= p u. Ul x 0 U r x > 0

Transkript

1 Das Riemann-Probem Das zu ösende Geichungssystem besteht aus den eindimensionaen hydrodynamischen Geichungen ohne Viskosität und externe Kräfte, den Euer-Geichungen. Beschränkung auf eine Dimension (x) iefert das Geichungssystem mit t + u u t + uu e t + eu = 0 (0.) = p = p u (0.) (0.) p = (γ )e. (0.) Bezeichnungen: = Massendichte, u = Geschwindigkeit, p = Druck, e = innere Energiedichte. Der Zustand des Gases sei durch den Vektor U = (, u, e) gegeben. Von einem Riemann-Probem spricht man, wenn zu Beginn (t = 0) ein Zustand mit zwei voneinander getrennten, konstanten Bereichen voriegt. Die anfängiche Unstetigkeit iege bei x = 0, aso ist U(x, 0) = { U x 0 U r x > 0 (0.5) wobei U r, = ( r,, u r,, e r, ) die konstanten Anfangsbedingungen auf der rechten und inken Seite von x = 0 bedeuten. Der Speziafa u r, (x, 0) = 0, der hier behandet wird heißt Stoßrohr bzw. in engisch Shock-Tube. Bei einem Variabenwechse x Lx, t Lt mit L > 0 beeibt die Form der Euergeichungen (0.-0.) erhaten, so daß U(x, t) = U( x L, t L ) = U(x, ), für t > 0 git. t Aso ist die Lösung des Riemann-Probems konstant entang Geraden, die vom Ursprung ausgehen, es gehört zu den eindimensionaen Ähnichkeitsströmungen (z.b. Landau & Lifshitz, 987). Da sich Störungen nur mit endicher Geschwindigkeit ausbreiten, iegt weit entfernt vom Ursprung noch die anfängiche Konfiguration vor. Sei nun die Anfangsverteiung so, daß, p > r, p r gete, dann entwicket sich das System in den Zustand gemäß Abb.. Dabei bedeuten U r, U die ursprüngichen Zustände, X bezeichnet die Lage der Shockfront, X die Kontaktdiskontinuität, und X, X den rechten (X ) bzw. inken (X ) Rand der Verdünnungswee. Mit Hife der Methode der Charakteristiken und den Erhatungsbedingungen an der Shock-front können die Werte der physikaischen Größen in den einzenen Gebieten eindeutig berechnet werden (z.b. Chorin & Marsden, 979; Sod, 978). Der Lösungsweg wird im fogenden kurz skizziert. Seien mit u, p Postshock-Geschwindigkeit und -druck im Gebiet bezeichnet. Über die Shockfront bei X können p und u anaytisch mit dem rechten Ausgangszustand p r

2 X t X X X U 5 U r x Abbidung : Die unterschiedichen Bereiche des Skocktubes und u r verknüpft werden. Und zwar geten an der Shockfront aus Erhatungsgründen die fogenden Sprungbedingungen (für einen mit der Front mitbewegten Beobachter): 0 u 0 = u (0.6) 0 u 0 + p 0 = u + p (0.7) (e 0 + p 0 )u 0 = (e + p )u (0.8) wobei die Indizes (0, ) die beiden Seiten der Shockfront bezeichnen. Diese Geichungen ( ) sind die Rankine-Hugoniot schen Sprungbedingungen. Durch agebraische Umformungen erhät man die sog. Hugoniot-Geichung ɛ ɛ 0 + (p + p 0 )(τ τ 0 ) = 0 (0.9) mit dem spezifischen Voumen τ = / und der spezifischen totaen Energie ɛ = e/+u /. Sei nun M definiert as M = p r p u r u (0.0) was äquivaent ist mit M = 0 u 0 = u. (0.) M gibt aso den Massenstrom durch die Shockfront an. Mit Hife von (0.6, 0.7) fogt dann M = p r p τ τ r,

