph 2 eingestellt. Sollen beide Graphen gezeichnet werden, so muss auch bei beiden Statistik- Graphen ein Haken gesetzt werden. Abbildung 2.12 Abbildung 2.13 Abbildung 2.14 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 17

18 Beispiel: EdM SN 12, S. 101, Nr. 3 Partei Uhr- Prognose Wahlergebnis Bei den sogenannten Wahltagsbefragungen werden Wähler nach Verlassen des Wahllokales befragt. Das Ergebnis einer solchen Stichprobe wird um Uhr im Fernsehen als CDU SPD FDP Grüne PDS 43,0 % 9,5 % 6,0 % 5,0 % 22,5 % 41,1 % 9,8 % 5,9 % 5,1 % 23,6 % erste Prognose gesendet. Überprüfen Sie die Qualität der Befragungsergebnisse zur Landtagswahl in Sachsen Befragt wurden Wähler. Auch dieser Aufgabentyp lässt sich recht schnell in der Statistik- Anwendung lösen. Die Qualität der Befragungsergebnisse zu überprüfen heißt, zu untersuchen, ob es signifikante oder gar hochsignifikante Abweichungen gibt. Liegen die Abweichungen des Ergebnisses von µ bzw. von p außerhalb der 1,96 σ bzw. 1,96 Umgebung, so spricht man von signifikanten Abweichungen. Beim Faktor 2,58 spricht man von hochsignifikanten Abweichungen. Die Listen können folgendermaßen angelegt werden: Liste 1: p Wahlergebnis p Liste 2: Erwartungswert 22107*p Liste 3: Standardabweichung ( * (1 p))^0.5 Liste 4: u untere Grenze der signif. Abw. p 1.96* / Liste 5: o obere Grenze der signif. Abw. p * / Liste 6: uh untere Grenze der hochsignif. Abw. p 2.58* / Liste 7: oh obere Grenze der hochsignif. Abw. p * / Abbildung 2.15 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 18

19 Um entscheiden zu können, ob das Ergebnis der Uhr- Prognose außerhalb eines dieser Intervalle liegt, könnte man die Tabelle auch noch um eine weitere Differenzbildung erweitern. Man sieht aber auch so bereits, dass es nur in der 1. Zeile (CDU) und in der 5. Zeile (PDS) zu signifikanten (sogar hochsignifikanten) Abweichungen kommt Konfidenzintervalle für die Erfolgswahrscheinlichkeit p Bei der Berechnung eines Konfidenzintervalles schließt man von einem Stichprobenergebnis X auf Werte von p, mit denen das Stichprobenergebnis verträglich ist. Die Intervallgrenzen pmin und pmax ergeben sich für ein Konfidenzniveau von 0,95 aus den Lösungen der Gleichungen: (1) bzw. (2) Mit CAS lassen sich diese Gleichungen in der Hauptanwendung lösen. Beispiel: EdM SN 12, S. 105, Nr. 2b In einer Umfrage unter 1000 zufällig ausgesuchten Personen vertraten 620 die Meinung, dass sie bei der nächsten Wahl eine andere Partei als bei der letzten Wahl wählen werden. Welches ist die kleinste bzw. größte Erfolgswahrscheinlichkeit, in deren 1,96σ- Umgebung von μ das Stichprobenergebnis liegt? Abbildung 2.16 Als Intervallgrenzen ergeben sich für ein 95%- Konfidenzintervall: p min = 58,95 % und p max = 64,96 %. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 19

20 2.1.2 Bestimmung eines genügend großen Stichprobenumfanges Beispiel: EdM SN 12, S. 107, Nr. 1 Bei Befragungen über die Ausstattung von Haushalten will man die Ergebnisse auf 3 Prozentpunkte genau bestimmen. Von einer Pilotstudie weiß man, dass ungefähr 40 % der zu untersuchenden Haushalte mit einem Wäschetrockner ausgestattet sind. Ermitteln Sie den Stichprobenumfang n, der für eine erneute Befragung notwendig ist. Abbildung 2.17 Für eine Betrachtung von 95% der Stichproben wird im Lehrbuch folgende Formel hergeleitet:. Für p = 0,4 ergibt sich die Ungleichung:. Diese lässt sich in der Hauptanwendung lösen. Aus n folgt, dass mindestens 1025 Befragungen notwendig sind. Der Sachverhalt lässt sich auch anschaulich in der Grafik- Anwendung darstellen. Bei einer Stückzahl von 1024 ergibt sich als Funktionswert der Funktion Die Differenz zwischen den Funktionswerten von y 2 und y 1 ist also noch etwas größer als 3%. Bei einem Stichprobenumfang von 1025 liegt diese Differenz (0, ,4 = 0, ) unter 3%. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 20

21 Abbildung 2.18 Abbildung 2.19 Abbildung 2.20 Abbildung 2.21 Beispiel: EdM SN 12, S. 108, Nr. 3a Welche Auswirkung hat es auf den notwendigen Stichprobenumfang n, wenn der Anteil p in der Gesamtheit nicht bekannt ist? Stellen Sie den Zusammenhang n = n(p) in einem Koordinatensystem dar. Die Gleichung zur Berechnung von n wird in der Einführungsaufgabe im Lehrbuch Seite 107 hergeleitet. Diese Gleichung kann in der Haupt- Anwendung nach n umgestellt und evtl. noch vereinfacht werden. Die Funktion n = n(p) kann somit in der Grafik- Anwendung dargestellt werden. Ist p nicht bekannt, muss die maximale Anzahl n = 1068 angenommen werden. 2.2 Alternativtest Beispiel: EdM SN 12, S. 109, Einführungsbeispiel Viele Menschen leiden unter Bluthochdruck. Die auf dem Markt vorhandenen Arzneimittel helfen bei etwa 60% der Patienten. Ein Pharmavertreter besucht einen Arzt und stellt ihm ein neues, bereits zugelassenes Medikament vor, welches bei 80% der Patienten erfolgreich war. Der Arzt möchte nun Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 21

