Diskretisierung I Einführung in die Finite Elemente Methode

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1 Diskretisierung I Einführung in die Finite Eemente Methode Prof. Dr.-Ing. Bernd Kröpin Dip.-Ing. Marc-André Hodapp Dip.-Ing. H. Matthias Deusche V Oktober 26 Universität Stuttgart Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen

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3 Inhatsverzeichnis 1 Eineitung 1 2 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes Eineitung Die virtuee Arbeit Die Arbeitsgeichung des gesamten Stabes Die virtuee Arbeit für ein Stabeement Die Ansatzfunktionen Die Diskretisierung Zusammenfassung Das Bakeneement Eineitung Die virtuee Arbeit Die Arbeitssgeichung des gesamten Bakens Die virtuee Arbeit eines Bakeneements Ansatzfunktionen Normierung der Ansatzfunktionen Die Diskretisierung Zusammenfassung Das Stabbakeneement Eineitung Die Arbeitsgeichung as Bindegied Zusammenfassung Federeemente Eineitung Das Dehnfedereement Das Drehfedereement Vorgespannte Federn

4 ii INHALTSVERZEICHNIS 5.5 Die Bettung eines Bakens Anmerkungen zu den Federn Zusammenfassung Die Transformation von Freiwerten Eineitung Hereitung der Transformationsmatrix Transformation des Eementes Transformation der Last Zusammenfassung Behandung des Gesamttragwerks Eineitung Assembierung zum Gesamtsystem Kinematische Randbedingungen Zusammenfassung

5 Kapite 1 Eineitung Ein Großtei der Probeme auf dem Gebiet der Natur- und Ingenieurwissenschaften ässt sich mittes Differentiageichungen beschreiben. In diese Kategorie faen nicht nur Aufgaben der Strukturmechanik, sondern auch der Ströhmungsehre und Thermodynamik. Die exakte Lösung, aso die Erfüung der Differenziageichung im gesamten Gebiet und auf der Berandung, ist für mehrdimensionae Probeme mit beiebiger Geometrie im Agemeinen nicht mögich. So sind exakte Lösungen im Bereich der Statik nur für Stabtragwerke (Kraft- und Weggrößenverfahren) und in Sonderfäen für Fächentragwerke bekannt. Zur Berechnung von Patten, Scheiben und Schaen kommen agemeingütige Näherungsverfahren zum Einsatz, die auf Arbeitssätzen oder Energieprinzipien beruhen (z.b. Ritz sches Verfahren, Prinzip der virtueen Kräfte bzw. Verschiebungen). Diese Ganzfedansätze sind auf Tragwerke von beiebiger Geometrie, beiebigen Berandungen, Steifigkeiten und Beastungen nur bedingt anwendbar, da sie wichtige Anforderungen an ein agemeines Berechnungsverfahren nicht erfüen: Anwendbarkeit auf beiebige Probemsteungen der Natur- und Ingenieurwissenschaften keine Einschränkung bezügich Geometrie der zu berechnenden Struktur auch krumminige Berandungen soen zuässig sein inear und nichtineare Theorien beiebige Beastungen veränderiche Steifigkeiten und ein schematischer Berechnungsabauf zwecks numerischer Umsetzung.

6 2 Eineitung Ein Berechnungsverfahren, das diese Anforderungen erfüt, ist die Methode der Finiten Eemente (FEM). Die Grundidee der FEM besteht darin, die Verformung des Gesamtsystems nicht mit Ganzfedansätzen zu beschreiben, sondern das Tragwerk gedankich in keine, endiche Eemente (Finite Eemente) aufzuteien, die an den Eementrändern miteinander verknüpft sind. Es genügt jetzt, Ansätze für die Verschiebung zu wähen, die nur in jedem einzenen Eement definiert sind. Die Weggrößen an den Eementknoten sind dann die zu bestimmenden Freiwerte des dikretisierten Tragwerks. Die numerische Umsetzung der FEM wird dadurch ereichtert, dass nach Wah der Eementform und der Ansatzfunktionen die einmaige Berechnung der Trageigenschaften eines Eementes vorab durchgeführt werden kann. Der anschiessende Zusammenbau der Eemente zu einem gegebenen Gesamtsystem erfogt schematisch und ist somit effizient automatisierbar. Auch innerhab der FEM werden die Freiwerte mit Hife von Arbeitssätzen bzw. Energieprinzipien berechnet. In dieser Voresung wird das Prinzip der virtueen Arbeiten (PvA) verwendet, zu deren Beschreibung das Prinzip der virtueen Verschiebungen (PvV) zum Einsatz kommt. Es zäht zu den Weggrößenverfahren, da die Verformungen as die Variaben dienen, die den Zustand des Systems beschreiben. Nachteiig erweisst sich diese Darsteung, wenn im auszuegenden Bautei weniger die Verformungen as die Spannungen von Interesse sind. Sie müssen mit einer Nachaufrechung aus der Differentiation der Verschiebungsansätze ermittet werden und sind somit ungenauer. Inhat dieser Voresung ist das Hereiten und Aufsteen der Arbeitsgeichung verschiedener eindimensionaer Finiten Eemente (Stab, Baken, Stabbaken und Federn) und die Darsteung des Tragverhatens mittes Steifigkeitsmatritzen (siehe Kap. 2-5). Um die Eemente im zweidimensionaen Raum verbauen zu können, ist es notwendig, an den Verbindungsknoten mittes Koordinatentransformation eine einheitiche Darsteung der Freiwerte zu erreichen (siehe Kat. 6). Die so vorbereiteten Eementsteifigkeitsmatritzen werden dann entsprechend der Geometrie des Gesamttragwerkes zusammengesetzt (siehe Kap. 7) und ergeben zusammen mit den Randbedingungen und Lastvektoren ein (im Rahmen dieser Voresung) ineares Geichungssystem, das es zu ösen git.

7 Kapite 2 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes 2.1 Eineitung In diesem Kapite wird die Steifigkeitsmatrix und der Lastvektor eines Stabeementes hergeeitet. Anhand dieses eindimensinaen Eements, das nur Beastungen in seiner Längsrichtung aufnimmt, wir die agemeine Vorgehensweise verdeuticht. Das angewendete Prinzip der virtueen Arbeit wird in den nachfogenden Kapiten auf weitere Eemente übertragen. 2.2 Die virtuee Arbeit Die Arbeitsgeichung des gesamten Stabes Das Prinzip der virtueen Arbeit kann für die Statik wie fogt ausgedrückt werden: Prinzip der virtueen Arbeit (PvA) Nehmen wir an, ein mechanisches System befinde sich unter der Einwirkung äußerer Kräfte und geometrischer Zwänge im Geichgewicht. Die Summe der gesamten virtueen Arbeit δw, weche durch innere und äußere Kräfte und beiebige, den vorgeschriebenen geometrischen Zwängungen genügende virtuee Verschiebungen hervorgerufen wird, ist Nu: δw = δw innere + δwäussere = (2.1)

8 4 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes Virtuee Arbeit entsteht durch die Mutipikation von tatsächichen Kräften mit gedachten virtueen Verschiebungen. Um die inneren und äusseren Arbeiten zu beschreiben, betrachten wir das Kräftegeichgewicht an einem infinitisima keinen Teichen eines Zugstabens, der sich im Geichgewicht befindet (Abb. 2.1). Abbidung 2.1: Zugstab mit äußerer Streckenast n und Einzekraft N Das Geichgewicht am herausgeschnittenen Teichen ergibt: N + n dx + N + dn = dn dx = n N, x +n = (2.2) Betrachten wir nun die Ränder des Zugstabes. Am rechten Ende wirkt eine Kraft N. Diese Kraft muss mit der inneren Kraft an dieser Stee im Geichgewicht sein. D.h. sie muss den betragsmäßig geich, jedoch in die entgegengesetzte Richtung orientiert sein. Die Geichgewichtsbedingung autet

