TU Dortmund. Fakultät Maschinenbau Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler. Herbst 2014

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1 Herbst 2014

2 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 4) a) Das skizzierte Bakensystem besteht aus drei Bakenabschnitten I, II und III (jeweis Biegesteifigkeit EI und Dehnsteifigkeit EA ), ist wie dargestet geagert und wird an der Stee A durch eine horizontae Kraft F und ein Moment M beastet sowie durch eine Feder (Federkonstante c), weche in der dargesteten Lage entspannt ist, gestützt. z 1 x 1 EI I c III z 2 x 3 x 2 A z 3 M F II Bestimmen Sie das Potentia der inneren Kräfte Π i und das Potentia der äußeren Lasten Π a für das dargestete Bakensystem. Integrae soen nicht geöst und die zu berücksichtigenden Verschiebungsfunktionen nicht spezifiziert werden. Verwenden Sie die vorgegebenen Koordinatensysteme. (2,0 Punkte) Π = Π i +Π a mitπ i = EIw I (x 1) 2 dx EIw II (x 2) 2 dx EIw III (x 3) 2 dx cw III (0)2 und Π a = F w II (0) M w III (0)

3 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 4) b) Der skizzierte Träger (Biegesteifigkeit EI) ist wie dargestet geagert und wird inks durch eine Kraft F beastet. F z x EI Geben Sie ae kinematischen Randbedingungen an. (0,5 Punkte) w (0) = 0, w() = 0, w () = 0 Spezifizieren Sie damit einen für das Ritz-Verfahren zuässigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3. (1,5 Punkte) [ x ] 3 [ x ] ] 2 w(x) = a 1 [ [ oder w(x) = a [ x ] 3 [ x ] ] [ [x ] 3 oder w(x) = a [ x ] ]

4 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 4) c) Der skizzierte Biegeträger (Biegesteifigkeit EI) ist am inken Rand wie dargestet durch einfestagersowieeinedrehfeder(drehfederkonstantec T )geagertundwirddesweiteren durch eine inear veränderiche Streckenast (Ampitude q 0 ) beastet. q 0 c T x EI z Das Gesamtpotentia des Biegeträgers autet Π = 1 2 ˆ 0 EIw (x) 2 dx+ 1 2 c Tw (x = 0) 2 ˆ 0 q(x)w(x)dx Bestimmen Sie die Freiwerte a 1 und a 2 für den zweigiedrigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 x+a 2 x 2 unter Verwendung des Ritz-Verfahrens. Tragen Sie sowoh das Ergebnis für die Koeffizienten a 1 und a 2 as auch wesentiche Zwischenschritte der Rechnung auf der fogenden Seite ein. (4,0 Punkte) d) Geben Sie für das System aus c) das Drehfedermoment M T in Abhängigkeit gegebener Größen an. (2,0 Punkte) M T = 1 6 q 0 2

5 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 4 von 4) Lösung zu Aufgabentei c): [ q(x) = q 0 1 x ] w (x) = a 1 +2a 2 x w (x) = 2a 2 Π = 1 2 ˆ 0 4EIa 2 2dx+ 1 2 c Ta 2 1 ˆ Π a 1 = c T a q 0 2 = 0 a 1 = q 0 2 6c T Π a 2 = 4EIa q 0 3 = 0 a 2 = q EI 0 [ q 0 1 x ] [a1 x+a 2 x 2] dx

6 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Die rechts dargestete Kreisscheibe (Innenradius R, Außenradius 2 R) wird durch einen konstanten Innendruck p beastet. Der äußere Rand der Scheibe ist unverschiebich geagert. Das Materia, aus dem die Scheibe besteht, ist inear eastisch isotrop(eastizitätsmodu E, Querkontraktionszah ν). 2R R y p r ϕ x a) Die Airysche Spannungsfunktion F, weche zur Berechnung dieser rotations-symmetrischen Probemsteung angewandt werden kann, autet in ihrer agemeinen Form F = C 0 +C 1 n(r)+c 2 r 2 +C 3 r 2 n(r), wobei C i reee Koeffizienten darsteen. Die daraus fogenden Funktionen für die Spannungskomponenten σ rr und σ ϕϕ ergeben sich zu σ rr = C 1 r 2 +2C 2 +C 3 (1+2 n(r)), σ ϕϕ = C 1 r 2 +2C 2 +C 3 (3+2 n(r)). Im Fogenden ist C 3 = 0 sowie ein ebener Spannungszustand (ESZ) anzunehmen. Geben Sie die Dehnung ε ϕϕ in Abhängigkeit der übrigen Koeffizienten sowie die daraus fogende Verschiebungsfunktion u r (r) an. (2,0 Punkte) ε ϕϕ = 1 E (σ ϕϕ νσ rr ) = 1 ( C ) 1 E r (1+ν)+2C 2(1 ν) 2 u r (r) = ε ϕϕ r = 1 ( C ) 1 E r (1+ν)+2C 2r(1 ν)