22 prüfen, ob er der Aussage vertrauen kann. Er testet dieses Medikament an 20 Patienten und wählt p 0 = 0,8 als Nullhypothese. Die grafischen Darstellungen auf Seite 109 und 110 lassen sich mit dem Class Pad folgendermaßen realisieren: In der Statistik- Anwendung wählt man im Menü <Calc> den Menüpunkt <Verteilung> und stellt als Verteilungstyp <Bin.Einzelwkt.> ein. Unter <x> gibt man einen möglichen Wert der Zufallsgröße ein (z.b. 12), unter <n> den Stichprobenumfang 20 und unter <pos> die zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit 0,8. Für die Anzeige des Graphen der Wahrscheinlichkeitsfunktion drückt man!. In dieser Darstellung ist es auch möglich zu jedem Wert der Zufallsgröße die zugehörige Wahrscheinlichkeit anzeigen zu lassen. Man drückt in der Symbolleiste N und nutzt dann entsprechend die Cursor- Tasten. In der Abbildung ist P (X = 15) 0,1746 dargestellt. Abbildung 2.22 Abbildung 2.23 Abbildung 2.24 Abbildung 2.25 Abbildung 2.26 Die Darstellung der Wahrscheinlichkeit in der Abbildung im Lehrbuch auf Seite 110 kann man dem Schüler mit dem Class Pad auf verschiedene Arten anschaulich verdeutlichen. Eine Möglichkeit besteht darin, sich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten als Höhen von Säulen anzeigen zu lassen und diese Werte entsprechend zu summieren. Diese grafischen Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 22

23 Darstellungen können Schülern helfen, ein tieferes Verständnis für Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu erlangen. Den Schülern wird anschaulich klar, dass die Summe aller Längen (Säulenhöhen) 1 bzw. 100% ergeben muss. Eine weitere Möglichkeit bietet die Darstellung der kumulativen Verteilungsfunktion. Dazu stellt man jetzt als Verteilungstyp <Binom.Vert.-fkt.> ein. In der Abbildung wird die Wahrscheinlichkeit P(X 14) 0,1958 angezeigt. Abbildung 2.27 Abbildung 2.28 Die Darstellung der Fehlerwahrscheinlichkeiten und aus dem Einführungsbeispiel (n = 20; p0 = 0,8) kann in der Statistik-Anwendung erfolgen (siehe Aufgabe: EdM SN 12, S. 112, Nr. 1). Nach der Bezeichnung der Listen lässt sich die Eintragung der Werte über folgende Befehle realisieren: In die Berechnungszeile <Cal> der jeweiligen Liste erfolgen die Eingaben: Liste 1: seq(x,x,0,20,1); Liste 2: 1- binomialcdf(0,k,20,0.6) Liste 3: binomialcdf(0,k,20,0.8) In Liste 3 ist der Fehler 1. Art dargestellt: = (0 X k). Für k = 15 ergibt sich: 0,3703. Abbildung 2.29 In Liste 2 ist der Fehler 2. Art dargestellt: = (k < X 20) =1 - (0 X k).für k = 15 ergibt sich 0,0509. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 23

24 Beispiel: EdM SN 12, S. 113, Nr. 5 Eine Möglichkeit der Simulation bietet das Urnenmodell. Man gibt in die Urne 8 weiße Kugeln (A) und 2 schwarze Kugeln (B). Wird eine weiße Kugel gezogen, so zeigt das Medikament die gewünschte Wirkung. Insgesamt werden 20 Kugeln mit Zurücklegen (<Ersetzen Ja>) gezogen. Um 100 Versuchsdurchführungen zu realisieren, müssten z. B. bei 20 Schülern jeder 5 solche Versuche durchführen. Abbildung 2.30 Abbildung Fehler 1. Art und Fehler 2. Art Beispiel: EdM SN 12, S. 114, Nr.13b In einem Spielautomaten dreht sich ein Glücksrad mit 20 Sektoren, von denen nur einer sichtbar ist, wenn die Scheibe stehen bleibt. Die übrigen sind verdeckt. Der Betreiber des Automaten behauptet, dass 6 der 20 Felder rot gefärbt sind. Wenn die Scheibe auf einem roten Feld stehen bleibt, hat man gewonnen. Jana und Max argwöhnen, dass nur 4 Felder Gewinnfelder sind. Wegen Geldmangels können sie nur 20 Spiele durchführen, um beide Hypothesen p 1 = = 0,3 bzw. p 2 = = 0,2 zu überprüfen. Bestimmen Sie und zur Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p 2 = 0,2, falls die Scheibe mehr als 4-mal auf einem roten Feld stehen bleibt. Die Berechnung des Fehlers 1. Art erfolgt durch. Für Schüler ist es günstig, den Ansatz in Anlehnung an die Rechnereingabe (abgeschlossenes Intervall) zu formulieren:. Die Niederschrift eines Ansatzes sollte stets unabhängig vom verwendeten Taschenrechner erfolgen (keine Taschenrechnersprache ). Analoges gilt auch für den Fehler zweiter Art:. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 24

25 Lösung: 0,370 0,238 Abbildung 2.32 Abbildung Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit Beispiel : EdM SN 12, S. 115, Einführungsaufgabe 1 Der Bekanntheitsgrad eines Schokoriegels unter Jugendlichen beträgt nach Einschätzung der Geschäftsführung der Herstellerfirma 50%, nach Meinung der Marketingabteilung nur 30%. Durch eine Stichprobe vom Umfang 100 will man herausfinden, ob eine Werbekampagne notwendig ist. Dabei sollte die Wahrscheinlichkeit α für einen Fehler 1.Art höchstens 10% sein. Welche Entscheidungsregel muss dann (1) aus Sicht der Werbeabteilung und (2) aus Sicht der Geschäftsführung aufgestellt werden? Bestimmen Sie auch jeweils die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art. Aus der Sicht der Marketingabteilung (1) ergibt sich p = 0,3 als Nullhypothese. Der kritische Wert k lässt sich näherungsweise mit dem Befehl invbinomialcdf ermitteln. Ein Fehler 1. Art entsteht in diesem Fall, wenn 30% der Jugendlichen den Riegel kennen, aber auf Grund der Stichprobe angenommen wird, dass 50% der Jugendlichen diesen Riegel kennen. Der Fehler 1. Art darf höchstens 10% betragen, d.h. mit höchstens 10% liegt die Anzahl der Jugendlichen im Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Man sucht jetzt mit dem Rechner eine obere Intervallgrenze für den Annahmebereich der Nullhypothese, so dass die Anzahl mit ca. 90 % darin liegt. Da der Befehl invbinomialcdf die Wahrscheinlichkeiten bis zum gesuchten Wert aufsummiert (0 X k), muss unter <prob> die Wahrscheinlichkeit 0,9 eingegeben werden. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 25

