1. Aufstellen einer Ebene

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Elizabeth Brauer
vor 6 Jahren
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1 1. Aufstellen einer Ebene Im Gegensatz zu Geraden können Ebenen in unterschiedlichen Formen aufgestellt werden. Während es bei einer Gerade nur die kennengelernte vektorielle Form (Parameterform) gibt, kann eine Ebene in vektorieller Form oder in Normalenform aufgestellt werden. Auch gibt es mehrere Möglichkeiten eine Ebene aufzustellen, im Gegensatz zu einer Geraden, die immer mit Hilfe von Punkten gebildet wird. Der nächste Unterschied ist, dass Ebenen nicht immer gebildet werden können, sondern nur wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind. Zwar ist die Normalenform einer Ebene bedeutend wichtiger als die Parameterform einer Ebene, da mit der Normalenform viel schneller und leichter gerechnet werden kann, trotzdem müssen beide Formen beherrscht werden. a) Parameterform Die vektorielle Form, oder auch Parameterform, einer Ebene lautet: E(X ) = ( ) + λ ( ) + μ ( ) Aufpunkt 1. Richtungsvektor. Richtungsvektor Der Aufpunkt ist ein beliebiger Punkt, der in der Ebene liegt. Die Richtungsvektoren, sind, wie der Name bereits sagt, Vektoren, die die beiden Richtungen der Ebene angeben. Diese Richtungsvektoren werden üblicherweise mit u und v gekennzeichnet. Diese Form erinnert an eine Gerade, nur dass eine Ebene nicht einen, sondern zwei Richtungsvektoren beinhaltet. Eine Ebene schaut folgendermaßen aus: v A u E P. Seiler 1

2 Eine solche vektorielle Form einer Ebene kann prinzipiell durch 3 verschiedenen Möglichkeiten aufgestellt werden, je nachdem welche Angaben die Aufgabe liefert. 1. Möglichkeit: mit 3 Punkten (A, B, C) Voraussetzung: Die 3 Punkte liegen nicht alle auf einer Geraden - Aus Punkten eine Gerade bilden ( Geraden, Kapitel 1) - Prüfen, ob dritter Punkt auch auf dieser Gerade liegt ( Geraden, Kapitel ) Aufstellen der Ebene: Punkt A als Aufpunkt oder Punkt B als Aufpunkt oder Punkt C als Aufpunkt u = AB v = AC u = BA v = BC u = CA v = CB Geben Sie eine vektorielle Form der Ebene an, die durch die Punkte A (1//7), B (3/-1/4) und C (3//8) verläuft. Lösung: Bei dieser Aufgabenstellung muss nicht mehr geprüft werden, ob eine Ebene mit diesen Punkten aufgestellt werden kann. So wie die Aufgabe formuliert ist, kann man davon ausgehen, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen und somit auf jeden Fall eine Ebene bilden. Eine mögliche Ebene wäre: E(X ) = ( 1 ) + λ ( 3 ) + μ ( 0) mit A als Aufpunkt und AB (B A ) und AC (C A ) als Richtungsvektoren. P. Seiler

3 . Möglichkeit: mit Geraden (h(x ) und g(x )) Voraussetzung: Die Geraden sind nicht windschief zueinander und nicht parallel (siehe dazu Geraden, Kapitel 3). Nur wenn die Geraden echt parallel sind oder sich schneiden kann daraus eine Ebene entstehen. Aufstellen der Ebene: Aufpunkt der Ebene ist einer der beiden Aufpunkte der Geraden. Zudem können die Richtungsvektoren der Geraden auch als Richtungsvektoren der Ebene benutzt werden. Um hier eine Ebene aufzustellen, muss also gar nichts gerechnet werden. Geben Sie eine vektorielle Form der Ebene an, die durch die Geraden g(x ) = ( 1 0 ) + λ ( ) und h(x ) = ( 3 4 ) + μ ( 3 0 ) verläuft. Lösung: Auch hier muss nicht mehr geprüft werden, ob eine Ebene mit diesen Punkten aufgestellt werden kann. Man darf annehmen, dass durch die beiden Geraden eine Ebene verläuft (bei g(x ) und h(x ) handelt es sich übrigens, um die Geraden aus Kapitel 3, bei denen wir bereits bewiesen haben, dass sie sich schneiden). Eine mögliche Gleichung der Ebene lautet wie folgt: E(X ) = ( 1 0) + λ ( 1 1 ) + μ ( 3 ) 1 0 mit Aufpunkt der Ebene = Aufpunkt der Gerade g(x ) und den Richtungsvektoren u und v. P. Seiler 3