9 2.2 Die virtuee Arbeit 5 aso: N N = (2.3) Da diese Randbedingung Kräfte betrifft, spricht man von einer Kraftrandbedingung. Am inken Ende ist der Zugstab fest geagert. Hier kann man eine Beziehung zwischen der Verschiebungen im Inneren des Stabes u und der äußeren, am Rand voriegenden u formuieren. Die Randbedingung autet in diesem Fa: u u = (2.4) Diese Art der Randbedingung wird as Wegrandbedingung bezeichnet. Diese starke Form des Geichgewichts sie git für jeden Punkt des Stabes wird durch die Geichungen 2.2, 2.3 und 2.4 beschrieben und autet zusammengefasst: Gebiet: N, x +n = Kraftrand: N N = Wegrand: u u = Beim Aufbringen der virtueen Verschiebungenist zu beachten, dass diese virtueen Verschiebungen die geometrischen Zwängungen nicht veretzen und das Vorzeichen entsprechend der Orientierung des Koordinatensystems berücksichtigt wird. Mutipiziert man die virtueen Verschiebungen mit den tatsächichen Kräften, so wendet man eine Unterart des Prinzips der virtueen Arbeit an, nämich das Prinzip der virtueen Verschiebungen. Für dieses Prinzip ist die kinematische Konsistenz, aso die Vertägichkeit der virtueen Verschiebungen mit den geometrischen Zwängungen unbedingt notwendig. Es dürfen nur dort virtuee Verschiebungen aufgebracht werden, wo auch tatsächiche Verschiebungen mögich sind. Dadurch ist sicher gestet, dass beispiesweise an einer festen Einspannung keine virtuee Arbeit entsteht. Die Arbeitsgeichung 2.1 setzt sich aus innerer und äusserer Arbeit zusammen, während die Geichgewichtsbedingungen für ein Gebiet (G. 2.2) und die Ränder (G. 2.3 und 2.4) aufgestet sind. Daher wir im Fogenden die virtuee Arbeit mit diesen Kräften aufgestet und gezeigt, wie sich die Formuierung in innere und äussere Arbeiten aufspaten ässt, um der Ausgangsgeichung zu genügen. Da die Geichgewichtsbedingung des Gebiets (Geichung 2.2) für

10 6 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes ein infinitesimaes Teichen git, muss über das Gebiet integriert werden, um die Gesamtarbeit zu erhaten. Am Kraftrand erfogt in unserem Beispie keine Integration, da dieser nur aus einem Punkt besteht (G. 2.5). Am Kraftrand ist besonders auf das Vorzeichen der äußeren virtueen Arbeit zu achten. Da aut Abbidung 2.1 die äußere Kraft N die geiche Orientierung wie die Koordinate x (und somit auch die reaen und virtueen Verschiebungen in x-richtung u und δu) hat, muss die virtuee äußere Arbeit δun an diesem Rand positiv sein. Daher muss der Randterm in Geichung 2.5 positiv sein. Es ist zu beachten, dass nur eingeprägte Kräfte as Kraftrandbedingung berücksichtigt werden Reaktions- oder Lagerkräfte eisten keinen Beitrag. δw = δw Gebiet + δw Rand = = L L (N, x +n)δu dx + (N N) Rand δu (2.5) N, x δu dx + L nδu dx + N Rand δu N Rand δu Mit dem Satz von Gauß ab, x dx = [ab] a, x b dx ergibt sich: L L = [Nδu] Rand Nδu, x dx + nδu dx + N Rand δu N Rand δu L L = δu, x N dx + δun dx + δun Rand L L = δu, x σa dx + δun dx + δun Rand L L = δu, x σ da dx + δun dx + δun Rand A L = δu, x σ dv + δun dx + δun Rand V }{{}}{{} = δw innere Aus Geichung 2.6 erkennt man: δwäussere (2.6) Die virtuee innere Arbeit ist immer negativ. Sie setzt sich aus der virtueen Dehnung δɛ (in unserem Fa geich δu, x ) und der Spannung σ zusammen. In diesem Zusammenhang kann man sich an die innere Energie (Formänderungsenergie) Π = 1 σɛdv = 1 2 V 2 V Eɛ2 dv erinnern. Vergeicht

11 2.2 Die virtuee Arbeit 7 man die virtuee innere Arbeit und innere Energie, so stet man fest, dass 1. das Vorzeichen vertauscht ist, 2. der Übergang von der virtueen Dehnung δɛ auf die reae Größe ɛ as eine Integration aufgefasst werden kann. Die virtuee äußere Arbeit ist immer positiv. Sie wird mit den eingeprägten, äußeren Lasten bestimmt. Dabei werden diese Lasten eingefroren. Dies bedeutet, dass sich deren Richtung nicht ändert. Im Gegensatz zu Geichung 2.2 stet Geichung 2.6 nun die schwache Form des Geichgewichts des Stabes dar. Diese Form wird deshab as schwach bezeichnet, da das Geichgewicht nun nicht mehr in jedem infinitesimaen Punkt, sondern nur in integraen Sinn über den gesamten Stab erfüt sein muß. Mit Hife des Stoffgesetzes kann Geichung 2.6 weiter umgeformt werden. Mit dem Stoffgesetz wird der Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen hergestet an dieser Stee fießt das Materiaverhaten des Werkstoffes ein. Bei keinen Verformungen kann hierfür das Hooke sche Gesetz benutzt werden. Es stet die Spannungen und Dehnungen in einen inearen Zusammenhang. Für den Zugstab git: σ = Eɛ (2.7) Setzt man Geichung 2.7 in Geichung 2.6 ein so erhät man: L δu, x Eɛ dv + δun dx + δun Rand = (2.8) V unter der Annahme eines konstanten Stabquerschnitts A und eines konstanten E-Modus kann man weiterschreiben: L L δu, x Eɛ da dx + δun dx + δun Rand = A L EA δu, x AEɛ dx + L δu, x ɛ dx + L L δun dx + δun Rand = δun dx + δun Rand = (2.9) Unter Berücksichtigung der Kinematik, aso des Zusammenhangs von Veschiebung und Verzerrung, kann Geichung 2.9 weiter umgeformt werden. Bei

12 8 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes keinen Verformungen kann für den Zugstab der Zusammenhang ɛ = u, x angenommen werden. Damit ergibt sich für die virtuee Arbeitsgeichung 2.9 L L δw = EA δu, x u, x dx + δun dx + δun Rand = (2.1) Wie schon erwähnt, git Geichung 2.1 nur für die Gesamtbetrachtung des Zugstabes der Länge L. Betrachtet man einzene Steen auf dieser Länge, kann die Geichung veretzt sein. Aussagen, die diese Bereiche betreffen, besitzen eine fragwürdige Genauigkeit Die virtuee Arbeit für ein Stabeement An Stee des gesamten Stabes können wir uns auch den Stab in n e keine Bereiche unterteit vorsteen. Diese Bereiche nennt man Eemente. Unter Berücksichtigung der Eemente kann man das Prinzip der virtueen Arbeit des gesamten Stabes auch as Summe der einzenen Eementarbeiten auffassen. Somit kann man Geichung 2.1 auch as n e δw = δwi e (2.11) i=1 schreiben. δw e i bezeichnet dabei die virtuee Arbeit eines Eements i. Betrachten wir nun ein soches Eement etwas genauer. Zunächst so sich dieses Eement innerhab unseres Stabes befinden, auf seiner inken Seite durch einen Punkt A und auf seiner rechten Seite durch einen Punkt B beschränkt sein. Diese Punkte werden Knoten bezeichnet. Somit erstreckt sich das Eement von x A bis x B und hat eine Länge = x B x A. Unser Eement wird weiterhin durch eine äußere Zugstreckenast n beastet. Zusätzich greifen nun jedoch noch zwei einzene Zugkräfte in den Knoten A und B an. Abbidung 2.2 so diese Situation veranschauichen. Berechnen wir nun die

13 2.2 Die virtuee Arbeit 9 Abbidung 2.2: Teibereich eines Zugstabs mit äußerer Streckenast n und Einzekräften N A und N B virtuee Arbeit dieses Eements ausgehend von Geichung 2.5: δw e = = xb x A xb = EA = EA δu(n, x +n) dx + δu(n N) x B xa x A δu, x N dx + xb x A δu, x ɛ dx + xb xb x A δu, x u, x dx + x A xb δun dx + δun x B xa x A xb x A δun dx + δun x B xa δun dx + δun x B xa Führt man nun eine neue Variabe s = x x a ein und substituiert diese in die Integraausdrücke der virtueen Arbeit des Eements, so ergibt sich 1 δw e = EA δu, s u, s ds + δun ds + δun (2.12) Um zur Berechnung beiebig anger Eemente stets auf die sebe Formuierung zurückgreifen zu können, wird eine dimensionsose Länge ξ eingeführt. 1 ds dx = 1 und d dx = d ds ds dx.

