ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern WS 16/17, Aufgabe: (TM3) a g y a S v S ϕ x m P A Die abgebildete homogene starre Scheibe (Kantenlängea, Massem) trifft mit der Geschwindigkeitv ohne Rotation im PunktP auf ein gelenkiges LagerAund klinkt dort im Moment des Auftreffens ein. a) Geben Sie die Massenträgheitsmomente Θ (S) und Θ (A) der Scheibe bezüglich der Punkte S (Schwerpunkt) undaan. b) Ermitteln Sie die Geschwindigkeitskomponenten v x und v y des SchwerpunktesS sowie die Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe unmittelbar nach dem Einklinken/Stoß. c) Berechnen Sie den Verlust an kinetischer Energie beim Aufprall. d) Ab welcher Anfangsgeschwindigkeit v über das Lager? kippt die Scheibe wie in der rechten Skizze angedeutet Gegeben:a,m,g,v

2 Kurzlösung: a) Θ (S) = 1 6 ma2 ) a 2 Θ (A) = Θ +m( (S) = ma2 b) ω = 3v 4a, v x = 3 8 v, v y = 3 8 v c) E kin = 5 16 mv2 d) v = 8 3 ag( 2 1)

3 2. Aufgabe: (TM3) z y x 11C β r 11 1 ω A α B R 11 1 O l Das abgebildete System besteht aus einer Walze (Radius R) und einer Stange (Länge l), die im Punkt B mit der Walze gelenkig verbunden ist. Die Walze rollt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω über die Ebene. Der Abstand von B zum Mittelpunkt A der Walze beträgt r. Die Stange wird durch die Walze bewegt, wobei der EndpunktC der Stange stets die Wand berührt. Ermitteln Sie unter Beachtung des gegebenen Koordinatensystems für die skizzierte Lage des Systems a) den Vektor r OB und die Geschwindigkeit v B von PunktB, b) den Vektor r AB sowie die Beschleunigungen a A und a B der PunkteAundB, c) den Vektor r BC, die Geschwindigkeit v C des Punktes C und die Winkelgeschwindigkeit ω S der Stange. Gegeben:α,β,ω,R,r,l

4 Kurzlösung: a) rcosα r OB = R+rsinα ω(r+rsinα) v B = ωr cosα b) c) rcosα r AB = rsinα a A = a B = ω2 rcosα ω 2 rsinα lsinβ r BC = lcosβ ω S = R+rsinαω lcosβ v C = (rcosα (R+rsinα)tanβ)ω

5 3. Aufgabe: (TM3) x 6 3m,Θ 3 g Θ 2 r Seil 2r ϕ 6 ϕ 4 r ϕ 2 2m r x 3 M x 5 m,θ 1 ϕ 1 x 2 m,θ 1 α x 1 Auf einer rauhen schiefen Ebene (Neigungswinkel α) rollen zwei gleiche homogene Walzen (Radius r, Massem, MassenträgheitsmomentΘ 1 ). Auf den beiden Walzen liegt ein langes rauhes Brett (Masse2m), auf welchem eine weitere homogene Walze (Masse3m, MassenträgheitsmomentΘ 3, Radius2r) rollt. Eine der Walzen ist wie abgebildet durch ein Seil mit einem Klotz (Masse M) verbunden und wird dadurch die schiefe Ebene hinaufgezogen, wobei das dehnstarre und stets gespannte Seil über eine Umlenkrolle (MassenträgheitsmomentΘ 2, Radiusr) geführt wird. Die Anordnung bewegt sich, wobei es an keiner Stelle zum Rutschen kommt. a) Zeichnen Sie geeignete Freikörperbilder der 6 Körper. b) Stellen Sie alle Gleichungen auf, die nötig sind um die Beschleunigung ẍ 3 des Bretts in der skizzierten Lage in Abhängigkeit der gegebenen Größen zu ermitteln. Hinweis: Es genügt, die Gleichungen aufzustellen. Das entstehende Gleichungssystem soll nicht aufgelöst werden! Gegeben:m,M,Θ 1,Θ 2,Θ 3,r,α,g