4 3. Möglichkeit: mit einer Gerade (g(x ) und einem Punkt P) Voraussetzung: Der Punkt darf nicht auf der Gerade liegen (siehe dazu Geraden, Kapitel ). Aufstellen der Ebene: Punkt P als Aufpunkt oder Aufpunkt (A) der Gerade g(x ) als Aufpunkt u = Richtungsvektor von g(x ) v = PA (A P ) u = Richtungsvektor von g(x ) v = AP (P A ) Geben Sie eine vektorielle Form der Ebene an, die durch die Geraden g(x ) = ( 1 0 ) + λ ( ) und den Punkt P (3/-3/7) verläuft. Lösung: Auch hier muss aus bekannten Gründen nicht mehr geprüft werden, ob eine Ebene mit diesen Punkten aufgestellt werden kann. Würde die Aufgabenstellung lauten Geben Sie, falls möglich, eine Ebene an., müsste man zunächst die Voraussetzung prüfen, da man sich bei dieser Formulierung nicht sicher sein kann, dass eine Ebene aufgestellt werden kann. Im Abitur wird jedoch so gut wie nie das Prüfen der Voraussetzung verlangt. Eine mögliche Ebene lautet in diesem Fall: E(X ) = ( 1 0) + λ ( 1 1 ) + μ ( 3 ) 1 5 mit Aufpunkt der Ebene = Aufpunkt der Gerade g(x ) und den Richtungsvektoren u und AP. P. Seiler 4

b) Normalenform Die Normalenform, oder auch Koordinatenform, einer Ebene lautet: Vektorielle Darstellung der Normalenform: E: n (X A ) = 0 mit: n = Normalenvektor der Ebene A = Aufpunkt der Ebene

Diese Form wird in der Regel nicht benötigt. Multipliziert man das Skalarprodukt aus, entsteht die sog. Koordinatenform, mit der in den meisten Fällen gerechnet wird.

5 b) Normalenform Die Normalenform, oder auch Koordinatenform, einer Ebene lautet: Vektorielle Darstellung der Normalenform: E: n (X A ) = 0 mit: n = Normalenvektor der Ebene A = Aufpunkt der Ebene Eine Ebene in Normalenform ergibt sich also aus einem Skalarprodukt des Normalenvektors mit der Differenz des allgemeinen Vektors X und dem Aufpunkt A der Ebene. Diese Form wird in der Regel nicht benötigt. Multipliziert man das Skalarprodukt aus, entsteht die sog. Koordinatenform, mit der in den meisten Fällen gerechnet wird. Koordinatenform: E: n 1 x 1 + n x + n 3 x 3 n 0 = 0 mit: n 0 = n A n E Um eine Ebene in Normalenform aufstellen zu können benötigen wir zunächst eine Ebene in der Parameterform, die durch die eben kennengelernten drei Möglichkeiten aufgestellt werden kann (siehe Punkt a). Anschließend benötigt man einen Normalenvektor, der immer senkrecht zur Ebene steht, und einen Aufpunkt, um die Ebene in Normalenform umzuwandeln. Übrigens ist das Aufstellen einer Ebene in Koordinatenform so gut wie immer die erste Aufgabe im Abiturteil Vektorrechnung und sollte daher zu 100% beherrscht werden. P. Seiler 5