14 1 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes Abbidung 2.3: Zusammenhang zwischen Länge x und dimensionsoser Länge ξ Wie man Abbidung 2.3 entnehmen kann, git 1 ξ = s dξ ds = 1 d ds = d dξ dξ s ξ = s s = ξ (2.13) dξ = 1 ds ds = dξ (2.14) d ds = d 1 dξ Substituiert man in 2.12 aso s durch ξ, so erhät man δw e = EA = EA 1 δu, ξ u, 1 ξ dξ + δu, ξ u, ξ dξ + δun dξ + δun 1 (2.15) δun dξ + δun 1 (2.16) In Geichung 2.16 kann man nun deutich erkennen, dass die Ordnung der Abeitung der reaen und der virtueen Verschiebungen in dem Term der virtueen inneren Arbeit geich ist. Diese bei Finiten-Eementen grundegende Eigenschaft wurde durch die Benutzung des Satzes von Gauß bei der Umformung von Geichung 2.5 in Geichung 2.6 herbeigeführt. Somit ist sichergestet, das die sogenannte Gaerkin 2 -Methode zur Anwendung kommen kann 2 Boris Grigorievich Gaerkin ( ) veröffentichte 1915 die nach ihm benannte Methode zur näherungsweisen Integration von Differentiageichungen

15 2.3 Die Ansatzfunktionen 11 sie verwendet für die virtuee und tatsächiche Verschiebungen die sebe Ansatzfunktion. 2.3 Die Ansatzfunktionen Unser Zie ist, ein gegebenes statisches Probem voständig zu ösen. Einerseits sind wir an den auftretenden Kräften (oder Spannungen) interessiert, andererseits woen wir auch die Verformung (aso Verschiebungen oder Dehnungen) bestimmen. Bei einem statisch bestimmten Probem reicht für die Berechnung der äußeren Kräfte das Geichgewicht schon aus. Die Verformung muss jedoch über einem anderen Weg erhaten werden. Mit diesem Zie vor Augen ist die reae Verschiebung u in Geichung 2.16 as gesuchte Unbekannte anzusehen. Nun stet dieser Ausdruck die virtu- Abbidung 2.4: Verschiebung ee innere und äußere Arbeit an einem Zugstabeement der Länge dar. Zieht man, wie in Abbidung 2.4 gezeigt, an diesem Zugstab so werden sich die einzenen Teichen in dem Stab in Abhängigkeit von ihrer Position unterschiedich verschieben. Gesucht ist demnach eine Verschiebungsfunktion u(s), die die Arbeitsgeichung 2.16 erfüt und entsprechen dem Ausdruck 2.12 einma differenzierbar sein muss. Da man nicht weiß, wie die Verschiebung u(s) im Zugstab genau aussieht, wäht man den einfachsten Ansatz der diese Bedingung erfüt: den inearen Ansatz. u(s) = c 1 s + c für s : [, ] Um dies für Stäbe beiebiger Länge benutzen zu können, ist es auch hier ratsam die dimensionsose Läge ξ einzuführen. Mit Geichungen 2.13 erhät man dann u(ξ) = c 1 ξ + c für ξ : [, 1] (2.17)

16 12 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes Durch die geeignete Wah der zwei Parameter c und c 1 kann nun jede beiebige ineare Funktion dargestet werden. Nehmen wir nun einma an wir wüssten wie groß die Verschiebungen am inken und am rechten Rand unseres Zugstabes sind und wir bezeichneten diese Verschiebungen mit û A und û B (siehe Abbidungen 2.4 und 2.5). Desweiteren akzeptieren wir die Annahme, dass der Verschiebungsverauf in dem Stab inear sei. Dadurch ist es mögich die Parameter c und c 1 in Geichung 2.17 zu bestimmen. Es git: inker Rand: s = ξ = : u() = û A = c 1 + c = c c = û A rechter Rand: s = ξ = 1 : u(1) = û B = c c = c û A c 1 = ûb û A Setzt man dies wieder in den Verschiebungsansatz (Geichung 2.17) ein, so erhät man: u(ξ) = ûb û A ξ + û A = (1 ξ) û A + ξ û B = [ (1 ξ) ξ ] [ ] û A û B = [ ] [ ] û φ A φ A B û B (2.18) = φ T ẑ (2.19) Die Terme des iegenden Vektors φ T in Geichung 2.18 werden Ansatzfunktionen genannt. Die Bestandteie des stehenden Vektors ẑ werden as Freiwerte bezeichnet. Bei Finiten-Eementen gibt es immer genau so viee Ansatzfunktionen wie Freiwerte. Die Freiwerte befinden sich immer an bestimmten Steen eines Finiten Eements, den Knoten. In unserem Fa hat unser Stabeement 2 Knoten, nämich die Knoten A und B. Sie befinden sich an den Rändern des Stabeements (s. Abbidung 2.5). Auch dies ist eine charakteristische Eigenschaft der Finiten-Eemente, denn es ist für sie typisch, dass ein Tei ihrer Knoten auf ihren Rändern bzw. in ihren Ecken iegen, da so die Eemente miteinander verbunden werden können. Beim Betrachten der Ansatzfunktionen fät auf, dass ihr maximaer Wert 1 beträgt und dieser Wert auch nur an einer Stee, nämich einem Knoten oder genauer gesagt für einen Freiwert, auftritt. Am anderen Knoten hat die jeweiige Ansatzfunktion den Wert. Daher bezeichnet man diese Ansatzfunktionen, im Gegensatz zu dem Ansatz in Geichung 2.17, as normierte

17 2.3 Die Ansatzfunktionen 13 Abbidung 2.5: Normierte, ineare Ansatzfunktionen für den Stab Ansatzfunktionen. Dies ist ebenfas eine Eigenschaft der Finiten-Eemente. Die normierten Ansatzfunktionen haben nur an einem Freiwert den Wert 1, an ae übrigen Freiwerten ist ihr Wert. Addiert man die Ansatzfunktionen φ A und φ B zusammen, so ergibt sich der konstante Wert 1. Grafisch ausgedrückt ergeben die Ansatzfunktionen zusammen ein Pateau wie in Abbidung 2.5 dargestet. In unserem Fa bedeutet dies, daß sich die Knoten A und B um den geichen Betrag in

18 14 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes die geiche Richtung bewegen können. Dadurch wird in dem Stabeement keine Dehnung hervorgerufen, sondern das kompette, unverformte Eement um den entsprechnenden Betrag verschoben. Eine soche Verschiebung nennt mn Starrkörperverschiebung. Im agemeinen dreidimensionaen Raum können ungehinderte Körper 6 Starrkörperbewegungen ausführen: 3 Starrkörperverschiebungen und 3 Starrkörperdrehung. Die Fähigkeit zur Abbidung dieser Starrkörperbewegungen durch eine konstante Summe der entsprechenden Ansatzfunktionen ist ebenfas eine Eigenschaft der Ansatzfunktionen für finite Eemente Geichung 2.19 ist edigich eine kompakte Darsteung der Verschiebung u(ξ) in einem Eement. In Zukunft woen wir ae iegenden Vektoren durch den Superskript T kennzeichnen. Ein stehender Vektor ist dann einfach ein Vektor ohne Superskript. Mit Geichung 2.19 hat man nun schon etwas in der Hand das in den Arbeitsausdruck 2.16 einsetzen kann. Man muss die Verschiebung u(ξ) edigich nach ξ abeiten. Um mit Geichung 2.16 weiterarbeiten zu können, benötigt man jedoch auch noch einen Ansatz für die virtuee Veschiebung δu. Prinzipie ist es mögich für δu einen beiebige Ansatz zu verwenden. Gaerkins Idee fogend, verwenden wir jedoch geiche Ansätze für die virtuee und reae Verschiebungen u, da diese zwangsweise kinematisch verträgich sind. Anaog zu Geichung 2.19 erhät man für die virtueen Verschiebungen: δu(ξ) = [ (1 ξ) ξ ] [ ] δû A δû B = [ ] [ ] δû φ A φ A B δû B (2.2) = φ T δẑ (2.21) Leiten wir nun aso die reaen und virtueen Verschiebungen nach ξ ab. Hierbei beachten wir aerdings, dass die Freiwerte zwar unbekannt, aber konstant