26 Abbildung 2.34 Abbildung 2.35 Abbildung 2.36 Abbildung 2.37 Als eine mögliche obere Grenze wurde 36 ermittelt. Dieser Wert sollte stets mit dem Befehl binomialcdf überprüft werden. Abbildung 2.38 Abbildung 2.39 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 26

27 Aus folgt:. Da 0,1 gelten soll, ergibt sich folgende Lösung: 0, ,1161 (entfällt) Abbildung 2.40 Als Annahmebereich für die Hypothese p = 0,3 ergibt sich mit der Forderung α 0,1: A = {0; ; 36}. Die Entscheidungsregel lautet: Verwirf die Hypothese p = 3%, falls mehr als 36 Jugendliche den Riegel kennen. Den Fehler 2.Art berechnet man durch: 0,0033 Abbildung 2.41 Abbildung 2.42 Die Rechnung aus der Sicht der Geschäftsleitung (2) läuft analog ab. Da für die Nullhypothese jetzt die größere der beiden Wahrscheinlichkeiten (50%) angenommen wird, tritt ein Fehler 1. Art genau dann auf, wenn das Stichprobenergebnis klein ist und im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt. Da der Befehl invbinomialcdf die Wahrscheinlichkeiten bis zum gesuchten Wert aufsummiert, muss unter <prob> jetzt die Wahrscheinlichkeit 0,1 eingegeben werden. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 27

28 0,0967 0,0021 Abbildung 2.43 Eine weitere Möglichkeit der Bestimmung des kritischen Wertes k bietet die Grafik- Anwendung. Dazu gibt man als Funktion den Befehl binomialcdf(k,n,p) bzw. binomialcdf(0,k,n,p) ein. Da es um die Ermittlung des Wertes k geht, wird k durch x ersetzt. Für das Beispiel aus der Marketingabteilung (1) wird folgende Eingabe notwendig: binomialcdf(x,100,0,3) oder binomialcdf(0,x,100,0,3.) Die Anzeige der Tabelle erfolgt durch #, die Einstellung (<Tabelleneingabe>) durch 8 in der Symbolleiste. Abbildung 2.44 Abbildung 2.45 Als Argument werden jeweils obere Grenzen des Intervalls angegeben. Die Funktionswerte y 1 geben die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit an. Für 36 als obere Grenze ist die Wahrscheinlichkeit erstmalig über 90 % und damit der Fehler 1. Art in der Aufgabe (1) kleiner als 10 %. In der Grafik- Anwendung müssen zwar mehrere Einstellungen vorgenommen werden, dafür werden aber auch gleichzeitig zu verschiedenen Grenzen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten angezeigt. Eine weitere Überprüfung ist bei dieser Berechnung nicht notwendig. 2.3 Signifikanztest Die Vorgehensweise bei Signifikanztests unterscheidet sich nicht wesentlich von der bei Alternativtests. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 28

29 Beispiel: EdM SN 12, S. 121, Nr.6a Zweiseitiger Signifikanztest Bestimmen Sie Annahme- und Verwerfungsbereich der Hypothese p = 0,3 für einen Stichprobenumfang n = 180 und eine Irrtumswahrscheinlichkeit von. Mit dem Befehl invbinomialcdf(0.025,100,0.3) berechnet man die untere Grenze k 1 : ; mit invbinomialcdf(0.975,100,0.3) berechnet man die obere Grenze k 2 : Beim Wert 42 zeigt sich in der Überprüfung, dass die Wahrscheinlichkeit noch größer als 2,5% ist. Demzufolge liegt 42 nicht mehr im Verwerfungsbereich, sondern im Annahmebereich. Der angegebene Wert 66 liegt ebenfalls nicht im Verwerfungsbereich. Als Annahmebereich ergibt sich A = {42; ; 66}. Abbildung Operationscharakteristik Beispiel : EdM SN 12, S. 124, Information (2) und S. 123, Nr. 1 Der Graph der Funktion, bei der jeder in Frage kommenden Erfolgswahrscheinlichkeit p1 die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art zuordnet, heißt Operationscharakteristik eines Tests (OC): Abbildung 2.47 Die Darstellung der Operationscharakteristik im Lehrbuch auf Seite 124 lässt sich mit dem Class Pad folgendermaßen darstellen: Im Beispiel ist n = 120, p = 0,75 und 5%. Als Annahmebereich ergab sich A = {81; ; 99). Die Kontrollrechnung im Lehrbuch ergab P (81 X 99) 0,9556. Zur Darstellung des Graphen verwendet man den Befehl binomialcdf aus dem Katalog. Zur Anzeige der Tabelle drückt man #.Die Einstellung der Tabelle erfolgt unter 8. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 29

30 In der Tabelle wird der Wahrscheinlichkeit p = 0,67 ein Fehler 2. Art mit 49,66 % zugeordnet. Abbildung 2.48 Beispiel: EdM SN 12, S. 132, Nr. 10 und S. 126, Einführungsaufgabe In der Einführungsaufgabe geht man davon aus, dass 11% der Mädchen einer gewissen Altersstufe Linkshänder sind. Es wurde folgende Entscheidungsregel aufgestellt: Verwirf die Hypothese p 0,11, falls die Anzahl der Linkshänderinnen unter den n = 1000 Mädchen der Stichprobe kleiner als 94 ist. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art, falls der Anteil der Linkshänderinnen tatsächlich gleich p = 0,10 [p = 0,09; p = 0,08] ist. b) Bestimmen Sie für weitere Werte von p die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art und skizzieren Sie den Graphen der Operationscharakteristik des Tests. OC: Abbildung 2.49 Abbildung 2.50 In der Statistik- Anwendung kann man β in Abhängigkeit von p anzeigen lassen. Dazu gibt man in die erste Liste die Wahrscheinlichkeiten (p) ein. Zur schnellen Eingabe kann man den Befehl seq(x,x,0.05,0.11,0.005) nutzen. In der zweiten Spalte werden die zugehörigen Fehler 2. Art berechnet: binomialcdf(94,1000,1000,p). Für p=0,10 ergibt sich β=0,751.die Darstellung des Graphen der Operationscharakteristik erfolgt wieder in der Grafik- Anwendung. Das Zeichnen des Graphen kann aber mehrere (!) Minuten dauern. Unter <Analyse> und <Grafische Lösung> wurde für p = 0,1 der zugehörige Fehler 2. Art mit 0,751 berechnet. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 30

