Geometrisch nichtlineares Verhalten

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1 Geometrisch nichtineares Verhaten.1 Grundbegriffe der geometrischen Nichtinearitäten Bei einer geometrisch inearen Berechnung geht man von fogenden Voraussetzungen aus: 1. Geichgewicht am unverformten System,. keine Rotationen, damit inearisierte Kinematik (s. Abb..1),. keine Dehnungen, d. h. es ist sinnvo und ausreichend, die Dehnungen as Längenänderungen bezogen auf die Ausgangsängen zu definieren. Von diesen Voraussetzungen wird im Fogenden schrittweise abgewichen, d. h. es werden 1. Geichgewicht am verformten System,. große Drehungen (Rotationen) und. große Dehnungen betrachtet. Eher müsste es kinematische Nichtinearität heißen, der obige Begriff ist aber eingeführt, vermutich wei diese Winkebeziehungen in der Mathematik Tei der Geometrie sind.. Theorie. Ordnung, Geichgewicht am verformten System..1 Motivation und FE-Umsetzung Es wird nur von Voraussetzung 1 abgewichen. Diese Theorie ist für die meisten Anwendungen im Bauwesen ausreichend und bidet die Grundage der Euer schen Knicktheorie und der gängigen anaytischen Lösungen für Pattenbeuen. Springer Fachmedien Wiesbaden 1 W. Rust, Nichtineare Finite-Eemente-Berechnungen, DOI 1.1/ _ 1

2 1 Geometrisch nichtineares Verhaten x,u exakt sinφ inearisiert tanφ φ kein : φ cos φ 1 u1 = (1 cosφ ) cos φ x 1,u 1 sin φ tan φ φ u = sin φ φ im Bogenmaß Abb..1 inearisierte Kinematik Abb.. Foge des Geichgewichts am verformten System q F Z F D w mit Zugkraft ohne Längskraft mit Druckkraft Man betrachte den Baken auf zwei Stützen aus Abb... Bei der voständig inearen Theorie sind die Querbeastung q und die Längskraft F entkoppet: die Querbeastung erzeugt Querkraft und Moment, die Längskraft eine Normakraft. Beim Geichgewicht am verformten System muss aber berücksichtigt werden, dass die Kraft F einen Hebearm w gegenüber Punkten auf der Biegeinie aufweist, der zunächst der Durchbiegung infoge der Querbeastung entspricht. Daraus ergibt sich in erster Näherung ein Zusatzmoment M D F Z w (.1) Das bedeutet eine Entastung bei Voriegen einer Zugkraft F Z. Dies führt zu weniger Durchbiegung und damit zu einer etwas geringeren Entastung im endgütigen Geichgewichtszustand. Bei Voriegen einer Druckkraft F D autet das Zusatzmoment in erster Näherung M D F D w (.)

3 . Theorie. Ordnung, Geichgewicht am verformten System 1 Abb.. Zum Geichgewicht am verformten Stabeement verformt P F 1 w 1 w unverformt Dies bewirkt eine Zunahme der Durchbiegung und damit des Zusatzmomentes usw. Ob sich daraus schießich eine endiche Durchbiegung ergibt, hängt von der Größe der Druckkraft ab. Bei Überschreiten der Euer schen Knickast wächst die Durchbiegung über ae Grenzen. Für das einfachste Finite Eement, das Stabeement ohne Biegesteifigkeit (Abb..), wird dieser Effekt, wie nachfogend beschrieben, berücksichtigt. Wegen der fehenden Biegesteifigkeit ist am unverformten System ein Geichgewicht mit der Last P nicht mögich. Am verformten ergibt jedoch die Summe der Momente um das inke Ende: F.w w 1 / D P (.) Nach P aufgeöst: F.w w 1 / D P (.) Bei den vorausgesetzten keinen Drehungen ist die Längskraft F ungefähr geich der Normakraft N, die sich wiederum as Spannung ma Fäche A ausdrücken ässt: A.w w 1 / D P (.) In Matrizenschreibweise autet das: A h 1 1 i " w 1 w # D P (.) Unter Einbeziehung der Längsverschiebungen u i und Berücksichtigung der Tatsache, dass die geiche Überegung auch für eine Querast am inken Knoten 1 mögich ist, ässt sich dies zu A ƒ 1 S u 1 w 1 u w D P 1 P (.)