19 2.4 Die Diskretisierung 15 bezügich ξ sind. Daher können Sie aus der Kammer herausgezogen werden. du(ξ) dξ = d ( [φa ] [ ]) û φ A B dξ û B = [ ] ] [ûa φ A φ B,ξ û B = [ ] [ ] û φ A, ξ φ B, A ξ û B = [ ] [ ] û (1 ξ), ξ ξ, A ξ = [ 1 1 ] [ ] û A û B û B (2.22) = φ, T ξ ẑ (2.23) Anaog kann auch bei der virtueen Verschiebung vorgegangen werden, so dass man für sie auch erhät. d δu(ξ) dξ = [ 1 1 ] [ ] δû A δû B = φ, T ξ δẑ (2.24) 2.4 Die Diskretisierung Setzen wir nun die Ansatzfunktionen der reaen und virtueen Verschiebungen, d.h. die Geichungen 2.19, 2.23 und 2.24, in den Arbeitsausdruck 2.16 ein. Diesen Vorgang nennt man Diskretisierung, da hierbei kontinuieriche Größen durch bekannte Ansatzfunktionen und unbekannte Größen an einzenen, diskreten Punkten (den Knoten nämich) ersetzt werden. Wir erhaten für die virtuee Arbeit eines Eements: δw e = EA φ, T ξ δẑ φ, T ξ ẑ dξ + φ T δẑ n dξ + δu N 1 Die Freiwerte ẑ und δẑ hängen weiterhin nicht von ξ ab und müssen daher nicht unter dem Integra stehen. Aerdings steht der Vektor der virtueen Freiwerte δẑ zwischen den Vektoren der Ansatzfunktionen bzw. n, sodass er erst nach einer Umformung herausgezogen werden kann: φ, T ξ δẑ = (φ,t ξ δẑ)t =

20 16 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes δẑ T φ, ξ bzw. φ T δẑ = δẑ T φ. Diese Umformung ist eraubt, da die Mutipikation einen Skaar ergibt, der durch die Transposition unverändert beibt. Man erhät aso: δw e = δẑ T EA φ, ξ φ, T ξ dξ ẑ + δẑ T φ n dξ + δu N 1 }{{}}{{}}{{} (2.25) Formen wir nun die einzenen Terme weiter um. Term 1 stet die diskretisierte innere Arbeit des Eements dar. Ausgewertet erhät man: δẑ T EA φ, ξ φ, T ξ dξ ẑ = δẑ T EA = δẑ T EA = δẑ T EA = δẑ T EA = δẑ T EA [ ] 1 [ 1 ] 1 dξ ẑ 1 [ ] 1 1 dξ ẑ 1 1 [ 1 dξ ] 1 1 dξ 1 1 dξ 1 dξ ẑ [ ] [ξ] 1 [ ξ] 1 [ ξ] 1 [ξ] 1 ẑ [ ] 1 1 ẑ (2.26) 1 1 }{{} Steifigkeitsmatrix K Term 2 ist die diskretisierte Arbeit der auf das Eement wirkenden Streckenast. Um das Arbeitsintegra auswerten zu können, muss eine Annahme für die Streckenast getroffen werden. Wieder git, dass der Arbeitsterm nicht zu werden darf. Die einfachste Näherung, weche diese Bedingung erfüt, ist die Annahme eine konstanten Streckenast n im Eement: n = konstant Setzt man diese Annahme in den Term 2 ein und beachtet, dass ein konstanter Wert nicht von der dimensionsosen Länge ξ abhängt, dann kann die konstante Streckenast aus dem Integra herausgezogen wer-

21 2.4 Die Diskretisierung 17 den. Es git dann: δẑ T φ n dξ = δẑ T n = δẑ T n = δẑ T n 2 [ 1 1 φ dξ [ ] (1 ξ) dξ ξ ] (2.27) Nun hat unser Stabeement zwei Knoten. Entsprechend der Beschreibung des Verschiebungsfedes kann die Streckenast damit inear angenähert werden. Der Verauf der Streckenast wird wie das Verschiebungsfed durch Werte an den Knoten und ineare Ansatzfunktionen beschrieben und es können die geichen Ansatzfunktionen φ A und φ B benutzt werden. Anstee von zu bestimmenden Verschiebungen in den Knoten A und B hat man jetzt bekannte Knotenkräfte ˆn A und ˆn B. Der Term 2 wir dann wie fogt geschrieben: δẑ T φ n dξ = δẑ T = δẑ T = δẑ T = δẑ T φ φ T P ˆn dξ φ φ T dξˆn P ] ] [φa ] [ˆn φ φ B dξ A B ˆn B [ ] ] (1 ξ) [(1 ] [ˆn ξ) ξ dξ A ξ ˆn B [ [ 1 3 ξ3 ξ 2 + ξ] 1 [ 1 3 ξ ξ2 ] 1 [ 1 3 ξ ξ2 ] 1 [ 1 3 ξ3 ] 1 [ φa = δẑ T [ ] = δẑ T }{{} kinematisch konsistent diskretisierte Last ] [ˆn A ˆn B ] ] [ˆn A ˆn B (2.28) Da konstante Funktionen eine Teimenge von inearen Funktionen darsteen kann mit Geichung 2.28 überprüft werden, ob die konstante Näherung in Geichung 2.27 richtig berechnet wurde. Ist die Streckenast konstant, so haben ˆn A und ˆn B den geichen Wert ˆn. Es git dann: ˆn A = ˆn B = ˆn

22 18 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes Somit hat man für Geichung 2.28: δẑ T [ ] ] 2 1 [ˆn A = δẑ ˆn T [ ] ] 2 1 [ˆn B ˆn = δẑ T [ ] [ ] ˆn [ ] = δẑ T 3 ˆn 6 3 = δẑ T ˆn [ ] Der Term 3 beschreibt die durch die äußeren Einzekräfte N A und N B verrichtete Arbeit an den Eementrändern x A und x B. Da wir zunächst nur ein einzenes Eement betrachten, nehmen wir wie in Abbidung 2.1 gezeigt an, dass die Kräft an beiden Rändern angriffen. Am rechten Rand des Eements iegt aut Abbidung 2.5 der Knoten B. Somit eistet die Kraft N B auf der virtueen Verschiebung δû B eine virtuee Arbeit. Genauso verhät es sich mit dem Knoten A, so daß die Kraft N A auf der virtueen Verschiebung δû A eine virtuee Arbeit verrichtet. Der Term 3 kann aso wie fogt geschrieben werden: δu N 1 = δû A N A + δû B N = [ ] [ ] N δû A δû A B N B = δẑ T N (2.29) Die diskretisierte virtuee Arbeit des Eements 2.25 kann nun mit Hife der Terme 2.26, 2.28 und 2.4 umgeschrieben werden: [ ] [ ] δw e = δẑ T EA 1 1 ẑ + δẑ T 2 1 ˆn + δẑ T N { = δẑ T EA [ ] ] 1 1 [ûa + [ ] ] [ ]} 2 1 [ˆn A N + A ˆn B û B N B

23 2.5 Zusammenfassung Zusammenfassung Aufsteen der Arbeitsgeichung Mit dem Geichgewicht in Gebiet und auf Rand, dem Stoffgesetz und der Kinematik erhät man durch das Leisten von Arbeit auf virtueen Verschiebungen δu (Prinzip der virtueen Verschiebungen) für den gesamten Dehnstab der Länge L das Arbeitsintegra EA L δu, ξ u, ξ dξ + L δun dξ + δun Rand = Hereitung der normierten Ansatzfunktionen Die Ansatzfunktionen müssen so gewäht werden, dass: Dehnungen mindesten konstant sind, Starrkörperverschiebungen beschrieben werden können, Übergangsbedingungen von einem zum nächsten Eement erfüt sind. Somit ist eine mögiche Wah der ineare Ansatz bzg. eines Eement der normierten Länge 1 mit den Knotenverschiebungen in Achsrichtung û A und û B. u(ξ) = [ (1 ξ) ξ ] [ ] û A = φ T ẑ û B δu(ξ) = [ δû A δû B ] [ (1 ξ) ξ ] = δẑ T φ Diskretisierung der Arbeitsgeichung - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor Die Verschiebungsansätze werden in das Arbeitsintegra eingesetzt und dieses ausgewertet. Dabei wird der Vektor der reaen Freiwerte nach hinten und der Vektor der virtueen Freiwerte nach vorne aus dem Intera gezogen.

