Maschinendynamik. Klausur Frühjahr Name: Matrikel-Nr.:

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1 Maschinendynamik Klausur Frühjahr 2009 Name: Matrikel-Nr.: Punkte Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 erreichte Punkte mögliche Punkte 60

2 Maschinendynamik Klausur Frühjahr Aufgabe: Vektoranalysis 10 l c 2 k b 2 P b 1 c 3 q 2 Q c 1 q 3 R h b 3 n 2 a 2 B C n 3 O a 3 a 1 n 1 q 1 A Die Lage eines Roboterarms mit drei Drehgelenken wird über die eingezeichnete Bezugssysteme A, B und C beschrieben. Das Inertialsystem wird mit N bezeichnet. Dabei gilt: q 1 ist der Winkel zwischen a 1 und n 1. q 2 ist der Winkel zwischen b 1 und a 1. q 3 ist der Winkel zwischen c 1 und b 1. a 2 und n 2 sind parallel. b 3 und a 3 sind parallel. c 3 und b 3 sind parallel. Gegeben: h, l, k, q 1 (t), q 2 (t), q 3 (t). a) Bestimmen Sie Maßzahlen der Winkelgeschwindigkeiten B ω C, A ω B und N ω A bezüglich der 3 Einheitsvektoren eines jeweils frei wählbaren Bezugssystems in Abhängigkeit der Winkel q 1, q 2, q 3 und deren Zeitableitungen! b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit N ω C, und geben Sie deren Maßzahlen bezüglich 2 der Einheitsvektoren des Inertialsystems N an! c) Geben Sie die Maßzahlen der folgenden Ortsvektoren bezüglich der Einheitsvektoren des 4 jeweiligen Bezugssystems an: QR in C PR in B OR in A Die Lage des Punktes R wird mit r = OR beschrieben. Seine Geschwindigkeit im Bezugssystem A beträgt A v R A d r = dt. d) Geben Sie eine Berechnungsvorschrift für die Geschwindigkeit N v R des Punktes R im Inertialsystem N an, indem Sie die Differenz zu A v R mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit N ω A 1 ausdrücken! Name: Matrikel-Nr.: Seite 2/7

3 Maschinendynamik Klausur Frühjahr Aufgabe: Lagrange sche Gleichungen 2. Art 14 F(t) /4 L /4 g S m 1 m 2 c Gegeben ist das skizzierte System, bestehend aus einem drehbar gelagerten, homogenen Stab (Masse m 1, Länge l), einem Gewicht (Masse m 2 ) und einer Feder (Federkonstante c). Für ϕ = 0 ist die Feder entspannt. Es greift eine horizontale Kraft F(t) wie skizziert an dem System an. Hinweis: Verwenden Sie für die Berechnungen den Winkel ϕ als verallgemeinerte Koordinate. Dieser Winkel kann beliebig groß werden! Gegeben: l, m 1, m 2, g, c, F(t). a) Bestimmen Sie die generalisierte Kraft Q n.k.! 2 b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J (L) des Stabes bezüglich des Lagers L! 1 c) Berechnen Sie die kinetische Energie T und die potenzielle Energie U des Systems! 5 d) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems unter Verwendung der Lagrange schen 6 Gleichungen 2. Art auf! Name: Matrikel-Nr.: Seite 3/7

4 Maschinendynamik Klausur Frühjahr Aufgabe: Eigenwertanalyse 10 x 1 x 2 2c 2m c m Gegeben ist eine reibungsfrei gelagerte Schwingerkette mit zwei Massen und zwei Federn. Gegeben: c, m. a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen in Matrizenform an! Verwenden Sie dabei den Vektor 2 der verallgemeinerten Koordinaten x T = [ ] x 1 x 2. b) Berechnen Sie die Eigenwerte des Systems! 3 c) Berechnen Sie die dazugehörigen Eigenvektoren! 2 Zwischen den beiden Massen wird ein Dämpfer d eingesetzt. d) Wie lautet die Dämpfungsmatrix? 1 e) Gelingt mit den zuvor berechneten Eigenvektoren die Entkopplung des nichtkonservativen 2 Systems? Begründen Sie Ihre Antwort stichpunktartig! Name: Matrikel-Nr.: Seite 4/7