31 3 Abstände und Winkel In Vorbereitung auf das folgende Kapitel werden Grundlagen aus Klasse 11 wiederholt und um einige Neuerungen ergänzt. Für die Angabe der Koordinaten von Punkten werden wieder Großbuchstaben (z.b. verwendet, handelt es sich um Ortsvektoren, schreiben wir z.b. und für sonstige Richtungsvektoren Kleinbuchstaben (z.b. ). Alle Operationen und Befehle, bei denen mit Vektoren gearbeitet wird, findet man in der Main-Anwendung unter Aktion oder Interaktiv im Untermenü Vektor oder man ruft sie aus dem Katalog auf. 3.1 Skalarprodukt und Vektorprodukt Orthogonalität zweier Vektoren-Skalarprodukt Betrachten wir zunächst das Einführungsbeispiel auf S Dort sind die Punkte und gegeben und es ist mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Pythagoras zu prüfen, ob diese ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Zunächst bildet man die Richtungsvektoren und und bestimmt deren Länge. Man erhält mit Hilfe des norm-befehls die Werte und. Somit kommt nur die letztgenannte Seite als mögliche Hypotenuse infrage und man prüft, ob gilt. Hier bestätigt sich die Vermutung, somit ist das Dreieck rechtwinklig. Mit dem ClassPad lässt sich unsere Überlegung wie folgt darstellen: Abbildung 3.1 Nun kann man versuchen, diese Überlegung zu verallgemeinern. Da der Satz des Pythagoras in beide Richtungen gilt, lässt sich mit dem Rechner die folgende Herleitung realisieren. Man definiert zwei allgemeine Vektoren und, die die beiden möglichen Katheten des Dreiecks beschreiben sollen. Der Vektor der potenziellen Hypotenuse lässt sich als Differenz ausdrücken. Somit ist zu prüfen, ob gilt. Damit die weitere Herleitung zu den gewünschten Ausdrücken führt, müssen im Grundformat die Häkchen bei den Komplexen Zahlen und beim Assistenten entfernt werden. Mit einem kleinen Trick lassen sich die Terme noch weiter vereinfachen. Man schreibt statt die Zeile und kann so mit dem simplify-befehl gleiche Ausdrücke zusammenfassen lassen. Da nun gilt, hat man mit Hilfe des ClassPad ermittelt, dass für orthogonale Vektoren Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 31

32 gelten muss. In der Klammer steht dann das Skalarprodukt der beiden Vektoren und, das für den Fall orthogonaler Vektoren gleich Null ist. Somit wäre das Skalarprodukt aus einer praktischen Aufgabe heraus mit dem Taschenrechner motiviert und die Orthogonalitätsbedingung hergeleitet. Abbildung 3.2 Abbildung 3.3 Für das Skalarprodukt selbst bietet der Taschenrechner einen Befehl, der sich logisch aus der üblichen Schreibweise ableiten lässt. dotp kann frei mit Punkt-Produkt übersetzt werden. Punkt wird hier mit dem üblichen Kringel gleichgesetzt. Beispiel: EdM SN 12, S.154, Nr.6a (zur Veranschaulichung sind hier sowohl die Variante mit vordefinierten Vektoren als auch die direkte Eingabe in den Befehl dargestellt) Die gegebenen Vektoren und stehen also senkrecht aufeinander. Abbildung 3.4 Aufgabe 11 auf S. 154 ist aus didaktischer Sicht wichtig. Die zeitliche Aufspaltung der analytischen Geometrie auf zwei Schuljahre und die unterschiedliche inhaltliche Schwerpunktsetzung kann dazu führen, das Schnittwinkel mithilfe von Vektoren ermittelt werden, ohne zu überprüfen, ob sich die Geraden, um die es eigentlich geht, überhaupt schneiden. Beispiel: EdM SN 12, S.154, Nr.11a Man kann die Geradengleichungen wie dargestellt eingeben. Diese Form der Eingabe hat den Vorteil, dass man sowohl vektoriell arbeiten kann, als auch auf die einzelnen Koordinaten der Geradenpunkte zurückgreifen kann. Man hat also die Gleichungen Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 32

33 für das LGS zur Untersuchung der Lagebeziehung parat, ohne weitere Definitionen im ClassPad vornehmen zu müssen. Der Variablen wird eine, also eine einspaltige Matrix zugeordnet. Ein Element dieser Matrix, z.b. die y-komponente, wird durch aufgerufen. Da das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen auf ein überbestimmtes Gleichungssystem führt, wird die Dummy-Variable verwendet. Man erkennt im Beispiel, dass es eine eindeutige Lösung mit und gibt. Setzt man diese Werte in die jeweilige Gleichung ein, so erhält man den Schnittpunkt der beiden Geraden mit. Nun kann man auch den Schnittwinkel mit dem Skalarprodukt ermitteln. Abbildung 3.5 Abbildung 3.6 Abbildung 3.7 Aufgaben, bei denen zu vorgegebenen Vektoren orthogonale Vektoren gesucht sind, lassen sich ebenfalls recht einfach lösen, wenn man konsequent die Orthogonalitätsbedingung nutzt und den ClassPad einsetzt. Beispiel: EdM SN 12, S.155, Nr.14 a) Es ist zunächst ein zu den beiden gegebenen Vektoren und orthogonaler Vektor gesucht. Damit müssen die Skalarprodukte und erfüllen. Dies führt auf ein unterbestimmtes LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen und. Man löst das LGS nach zwei der drei Variablen auf. Es ist klar, dass hier unendlich viele Vektoren existieren, da keine Aussage über ihre Länge und Orientierung gemacht wird. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 33