7 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) NennenSie dierandbedingungenzur Bestimmung der Koeffizienten C 1 undc 2 undgeben Sie deren Werte an. (2,5 Punkte) Randbedinungen: σ rr (r = R) = p, u r (r = 2R) = 0 C 1 = p(1 ν2 )4R 2 5 3ν C 2 = p(1+ν) 2(5 3ν) b) Die radiae Verschiebung der Kreisscheibe ist nun durch die kinematisch zuässige Funktion u r = K r2 4R 2 r vorgegeben, wobei K einen reeen Koeffizienten darstet. Geben Sie die aus dieser Verschiebungsfunktion herzueitenden Dehnungen ε rr und ε ϕϕ in Abhängigkeit des Koeffizienten K an. (1,0 Punkte) ε rr = u r r = K r2 +4R 2 r 2 ε ϕϕ = u r r = K r2 4R 2 r 2

8 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie unter der Voraussetzung eines voriegenden ebenen Dehnungszustandes (EDZ) die daraus fogende Spannung σ rr in Abhängigkeit des Koeffizienten K an. (1,0 Punkte) σ rr = E 1 ν 2 (ε rr +νε ϕϕ ) = EK r 2 (1 ν 2 ) (r2 (1+ν)+4R 2 (1 ν)) Berechnen Sie aus der nicht-triviaen Spannungs-Randbedingung (siehe (a)) den Koeffizienten K. (1,0 Punkte) K = p(1 ν2 ) E(5 3ν) c) Gegeben ist die Airysche Spannungsfunktion F = C 1 r n(r) cos(ϕ)+c 2 ϕ 2 mit den reeen Koeffizienten C 1 und C 2. Geben Sie die daraus fogenden Spannungskomponenten σ rr, σ ϕϕ und σ rϕ an. (2,5 Punkte) σ rr = C 1 r cos(ϕ)+ 2C 2 r 2 σ ϕϕ = C 1 r cos(ϕ) σ rϕ = C 1 r sin(ϕ)+ 2C 2 r 2 ϕ

9 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System, bestehend aus einem in Punkt A geagerten, abgewinketen Rahmen und zwei geenkig angebrachten Stäben, befindet sich im Schwerefed. Ae Teistücke haben jeweis die Länge und die Masse m. In Punkt B greift eine Einzekraft F an. Ferner sind an dem System zwei Federn (Federsteifigkeit c) und eine Drehfeder (Drehfedersteifigkeit k) befestigt. Für q 1 =q 2 =0 sind ae Federn entspannt. F B,m g c NN,m k c q 1 A,m,m q 2 Steen Sie das Gesamtpotentia Π des Systems bezügich des angegebenen Nuniveaus NN in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) Π = 1 2 k(q 2 q 1 ) c(sin(q 1)+sin(q 2 )) c(sin(q 1)) 2 mg 2 sin(q 1) mg(sin(q 1 )+ 2 sin(q 2))+mg 2 cos(q 1)+ 3 2 mgcos(q 1) 2F(1 cos(q 1 ))

10 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System, ist das Gesamtpotentia durch [ 3 Π = k 2 q2 1 2q 1q 2 +q ] [ ] 5 4 sin2 (q 1 ) mg 2 sin(q 1)+sin(q 2 ) M q 2 +F cos(q 1 ) in Abhängigkeit einer Kraft F, eines Momentes M und der Freiheitsgrade q 1 und q 2 gegeben. Geben Sie die Geichgewichtsbedingungen dieses Systems an. (2,0 Punkte) Π q 1 =3kq 1 2kq sin(q 1)cos(q 1 )k mg 5 2 cos(q 1) Fsin(q 1 ) = 0 Π q 2 = 2kq 1 +2kq 2 mgcos(q 2 ) M = 0 Geben Sie zudem die Bedingungen für F und M an, so dass für q 1 =π/6 und q 2 = π/4 eine Geichgewichtsage besteht. (2,0 Punkte) F = 2kπ + 3k 4 mg 5 3 2, M = 5 6 kπ mg 2 2

11 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Abschießend so die Stabiität dieser Geichgewichtsage (q 1 =π/6, q 2 = π/4) für die von Ihnen errechneten Größen F und M für k = 4mg anaysiert werden. Treffen Sie eine Aussage darüber, ob diese Geichgewichtsage stabi ist. Begründen Sie diese Aussage durch entsprechende, eindeutige Terme im nachfogenden Kästchen. (2,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sote keine Begründung für die getroffene Aussage erfogen. D 11 = 2 Π q 2 1 = 3k cos2 (q 1 )k 1 2 sin2 (q 1 )k +mg 5 2 sin(q 1) Fcos(q 1 ) mit F = 2kπ + 3k 4 mg ergibt sich D 11 = 2,5664k+5mg = 5,2656mg < 0 nicht stabi!