24 2 Ein Finites-Eement am Beispie des Zugstabes Man erhät für das Stabeement der Länge : die Steifigkeitsmatrix K δû A δû B û A [ EA EA û B EA EA ] den Lastvektor F (mit inearem Ansatz für die Streckenast und in positiver Richtung eingeprägten (aufgebrachten) Einzekräften) δû A [ 2 6 A + ˆn 6 B + N A ] δû B 6 A B + N B } {{ } Streckenast }{{} Einzekraft

25 Kapite 3 Das Bakeneement 3.1 Eineitung In diesem Kapite werden wir die Steifigkeitsmatrix und den Lastvektor eines Bernoui-Baken-Eements hereiten. Dieses eindimensionae Eement nimmt nur Kräfte in Querrichtung auf. Im Gegensatz zum Stabeement (vg. Kap.2) führen sie nicht zu einer Verängerung, sondern zur Biegung und Querverschiebung des Eements, es sind demzufoge zwei Freiwerte zur Beschreibung des Zustandes an einem Punkt notwendig. Wieder gehen wir bei der Hereitung in der Reihenfoge vor. Aufsteen des Prinzips der virtueen Arbeiten, Hereitung der normierten Ansatzfunktionen, und Diskretisierung 3.2 Die virtuee Arbeit Die Arbeitssgeichung des gesamten Bakens Wieder steen wir die Arbeitsgeichung mit Hife der drei Bestandteie Geichgewicht, Stoffgesetz und Kinematik auf. Betrachten wir zunächst wieder das Geichgewicht an einem Bakenteichen, für das jetzt sowoh ein Kräfte- as auch ein Momentengeichgewicht aufgestet wird: Dort git

26 22 Das Bakeneement Abbidung 3.1: Baken mit äußerer Streckenquerast q, Einzequerkraft Q und Einzemoment M für das Kräftegeichgewicht in z-richtung: Q + q dx + Q + dq = dq dx = q Q, x +q = (3.1)

27 3.2 Die virtuee Arbeit 23 für das Momentengeichgewicht in ϕ-richtung: M Q dx + qdx dx 2 + M + dm = dm dx + q dx 2 Q = M, x Q = (3.2) Bemerkenswert bei dieser Hereitung des Momentengeichgewichts ist die Vernachässigung des Streckenastterms. Da dieser Term im Momentengeichgewicht in 2. Ordnung (aso im Vergeich zu den übrigen Termen höherer Ordnung) auftritt, kann dieser Term hier vernachässigt werden. Betrachten wir nun den Rand genauer. Wie beim Stab müssen die innere Kraft und das innere Moment geich den äußeren Kräften und Momenten sein. Aus diesem Grund auten die Geichgewichtsbedingungen am rechten Rand: Q Q = M M = Am inken Rand hat man eine Wegrandbedignung: der Baken ist fest eingespannt und somit sind die Durchbiegung w und die Verdrehung ϕ geich. Setzt man nun Geichung 3.1 in Geichung 3.2 ein, so erhät man mit den Geichgewichtsbedingungen am Rand fogende Aussage für das Geichgewicht: Gebiet: M, xx +q = Kraftrand: Q Q = M M = Mit Hife des Stoffgesetzes und der Kinematik kann M, xx weiter umgeformt werden. Das Stoffgesetz, weches die Dehnungen mit den Spannungen verknüpft, ist wiederum das ineare Hooke sche Gesetz. Es git aso: σ xx = Eɛ xx (3.3) Für die Kinematik wird zunächst die Annahme getroffen, dass die Querschnitte A des Baken auch während der Durchbiegung eben und senkrecht auf der Bakenachse beiben. Diese Annahme wird as Bernoui-Hypothese bezeichnet. Sie hat zur Foge, dass sich die Dehnung in Bakenachsenrichtung ɛ xx inear über die Höhe des Bakens ändert. Daraus fogt ɛ xx (z) = ɛ z z

28 24 Das Bakeneement Mit dem Hooke schen Gesetz aus Geichung 3.3 kann die geiche Aussage für die Spannung in x-richtung getroffen werden σ xx (z) = σ z z (3.4) Betrachtet man nun unter Berücksichtigung der Spannung σ xx (z) die Geichgewichtsbeziehungen an einem Bakenteichen (siehe Abbidung 3.2), so erhät man für die Normakraft 1 N + A σ xx da = (3.5) das Moment M + zσ xx da = A Mit Hife des inearen Spannungsveraufs aus Geichung 3.4 kann die Momentengeichgewichtsbeziehung umgeschrieben werden: M = zσ xx da A = σ z 2 da z = σ z I y A = σ xx(z) I y z 1 Da im Baken nur Querkräfte und keine Normakräfte existieren, muss mit Geichung 3.5 geten N = A σ xx da = Mit Geichungen 3.4 erhät man: σ N = zda A z = σ zda z A }{{} Fächenschwerpunkt z s = σ z z s = z s = Der Fächenschwerpunkt iegt aso auf der neutraen Faser.

29 3.2 Die virtuee Arbeit 25 Abbidung 3.2: Kräfte und Momentengeichgewicht in einem Bakenquerschnitt Hierbei ist I y = zda das Fächenträgheitsmoment. Nutzt man nun wieder A das Stoffgesetz 3.3 aus: M = Eɛ xx(z) I y z ɛ xx (z) = M (3.6) z EI y Abbidung 3.3: Kinematik am Baken Betrachten wir nun wieder die Geometrie des Bakens und steen zunächst den Zusammenhang zwischen der Durchbiegung w und der Verdrehung ϕ her. In Abbidung 3.3 erkennt man, dass der Steigungswinke z tan α = im x x = dw dx entgegen der Verdrehung ϕ orientiert ist. Aso git für keine Verdrehungen mit tan α α: ϕ = w, x (3.7) Git die Bernoui-Hypothese, so neigen sich unter Biegebeastung zwei ursprüngich paraee Querschnittsfächen im Abstand dx um einen Winke dϕ gegeneinander. Mit Hife des okaen Biegeradius R git: Rdϕ = ds = 1 + w, 2 xdx (3.8)

30 26 Das Bakeneement Haben wir wieder keine Verdrehungen, so kann der quadratische Term w, 2 x vernachässigt werden und man erhät Rdϕ = dx Desweiteren git für das verformte Biegebakenteichen Somit erhät man für den Biegeradius zdϕ = ɛdx 1 R = ɛ z (3.9) Zie der Kinematik ist ja die Dehnungen mit den Verschiebungen zu verknüpfen. Aus diesem Grund so der Biegeradius durch Verschiebungs- oder Verzerrungsgössen ausgedrückt werden. Nun ist der Biegeradius R nichts anderes as der Krümmungsradius. Dieser ist definiert as der absoute Kehrwert der Krümmung κ: R = 1 κ Die Krümmung ist wiederum definiert as der Grenzwert des Verhätnisses des Winkes α zwischen den positiven Richtungen der Tangenten in zwei Punkten eines Bogens zu der Länge des Bogens s. Aso: α κ = im δs s = dα ds Abbidung 3.4: Krümmung des Bakens Da in Abbidung 3.4 aufgrund der Wah des Koordinatensystem der Tangentenwinke über der Bogenänge abnimmt, besitzt der Baken eine negative Krümmung. Es git daher: κ = 1 R (3.1)