34 Für die Angabe eines ganz konkreten Vektors mit den gesuchten Eigenschaften gibt man sich einen Wert für vor und erhält z.b. für den Vektor. Jeder weitere Vektor lässt sich in der Form schreiben. b) Hier sind zwei Vektoren gesucht, so dass diese mit dem gegebenen Vektor paarweise orthogonal sind. Insgesamt stecken in den gesuchten Vektoren zunächst 6 Variablen. Allerdings entstehen auch drei Gleichungen und somit ein unterbestimmtes LGS, bei dem 3 Variablen als Parameter aufgefasst werden können. Der Lösungsweg folgt dann den Überlegungen aus Aufgabe a) Winkel zwischen zwei Vektoren Für beliebige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras i.a. nicht, hier muss man den Kosinussatz anwenden, der sich aber vom Satz des Pythagoras nur wenig unterscheidet, so dass man einige Schritte der Herleitung aus dem vorigen Kapitel übernehmen kann. So blieb nach dem Vereinfachen von der Gleichung nur noch übrig. Formt man den Kosinussatz in vektorieller Form um in die Gestalt und ersetzt die linke Seite durch, so erhält man und somit werden. Abbildung 3.8. Die übliche Form kann im ClassPad genauso verarbeitet Da das Skalarprodukt auch negativ sein kann, liefert die Formel auch Winkel zwischen. Welcher der beiden Winkel berechnet wird, hängt davon ab, wie die zuvor bestimmten Vektoren gerichtet sind. Beide Winkel ergeben zusammen aber stets. Um wie in Aufgabe 4b) auf S. 157 stets den kleineren Winkel zu berechnen, muss das Skalarprodukt positiv sein. Hier kann es aber bei der Eingabe in den ClassPad zu einem Fehler kommen, der aus der unterschiedlichen Bedeutung der Betragsstriche in der Formel resultiert. Mit dem Betrag eines Vektors meint man eigentlich seine Euklidsche Norm, dagegen ist der Betrag des Skalarproduktes nur ein vorzeichenfreier Skalar. Die Beträge im Nenner müssen also mit dem Befehl norm() realisiert werden. In der nachfolgenden Abbildung wurden beide Winkel ermittelt. In einfachen Aufgaben kann die notwendige Rechnung auch nachträglich ausgeführt werden, bei der Erstellung von e-activities sollte das aber im Vorfeld berücksichtigt werden. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 34

35 Abbildung 3.9 Abbildung 3.10 Ein Programm für diese recht häufig benötigte Rechnung zu schreiben, wäre etwas aufwändig. Stattdessen könnte man eine e-activity (vgl.abbildung 3.10) schreiben, in der exakt die gleichen Zeilen wie in Abbildung 3.10 einzutragen sind. Für Berechnungen ändert man dann nur die Werte in den Vektoren. Eine solche e-activity lässt sich auch leichter modifizieren und ergänzen. Gerade in der analytischen Geometrie lohnt es sich, eine Sammlung von e-activities zu erstellen, die einen Ersatz für die bisher verwendeten Programme darstellen und dabei mehr Mathematik vom Schüler fordern Orthogonalität von drei Vektoren Vektorprodukt Um das Vektorprodukt zu motivieren greifen wir auf S. 160 Aufgabe 1 die Problemstellung von oben auf, in der zu zwei Vektoren ein weiterer, zu diesen orthogonale Vektor gesucht ist. Wie oben schon erkannt, gelangt man dabei zu einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Lösen wir dieses zunächst allgemein nach und auf, so erhalten wir mit den vordefinierten Vektoren den folgenden Screen. Da aber frei gewählt werden kann, können wir eine Neuberechnung der Lösung mit vornehmen. Damit wird zunächst die Struktur der Lösung deutlich. Wir erhalten. Im allgemeinen Fall erhält man. Der Leistungskurs sollte erkennen, dass für die Nenner verschwinden. Somit wäre auch ein Vektor, der die gewünschte Eigenschaft besitzt. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 35

36 Abbildung 3.11 Abbildung 3.12 Ähnlich wie beim Skalarprodukt kann auch hier argumentiert werden, dass diese Rechnung eine grundlegende Problemstellung abdeckt und somit eine eigenständige Definition als Produkt rechtfertigt. Da das Ergebnis wieder ein Vektor ist, erscheint auch die Bezeichnung Vektorprodukt sinnvoll. Das gilt auch für die Bezeichnung Kreuzprodukt wegen der üblichen Schreibweise des Operationszeichens. Letztere Überlegung war wohl auch Namenspatron für den Befehl crossp(vektor1,vektor2). Beispiel: EdM SN 12, S.163 Nr. 7a) Gegeben sind die Vektoren und. Zu berechnen ist das Vektorprodukt aus und. Abbildung 3.13 Die Aufgabe S.163 Nr.11 lässt sich zum diskutieren nutzen. Berechnet man die Innenwinkel des Vierecks ausschließlich mit Hilfe der Vektorrechnung, so wird ihre Summe nicht, wie erwartet ergeben. Somit kann es sich nicht um ein ebenes Viereck handeln und es kann auch nicht durch den Schnitt einer Ebene mit dem Würfel entstanden sein. In den Aufgaben S. 162/162 Nr.3-5 werden grundlegende Flächen-und Volumenberechnungen betrachtet. Auch dort muss wieder darauf geachtet werden, ob die Betragsstriche die Euklidsche Norm eines Vektors beschreiben oder den Betrag einer Zahl im engeren Sinn. Dazu muss sich der Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 36