4 18 Geometrisch nichtineares Verhaten erweitern. Ein Term, der eine Verknüpfung zwischen Verschiebungen und Kräften herstet, heißt Steifigkeit. Die Matrix S fät auch darunter, jedoch ist hier die Steifigkeit nicht von Materiaparametern abhängig, sondern von Spannungen, weshab S Spannungsversteifungsmatrix (eng. stress stiffening matrix) heißt. Die Spannung ist jedoch vorzeichenbehaftet. Eine Druckspannung führt aso zu einer Schwächung. Die Matrix S wirkt as Ergänzung zur Steifigkeitsmatrix K nach inearer Theorie, beim ebenen Fachwerkstabeement git aso: D P 1x P 1z P x P z C A C A u 1 w 1 u w (.8).. Warum Theorie. Ordnung? Im vorigen Kapite wurde die voständig inearisierte Kinematik benutzt. Warum ist dennoch von Theorie. Ordnung die Rede? Dazu wird das fogende Stabiitätsprobem auf zwei Arten geöst, zunächst durch Geichgewicht am verformten System und inearisierte Kinematik (Abb..). Das Geichgewicht am verformten System ergibt: PuD F f (.9) Abb.. Stabiitätsprobem mit inearisierter Kinematik P u P k F f

5 . Theorie. Ordnung, Geichgewicht am verformten System 19 Abb.. Stabiitätsprobem mit exakter Kinematik P u=sinφ P k (1-cosφ) cosφ φ Die Federkraft beträgt aso F f D ku (.1) PuD ku (.11).P k/u D (.1) Diese Geichung hat die Triviaösung u D und die nicht-triviae P D k (.1) Das ist die kritische Last des Systems, wei dann eine Verschiebung ohne Lasterhöhung mögich wird. Nun wird das Prinzip vom Minimum der potenzieen Energie, zuerst mit der voständigen Kinematik (Abb..), angewandt. Die Last P veriert an potenzieer Energie, während die Feder soche gewinnt. Zusammen muss sich ein Minimum ergeben: P.1 cos '/ C 1 k.sin '/! Min. (.1) Nun werden für die Winkefunktionen deren Tayor-Reihenentwickungen verwandt und nach dem Gied zweiter Ordnung abgebrochen: sin ' ' ˇ ˇ ' C Š cos ' 1 ' (.1) Š ˇ C Diese Theorie heißt aso. Ordnung, wei man bei der Anwendung von Energiemethoden Terme bis. Ordnung der Reihenentwickung von Winkefunktionen mitnehmen muss.

6 Geometrisch nichtineares Verhaten Damit wird aus (.1) ' P C 1 k.'/! Min. (.1) As notwendige Bedingung ergibt sich durch Abeiten nach ' P'C k ' D (.1). P C k/' D (.18) Daraus erhät man wieder as nicht-triviae Lösung die kritische Last (.1)... Lineares Beuen Da Theorien für die Berücksichtigung geometrischer Nichtinearität hinängich bekannt sind und einen größeren Gütigkeitsbereich haben, ist die wichtigste verbeibende Anwendung die ineare Eigenwert-Beuuntersuchung. G. (.8) autet in der symboischen Matrizenschreibweise:.K C S. // Ou D f ext (.19) Die Matrix S hängt inear von der Spannung ab, die Spannung bei Gütigkeit des Hooke schen Gesetzes wiederum inear von der Längskraft. Fogich ist die Spannungsversteifung infoge einer um einen Faktor gesteigerten Last f S..f // D S..f // D S..f // (.) Ein Stabiitätsprobem (Knicken oder Beuen) iegt vor, wenn durch eine Beastung f ein Spannungszustand erzeugt wird, sodass eine Verformung ohne eine weitere Lastaufbringung mögich wird. Aus (.19)wirddann.K C S. // D (.1) Es handet sich dabei um ein agemeines Matrizeneigenwertprobem. wird anstee von u verwandt, um den Eigenvektor zu kennzeichnen. Der Eigenwert stet den kritischen Lastmutipikator für die aufgebrachte Last, aso die Last, die zum Spannungszustand geführt hat, dar. Es handet sich jedoch bei f ki D f (.)