31 3.2 Die virtuee Arbeit 27 Mit Hife der infinitesimaen Bogenänge ds aus Geichung 3.8 erhät man dann im Agemeinen für die Krümmung: κ = w, xx (1 + w, 2 x ) 3/2 Bei keinen Verdrehungen wird jedoch wieder w, 2 x vernachässigt, so dass dann für die Krümmung κ = w, xx (3.11) git. Geichung 3.11 kann nun in Geichung 3.1 und das Ergebnis in Geichung 3.9 eingesetzt werden. Man erhät dann w, xx = ɛ z Unter Berücksichtigung von Geichung 3.6 kann nun eine Verbindung zu dem Moment hergestet werden. Es git: w, xx = M EI y (3.12) Unter Berücksichtigung von Geichung 3.12 erhät man as Geichgewichtsbedingungen: Gebiet: EI y w, xxxx +q = Kraftrand: Q Q = M M = Mit diesen Geichgewichtsbedingung wird nun die virtuee Arbeit gebidet, indem wiederum virtuee Verschiebungen jetzt δw mit tatsächichen Kräften und zusätzich virtuee Verdrehungen δϕ mit tatsächichen Momenten mutipiziert werden. δw = δw Gebiet + δw Rand = L δwei y w, xxxx dx + L δwqdx + δw(q Q) Rand + δϕ(m M) Rand = Auch hier erkennt man wieder, dass die innere Arbeit ein negatives und die äußere Arbeit ein positives Vorzeichen besitzt. Der Grund hierfür iegt wieder in der Orientierung der virtueen Verschiebungen. Wie beim Stab auch haben hier die virtueen Verschiebungen die Richtung der eingeprägten, äußeren Beastung. Somit werden positive Arbeiten verrichtet. Die inneren

32 28 Das Bakeneement Kräfte sind Reaktionskräfte zu den äußeren Beastungen. Daher sind sie entgegen den äußeren Kräften orientiert. Sie eisten aso auf positiven, virtueen Verschiebungen negative Arbeiten. Wie schon beim Stab haben wir das Probem, dass die Abeitungen ungeich auf die reaen und virtueen Verschiebungen verteit sind. Diesma wird dieses Probem durch zweimaige partiee Integration geöst. Es git dabei: L L δwei y w, xxxx dx = [δw EI y w, xxx ] L δw, x EI y w, xxx dx L = [δw Q] L {[δw, x EI y w, xx ] L δw, xx EI y w, xx dx} = [δwq] L [δϕm] L + Somit erhät man für die Arbeitsgeichung δw = L δw, xx EI y w, xx dx + L δw, xx EI y w, xx dx δwqdx + δwq Rand + ( δw, x )M Rand = Die virtuee Arbeit eines Bakeneements (3.13) Anaog zum Stab, kann man sich die virtuee Arbeit des Gesamtbakens as Summe einzener Teiarbeiten vorsteen. Es git aso immer noch n e δw = δwi e (3.14) i=1 wobei δwi e die virtuee Arbeit eines Bakeneements beschreibt. Ein soches Eement wird z.b. durch die Koordinaten x A und x B begrenzt und hat somit die Länge = x B x A. Es ist einer Streckenbeastung q, Einzequerkräften und -momenten an seinem Rand unterworfen. Abbidung 3.5 stet den betrachtenten Bakenbereich dar. Durch eine anaoge Vorgehensweise wie beim Gesamtbaken oder beim Stab, kann nun die virtuee Arbeit des betrachteten Bakenbereichs durch xb xb δw e = δw, xx EI y w, xx dx + δwqdx + δwq x B xa + ( δw, x )M x B xa x A x A (3.15) = δw, ss EI y w, ss ds + δwqds + δwq + ( δw, s )M (3.16)

33 3.3 Ansatzfunktionen 29 Abbidung 3.5: Baken mit äußeren Streckenquerast q, Einzequerkräften Q A,Q B und Einzemomenten M A, M B angeben werden 2. Wie beim Stab wird im nächsten Schritt die Durchbiegung w durch ausgewähte Funktionen angenähert. 3.3 Ansatzfunktionen Da keiner der im Arbeitsausdruck 3.16 vorkommenden Terme zu werden darf, erfordert die zweimaige Abeitung von w einen Ansatz von mindestens 2. Grad, aso der Form w(s) = c 2 s 2 + c 1 s + c. Bidet man mit diesem Ansatz das Moment über Geichung 3.12, M = EI y w, xx = EI y w(s), ss = EI y (c 2 s 2 + c 1 s + c ), ss = 2c 2 EI y 2 Es git wieder s = x x A und somit ds dx = 1, d dx = d ds ds dx bzw. d2 dx = d d 2 s ds dx 2 + d2 ds 2 ( ds dx )2

34 3 Das Bakeneement die Querkraft über Geichung 3.2 Q = M, x = M, s = (2c 2 EI y ), s = und die Streckenast quer zur Bakenachse mit Hife von Geichung 3.1 q = Q, x = Q, s = erkennt man, dass mit einem Ansatz 2.Grades keine innere Querkraft Q dargestet werden kann. Diese Einschränkung ist nicht hinnembar, demnach benutzen wir im Fogenden ein Poynom 3. Grades w(s) = c 3 s 3 +c 2 s 2 +c 1 s+c Normierung der Ansatzfunktionen Wie im Fa des Stabs woen wir unser Finites Eement nicht nur für eine bestimmte Länge hereiten. Aus diesem Grund wird die Länge des Bakens wieder dimensionsos gemacht. Es git ξ = s dξ = 1 ds ds = dξ Somit erhaten wir dann den Durchbiegungsansatz der Form w(ξ) = c 3 3 ξ 3 + c 2 2 ξ 2 + c 1 ξ + c c 3 = [ 3 ξ 3 2 ξ 2 ξ 1 ] c 2 c 1 (3.17) c Damit Bakeneemente einfach miteinander verknüpft werden können, soen diese Eemente, wie die Stabeemente auch, Knoten an ihren Enden besitzen (siehe Abbidung 3.6). Nun hat ein Poynom 3. Grades 4 Parameter. Diese Parameter müssen nun mit Hife der Knotenfreiwerte bestimmt werden. Da unser Eement 2 Knoten besitzen so, muss jeder Knoten 2 Freiwerte

35 3.3 Ansatzfunktionen 31 Abbidung 3.6: Knotenfreiwerte des Bakeneements beinhaten 3. Da wir mit dem Ansatz die Durchbiegung w beschreiben woen, bietet sich diese Durchbiegung auch as eine Freiwertkategorie an den Knoten an. Im Fogenden bezeichnen wir deshab auch die Durchbiegung am inken Eementknoten mit ŵ A und die Durchbiegung am rechten Eementknoten mit ŵ B. Für die beiden verbeibenden Freiwerte so die Verdrehung ϕ benutzt werden. Die Verdrehung des inken Knoten wird mit ˆϕ A, die des rechten Knotens mit ˆϕ B bezeichnet. Mit Hife des Ansatzes 3.17, der Geichung 3.7 für die Verdrehung und der Durchbiegungs- und Verdrehungswerte am Rand können 3 2 Knoten mit 2 Freiwerten ergeben 4 Freiwerte insgesamt

36 32 Das Bakeneement nun die Parameter c, c 1, c 2 und c 3 bestimmt werden. Man erhät für den inken Rand: s = ξ = : w() = ŵ A = c c c 1 + c = c ϕ() = ˆϕ A = w(), s = w(), ξ dξ ds = 1 (3c c c 1 = c 1 rechten Rand: s = ξ = 1 : w(1) = ŵ B = c c c 1 + c = c c c 1 + c ϕ(1) dξ = ˆϕ B = w(1), s = w(1), ξ ds = 1(3c c ) = 3c 3 2 2c 2 c 1 Diese Beziehungen zwischen den Parametern c i und den vier Freiwerten können auch in Matrixschreibweise dargestet werden c 3 c 2 c 1 c ŵ A = ˆϕ A ŵ B ˆϕ B G c = ẑ Durch Inversion der Koeffizientenmatrix G kann der Parametervektor c berechnet werden. Diese Inversion ist jedoch nur mögich, da die Knotenfreiwerte ŵ A, ˆϕ A, ŵ B und ˆϕ B inear unabhängig sind. 4 1 c 3 1 ŵ A c 2 c 1 = 1 ˆϕ A ŵ B c ˆϕ B = ŵ A ˆϕ A ŵ B (3.18) ˆϕ B Setzt man nun Geichung 3.18 in den Ansatz 3.17 ein, so kann an jeder Position ξ des normierten Bakens die Durchbiegung w in Abhängigkeit der 4 Die Koeffizientenmatrix G ist in so einem Fa reguär, hat aso keinen Rangabfa.