12 Frühjahr 2014

13 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Der obere Baken (Länge 2, Biegesteifigkeit EI 1 ) des dargesteten Bakensystems wird von einer inear ansteigenden Streckenast q(x 1 ) mit dem Maximawert q 0 beastet. Der untere Baken (Länge 3, Biegesteifigkeit EI 2 ) wird bei x 2 = 3 von einer Feder (Federkonstante c) gestützt. Die Feder ist entspannt, wenn das Gesamtsystem unbeastet ist. Ae Baken sind dehnstarr (EA ), der vertikae Verbindungsstab ist zudem auch biegestarr (EI ). z 2 x 2 x 1 z 1 3,EI 2 II I 2,EI 1 q 0 EI EA c a) Geben Sie sämtiche kinematische Rand- und Übergangsbedingungen zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinien-Funktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) an. (2,5 Punkte) w I (x 1 = 0) = 0 w II (x 2 = 0) = 0 w I (x 1 = 0) = 0 w I (x 1 = 2) = w II (x 2 = 3) w I(x 1 = 2) = w II(x 2 = 3) = 0

14 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Spezifizieren Sie die Federkraft F c in Abhängigkeit der Bakenverschiebung an der Federangriffsstee x 2 = 3. Geben Sie zudem die konkrete Funktionfür q(x 1 ) an. (1,0 Punkte) F c = cw II (x 2 = 3) q(x 1 ) = q 0 2 x 1 c) Bestimmen Sie das Potentia Π i der inneren Lasten. Hinweis: Integrae soen nicht geöst werden und die Verschiebungsfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) soen nicht weiter spezifiziert werden. (1,5 Punkte) Π i = 1 2 ˆ2 0 EI 1 [w I(x 1 )] 2 dx ˆ3 EI 2 [w 2 II(x 2 )] 2 dx cw2 II(x 2 = 3) 0 Bestimmen Sie nun das Potentia Π a der äußeren Lasten. (1,5 Punkte) ˆ2 Π a = q(x 1 )w I (x 1 )dx 1 0

15 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotentia Π = ˆ EI[w (x)] 2 dx F w() und die Randbedingungen w(x = 0) = 0 und w (x = 0) = 0 gegeben. Ein mögicher Ritz-Ansatz autet w(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2. Bestimmen Sie zwei der Ansatz-Freiwerte durch Auswertung der Randbedingungen.(1,0 Punkte) w(0) = 0 b 0 = 0 w (0) = 0 b 1 = 0 Bestimmen Sie den verbiebenen Freiwert mittes des Rayeigh-Ritz-Verfahrens. Hinweis: wichtige Zwischenschritte bitte ebenfas in das Kästchen eintragen.(2,5 Punkte) Mit w(x) = b 2 x 2 w (x) = 2b 2 x w (x) = 2b 2 fogt Π = 1 ˆ 2 EI 4b 2 2 dx F b 2 2 = 1 2 EI 4b2 2 F b 2 2 und 0 Π b 2 = 0 = 4EIb 2 F 2 b 2 = F 4EI

16 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) DiedargesteteHabkreisscheibe (Dicket) wirdaufder Innenseite (Oberfäche Ω 0 )durch die konstante Fächenast p 0 und an der Oberfäche Ω 1 durch die konstante Fächenast p 1 beastet. p 1 O Ω 1 ϕ r i p 0 Ω 0 r a r a) Bestimmen Sie sämtiche Verschiebungs- und Spannungsrandbedingungen im angegebenen Poarkoordinatensystem (r, ϕ). (4,0 Punkte). Verschiebungsrandbedingungen: u r (r,ϕ = π) = 0 u ϕ (r,ϕ = π) = 0 Spannungsrandbedingungen: Ω 0 : σ rr (r = r i,ϕ) = p 0 σ rϕ (r = r i,ϕ) = 0 Ω 1 : σ ϕϕ (r,ϕ = 0) = p 1 σ rϕ (r,ϕ = 0) = 0 Ω 2 : σ rr (r = r a,ϕ) = 0 σ rϕ (r = r a,ϕ) = 0

17 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Die Habkreisscheibe (Innenradius r i = R, Außenradius r a = 2R, Dicke t, Zeichnung nicht maßstäbich) wird nun durch zwei entgegengesetzt wirkende Momente M 0 beastet. M 0 M 0 O Ω 1 ϕ r i r a Ω 0 r b) Die Airysche Spannungsfunktion für diese Probemsteung ist durch F = C 1 r 2 nr +C 2 r 2 C 3 nr+c 4 gegeben. Hierbei sind C 1, C 2, C 3 und C 4 nicht weiter spezifizierte Konstanten. Für die Spannungskomponenten σ rr und σ ϕϕ des ebenen Spannungszustands git σ rr = 2C 1 nr +2C 2 C 3 r +C 2 1 σ ϕϕ = 2C 1 nr +2C 2 + C 3 r +3C 2 1 Bestimmen Sie die Spannungskomponente σ rϕ. (1,0 Punkte). σ rϕ =0

18 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Bestimmen sie des Weiteren mittes des Cauchy-Postuats den Spannungsvektor t 1 auf dem Rand Ω 1. Geben Sie ebenfas die Randbedingungen für die Ränder Ω 0 und Ω 1 an. Nennen Sie auch soche Randbedingungen, weche im Mitte erfüt sein müssen. (3,0 Punkte). t 1 = σ ϕϕ e ϕ = 2C 1 nr 2C 2 C 3 r 2 3C 1 Randbedingungen: Ω 0 : Ω 1 : σ rr (r = R,ϕ) = 0 σ rϕ (r = R,ϕ) = 0 t ˆ 2R t R ˆ 2R R σ ϕϕ dr = 0 σ ϕϕ rdr = M 0 Geben Sie die Größe des Einzemomentes M 0 in Abhängigkeit von R, t und den Konstanten C 1, C 2, C 3, C 4 an. Geben Sie wichtige Zwischenschritte für die Berechnung des Endergebnisses an. Nutzen Sie dafür den Patz im unteren Kästchen. (2,0 Punkte) Hinweis: xnx = x2 4 ( 1+2nx) M 0 = t[c 1 R 2 (4 n(2r) n(r))+3c 2 R 2 +C 3 (n(2r) n(r))+3c 1 R 2 ]