6 Kurzlösung: a) Freikörperbilder H 5 N 5 S 1 N 4 2mg 3mg S 2 S 1 H 4 H 5 H 3 mg H 2 N 2 N 5 Mg N 3 H 1 mg N 1 b) Kinematik: ẋ 1 = ẋ 2 = r ϕ 1 = r ϕ 2 ẋ 3 = 2r ϕ 1 ẋ 2 = ẋ 5 Kinetik: Körper 1: Körper 2: Körper 3: Körper 4: Körper 5: ẋ 6 = ẋ 3 +2r ϕ 6 ẋ 2 = r ϕ 4 տ: mẍ 1 = H 1 H 2 mgsinα : ϕ 1 Θ 1 = (H 1 +H 2 )r տ: mẍ 2 = H 3 H 4 mgsinα+s : ϕ 2 Θ 1 = (H 3 +H 4 )r տ: 2mẍ 3 = H 2 +H 4 H 5 2mgsinα : ϕ 4 Θ 2 = r(s 2 S 1 ) Körper 6: տ: Mẍ 5 = Mg S 2 : ϕ 6 Θ 3 = 2rH 5 տ: 3mẍ 6 = H 5 3mgsinα

7 4. Aufgabe: (TM4) 1 ϑ(x, t) ρ, G,I T,I p 2 M T M T + M T x dx x l dx dθ Ein homogener Torsionsstab mit konstanter Querschnittsfläche (Länge l, Dichte ρ, Schubmodul G, Torsionsträgheitsmoment I T, polares Flächenträgheitsmoment I p ) ist wie in Abbildung 1 dargestellt am linken Ende fest eingespannt und führt eine freie Torsionsschwingung aus. Dabei erfahren die Querschnitte eine Verdrehungϑ(x,t) um diex-achse. a) Nutzen Sie Abbildung 2 um die Wellengleichung für das dargestellte Torsionsstabelement in Abhängigkeit von ϑ(x, t) zu formulieren. Verwenden Sie hierzu das Massenträgheitsmoment ϑ dθ = ρi p dx und das ElastizitätsgesetzM T = GI T. Wie lautet die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeitcfür die Drehschwingung im x Torsionsstab? b) Formulieren Sie die Randbedingungen für den Torsionsstab in Abbildung 1. c) Die d Alembertsche Lösung der eindimensionalen Wellengleichung lautet ϑ(x,t) = f 1 (x ct)+f 2 (x+ct). ( ) π Zum Zeitpunktt = wird der Torsionsstab umϑ (x) = ϑ A sin 2l x ausgelenkt. Für die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunktt = gilt ϑ (x) =. Berechnen Sief 1 undf 2 zum Zeitpunktt =. Gegeben:l,ρ,G,I T,I p,ϑ A

8 Kurzlösung: a) b) c) c = GIT ρi p ϑ(x =,t) = ϑ (x = l,t) = f 1 (x,t = ) = 1 2 ϑ Asin( π 2l x) f 2 (x,t = ) = 1 2 ϑ Asin( π 2l x)

9 5. Aufgabe: (TM4) m g m ϕ A R m 4m m Q l+ l c Ein um A drehbares Speichenrad besteht aus drei Speichen (homogene Stäbe der Länge R, Masse jeweils m), einer kreisförmigen, homogenen, dünnen Felge (Radius R, Masse 4m), sowie einer Punktmasse (Massem), die am Ende einer Speiche angebracht ist. Im PunktQist eine Feder (Steifigkeitc) befestigt, die stets vertikal ausgerichtet ist. Die natürliche Länge der Feder ist l. In der Gleichgewichtslageϕ = ist die Feder um eine positive Länge l vorgespannt. a) Berechnen Sie das MassenträgheitsmomentΘ A des Speichenrades bezüglich des PunktesA. b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems auf. c) In welchem Intervall muss der Wert von mg liegen, damit im Intervall < ϕ < π eine Gleichgewichtslage möglich cr ist? d) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung um die Gleichgewichtslageϕ =. Wie groß muss l mindestens sein, damit Schwingungen möglich sind? Wie hängt die Schwingungsdauer T von der Vorspannung l ab? Hinweis: Die Aufgabenteile c) und d) können unabhängig voneinander bearbeitet werden. Gegeben:l, l,r,m,c,g