37 Schüler den Charakter der Zwischenergebnisse verdeutlichen. So liefert z.b. in Aufgabe 3 das Vektorprodukt wieder einen Vektor, so dass mit dem Befehl norm() gearbeitet werden muss. Bekanntlich kann das Spatprodukt auch mithilfe von Determinanten ausgedrückt werden, deren Spalten aus den beteiligten Vektoren gebildet werden. Da Determinanten auch negative Werte liefern können, muss für Volumenberechnungen wieder deren Betrag verwendet werden. Im ClassPad stellen sich die Formeln wie folgt dar. Abbildung 3.14 Abbildung 3.15 Abbildung 3.16 Bis hierhin wurden alle wichtigen Befehle eingeführt. Für die weitere Arbeit ist es nun wichtig, diese Befehle geschickt und effektiv zu kombinieren, in e-activities einzubauen oder mit Gleichungssystemen zu verknüpfen. Dieses Vorgehen erlaubt es, auf die Verwendung von Programmen zu verzichten, ohne Zeit für langwierige Rechnungen per Hand zu verschwenden aber gleichzeitig mathematisches Verständnis für die Verfahren zu erzeugen. 3.2 Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene Bei der Vorbereitung der Normalenform einer Ebene kann man sich an EdM S.164 Aufgabe 1 orientieren. Zunächst stellt man mit Hilfe der Punkte und eine Parameterform der Ebene auf. Da jeder Normalenvektor einer Ebene per Definition senkrecht auf ihr steht, steht dieser insbesondere senkrecht auf den beiden Spannvektoren der Ebene. Bereits vor der Berechnung eines Normalenvektors sollte auf die Anzahl möglicher Vektoren eingegangen werden. So stellt man heraus, dass alle möglichen Normalenvektoren parallel zueinander sind, aber beliebige Richtung und beliebigen Richtungssinn haben. Somit existieren für eine Ebene unendlich viele solcher Vektoren. Diese Erkenntnis hilft anschließend bei der Interpretation der Lösung des LGS. Dieses Vorgehen wird im nächsten Kapitel noch einmal aus einem anderen Blickwinkel aufgegriffen. Beispiel: Man definiert in der Mainanwendung die Ortsvektoren der drei Punkte und entscheidet, welche Vektoren die Ebene aufspannen sollen. In der Abbildung betrachtet man die Vektoren und. Diese müssen aber nicht separat definiert werden. Den gesuchten Normalenvektor legt man mit drei Parametern mit Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 37

38 fest. muss sowohl als auch erfüllen. Das zugehörige lineare Gleichungssystem lässt sich wieder mit der Lösungsklammer auflösen. Anschließend kann man der Einfachheit halber den freien Parameter gleich Eins setzen. Mit dem ClassPad erhält man die folgenden Ausdrücke: Abbildung 3.17 Abbildung 3.18 Diese Rechnung kann auch für leistungsstarke Schüler eine Anregung für die Erstellung einer entsprechenden e-activity sein. Mit diesem Vorwissen wird klar, dass jeder Vektor vom Aufpunkt zu einem beliebigen Punkt der Ebene senkrecht auf steht und gilt. Beispiel: EdM SN 12, S.165 Beispiel aus Information (2) Zu der Ebene mit dem Punkt und dem Normalenvektor. Man definiert den Punkt und den Normalenvektor in der Main-Anwendung und berechnet das Skalarprodukt aus der Normalenform der Ebene. Es empfiehlt sich, zusätzlich den simplify-befehl einzusetzen, um die übliche Darstellung der Koordinatenform zu erhalten. Abbildung 3.19 Abbildung 3.20 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 38

39 Anhand der Aufgabe S.167 Nr. 11a) sei hier noch der Rechnereinsatz bei der Arbeit mit der Achsenabschnittsform beschrieben. Als erstes sollen die Koordinaten der Spurpunkte der Ebene bestimmt werden. Wir ordnen zunächst die vollständige Ebenengleichung der Variablen zu. Für den Spurpunkt gilt. Da die Ebene als vollständige Gleichung definiert wurde, lösen wir diese unter den Bedingungen nach auf und ordnen dieses dem Punkt zu. Der Punkt kann als Zeilenvektor aufgefasst werden. Benötigt man aber zusätzlich noch dessen Ortsvektor, so transponiert man den Zeilenvektor mit dem Befehl trn(vektor) in einen Spaltenvektor. Sicherlich ist dieses Vorgehen hier etwas übertrieben, zeigt aber Möglichkeiten für die vollständige Dokumentation einer Hausaufgabe mit dem Rechner. Für die Herstellung der Achsenabschnittsform teilt man nur durch das Absolutglied und ordnet das Resultat entweder wieder oder einer neuen Variablen zu. Mit dem Befehl expand() wird die allgemein übliche Form hergestellt, wie in Abbildung 3.22 zu erkennen ist. Ein Vergleich dieser Schreibweise mit den Koordinaten der Spurpunkte kann die besonderen Eigenschaften der Achsenabschnittsform motivieren. Abbildung 3.21 Abbildung Von einer Parameterdarstellung zu einer Koordinatengleichung Im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie man mit Hilfe eines LGS einen Normalenvektor zu einer Ebene ermitteln kann. Um einen Normalenvektor zu ermitteln, kann man aber auch die Eigenschaft des Vektorproduktes nutzen, dass der so erzeugte Vektor orthogonal auf den beiden Ausgangsvektoren steht. Beispiel: EdM SN 12, S.169 Aufgabe 1 Gegeben ist eine Parameterdarstellung einer Ebene mit. Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene. Geben Sie eine Koordinatengleichung von an. Mit den Überlegungen aus den vorigen Abschnitten lässt sich die Aufgabe mit dem Taschenrechner sehr kompakt lösen. Mit lässt sich die Normalenform der Ebene schreiben als. In der nachfolgenden Abbildung wurden die Spannvektoren und der Ortsvektor des Aufpunktes der Ebene definiert und anschließend die Gleichung direkt eingegeben. Zur besseren Lesbarkeit des Ergebnisses wurde noch der simplify-befehl angewandt. Man erhält dabei folgendes: Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 39

40 Abbildung 3.23 Abbildung 3.24 Abbildung 3.25 Für den direkten Vergleich seien hier noch die beiden anderen Verfahren dargestellt: 1) Bestimmung des Normalenvektors über ein Gleichungssystem Dazu muss allerdings der Normalenvektor mit den drei Parametern vorher definiert werden, da die Lösungsklammer die direkte Eingabe von Vektoren nicht erlaubt. 2) Bestimmung der Koordinatengleichung mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingung Mit Hilfe der Determinante aus den Spannvektoren der Ebene und dem Verbindungsvektor vom Aufpunkt zu einem beliebigen Punkt der Ebene ist die Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform besonders elegant zu lösen. Da alle drei Vektoren in der Ebene liegen und die Spannvektoren linear unabhängig sein müssen, muss die Determinante gleich Null sein. In der aktuellen Version des Betriebssystems müssen die drei Vektoren zur Berechnung der Determinante mit dem augment-befehl zu einer Matrix verbunden werden. Abbildung 3.26 Abbildung 3.27 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 40

