1 PdvV für ein System aus starren Körpern

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1 Materiatheorie - LKM, Sekr. MS PdvV und PdvK Energiemethoden 06. Übungsbatt, WS 01/13, S. 1 1 PdvV für ein System aus starren Körpern Zur Bestimmung der fünf gesuchten Lagerreaktionen muss das System auf fünf verschiedene Weisen virtue verschoben werden. In jedem der Fäe muss die virtuee Arbeit verschwinden: δa = δb + δw Statik Starre Körper = 0 Freischnitt des Ausgangssystems: F A 1 δa = F A 1 δua F 1 δua = 0 F A 1 = F. F A δa = F A δwa = 0 F A = 0. M A δa = M A δϕ A = 0 M A = 0. F D 1 δa = F 1 δud F D 1 δud = 0 F D 1 = F. F D δa = F D δwd = 0 F D = 0

2 Materiatheorie - LKM, Sekr. MS PdvV und PdvK Energiemethoden 06. Übungsbatt, WS 01/13, S. PdvV für ein deformierbares System Für die virtuee Arbeit git noch immer δa = δb + δw. Im Unterschied zur ersten Aufgabe darf hier die virtuee Formänderungsenergie δw jedoch nicht agemein zu nu gesetzt werden, da es sich nach Voraussetzung um ein deformierbares System handet. für beiebige horizontae virtuee Verschiebungen δu und beiebige vertikae virtuee Verschiebungen δw. Für dieses System finden wir aso: δa = δw. (1) Die virtuee Arbeit der von Außen aufgeprägten Lasten ist δa = q(x)δw(x) dx + F 1 δu F δw Die virtuee Formänderungsenergie ergibt sich durch Variation der kompementären Formänderungsenergie W = 1 M (x) dx + 1 N (x) dx. EI EA Da es sich um inear-eastisches Materiaverhaten handet, git W = W. Mit M(x) = EIw (x) und N(x) = EAu (x) fogt W = EI (w (x) ) dx + EA (u (x) ) dx. Die Variation iefert: a δw = EI w (x)δw (x) dx + EA u (x)δu (x) dx. () Hinweis: Die beiebigen Funktionn δw(x) und δw(x) geben die virtueen Verschiebungen über den Baken an, die Größen δw und δu sind hingegen die Ausenkungen bei x =. Zur Gewähreistung der kinematischen Verträgichkeit wähen wir die inearen Funktionen δw(x) = δw x, δu(x) = δu x Hiermit fogt aus G. (), dass δw = EA δu x u (x) dx = EA δu u(x) x = 0. Letzteres git, da die Verschiebung in den Punkten x = 0 und x = aufgrund der Lagerung geich Nu ist. a Siehe bitte Lehrbuch bzw. Voresungs- und Übungsmitschriften für die genaue Berechnung.

3 Materiatheorie - LKM, Sekr. MS PdvV und PdvK Energiemethoden 06. Übungsbatt, WS 01/13, S. 3 Aus G. (1) erhaten wir dann x q 0 δw x dx + F 1δu F δw = 0 ( ) q 0 F δw + F 1 δu = 0 und daraus die gesuchten Lagerreaktionen F 1 = 0 F = q 0. Diese Lösung ergibt sich, da δu und δw inear unabhängig sind. Die Lösung kann für dieses System schne überprüft werden: Das Momentengeichgewicht um A iefert: M (A) = 0 q 0 + F = 0 F = q 0 3 Prinzip der virtueen Kräfte Zie: Berechnung der Verschiebung w 1. Hierzu wird eine virtuee Kraft δf im Punkt 1 eingeführt. Die erste Variation der virtueen Formänderungsenergie ergibt dann die Verschiebung an dieser Stee, aso: w 1 = δw δf. (3) Es git für die virtuee Kompementärarbeit: δa = δb + δw. Statik

4 Materiatheorie - LKM, Sekr. MS PdvV und PdvK Energiemethoden 06. Übungsbatt, WS 01/13, S. 4 Andererseits finden wir: δa = w 1 δf δw 1 = δ EI M (x) dx Die Momentenfächen assen sich per Aufziehverfahren bestimmen: Mit Geichung (3) erhaten wir dann: w 1 = δw δf = δ 1 δm M dx δf EI δf M(x) = 1 EI = 1 EI 0 { 1 4 w 1 = 11 q EI. q q 0 ( ) q 0 ( ) + 1 ( 3 ) q 0 ( ) + 1 ( 3 q 0 ) } () + 0 q 0 Eine Einheitenanayse führt zu dim[w 1 ] = N /m m 4 N/m m = m. 4

5 Materiatheorie - LKM, Sekr. MS PdvV und PdvK Energiemethoden 06. Übungsbatt, WS 01/13, S. 5 4 Hausaufgabe PdvV (a) Wir zähen neun Unbekannte. Diese sind mit drei Geichungen für jeden der drei Teikörper bestimmbar. (b) Die feste Einspannung im Punkt A schränkt drei Freiheitsgrade ein. Durch drei virtuee Verschiebungen, bei denen jeweis eine dieser Einschränkungen entfernt wird, assen sich mit δa = δb + δw = 0 Statik starre Körper die Lagerreaktionen berechnen. δu: δa = K 8 δu F δu = 0 K 8 = F δw: δa = F 1 δw K 7δw = 0 K 7 = F 1

6 Materiatheorie - LKM, Sekr. MS PdvV und PdvK Energiemethoden 06. Übungsbatt, WS 01/13, S. 6 δϕ: 1( ) δa = K 9 δϕ + F 1 δϕ = 0 K 9 = F 1