19 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus 3 Teistäben. Am Punkt B, wecher sich genau in der Mitte von Stab 1 (Masse m 1, Länge 1 ) befindet, ist Stab 2 (Masse m 2, Länge 2 ) geenkig angebracht. Zusätzich sind an diesem Punkt die Stäbe 1 und 2 über eine Drehfeder der Drehsteifigkeit c T miteinander verbunden. AmPunkt Cgreift eine horizontaekraftf an, währendder horizontaebaken(masse m 3,Länge 3 ) durcheinefeder der Federsteifigkeit czwischen denpunktendundeabgestütztwird. DieFedernsindfürq 1 = π/2undq 2 = 0 ungespannt. A q 1 y m 1, 1 B c T g x q 2 m 2, 2 m 3, 3 F c E N.N C D a) Steen Sie das Gesamtpotenzia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) 1 [ π 2 Π = 2 c T q 2 +( 1)] 2 q c2 1[cos(q 1 )] 2 [ 1 m 2 g 2 sin(q 1) ] 2 2 cos(q 2) F c 1 cos(q 1 ) [ ] 1 + m 1 g 2 sin(q 1) +

20 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotenzia Π durch Π = M 0 q 1 + mg q mg 2 sin(q 1)[ sin(q 1 ) 2q 2 ] in Abhängigkeit eines eingeprägten Momentes M 0 und der Freiheitsgrade q 1 und q 2 gegeben. Die Geichgewichtsage des Systems so dabei für q 1 = π/4 bestehen. Geben Sie die Bedingungen für q 2 und M 0 an, so dass der angegebene Wert für q 1 tatsächich einen Geichgewichtszustand beschreibt. (3,0 Punkte) q 2 = 4 2 M0 = mg ( 1 ) 2 4 Abschießend so nun die Stabiität dieser Geichgewichtsage charakterisiert durch die angegebenen Werte für q 1 sowie Ihr Ergebnis für q 2 und M 0 anaysiert werden. Geben sie die dazu notwendige(n) und auf die Aufgabensteung spezifizierte(n) Größe(n) an und kassifizieren Sie die Art der vorgegebenen Geichgewichtsage unter Angabe einer eindeutigen Begründung. (3,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen(Fortsetzung auf nächster Seite) wird mit 0 Punkten gewertet, sote edigich die Art der Geichgewichtsage genannt werden. 2 Π q 1 q 1 = mg ( ) Π = 2mg q 2 q 2 2 Π 2 = mg q 1 q Π q 1 q 1 A = 2 Π q 2 q 1 A 11 = mg 2 Π q 1 q 2 2 Π q 2 q 2 ( ) ( ) 2+1 mg = 4 2 mg 2 2 mg 2 2mg > 0; det(a) = m 2 g > 0 = stabie Geichgewichtsage

21 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)

22 Herbst 2013

23 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das Bakensystem, bestehend aus dem horizontaen Baken I (Biegesteifigkeit EI/4, Gesamtänge 2 ) und dem vertikaen Baken II (Biegesteifigkeit EI/2, Länge /2) weist wie dargestet eine biegestarre Verbindungsstee auf und wird über eine horizontae Kraft F beastet. Für die Dehnsteifigkeiten der Baken so jeweis EA geten. Ae weiteren Größen und Zwangsbedingungen sind der Zeichnung zu entnehmen. x z 3 F z x 3 II /2 z 1 x 1 I a) Bestimmen Sie sämtiche kinematischen Rand- und Übergangsbedingungen des Systems. Wähen Sie dazu geeignete und unmissverständiche Bezeichnungen. (2 Punkte) Bakenabschnitte: w I,1 (x 1 ) Bereich: 0 x 1 w I,2 (x 1 ) Bereich: x 1 2 w II (x 3 ) Bereich: 0 x 3 /2 Rand-/Übergangsbedingungen: w I,1 (x 1 = 0) = 0 w I,1 (x 1 = 0) = 0 w I,2 (x 1 = 2) = 0 w I,2 (x 1 = 2) = 0 w I,1 (x 1 = ) = w I,2 (x 1 = ) w I,1 (x 1 = ) = w I,2 (x 1 = ) w I,1 (x 1 = ) = w II (x 3 = /2) w II (x 3 = /2) = 0 b) Bestimmen Sie für das gegebene System das Gesamtpotentia Π = Π i + Π a der inneren und äußeren Lasten. Integrae soen nicht geöst werden. Verwenden Sie die angetragenen Koordinatensysteme. (2 Punkte)