37 3.3 Ansatzfunktionen 33 Knotenfreiwerte angegeben werden. w(ξ) = [ 3 ξ 3 2 ξ 2 ξ 1 ] ŵ A ˆϕ A ŵ B ˆϕ B = [ 2ξ 3 3ξ ( ξ 3 + 2ξ 2 ξ) 2ξ 3 + 3ξ 2 ( ξ 3 + ξ 2 ) ] ˆϕ A ŵ B ˆϕ B ŵ A = [ ] φŵa φ ˆϕA φŵb φ ˆϕB ˆϕ A ŵ B (3.19) ˆϕ B = φ T ẑ (3.2) Auf diese Weise erhät man, wegen der 4 Freiwerte, 4 normierte Ansatzfunktionen. Diese sind in Abbidung 3.7 dargestet. Diese Funktionen gehören zur Famiie der Hermite Poynome. Jede dieser Ansatzfunktionen stet den Antei des dazugehörenden Freiwertes an der Bakenbiegeinie dar. So setzt sich die Biegeinie eines am rechten Ende, aso im Knoten B, festgeagerten Bakens nur aus den Anteien der Ansatzfunktionen φŵa und φ ˆϕA zusammen. Um die Biegeinie zu erhaten, müssen diese Ansatzfunktionen mit ihren jeweiigen Gewichten, nämich ŵ A und ˆϕ A, mutipiziert und dann diese Terme addiert werden. Abbidung 3.8(a) so dies verdeutichen. Man erkennt hierbei, dass der Antei der Durchbiegung mit dem Antei der Verdrehung korrigiert wird um auf die Gesamtbiegeinie zu geangen. Demzufoge entspricht die Ansatzfunktion φŵa der Biegeinie eines Bakens, wecher rechts fest und inks nur vertika verschiebbar geagert ist und um die Strecke 1 in Richtung der Durchbiegung w an diesem Knoten verschoben wird. Da die Durchbiegung im Knoten A unseres Bakeneements nach unten positiv orientiert ist, muss diese Verschiebung ebenfas nach unten aufgebracht werden. Abbidung 3.8(b) iustriert diese Verformung. Vöig anaog verhät es sich mit der Ansatzfunktion φ ˆϕA. Sie beschreibt die Biegeinie des Bakens, wenn edigich eine Verdrehung des inken Knotens A um den positiven Wert 1 aufgebracht wird (siehe Abbidung 3.8(c)). Die Ansatzfunktionen entsprechen beim Biegebaken aso den Verformungen, die der Baken annehmen würde, wenn nur eine Einheitsverschiebung in Richtung eines Freiheitsgrades vorgeschrieben wäre. ŵ A

38 34 Das Bakeneement Abbidung 3.7: Ansatzfunktionen des Bakeneements (Hermite Poynome) Die Diskretisierung Die Diskretisierung der virtueen Arbeit des Bakenbereichs 3.16 erfogt wieder durch Einsetzen der Durchbiegung. Diese wurde ja in Geichung 3.19 durch die Ansatzfunktionen und Freiwerten ausgedrückt, wodurch die Diskretisierung zustande kommt. Zunächst muss in dem Arbeitausdruck die dimensionsbehaftete Koordinate x durch die dimensionsose Koordinate ξ substituiert werden. Man erhät

39 3.3 Ansatzfunktionen 35 (a) Einfuss der Ansatzfunktionen auf die Biegeinie (b) Einheitsverschiebung 1 ja (c) Einheitsverdrehung Abbidung 3.8: Die Ansatzfunktionen und die Biegeinie

40 36 Das Bakeneement dadurch: δw e = + = + = + d δw (d ds ds )EI d y ds (dw ds )ds δwqds + δwq δw + ( d ds )M d δw dξ (d dξ dξ ds )dξ ds EI d y dξ (dw dξ δwqdξ + δwq 1 + δϕm 1 δw, ξξ 1 2 EI yw, ξξ 1 2 dξ δwqdξ + δwq 1 + δϕm 1 = 1 δw, 3 ξξ EI y w, ξξ dξ + δwqdξ + δwq 1 + δϕm 1 dξ ds )dξ ds dξ Sind die E-Modu E und das Fächenträgheitsmoment I y über die Bakenänge konstant, so können sie vor das erste Integra gebracht werden. δw e = EI y + 3 δw, ξξ w, ξξ dξ (3.21) δwqdξ + δwq 1 + δϕm 1 (3.22) Im nächsten Schritt werden die reae und die virtuee Durchbiegungen w und δw durch die geichen Ansatzfunktionen ausgedrückt. Der Grund hierfür iegt wie bei dem Zugstab auch in dem Wunsch eine symmetrische Steifigkeitsmatrix zu erhaten. Wie bei dem Stab auch wird die virtuee Durchbiegung für das Einsetzen in die Arbeitsgeichung transponiert, so dass die Ausdrücke benutzt werden. w(ξ) = φ T ẑ δw(ξ) = δẑ T φ

41 3.3 Ansatzfunktionen 37 Setzen wir nun aso diese Durchbiegungen in die Arbeitsgeichung ein ein. δw = EI y + 3 (δẑ T φ), ξξ (φ T ẑ), ξξ dξ δẑ T φqdξ + δwq 1 + δϕm 1 Da nur die Ansatzfunktionen von ξ abhängen, nicht jedoch die sich in den Zustandsvektoren befindichen Knotenfreiwerte, können ẑ und δẑ T sowoh aus den Differentiationen, as auch aus den Integraen genommen werden. Man erhät für die obige Geichung: δw = δẑ T EI y } 3 {{ } 1 + δẑ T φqdξ } {{ } 2 φ, ξξ φ, T ξξ dξ ẑ (3.23) + {δwq 1 + δϕm 1 } }{{} 3 (3.24) Formen wir nun, wie beim Stab, die einzenen Terme weiter um: Term 1 stet wieder die diskretisierte innere Arbeit des Bakeneements

42 38 Das Bakeneement dar. Formt man sie weiter um, so ergibt sich: δẑ T EI y 3 = δẑ T EI y 3 = δẑ T EI y 3 = δẑ T EI y φ, ξξ φ, T ξξ dξẑ φŵa φ ˆϕA φŵb φ ˆϕB φŵa, ξξ,ξξ [ φŵa φ ˆϕA φŵb φ ˆϕB ],ξξ dξẑ φ ˆϕA, ξξ [ φŵb, ξξ φŵa, ξξ φ ˆϕA, ξξ φŵb, ξξ ] φ ˆϕB, ξξ dξẑ φ ˆϕB, ξξ [ 3 ( ξ)( ξ) ( ξ)(4 6ξ) ( ξ)(6 12ξ) ( ξ)(2 6ξ) (4 6ξ)( ξ) (4 6ξ)(4 6ξ) (4 6ξ)(6 12ξ) (4 6ξ)(2 6ξ) (6 12ξ)( ξ) (6 12ξ)(4 6ξ) (6 12ξ)(6 12ξ) (6 12ξ)(2 6ξ) (2 6ξ)( ξ) (2 6ξ)(4 6ξ) (2 6ξ)(6 12ξ) (2 6ξ)(2 6ξ) = δẑ T EI y }{{} Steifigkeitsmatrix ] dξẑ ẑ (3.25) Term 2 stet wieder die diskretisierte Arbeit der auf das Bakeneement wirkenden Streckenast dar. Wie beim Stab auch muss nun eine Annahme über den Verauf der Streckenast im Eement getroffen werden. Da unser Bakeneement 2 Knoten besitzt, kann ohne größeren Aufwand ein inearer Verauf der Streckenast quer zur Bakenachse dargestet werden. Weist man dem inken Knoten A eine Knotenstreckenastast ˆq A und dem rechten Knoten B eine Knotenstreckenast ˆq B zu, so kann eine ineare Streckenast mit Hife der Knotenstreckenasten und den Ansatzfunktionen des Verschiebungsfedes eines Stabes diskretisiert werden. 5 q(ξ) = (1 ξ)ˆq A + ξˆq B = [ (1 ξ) ξ ] [ˆq ] A ˆq B = φ T Pˆq 5 Dies ist mögich, wei das Verschiebungsfed u(ξ) eines Stabes ebenfas inear ist.