3 wobei τ (r) das spezifische Voumen hinter(vor) der Shockfront ist. Benutzt man nun die Definition von M (0.0) und die Hugoniot-Geichung (0.9), dann erhät man u = u r + (p p r ) { r [(γ + )p + (γ )p r ] /} / (0.) Diese Geichung beschreibt durch u = u (p ) bei bekannten u r, p r ae mögichen Postshockzustände. Zur eindeutigen Bestimmung von p und u benötigen wir noch eine zusätziche Geichung. Diese gewinnen wir durch die Verknüpfung mit p und u über die inke Verdünnungswee. Die Charakteristiken der Euergeichungen (0.-0.) auten C ± : dx dt Auf ihnen sind die Riemann-Invarianten Γ ± = u ± = u ± c. (0.) c() d (0.) jeweis konstant. In diesen Geichungen bedeutet c = (dp/d) / die Schageschwindigkeit. In der Verdünnungswee sind die C -Charakteristiken Geraden durch den Ursprung. Aso git in der Wee x t = u c (0.5) Wegen des angrenzenden konstanten Bereichs U ist die Verdünnungswee eine Γ + -einfache Wee (simpe wave). Das heißt, daß auch Γ + auf C konstant ist (vg. Chorin & Marsden, 979). Mit der Definition von c fogt Γ + = u + c(γ ) = const. auf C (0.6) Wegen der adiabatischen Verknüpfung von U und dem Gebiet über die Verdünnungswee git c = (γ p/) /, und die Dichte in der Wee ist = i (p/p i ) /γ, (0.7) hierbei bezeichnen (i =,, ) die Bereiche der Verdünnungswee und angrenzenden Bereiche. Für den Druck innerhab der Verdünnungswee git dann p = p i [ u (γ )/c i] γ/(γ ) (0.8) wobei u = 0 gesetzt wurde. An der Kontaktdiskontinuität springt nur die Dichte und es git u = u und p = p (vg. Abb. ). Aso haben wir mit (0.) und (0.8) Geichungen für die Unbekannten p, u. Diese werden iterativ geöst. Jetzt können aus den bekannten Größen p, u und damit M die restichen eicht berechnet werden. Wenn u s die Shockgeschwindigkeit ist, dann git für den Dichtesprung an der Shockfront u s [] = [u]. Mit [f] wird der Sprung der Variaben f durch den Shock bezeichnet. Mit der Definition von M (0.0) erhät man u s aus u s = M r + u r. (0.9)

4 Die Postshockdichte ist dann gegeben durch und im Gebiet git = M (0.0) u u s ( ) /γ p = r Adiabate. (0.) p r Für die Geschwindigkeit innerhab der Verdünnungswee erhät man mit (0.5) und (0.9) u = γ + [c r + x/t + u r (γ )/] (0.) für u c x/t u c. Der Druck p und die Dichte in der Verdünnungswee fogen dann mit (0.7) und (0.8). Damit sind ae Parameter in den einzenen Bereichen bestimmt. p 5 u u X X X X p r pr u r Abbidung : Schematische Darsteung des Veraufs der physikaische Größen beim Shocktube Probem. Für die Positionen der Grenzen git X = (u r c r ) t X = (u c ) t X = u t (0.) X = u s t Die Kontaktdiskontinuität bewegt sich mit der Strömung mit. Graphisch zusammengestet erhät man den in Abb. dargesteten Zustand.

5 0. Ein Beispie Sod Shocktube As Testprobem für numerische Rechnungen wird oft das von Sod (978) in seinem Vergeich verschiedener Differenzenverfahren angegebene verwendet. Wir betrachten in abgeschossenes Rohr der Länge, in dem sich durch eine Wand getrennt ein Gas (γ =.) mit unterschiedichen Parametern (Dichte und Druck) rechts und inks der Wand befindet. Im sog. Sod-Shocktube iegt die anfängiche Unstetigkeit bei x = 0.5. U(x, 0) autet: p =.0, =.0, e =.5, u = 0, für x 0.5 p r = 0., r = 0.5, e r =.0, u r = 0, für x > 0.5 wobei die Größen in normierten Einheiten gegeben sind. Zur Zeit t = 0 denken wir uns die Trennwand, weche die konstanten Zustände (U r, U voneinander trennt, bei Seite gezogen. Das ursprüngich in Ruhe gewesene Gas entwicket aus der Diskontinuität eine nach rechts aufende Shockfront und eine nach inks aufende Verdünnungswee mit dazwischeniegender Kontaktdiskontinuität (Abb. ). Mit diesen Anfangsbedingungen erhät man die fogenden anaytischen Werte für die konstanten Bereiche und u = u =.97 (0.) p = p =.0 (0.5) =.66 (0.6) =.6 (0.7) Die Geschwindigkeiten der Grenzfächen - X i bewege sich mit V i (i =,..., ) - sind dann (vg. (0.): V = u c =.8 V = u c =.07 V = u =.97 V = u s =.75 Der Shock erreicht etwa bei t 0.8 den rechten Rand x = und wird dort refektiert. Literatur [chorin] [andau] Chorin, A.J. & Marsden, J.E., 979, A mathematica introduction to fuid mechanics, Springer Verag. Landau, L.O. & Lifshitz, E.M., 987, Fuid Mechanics, nd Edition, Pergamon Press. [sod] Sod, G.A., 978, Journa of Computationa Physics, 7,. 5