24 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) Π = 1 2 ˆ 0 F w II (x 3 = 0) ˆ2 EI 4 (w I,1(x 1 )) 2 dx+ EI 4 (w I,2(x 1 )) 2 dx ˆ/2 0 EI 2 (w II(x 3 )) 2 dx c) Der dargestete, zweiseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) so im Fogenden mittes des Ritz-Rayeigh Verfahrens berechnet werden. Ae weiteren Größen sind der Skizze zu entnehmen. z x q 0 q 0 x Unter Ausnutzung der Symmetrie ässt sich das Gesamtpotentia des Systems mit Π = 1 EIˆ ( w (x)) 2 dx 2 0 ˆ 2 3 q 1 0 w(x)dx 3 bestimmen. Spezifizieren Sie die Freiwerte a 0,a 1,a 2,a 3 der Ansatzfunktion w(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 unter Verwendung des Ritz-Rayeigh Verfahrens. Tragen Sie dazu die wesentichen Rechenschritte ebenfas in das fogende Kästchen ein. (6 Punkte) w(x = 0) a 0 = 0 w (x = 0) a 1 = 0 w (x = ) a 2 = 3 2 a 3 Π = 0 a 3 = 1 q 0 a 3 36EI a 2 = 1 q EI

25 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Ω 1 p 0 Der dargestete Kragbaken mit veränderichem Querschnitt (Dicke t) ist einseitig eingespannt und wird auf der Oberfäche Ω 1 durch die konstante Fächenast p 0 beastet. x 2 α r ϕ h x 1 L Ω 2 a) Bestimmen Sie sämtiche Spannungsrandbedingungen in den Poarkoordinaten (r, ϕ) und sämtiche Verschiebungsrandbedingungen in kartesischen Koordinaten (x 1,x 2 ). (3 Punkte) Spannungsrandbedingungen: Rand Ω 1 : σ rϕ (r,ϕ = 0) = 0 σ ϕϕ (r,ϕ = 0) = p 0 Rand Ω 2 : σ rϕ (r,ϕ = α) = 0 σ ϕϕ (r,ϕ = α) = 0 Verschiebungsrandbedingungen: u 1 (x 1 = L,x 2 ) = 0 u 2 (x 1 = L,x 2 ) = 0 b) Mittes der Airyschen Spannungsfunktion F = C ( r 2 (α ϕ)+r 2 sinϕ cosϕ r 2 cos 2 ϕ tanα ) können für den ebenen Spannungszustand fogende Spannungen σ rr = 2C ( α ϕ cosϕ sinϕ sin 2 ϕ tanα ) σ rϕ = 2C cosα sin(α ϕ)sinϕ ermittet werden. Bestimmen Sie die fehenden Spannungen des ebenen Spannungszustands.(1 Punkt) σ ϕϕ = 2 F r 2 = 2C ((α ϕ)+sinϕ cosϕ cos 2 ϕ tanα)

26 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) Bestimmen Sie des Weiteren mittes des Cauchy-Postuats die Spannungsvektoren t 1 und t 2 auf den Rändern Ω 1 und Ω 2.(2 Punkte) t 1 = σ(r,ϕ = 0) ( ) ( ) 0 0 = ; t 1 2C[α tanα] 2 = σ(r,ϕ = α) ( ) 0 = 1 ( ) 0 0 Berechnen Sie den Wert der Konstanten C.(1,5 Punkte) C = p [α tanα] c) Der gegebene Kragbaken ist nun einer Einzekraft F ausgesetzt. F a C C C x 2 C L h x 1 t b FürdenvertikaenSchnittC C andersteex 1 = aässtsichimfogendendiespannung ( ) σ 11 (x 1 = a,x 2 ) = C 0 x 3 2 b3 4 ermitten. Die übrigen Spannungen des ebenen Spannungszustandes sind vernachässigbar kein. Bestimmen Sie die unbekannte Konstante C 0.(2,5 Punkte) F a C 0 = tb 5 ( 1 1) = F a tb 5

27 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Das dargestete System besteht aus homogenen, starren Stangen, die geenkig miteinander verbunden sind und sich im Schwerefed der Erde (Erdbescheunigung g) befinden. Der im Punkt A über eine Drehfeder (Federkonstante k 1 ) geenkig angebundene Stab 1 habe die Masse m 1, die Länge 1 und den Drehfreiheitsgrad q 1. Am Ende des ersten Stabes ist im Punkt B über eine weitere Drehfeder (Federkonstante k 2 ) ein weiterer Stab (Masse m 2, Länge 2, Drehfreiheitsgrad q 2 ) angebunden. Am Ende des zweiten Stabes befindet sich zudem eine Kreisscheibe der Masse m 3. Beide Federn seien entspannt für q 1 = q 2 = 0. A q 1 g k 1 2,m 2 1,m 1 m 3 q 2 k 2 B a) Steen Sie die potentiee Gesamtenergie des Systems auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (3 Punkte) E pot = 1 2 k 1q1 2 +m 1g [ 1 2 cosq 1 +m 2 g 1 cosq 1 + ] 2 2 cosq 2 + m 3 g[ 1 cosq cosq 2 ]+ 1 2 k 2[q 1 +q 2 ] 2 Steen Sie die Bedingung(en) für Geichgewichtszustände dieses Systems auf. (2 Punkte) E pot / q 1 = 0 = k 1 q 1 +m 1 g 1 2 [ sinq 1]+m 2 g 1 [ sinq 2 ] +m 3 g 1 [ sinq 1 ]+k 2 [q 1 +q 2 ] E pot / q 2 = 0 = m 2 g 2 2 [ sinq 2]+m 3 g 2 [ sinq 2 ]+k 2 [q 1 +q 2 ]