7 . Theorie. Ordnung, Geichgewicht am verformten System 1 nur um die kritische Last bei der ideaisierenden Annahme, dass es keine Imperfektionen (Vorkrümmungen, unberücksichtigte Lastausmitten, s. Abschn..) gibt und das Verhaten des Systems bis zum Beuen voständig inear ist, weshab dieses Lastniveau as ideae kritische Last bezeichnet wird. Tatsächich tritt bereits darunter Stabiitätsversagen ein. Wie das in der Simuation zu erfassen ist, wird in Kap. beschrieben. Der Eigenvektor, der den Vektor der unbekannten Verschiebungen ersetzt hat, gibt die Richtung an, in die sich das System bei Eintritt des Beuens verschieben wird. Dieser Zustand heißt Beueigenform. Sie ist nur bis auf einen Faktor bestimmt und wird daher normiert, z. B. so, dass die maximae Verschiebung 1 beträgt. Bei einer FE-Berechnung sind die durchzuführenden Schritte: Ag..1 Lineare Beuanayse a) voständig ineare statische Berechnung zur Ermittung des (Vor-)Spannungszustands, b) Ersteung der Spannungsversteifungsmatrix S, c) Lösen des Eigenwertprobems, in der Rege durch Vektoriteration!!. Die Eigenform kann wie ein gewöhnicher Verschiebungszustand dargestet werden. Andere Ergebnisgrößen wie Dehnungen oder Spannungen sind von untergeordneter Bedeutung; sie steen Inkremente mutipiziert mit einem unbekannten Faktor dar, aber sie können zur Feherabschätzung herangezogen werden ([, ]). Euerfa As Beispie wird hier der erste Euerfa untersucht, beidem ein Ende eingespanntund ein Ende frei ist (Abb..). Abb.. Stabknicken, 1. Euerfa F F

8 Geometrisch nichtineares Verhaten Für die Berechnung benötigt man ein Stabeement, das einen Dehnstab- und einen Biegebakenantei enthät. Das Geichungssystem autet so vor Einbau der Randbedingungen: D F C S./ C A u 1 w 1 ' 1 u w ' (.) Die Spannungsversteifungsmatrix für den Baken wird erst in Abschn... hergeeitet. Hier wird näherungsweise die Matrix S für den Fachwerkstab verwendet, wei das die Handrechnung ereichtert. Nach Berücksichtigung der Festhatung aer Freiheitsgrade des inken Knotens und Einsetzen für S auten die Geichungen: 1 1 C A u F 1 w C D A ' (.) Für Schritt a) in Ag..1 ist D, außerdem sieht man, dass der Dehn- und der Biegeantei entkoppet sind und für den Biegeantei die rechte Seite ist. Man erhät aus u D F (.) u D F (.)

9 . Theorie. Ordnung, Geichgewicht am verformten System Daraus ergibt sich für die Längsspannung D E. u 1 C u / D E F D F A ) A D F (.) Dieses Ergebnis wird in Schritt b) verwendet, sodass man für Schritt c) nach Mutipikation von S mit dem Lasterhöhungsfaktor, Ausführung der Addition in der Systemmatrix und Nusetzen des Lastvektors (wei es um eine Verschiebungsänderung ohne weitere Last geht) 1 1 F u w D (.8) ' erhät. Für die Handrechnung wird keine Vektoriteration durchgeführt, sondern der kassischen Betrachtungsweise gefogt: Da die rechte Seite geich nu ist, ist dieses Geichungssystem nur dann nicht-trivia ösbar, wenn die Determinante der Systemmatrix nu wird. Dies git, da Biege- und Dehnantei entkoppet beiben, nur, wenn die Unterdeterminante rechts unten nu wird: 8 det 1 F F 1 F D (.9) D ˇˇW (.) D 1 F D (.1) F D F ki D 1 (.) F ki D (.) Die anaytische Lösung autet, wei die Knickänge s k die zweifache Länge ist: F Euer ki D./ D ; (.) Mit zwei Eementen und der vereinfachten Spannungsversteifungsmatrix erhät man bereits ; =.

10 Geometrisch nichtineares Verhaten In der Handrechnung kann das Ergebnis von (.) aus dem Geichgewicht bestimmt werden. Soange es bei der Entkoppung beibt, kann in diesem und ähnichen Fäen Schritt a) übersprungen und auf der Basis von D C A C A (.) gerechnet werden. Zur Bestimmung des Eigenvektors, der Knickform, wird die Lösung (.)in(.8) eingesetzt, wodurch die unteren beiden Zeien des Geichungssystems inear abhängig werden. Die Lösung ist nicht mehr eindeutig. Eine Unbekannte muss daher gewäht werden: w D 1 (.) Die dritte Zeie des Geichungssystems autet dann: 1 C ' D (.) ' D (.8) w 1 ' 1 w ' sodass man den Eigenvektor D 1 (.9) erhät. Zur Darsteung der Eigenform wird mit den den berechneten Freiheitsgraden zugeordneten kubischen Ansatzfunktionen (N und N in Abschn...) mutipiziert: w./d 1 C 1 C 1 1 C C ; 1 1 (.) Zum Vergeich wird die anaytische Lösung w Euer./ D 1 sin C 1 (.1) herangezogen (Abb..), die von der Form her gut übereinstimmt.

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