5 Maschinendynamik Klausur Frühjahr Aufgabe: Modale Entkopplung 8 Die Bewegungsgleichungen eines Systems sind mit [ ][ ] [ ][ ] [ m 0 ẍ1 d 0 ẋ1 2c c m 0 d c 2c ẍ 2 ẋ 2 ][ x1 x 2 ] [ = 0 ˆF cos(ωt) gegeben. Nach einer Vorrechnung sind weiterhin die Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren des konservativen Teilsystems bekannt: ω1 2 = c m, ω2 2 = 3 c [ ] [ ] 1 1 m, u 1 = a und u 1 2 = b. 1 Gegeben: c, d, m, ˆF, Ω. ] a) Geben Sie die bezüglich der Massenmatrix normierten Eigenvektoren an! 3 b) Stellen Sie die Dämpfungsmatrix als Linearkombination der Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix dar! 1 D M C c) Geben Sie die modal entkoppelten Bewegungsgleichungen an! 3 d) Mit welcher Transformationsvorschrift gelingt die Rücktransformation vom modalen in den 1 physikalischen Raum? Name: Matrikel-Nr.: Seite 5/7

6 Maschinendynamik Klausur Frühjahr Aufgabe: Kreisel und Drall 7 b 2 b 3 S b 1 d n 2 L h n 3 n 1 Der skizzierte scheibenförmige, homogene Rotor (Masse m, Höhe h, Durchmesser d) dreht mit konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω auf einer masselosen Stange. Das System führt zudem eine Schwenkbewegung mit ϕ(t) durch. Zwischen dem Bezugssystem B und dem Inertialsystem N gelten folgende Zusammenhänge: ϕ ist der Winkel zwischen b 1 und n 1. b 3 und n 3 sind parallel. Gegeben: l, d, h, m, Ω = const., ϕ(t). a) Bestimmen Sie die äquatorialen und polaren Massenträgheitsmomente J a (S) und J p (S) des 2 Rotors bezüglich des Schwerpunktes S! b) Bestimmen Sie den Trägheitstensor 1 Θ (S) des Rotors bezüglich des Schwerpunktes S, und beziehen Sie sich dabei auf die Einheitsvektoren des Bezugssystems B! c) Geben Sie für den Drall H L um das Lager L die Maßzahlen bezüglich der Einheitsvektoren 3 des Bezugssystems B an! d) Geben Sie für den Drall H L um das Lager L die Maßzahlen bezüglich der Einheitsvektoren 1 des Inertialsystems N an! Name: Matrikel-Nr.: Seite 6/7

7 Maschinendynamik Klausur Frühjahr Aufgabe: Rotordynamik 11 c y S m c z g h l L x y z θ ψ Der skizzierte Rotor, bestehend aus einer masselosen Welle und einem homogenen Kreiszylinder (Masse m, äquatoriales und polares Massenträgheitsmoment J a (L) bzw. J p (L) ), dreht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω. Der Rotor ist in y- und z-richtung federnd gelagert und führt Schwingungen um die y- und die z-achse aus. Für kleine Winkel ψ und θ lauten die Bewegungsgleichungen des Systems J a (L) ψ + ( ch 2 mgl ) ψ + J p (L) Ω θ = 0 und J (L) a Gegeben: J a (L), J p (L), m, c y = c z = c, Ω, l, h, g. θ + ( ch 2 mgl ) θ J (L) p Ω ψ = 0. a) Geben Sie die Bewegungsdifferenzialgleichungen in Matrizenschreibweise an! Verwenden Sie 3 dabei den Vektor der verallgemeinerten Koordinaten q T = [ ψ θ ]. Wie lauten die Massenmatrix, die Dämpfungsmatrix D, die Matrix der gyroskopischen Kräfte G, die Steifigkeitsmatix M und die Matrix der zirkulatorischen Kräfte Ñ für das gegebene Systeme? C b) Stellen Sie unter Nutzung des komplexen Winkels ρ = ψ + jθ die komplexe Bewegungsdifferenzialgleichung 2 auf! c) Verwenden Sie den Lösungsansatz ρ(t) = ˆρe jωt, und bestimmen Sie die charakteristische 1 Gleichung! d) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenzen ω i = f(ω)! Geben Sie die Eckwerte für Ω = 0 und 3 Ω an! e) Skizzieren Sie den Verlauf der Eigenkreisfrequenzen als Funktion der Winkelgeschwindigkeit 2 Ω! Kennzeichnen Sie Asymptoten sowie Gegen- und Gleichlauf! Name: Matrikel-Nr.: Seite 7/7

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