43 3.3 Ansatzfunktionen 39 Setzt man diesen Ausdruck in Term 2 ein, so erhät man: δẑ T φqdξ = δẑ T = δẑ T = δẑ T 6 φφ T dξˆq P 2ξ 3 3ξ ( ξ 3 + 2ξ 2 ξ) 2ξ 3 + 3ξ 2 ( ξ 3 + ξ 2 ) 21 9 ] 3 2 [ˆq A 9 21 ˆq B 2 3 Ist der Verauf der Streckenquerast konstant, git: ] [ ] [ˆq (1 ξ) ξ dξ A ˆq B (3.26) ˆq A = ˆq B = ˆq (3.27) Setzt man Geichung 3.27 in Geichung 3.26 ein, so ergibt sich: δẑ T ] [ˆq A = δẑ T ˆq B 6 = δẑ T 6 = ] [ˆq ˆq 21 9 [ ] ˆq ˆq Natürich sind auch andere Ansätze, wie z.b. ein quadratischer Ansatz, für die Diskretisierung der Streckenast denkbar. In einem sochen Fa müssen jedoch zusätziche Knoten eingeführt werden um die entsprechende Ansatzfunktion genügend genau zu erfassen. 6 6 Bei einem quadratischen Ansatz für die Streckenquerast hätte die Ansatzfunktion die Form q(ξ) = c 2 ξ 2 + c 1 ξ + c. Um diese Funktion genau angeben zu können müssen die 3 Parameter c, c 1 und c 2 bestimmt werde. Dafür werden die Werte der Funktion an 3 Steen, nämich den Knoten, benötigt.

44 4 Das Bakeneement Der Term 3 entspricht der, durch Einzekräfte und -momente erbrachten, Arbeiten. Entsprechend Abbidung 3.5 greifen an rechtem und inkem Bakenende je eine Kraft und ein Moment an. Somit kann man schreiben: δwq 1 + δϕm 1 = δw AQ A + δϕ A M A + δw B Q B + δϕ B M B (3.28) Q A = [ ] δw A δϕ A δw B δϕ B M A Q B (3.29) M B Durch anaoges Vorgehen wie beim Stab kann somit durch Einsetzen der Terme 1, 2 und 3 in den Arbeitsausdruck des Bakeneements die schwache Form des Geichgewichts für das Bakeneement aufgestet werden. Für den in Abbidung 3.5 dargesteten Bakenbereich autet dieses Geichgewichtsystem: δw e = δẑ T EI = δẑ T EI Q A M A Q B M B 21 9 ẑ + δẑt ˆq + δẑ T 2 3 ŵ A 21 9 ˆϕ A ŵ B + ] 3 2 [ˆq A ˆq B ˆϕ B 2 3 Q A M A Q B M B

45 3.4 Zusammenfassung Zusammenfassung Aufsteen der Arbeitsgeichung Mit dem Geichgewicht in Gebiet und auf Rand, Stoffgesetz und Kinematik erhät man durch das Leisten und Minimieren von Arbeit auf virtueen Durchbiegungen δw und virtueen Verdrehungen δϕ (Prinzip der virtueen Arbeit) für den Baken der Gesamtänge L das Arbeitsintegra δw = L δw, xx EI y w, xx dx+ L δwqdx+δwq Rand +( δw, x )M Rand = Hereitung der normierten Ansatzfunktionen Die Ansatzfunktionen müssen so gewäht werden, dass: Dehnungen mindesten konstant sind, Querkraft mindestens konstant ist Starrkörperverschiebungen beschrieben werden, Übergangsbedingunen von einem zum nächsten Eement erfüt sind. Somit sind eine mögiche Wah für den Durchbiegungsansatz Hermite Poynome 3. Grades. Freiwerte des 2 Knoten-Bakeneements mit von auf 1 normierten Länge sind die Knotendurchbiegungen ŵ A undŵ B und die Knotenverdrehungen ˆϕ A und ˆϕ B. w(ξ) = [ 2ξ 3 3ξ ( ξ 3 + 2ξ 2 ξ) 2ξ 3 + 3ξ 2 ( ξ 3 + ξ 2 ) ] ˆϕ A ŵ B ˆϕ B = φ T ẑ ŵ A

46 42 Das Bakeneement δw(ξ) = [ 2ξ 3 3ξ ] ( ξ δŵ A δ ˆϕ A δŵ B δ ˆϕ 3 + 2ξ 2 ξ) B 2ξ 3 + 3ξ 2 ( ξ 3 + ξ 2 ) = δẑ T φ Diskretisierung der Arbeitsgeichung - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor Die Verschiebungsansätze werden in das Arbeitsintegra eingesetzt und dieses ausgewertet. Dabei wird der Vektor der reaen Freiwerte hinter dem jeweiigen Integra aus dem Integra gebracht, der Vektor der virtueen Freiwerte wird vor das jeweige Integra gezogen. Man erhät für das Bakeneement: die Steifigkeitsmatrix K δŵ A δ ˆϕ A δŵ B δ ˆϕ B ŵ A ˆϕ A ŵ B ˆϕ B 12EI 3 6EI 2 12EI 3 6EI 2 6EI 4EI 2 6EI 2EI 2 12EI 6EI 3 12EI 2 6EI 3 2 6EI 2EI 2 6EI 4EI 2 den Lastvektor F (mit inearem Ansatz für die Streckenast und in positiver Richtung eingeprägten (aufgebrachten) Einzekräften) 21 δŵ A 6 A + 6ˆq 9 B + Q A 3 δ ˆϕ A 6 A B + M A 9 δŵ B 6ˆq A + 21ˆq 6 B + Q B δ ˆϕ B 2 6ˆq A + 6ˆq 3 B + M B } {{ } }{{} Streckenast Einzeast

47 Kapite 4 Das Stabbakeneement 4.1 Eineitung Mit der Hereitung des Stab- und des Bakeneements iegen ae Komponenten zur Erzeugung eines Eementes vor, das sich sowoh in Längs- und Querrichtung verformt as auch in Querrichtung verdreht. Dies erfogt durch eine Paraeschatung von Stab- und Bakeneement, die im Stabbaken resutiert. 4.2 Die Arbeitsgeichung as Bindegied Ausgangspunkt der Hereitung ist wieder die Arbeitsgeichung. Da sich ein Stabbakeneement sowoh in Längs- as auch in Querrichtung verformen so, muss auch in diese beiden Richtungen Arbeit geeistet werden. Da jedoch durch eine Dehnung in Längsrichtung keine Durchbiegung hervorgerufen wird, Längsdehnung und Durchbiegung aso nicht miteinander gekoppet sind, kann man einfach die beiden Arbeiten addieren um so auf die Gesamtarbeit zu kommen. Somit müssen für die Hereitung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors edigich die Steifigeitsmatrix und der Lastvektor des Bakens um die Freiwerte des Stabes erweitert werden und die entsprechenden Werte an den richtigen Steen eingetragen werden. Das Ergebnis ist in Abschnitt 4.3 zusammengefasst. Im Fogenden wird dieser Vorgang ausführich dargestet. Betrachten wir zunächst wieder die virtuee Arbeit des gesamten Stabbaken der Länge L.

48 δw = =δw Stab + δw Baken δw innere {}}{ L { δwäussere }}{ L = δu, x EAu, x dx + δun dx + δun Rand δw, xx EI y w, xx dx + δwqdx + δwq Rand + ( δw, x )M Rand }{{}}{{} = L δw Stab (δu, x EAu, x +δw, xx EI y w, xx )dx + L δw innere {}}{ L { δwäussere }}{ L δw Baken (δun + δwq)dx + δun Rand + δwq Rand + δϕm Rand Geht man nun auf einen Bereich des Stabbakens über, so kann man die virtuee Arbeit δw e schreiben as δw e = [δû A δŵ A δ ˆϕ A δû B δŵ B δ ˆϕ B] EA (1 ξ), ξ û A EI (2ξ 3 3ξ 2 + 1), 3 ξξ ŵ A EI ( ξ 3 + 2ξ 2 ξ), 3 ξξ EA ξ, ξ [(1 ξ), ξ (2ξ 3 3ξ 2 + 1), ξξ ( ξ 3 + 2ξ 2 ξ), ξξ ξ, ξ ( 2ξ 3 + 3ξ 2 ), ξξ ( ξ 3 + ξ 2 ), ξξ]dξ ˆϕ A û B EI 3 ( 2ξ 3 + 3ξ 2 ), ξξ EI 3 ( ξ 3 + ξ 2 ), ξξ + [δû A δŵ A δ ˆϕ A δû B δŵ B δ ˆϕ B] ˆn A ˆq A ˆn + B ˆq B N A Q A M A N B Q B M B ŵ B ˆϕ B 44 Das Stabbakeneement