28 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist die potentiee Energie hypothetisch durch E pot = 3mg cos(q 1 )+5mg[ cos(q 1 )+2 cos(q 2 )]+ 1 2 k[2q2 1 +q2 2 ] gegeben. Ein mögicher Geichgewichtszustand ist dabei durch q 1 = 0, q 2 = π/6 für bestimmte, ebenfas nicht näher spezifizierte Werte für m, und k vorgegeben. Geben Sie die Bedingung für die Masse m in Abhängigkeit der Größen k, g und an, so dass die angegebenen Werte für q 1 und q 2 tatsächich einen Geichgewichtszustand beschreiben. (2 Punkte) m = π k 30g Abschießend so nun die Stabiität dieser Geichgewichtsage charakterisiert durch die angegebenen Werte für q 1 und q 2 sowie Ihr Ergebnis für m anaysiert werden. Geben sie die dazu notwendige(n) und auf die Aufgabensteung spezifizierte(n) Größe(n) an und kassifizieren Sie die Art der vorgegebenen Geichgewichtsage. (3 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sote edigich die Art der Geichgewichtsage genannt werden. 2 E pot / q1 2 = 8mg cosq 1 +2k = 8mg +2k = 8/30πk +2k > 0 2 E pot / q2 2 = 10mg cosq 2 +k = 5 3mg+k = 3/6πk +k > 0 2 E pot / q 1 q 2 = 0 det(h) > 0 stabies Geichgewicht

29 Frühjahr 2013

30 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das fogende Bakensystem so mittes des Ritz-Verfahrens approximiert werden. Die Baken weisen eine Dehnsteifigkeit von EA und eine Beigesteifigkeit von EI auf. 2F 2F 2F 2L 2F 2L a) Unter Ausnutzung der Symmetriebedingungen wird nun ein Ersatzsystem betrachtet. Kreuzen Sie das richtige Ersatzsystem an und geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen der Bakenfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) an. Hinweis: Es git EA. x 2 F x 2 F F x 1 F x 1 x 2 F x 2 2F F x 1 x 1 2F Rand- Übergangsbedingungen: w I (x 1 = 0) = 0; w II (x 2 = L) = 0; w I (x 1 = L) = w II (x 2 = 0) = 0; w I (x 1 = L) = w II (x 2 = 0) = 0;

31 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Wie autet das Gesamtpotentia Π der inneren und äußeren Lasten (Π = Π i +Π a ) für das unter a) dargestete System? Für das Potentia der inneren Kräfte soen dabei nur Beiträge infoge des Biegemoments berücksichtigt werden. Hinweis: Integrae müssen nicht geöst werden und die Verschiebungsfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) sind bekannt. Π = ˆ L 0 ˆ 1 L EI (w 2 I(x 1 )) 2 1 dx+ 0 2 EI(w II(x 2 )) 2 dx F w I (x 1 = 0) F w II (x 2 = L) c) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes Bakensystem sind die fogenden Randbedingungen für die Verschiebungsfunktion w(x) bekannt: w(x = L) = w 0, w (x = L) = 0 w 0 stet dabei eine gegebene Größe dar. Bestimmen Sie einen gütigen Ritz-Ansatz w(x) aus der Funktion: ( π ) ( π ) w(x) = a 0 cos L x +a 1 sin L x +a 2 x 3 ( π w(x) = (a 2 L 3 w 0 ) cos )+3a L x L 3 ( π ) 2 π sin L x +a 2 x 3 ( a1 π ) ( π ) ( π ) oder w(x) = 3 w 0 cos L x +a 1 sin L x + a 1π 3L 3 x3 ( π ) oder w(x) = a 0 cos L x + 3(a 0 +w 0 ) π ( π ) sin L x + a 0 +w 0 L 3 x 3

32 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Das Gesamtpotentia des Systems sei nun mit Π = ˆL 0 ( w (x)) 2 dx q 0 L ˆL 0 w (x) dx angegeben. Ein zuässiger Ritz-Ansatz autet w(x) = b 1 x 3. Bestimmen Sie den Freiwert b 1 mittes des Rayeigh-Ritz-Verfahrens. Hinweis: Wichtige Zwischenschritte bitte ebenfas ins Kästchen eintragen. w (x) = 3b 1 x 2 w (x) = 6b 1 x = Π = 12b 2 1L 3 q 0 b 1 L 2 Rayeigh-Ritz: Π b 1 = 0 = Π b 1 = 24b 1 L 3 q 0 L 2 = 0 = b 1 = q 0 24L

33 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 4) Das nachfogende System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. F L 2L L L a) Bestimmen Sie die Anzah n der einzusetzenden Fießgeenke um eine Fießgeenkkette zu erhaten. n = 2 b) Bestimmen Sie nun ae mögichen Fießgeenkketten, wobei die Anzah dieser so gering wie mögich sein so. Zeichnen Sie dazu die Fießgeenkketten quantitativ in den verformten Lagen ein. Berücksichtigen Sie hierbei nur die Konfigurationen, die aufgrund der Kraft eine äußere Arbeit eisten. Zeichnen Sie ebenfas die Randbedingungen ein.

