Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

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1 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010

2 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) wird als die Rotation des Vektorfeldes f mit abgekürzt. rot f x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 bezeichnet und

3 Teil II Lineare Algebra

4 Kapitel 8. Vektoren

5 Definition 72. Wir erklären das Objekt x 1 x 2. x n mit den n Komponenten x 1, x 2,..., x n R als einen n-dimensionalen reellen Vektor.

6 Wir erklären die Addition zweier n-dimensionaler Vektoren x und y durch x + y = x 1 x 2. x n + y 1 y 2. y n := x 1 + y 1 x 2 + y 2. x n + y n.

7 Entsprechend erklären wir die Vervielfachung eines n-dimensionalen Vektors mit einer Zahl c R durch c x 1 x 2. x n := c x 1 c x 2. c x n.

8 Was die Subtraction zweier Vektoren p und q betrifft, so lässt sich diese (rein formal) zu einführen. p q := p + ( 1) q Die Gesamtheit aller n-dimensionalen Vektoren bildet zusammen mit den so definierten Rechenoperationen einen Vektorraum, den wir als R n bezeichnen. Als Spezialfälle sind uns vor allem die Zahlengerade R = R 1, die Ebene R 2 sowie der dreidimensionale Raum R 3 bereits begegnet bzw. bekannt.

9 Für beschriebenden Operationen lassen sich unmittelbar die folgenden Rechengesetze verifizieren: Satz 53 (Rechengesetze). Es seien p, q, r R n und c R. Dann gilt: a) ( p + q) + r = p + ( q + r) (Assoziativgesetz) b) p + q = q + p (Kommutativgesetz) c) c ( q + p) = c q + c p (Distributivgesetz)

10 Bemerkungen. Das Assoziativgesetz besagt, dass die Addition dreier Vektoren beliebig gruppiert vorgenommen werden kann. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, was gerade das Kommutativgesetz entspricht. Wichtige prominente Vertreter von Vektoren des R n sind die so genannten kanonischen Einheitsvektoren e 1 := , e 2 := ,..., e n :=

11 Betrachten wir den Vektor p = ( a b ) Länge oder Betrag eines Vektors

12 Wie wir mit Hilfe des dort dargestellten rechtwinkligen Dreiecks erkennen, ist seine Länge p nach dem Satz des Pythagoras gegeben durch p = a 2 + b 2. Wir wollen dies auf Vektoren des R n verallgemeinern:

13 Definition 73. Wir definieren den Betrag, die Länge oder die euklidische Norm eines Vektors x 1 x 2 x =. Rn x n durch die Zahl x := x x 2 n.

14 Bemerkungen. Der Betrag eines Vektors ist immer größer oder gleich null. Nur im Fall x = 0 nimmt der Betrag den Wert null an. Für jede Zahl c R und jeden Vektor v R n gilt, dass c v = c v.

15 Dividieren wir einen Vektor x der Länge l = x durch seine eigene Länge, so besitzt der durch x dividierte Vektor die Länge 1. x x = 1 x x n 2 Ein solcher Vektor wird auch als Einheitsvektor oder als ein auf die Länge 1 normierter Vektor bezeichnet. x 1. x n

16 Definition 74. Unter dem (kanonischen, euklidischen) Skalarprodukt zweier Vektoren des R n verstehen wir die Operation, welche zwei Vektoren x = x 1. x n, y = eine reelle Zahl zuordnet und durch y 1. y n R n x y := n x i y i = x 1 y x n y n i=1 definiert ist. Auch die Bezeichnung inneres Produkt ist hier geläufig.

17 Bemerkungen. Das -Zeichen wird bisweilen auch durch ein schlichtes ersetzt. Das Ergebnis dieser Skalarmultiplikation ist eine reelle Zahl, ein Skalar (daher der Name). Mit der bereits bekannten Vervielfachung von Vektoren hat dies nichts zu tun.

18 Satz 54 (Skalarprodukt). Es seien x, y, z R n und c R. Dann gilt: a) x ( y + z ) = x y + x z, b) c) ( x + y ) z = x z + y z, ( c x ) y = c ( x y ), d) x ( c y ) = c ( x y ), e) x y = y x (Symmetrie), f) x x = x 2.

19 Im R 2 und im R 3 lässt sich das Skalarprodukt dazu verwenden, um den Winkel α zwischen zwei Vektoren zu berechnen (für n > 3 lässt sich die folgende Aussage als Definition eines Winkels interpretieren).

20 Satz 55 (Winkelberechnung). Es seien x und y zwei Vektoren des R n mit x, y 0, wobei n = 2 oder n = 3. Der Cosinus des Winkels α den die beiden Vektoren einschließen, ist gegeben durch cos α = x y x y.

21 Beweis. Wir zeigen den Satz nur für n = 2. Im R 3 verläuft der Beweis analog. Zu den gegebenen Vektoren x und y seien v := x x und w := y y. Der Winkel α zwischen x und y bzw. zwischen v und w ist dabei der gleiche.

22 Gleichschenkliges Dreieck mit eingeschlossenem Winkel α

23 Wir berechnen den in der Abbildung dargestellten Mittelvektor m und den Differenzvektor d zu ( ) v1 w d = v w = 1, v 2 w 2 m = w + 1 ( ) 2 w1 d = + 1 ( ) v1 w 1 w 2 2 v 2 w 2 = 1 ( ) 2 v1 + w 1. v 2 + w 2 Deren Längen berechnen sich folglich zu d = (v 1 w 1 ) 2 + (v 2 w 2 ) 2 und m = 1 (v 1 + w 1 ) 2 + (v 2 + w 2 ) 2. 2

24 Damit berechnen wir sin α d 2 = 2 v = 1 (v 1 w 1 ) 2 + (v 2 w 2 ) 2, 2 cos α 2 = m v = 1 (v 1 + w 1 ) 2 + (v 2 + w 2 ) 2. 2

25 Nach den Additionstheoremen berechnet sich cos α zu ( α cos α = cos 2 + α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) = cos cos sin sin = (v 1 + w 1 ) 2 + (v 2 + w 2 ) 2 4 (v 1 w 1 ) 2 + (v 2 w 2 ) 2 4 = v 1 w 1 + v 2 w 2 = v w = x x y y = x y x y.

26 Bemerkung. Um den Winkel α selbst zu berechnen, können wir in der Formel cos α = x y x y zum Arccuscosinus übergehen, also α = arccos (cos α) = arccos x y x y. Wir erhalten damit für α einen Winkel zwischen 0 und π bzw. zwischen 0 und 180.

27 Ein Spezialfall liegt dann vor, wenn für das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y des R 2 oder des R 3 gilt x y = 0. Unter diesen Umständen gilt für den Winkel α zwischen x und y nach dem Satz 55, dass cos α = x y x y = 0 und damit α = π 2.

28 Die Vektoren x und y stehen in diesem Fall also senkrecht aufeinander und bilden miteinander einen rechten Winkel.

29 Dieser Sachverhalt lässt sich auch auf höhere Raumdimensionen verallgemeinern: Definition 75. Wir nennen zwei Vektoren x, y R n senkrecht aufeinanderstehend bzw. orthogonal, wenn gilt. x y = 0

30 Bemerkungen. Dass Definition 75 für Raumdimensionen 4 keine geometrische Bedeutung mehr besitzt, spielt dabei keine Rolle. In der sbeziehung x y = 0 hatten wir den Nullvektor nicht ausdrücklich ausgenommen. Per Definition ist der Nullvektor somit orthogonal zu jedem Vektor des R n.