41 In der weiterführenden Aufgabe 2 soll eine Ebenengleichung aus der Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt werden. Neben der Verwendung dreier Punkte der Ebene zur Bestimmung der beiden Richtungsvektoren kann man die Koordinatengleichung als Gleichungssystem mit einer Gleichung und drei Variablen auffassen. Da hierbei zwei der Variablen frei gewählt werden können, setzen wir und. Fügen wir diese beiden Gleichungen zur Ebenengleichung hinzu, erhalten wir ein Gleichungssystem, dass auch mit dem Taschenrechner allgemein gelöst werden kann. Beispiel: EdM SN 12, S. 169 Beispiel Die Lösung des Gleichungssystems wird direkt in den Ortsvektor eines variablen Punktes eingefügt und als Ebene abgelegt. Somit steht diese für weitere Berechnungen mit den bekannten Möglichkeiten sofort zur Verfügung. Abbildung Untersuchung von Lagebeziehungen mithilfe von Normalenvektoren Um das folgende Vorgehen zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen relativ zueinander mit dem ClassPad zu verstehen, soll zunächst der mathematische Hintergrund etwas näher beleuchtet werden. Betrachtet man die Koordinatenformen zweier Ebenen und F, so gilt: 1) Ist und, so liegen die Ebenen parallel zueinander und der Quotient aus beiden Gleichungen liefert stets eine falsche Aussage. Der Taschenrechner findet dabei keine Lösung. 2) Ist und, so sind die beiden Ebenen identisch und wir formulieren kurz. Da der Taschenrechner beide Seiten unserer Ebenengleichungen einzeln betrachtet, liefert der Quotient der beiden Gleichungen zusammen mit dem simpilfy- Befehl eine stets wahre Aussage (nämlich den Wert für α). Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 41

42 3) Ist so schneiden sich die beiden Ebenen und erzeugen eine Schnittgerade. In diesem Fall lässt sich unser Quotient nicht weiter vereinfachen und stellt sich als Bruchgleichung dar. Natürlich lässt sich dieses Verfahren nur dann anwenden, wenn keines der Absolutglieder Null ist. Wenden wir unsere Idee auf die Beispiele aus EdM SN 12, S. 174 oben an. 1) Zwei zueinander parallele Ebenen, die nicht identisch sind (Abbildung 3.29) ; 2) Zwei identische Ebenen (Abbildung 3.30) ; 3) Zwei sich schneidende Ebenen (Abbildung 3.31) ; Abbildung 3.29 Abbildung 3.30 Abbildung 3.31 Dieses Vorgehen eignet sich besonders, wenn nur die Art der Lagebeziehung gesucht ist, ohne nach speziellen Schnittmengen zu fragen. Eine weitere Möglichkeit, die im Falle eines Schnittes auch gleich die Gleichung der Schnittgeraden liefert, ist das Lösen des überbestimmten Gleichungssystems mit den beiden Koordinatengleichungen. Da nur zwei Gleichungen aber drei Variable vorliegen, kann wieder eine freigewählt werden. Hier ist. Mit den bereits genannten Beispielen erhält man: Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 42

43 Abbildung 3.32 Abbildung 3.33 Abbildung 3.34 Bei den parallelen Ebenen in Abbildung 3.32 ist das Ergebnis klar. In Abbildung 3.33 kann man zwei Variablen frei wählen, so dass die Schnittmenge wieder eine Ebene ist. Hier kann man eine der beiden Ebenengleichungen als Lösung angeben. In Abbildung 3.34 kann nur ein Parameter frei gewählt werden. Man erhält den Ortsvektor eines variablen Geradenpunktes. Diesen ordnen wir sofort einer Variablen zu, die unsere Schnittgeraden beschreibt. Die beschriebenen Verfahren lassen sich auch auf allgemeine und komplexe Fragestellungen anwenden. Beispiel: EdM SN12, S.176 Nr.15 Beschreiben Sie die Lage zweier Ebenen zueinander, für deren Koordinatengleichungen gilt: und mit. Treffen Sie Aussagen zur Lösbarkeit des zugehörigen Gleichungssystems. Zunächst erkennt man, dass für keine echte Ebene mehr darstellt (falls, entartet das dann zum 3-D-Raum, sonst handelt es sich um die leere Menge). Deshalb kann man mit weiter arbeiten. Für ist der Ausdruck zwar nicht definiert, aber man erhält die gleichen Resultate wie für. Somit ist dann: : für sind die beiden Ebenen für jedes identisch. Das zugehörige Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit zwei frei wählbaren Parametern. Abbildung 3.35 : für liegen die Ebenen parallel zueinander. Das zugehörige Gleichungssystem hat keine Lösung Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 43

44 3.5 Abstandsberechnungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Im folgenden wird demonstriert, wie man die Einstiegsaufgabe zur Berechnung des Abstandes Punkt- Ebene vollständig mit dem ClassPad lösen kann. Beispiel: EdM SN 12, S.177 Aufgabe 1b, In Abbildung 3.36 werden zunächst der Normalenvektor der Ebene, die Ebene selbst, der Punkt (eigentlich dessen Ortsvektor) sowie die zur Ebene orthogonal durch verlaufende Gerade definiert. Die beiden letzten Befehle in Abbildung 3.37 entsprechen dem Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung, die sofort nach dem Parameter aufgelöst wird. Zum Schluss wird noch die Länge des Verbindungsvektors Punkt-Ebene unter Verwendung des ermittelten Parameterwertes berechnet. Abbildung 3.36 Abbildung 3.37 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 44