6 Vorgehen: a) Ebene in Parameterform aufstellen b) Normalenvektor berechnen: n = u x v (Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren) c) Die Zahl n 0 berechnen: n 0 = n A d) Ebene in Normalenform angeben Geben Sie eine Ebene durch die Punkte A (/3/4), B (-1/3/11) und C (7/5/4) in Koordinatenform an. Lösung: E(X ) = ( 3) + λ ( 3 0 ) + μ ( 5 ) (mit A als Aufpunkt und AB und AC als Richtungsvektoren, siehe Punkt a) n = u x v : x u x v = x 0 x x 1 x x = = 0 6x x 0 14x n = ( 14 ) 35 6 Den errechneten Normalenvektor versucht man an dieser Stelle immer zu kürzen. Da in diesem Fall nur die Richtung des Normalenvektors von Interesse ist, kann jedes Vielfache von n P. Seiler 6

7 als Normalenvektor für die Ebene benutzt werden. Deshalb versucht man immer möglichst kleine Zahlen für n zu finden, da dadurch das Weiterrechnen vereinfacht wird. In diesem Fall gibt es jedoch kein kleineres Vielfaches von n. n 0 = n A : (Aufpunkt der Ebene ist hier der Punkt A, da dieser für die Parameterform als Aufpunkt gewählt worden ist.) n 0 = ( ) ( 3) = = Damit lautet die Ebene in Koordinatenform: E: 14x x 6x 3 53 = 0 Man kann somit aus jeder gegebenen Ebene in Koordinatenform den Normalenvektor ablesen. Die Koordinaten von n stehen jeweils vor dem zugehörigen x. Für spätere Aufgaben wird das von Bedeutung sein. Aufpassen: Da in der Grundform der Ebene E = n 1 x 1 + n x + n 3 x 3 n 0 = 0 die Zahl n 0 subtrahiert wird, ist das Rechenzeichen immer gegenteilig zum errechneten n 0. In diesem Fall was das Ergebnis für n 0 = +53, also steht in der Ebenengleichung 53. Das nächste Beispiel zeigt, dass ohne viel Erklärung eine Ebene in dieser Form sehr schnell aufgestellt werden kann: Geben Sie eine Ebene durch die Punkte A (1/0/3), B (-1/0/5) und C (1//4) in Koordinatenform an. P. Seiler 7

8 Lösung: E(X ) = ( 1 0) + λ ( 0 ) + μ ( 0 ) 3 1 (mit A als Aufpunkt und AB und AC als Richtungsvektoren, Thema a) n = u x v : x 1 0 u x v = x 0 x 3 1 x 1 x x 3 0 = = 0 4x x 1 + x n = ( 4 ) = ( 1 4 ) Der Normalenvektor, mit dem wir weiterrechnen lautet also: n = ( 1 ) Dieser wurde gekürzt und hat somit kleinere Zahlen, die das Weiterrechnen vereinfachen. Die Zahl, mit der der Normalenvektor gekürzt wurde (hier: -) spielt dabei keine Rolle. Sie sollte beim Kürzen einmal aufgeschrieben werden, damit man sieht mit welchem Faktor gekürzt wurde, zum Weiterrechnen ist sie aber uninteressant und wird einfach weggelassen. n 0 = n A : (Aufpunkt der Ebene ist hier wieder der Punkt A, da dieser für die Parameterform als Aufpunkt gewählt worden ist.) n 0 = ( 1 ) ( 0 1 ) = = 8 3 Damit lautet die Ebene in Koordinatenform: E: x 1 x + x 3 8 = 0 P. Seiler 8

9 Das Aufstellen einer Ebene in Koordinatenform und natürlich auch in Parameterform ist also, wie ihr seht, recht einfach. Diese (meistens) 4 Punkte im Abi sollte man sich also auf jeden Fall holen. P. Seiler 9

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