10 Kurzlösung: a) Θ A = 6mR 2 b) Θ A ϕ = mgrsinϕ c( l +(1 cosϕ)r)rsinϕ c) d) l R < mg cr < l R +2 l > mg c T = 2π c l 6mR g 6R

11 6. Aufgabe: (TM4) m 2 x 2 g H c 2 c 1 x 3 ϕ R NN m 3 Θ c 3 Die abgebildete homogene Kreisscheibe besitzt das Massenträgheitsmoment Θ und ist in ihrem Schwerpunkt drehbar gelagert. Die drei Federn mit den Federsteifigkeiten c 1,c 2,c 3 sind frei drehbar an der Scheibe angebracht. Die Querkraftgelenke an den Federn bewirken, dass die Feder mit der Steifigkeit c 3 stets horizontal ausgerichtet ist, während die beiden anderen Federn (Steifigkeiten c 1 und c 2 ) stets vertikal ausgerichtet sind. a) Berechnen Sie die potentielle EnergieE pot und die kinetische EnergieE kin des Systems in Abhängigkeit der Koordinaten ϕ,x 2,x 3 und bezüglich des angegebenen Nullniveaus für große Winkel π/2 < ϕ < π/2. b) Wie lautet dann die Lagrangefunktion? Hinweis: Die Gleichungen in den folgenden Aufgabenteilen c) und d) entsprechen nicht der Lösung aus den jeweils vorangegangenen Aufgabenteilen.

12 c) Ermitteln Sie anhand der folgenden Lagrangefunktion L = 1 2 m( x x R 2 ϕ 2) mgr(1 sin(ϕ)) 3 2 sin2 (ϕ)r 2 c sin(ϕ)rc(x 2 x 3 ) 1 2 c( x 2 2 +x 2 3 ) die Bewegungsgleichungen fürϕ,x 2,x 3. d) Durch den Bruch der Feder mit der Federsteifigkeitc 3 entsteht ein System mit zwei Freiheitsgraden. Die Bewegungsgleichungen lauten dann 1 2 mr2 ϕ+2r 2 cϕ+ 2cRx 2 2mgR =, 2mẍ 2 + 2cRϕ+cx 2 =. Bringen Sie die Bewegungsgleichungen in Matrixform und berechnen Sie die Eigenfrequenzen. Gegeben:c 1,c 2,c 3,Θ,m 2,m 3,R,H,g,NN für c) und d) c,m

13 Kurzlösung: a) Potentielle Energie E pot = m 2 g(h +x 2 )+ 1 2 c 2(x 2 +sinϕr) 2 Kinetische Energie c 1sin 2 ϕr c 3(x 3 sinϕr) 2 m 3 gr E kin = 1 2 b) Lagrange-Funktion ( Θ ϕ 2 +m 2 ẋ 2 2 +m 3 ẋ 2 3) L = c c 3 ( Θ ϕ 2 +m 2 ẋ 2 2 +m 3 ẋ 2 3 c) Bewegungsgleichung fürϕ ) m2 g(h +x 2 ) ( x x 2 sinϕr+sin 2 ϕr 2) 1 ( x 2 3 2x 3 sinϕr+sin 2 ϕr 2) +m 3 gr 4mR 2 ϕ mgr cosϕ+3r 2 c sinϕcosϕ+cosϕrc(x 2 x 3 ) = Bewegungsgleichung fürx 2 mẍ 2 +sinϕrc+cx 2 = Bewegungsgleichung fürx 3 mẍ 3 sinϕrc+cx 3 = d) Bewegungsgleichungen in Matrixform [ ] [ ] [ 1/2mR 2 ϕ + 2m ẍ 2 Eigenfrequenzen 2R 2 c 2cR 2cR c ] [ ϕ x 2 ] = [ ] 2mgR ω 2 1 = 9 c 2m, ω2 2 =