34 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 4) c) Das nachfogende System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. Spannungen infoge Quer- und Normakräften können dabei vernachässigt werden. Das Materia des Systems weist in jedem Querschnitt jeweis das pastische Grenzmonent M p,y auf. 2L F L L L In nachfogender Skizze (siehe nächste Seite, Querformat-Darsteung) sind die hier reevanten Fießgeenkpositionen und die mit 1.), 2.) und 3.) bezifferten Fießgeenk-Konfigurationen schon in den ausgeenkten Lagen dargestet. Geben Sie die jeweiigen Beziehungen zwischen den Winken in sämtichen Systemen an und zeichnen Sie zudem die pastischen Momente ein.

35 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 3 von 4) Mp Mp 1.) 2.) 3.) δϕ δϕ Mp δϕ Mp Mp Mp δϕ Mp Mp Mp δϕ δϕ Mp δϕ Mp δϕ

36 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 4 von 4) Ermitten Sie für ae Fießgeenkkonfigurationen jeweis die Tragkraft F T. Geben Sie des Weiteren den zuässigen Grenzwert F grenz an. 1.) F T = 3 M p L 2.) F T = 2 M p L 3.) F T = 2 M p L F grenz = 2 M p L

37 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) a) Das abgebidete System aus starren Stäben ist durch die richtungstreuen Kräfte F 1 und F 2 beastet und durch vier Federn der Steifigkeiten c 1, c 2, c 3 und c 4 gestützt. In der dargesteten Geichgewichtsage seien die Federn ungespannt. Der Einfuss der Schwerkraft ist zu vernachässigen. Die zu verwendenden kinematischen Freiheitsgrade sind der unteren Skizze zu entnehmen. c 2 c 3 3 c 1 c 4 F 1 F ϕ ψ Steen Sie das Potentia Π i der in den Federn gespeicherten Energie und das Potentia Π a der äußeren Kräfte für finite Ausenkungen des Systems in Abhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Freiheitsgrade ϕ und ψ für die dargestete Lage auf. Π i (ϕ,ψ) = 1 2 [c 1( 1 sinϕ) 2 +c 2 ( 3 sinϕ) 2 +c 3 ( 3 sinϕ+ 3 sinψ) 2 +c 4 ( 2 sinψ) 2 ] Π a (ϕ,ψ) = F 1 1 cosϕ+f 2 2 cosψ

38 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für bestimmte, nicht näher spezifizierte, Längenverhätnisse und Zusammenhänge zwischen den Federkonstanten und den äußeren Kräften erhät man Π ϕ = 2c2 (sinϕcosϕ+cosϕsinψ) Fsinϕ Π ψ = 2c2 (sinψcosψ +sinϕcosψ)+3c 2 sinψcosψ Fsinψ für die partieen Abeitungen des zu Grunde iegenden Potentias nach den Freiheitsgraden ϕ und ψ. Berechnen Sie die maßgebende kritische Last F krit, bei wecher die durch ϕ = 0 und ψ = 0 gegebene Geichgewichtsage instabi wird. Hinweis: Da die vorgegebene Geichgewichtsage der Ausgangskonfiguration des Systems entspricht, ist es mögich und eventue sinnvo, bestimmte Terme zu inearisieren. Geben Sie ebenfas sinnvoe Zwischenschritte für die Berechnung des Endergebnisses an. Nutzen Sie dafür den Patz im unteren Kästchen. F krit = c

39 Herbst 2012

40 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) F Gegeben ist das nebenstehende Bakensystem. In den Bereichen 0 x und 3 x 4 beträgt die Biegesteifigkeit des Bakens EI. Im mitteren Bereich x 3 (schraffiert) ist der Träger as biegestarr (EI ) anzusehen. z x 2 2 a) Geben Sie unter Ausnutzung der Symmetrie die kinematischen Randbedingungen für die inke Bakenhäfte 0 x an und bestimmen Sie einen zuässigen Ritzansatz w(x) aus dem Poynom w(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3. Randbedingungen: w(x = 0) = 0, w (x = 0) = 0, w (x = ) = 0 w(x) = a 3 (x x2 ) oder w(x) = a 2 (x 2 2 x 3 ) 3 b) Wie autet das Gesamtpotentia Π der inneren und äußeren Lasten (Π = Π i +Π a ) für das dargestete System? Für das Potentia der inneren Kräfte soen dabei nur Beiträge infoge des Biegemoments berücksichtigt werden. Hinweis: Integrae müssen nicht geöst werden. Π = 2 ˆ EI (w (x)) 2 dx F w()