45 3.5.2 Die HESSE sche Normalenform einer Ebene Beispiel: EdM SN 12, S. 180 Einführungsbeispiel, Wie im Beispiel oben werden zunächst alle benötigten Objekte definiert. Die Koordinatengleichung der Ebene wird nicht benötigt, lediglich deren Absolutglied. Die Abstandsformel kann nun in genau dieser Form in den Rechner eingegeben werden. Abbildung 3.38 Abbildung Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden sei hier auf zwei Wegen beschrieben. Zum einen soll die Berechnung unter Verwendung elementargeometrischen Überlegungen verknüpft mit Elementen der analytischen Geometrie erfolgen. Anschließend fassen wir die Aufgabe als Extremwertaufgabe auf und lösen sie im Wesentlichen mit Mitteln der Analysis. Betrachten wir für beide Fälle das Beispiel auf S. 183, Aufgabe 1. an welcher Stelle des Kurses ist die Entfernung zur Spitze des Turmes am geringsten?... Bekanntermaßen gilt für den von zwei Vektoren und eingeschlossenen Winkel die Beziehung. Weiterhin wissen wir, dass der Verbindungsvektor des Punktes zum Lotfußpunkt senkrecht auf der Geraden steht. Mit als Aufpunkt der Geraden gilt die elementargeometrische Beziehung. Verknüpft man beide Beziehungen, so erhält man mit Abstand auf, so erhält man als Richtungsvektor der Geraden. Löst man diese Beziehung nach dem. Diese Beziehung erlaubt eine direkte Berechnung des Abstandes ohne zuvor den Lotfußpunkt zu ermitteln. Mit dem ClassPad lässt sich das folgendermaßen umsetzen: Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 45

46 Abbildung 3.40 Abbildung 3.41 Man beachte, dass die beim normalen Schreiben üblichen Beträge wieder durch den Befehl norm() realisiert werden müssen. Als kleine Variation dieses Verfahrens wäre auch noch die Lösung eines Gleichungssystems bestehend aus den beiden beschriebenen Bedingungen möglich. Fassen wir nun die gleiche Aufgabe als ein Extremwertproblem auf. Dazu definieren wir zunächst die Geradengleichung in der oben beschriebenen Form, ebenso den Ortsvektor des Punktes. Bildet man den Vektor vom Punkt zu einem beliebigen Geradenpunkt, so ist dessen Länge noch vom Wert des Parameters aus der Geradengleichung abhängig. Nun fassen wir diesen variablen Abstand als Funktion auf und ermitteln mit dem fmin()-befehl den minimalen Abstand. Zusätzlich erhalten wir den zugehörigen Parameterwert, bei dem der Abstand minimal wird, sodass wir in einem letzten Schritt noch den Lotfußpunkt bestimmen können. Wir erhalten die folgenden Screens: Abbildung 3.42 Abbildung 3.43 Wir erhalten, dass der minimale Abstand des Punktes von der Geraden beträgt und der zugehörige Lotfußpunkt bei erreicht wird und die Koordinaten besitzt. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 46

47 3.5.4 Abstand zueinander windschiefer Geraden Im Folgenden ermitteln wir den Abstand zweier windschiefer Geraden mit Hilfe des auf S.189, Aufgabe 2 beschriebenen alternativen Lösungsweges. Nachteil dieses Verfahrens ist allerdings, dass die beiden Lotfußpunkte nicht mit berechnet werden. Gegeben sind zwei windschiefe Geraden und durch und. Wir stellen nun die Gleichung einer Ebenen auf, die die Gerade enthält und parallel zur Geraden verläuft. Indirekt erhalten wir damit einen Vektor, der auf beiden Geraden senkrecht steht, wenn wir die Normalenform der Ebene herstellen. Dadurch haben wir das ursprüngliche Problem auf die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebenen reduziert. Für den noch fehlenden Punkt verwenden wir am einfachsten den Aufpunkt der Geraden. Jedoch ist hier Vorsicht geboten, da man leicht den Aufpunkt der falschen Geraden einsetzen kann, so dass der Abstand gleich Null ist. Im Taschenrechner kann man das so umsetzen: Zunächst wird hier die Koordinatenform der Ebene hergestellt. Anschließend bildet man eine Hilfsgerade durch den Aufpunkt von mit dem Normalenvektor der Ebene. Man ermittelt nun den Parameter der Geraden so, dass der entstehende Punkt in der Ebenen liegt. Zum Schluss wird noch der Abstand des Aufpunktes von vom ermittelten Punkt bestimmt. Der gesuchte Abstand beträgt. Abbildung 3.44 Grundsätzlich lassen sich diese Abstandsprobleme mit Hilfe der inzwischen zahlreichen e-activities lösen. Man sollte diese aber vorher ausgiebig testen, da bei einigen Versionen Zwischenergebnisse manuell einzugeben sind. Dies ist insbesondere bei der e-activity Vektorrechnung der Fall. 3.6 Winkel zwischen Ebenen und Geraden In den folgenden beiden Abschnitten werden Winkelberechnungen angesprochen. Da bis hier alle notwendigen Vorgehensweisen besprochen wurden, soll hier nur jeweils ein Beispiel ohne weitere Herleitung demonstriert werden Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene Beispiel: EdM SN 12, S.192 Nr. 3a), Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 47

48 Lösung: Achtung! Man sollte unbedingt das Gradmaß einstellen. Die Gerade schließt mit der Ebene einen Winkel von ein. Bei dieser Rechnung wird stets der kleinere der beiden möglichen Winkel ermittelt. Der andere Winkel ergibt sich mit. Abbildung Winkel zwischen zwei Ebenen Für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen sollte im Vorfeld bei beiden Ebenen die Koordinatenform hergestellt werden. (prinzipiell genügen auch die beiden Normalenvektoren). Ebenso wie beim Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene wird auch hier stets nur der kleinere der beiden Winkel bestimmt. Sollte für die Lösung eines praktischen Problems ein stumpfer Winkel benötigt werden, so lässt sich dieser wieder durch Ergänzung des spitzen Winkels zu ermitteln. Beispiel: EdM SN 12, S. 195 Nr.1a) Lösung: Man erhält für den Schnittwinkel. Abbildung 3.46 Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 48

49 4 Weitere Anwendungen/Vorbereitung auf das Abitur Die in diesem Kapitel behandelten Inhalte wurden in früheren Abschnitten mit angesprochen, sodass hier keine weiteren Ergänzungen notwendig sind. Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 49