41 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) c) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes Bakensystem ergibt sich ein Gesamtpotentia von ˆ ˆ 1 Π = 0 2 c 1(w (x)) 2 dx c 2 xw(x) dx. 0 Die Größen c 1 und c 2 steen dabei Konstanten dar. Bestimmen Sie für den kinematisch zuässigen Ritzansatz w(x) = ax 2 den Freiwert a mittes des Ritz-Rayeigh-Verfahrens. a = c 2 c Im Fogenden ist das rechts dargestete Tragwerksystem gegeben. Die schraffierten Bereiche ( x 3) des Bakensystems sind as biege- und dehnstarr anzusehen. Die nicht schraffierten Bereiche weisen die Biegesteifigkeit EI auf. Dehnungen aus Quer- und Normakräften sind zu vernachässigen. An der Kraftangriffsstee befindet sich ein Geenk, weches die Baken verbindet. z x 2 F 2 d) Bestimmen Sie unter Ausnutzung der Symmetrie die kinematischen Randbedingungen der inken Systemhäfte an der Stee x = 0, sowie die Übergangsbedingungen an den Steen x = und x = 2 für die Verschiebungsfunktion w(x). w(0) = 0 w (0) = 0 w () = w (2) w(2) = w () +w()

42 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) e) Wie autet das Gesamtpotentia Π as Funktion der vertikaen Verschiebungen w(x)? Hinweis: Integrae müssen nicht geöst werden. Π = 2 ˆ EI (w (x)) 2 dx F (w ()+w())

43 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 1 von 4) Das nachfogend dargestete System so mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. F F 2 a) Ermitten Sie dazu zunächst den Grad der statischen Unbestimmtheit p. p = 2 Bestimmen Sie nun ae mögichen Fießgeenkketten, wobei die Anzah dieser so gering wie mögich sein so. Es ist dabei ausreichend die entsprechenden Fießgeenke in die unverformten Lage des Systems einzuzeichnen. 1.) 2.) 3.) 4.)

44 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 2 von 4) b) Das nachfogende System so ebenfas mittes der Fießgeenktheorie bemessen werden. Spannungen infoge von Quer- und Normakräften können dabei vernachässigt werden. Das Materia des Systems weist in jedem Querschnitt jeweis das pastische Grenzmonent M p,y. F 2F 2 In nachfogender Skizze (siehe nächste Seite, Querformat-Darsteung) sind die hier reevanten Fießgeenkpositionen und die mit 1.), 2.) und 3.) bezifferten Fießgeenk-Konfigurationen dargestet. Für die Konfigurationen 1.) und 2.) sind die ausgeenkten Lagen bereits vorgegeben. Zeichnen Sie die ausgeenkte Lage der dritten Konfiguration ein. Geben Sie zudem die jeweiigen Beziehungen zwischen den Winken in sämtichen Systemen an.

45 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 3 von 4) 1.) 2.) 3.) δϕ δϕ δϕ δϕ/2 δϕ δϕ δϕ δϕ δϕ 2δϕ

46 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 4 von 4) d) Ermitten Sie für ae vorgegebenen Fießgeenkkonfigurationen jeweis die Tragkraft F T. Geben Sie des Weiteren den maßgebenden zuässigen Grenzwert F grenz an. 1.) 2.) 3.) F T = 2 M p,y F T = 1 M p,y 3 F T = 2 M p,y 5 F grenz = 1 M p,y 3

47 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) a) Das abgebidete System aus starren Stäben ist durch die richtungstreuen Kräfte F 1 und F 2 beastet und durch zwei Federn der Steifigkeiten c 1 und c 2 gestützt. Steen Sie das Gesamtpotentia Π für finite (große) Ausenkungen um die dargestete Geichgewichtsage (Federn sind ungespannt) auf. Der Einfuss der Schwerkraft ist zu vernachässigen. Die zu verwendenden kinematischen Freiheitsgrade sind der fogenden Skizze zu entnehmen. F F 2 c 1 c 2 ϕ ϕ ψ Steen Sie das Gesamtpotentia Π für finite Ausenkungen des Systems in Abhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Rotationsfreiheitsgrade ϕ und ψ um die dargestete Lage auf. Π(ϕ,ψ) = 1 2 [c 1( 2 sinϕ) 2 +c 2 ( 2 sinϕ+ 3 sinψ) 2 ]+F 1 1 cosϕ+f 2 ( 2 cosϕ+ 3 cosψ)

48 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für bestimmte, nicht näher spezifizierte Längenverhätnisse und Zusammenhänge zwischen den Federkonstanten und den äußeren Kräften erhät man Π ϕ = c2 (2sinϕcosϕ+cosϕsinψ) 3 2 Fsinϕ Π ψ = c2 (sinψcosψ +sinϕcosψ) Fsinψ für die partieen Abeitungen des zu Grunde iegenden Potentias nach den Freiheitsgraden ϕ und ψ. Berechnen Sie die maßgebende kritische Last F krit, bei wecher die durch ϕ = 0 und ψ = 0 gegebene Geichgewichtsage instabi wird. Hinweis: Da die vorgegebene Geichgewichtsage der Ausgangskonfiguration des Systems entspricht, ist es mögich und eventue sinnvo, bestimmte Terme zu inearisieren. Geben Sie ebenfas sinnvoe Zwischenschritte für die Berechnung des Endergebnisses an. Nutzen Sie dafür den Patz unter dem Kästchen. F krit = 1 3 c