3.5 Streuung auf dem kurzreichweitigen Potential

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1 Woche Streuung auf dem kurzreichweitigen Potentia Betrachten wir die Streuung angsamer Teichen τ 1) auf einem kurzreichweitigen Potentia mit charakteristischer Reichweite a. Die radiae G. ist: [ 1 d r d ) + k mur) ] ψ r dr dr r r) =. 1) Es gibt 3 charakteristische Abstandsbereiche: Im Bereich I, < r < a sind die beiden Gieder, ur) und das Potentia des Zentrifugakraftes /r groß. Hier benötigt man die voständige Lsg. der G. Im Bereich II, a < r < /k, r k, ur) und man kann in der G.1) sowoh u as auch k vernachässigen. Daher sieh QM1, Zentrafed ) ψ II r) = c 1 r + c r +1). Die Koeffizienten c 1 und c sind durch das Verhaten im Bereich I fixiert, sie hängen von dem Potentia ur) ab. Im Bereich III, r > k 1, hat die G. die Lsg. in Form der Summe ψ III r) = A 1 j kr) + A y kr) 1

2 die Koeffizienten c i und A i sind nicht dimensionsos!). Die Asymptoten der Sphärischen Bessefkt. sind: keine z z j z) + 1)!! 1)!! y z) z +1 große z sinz π/) j z) z cosz π/) y z) z Die Näherung für die ag. Lsg. wird dadurch gegeben, dass man fordert dass an der Grenze der Gebieten II und III die Lsg. ψ II r) in die Lsg. ψ III r) übergeht. Daher A 1 = c 1 + 1)!! k, A = c k +1 1)!! so dass ψ III + 1)!! 1 r) c 1 k r sin kr π ) k 1 + c 1)!! r cos kr π ), oder ψ III r) 1 kr r sin π ) + δ mit tan δ = c 1 c k +1 1)!! + 1)!!. Für große sind die Phasen δ tan δ sehr kein. Die partiee Ampituden f = 1 e iδ 1 ) δ ik k sind ebenfas sehr kein. Im Grenzfa keiner k git f C k. Daher sind für keine k τ 1) ae partieen Ampituden ausser diejenige für die s-wee = ) kein. Da P cos θ) = 1, ist die Streuung isotrop, vg. mit Bornscher Näherung. Die höheren Phasen sind sehr kein, da auch die numerischen Vorfaktoren C wegen der Fakutät) sehr schne mit abnehmen. Sogar für τ 1 hat man δ 9δ 1 5δ.

3 3.5.1 Streuänge und effektiver Radius. Die Streuung angsamer Teichen auf kurzreichweitigem Potentia ist ein gutes Mode für Nukonenstreuung z.b. Neutronen auf Kerne). Dabei ist a 1 13 cm, die Teichen sind angsam für E < 5MeV. Die Eigenschaften der Streuung angsamer Teichen sind durch Parameter c 1 und c gegeben. Statt diesen unphysikaischen Parametern kann man andere Parameter einfügen, die eine kare physikaische Bedeutung haben: die Streuänge ã und der effektive Radius r. Betrachten wir s-streuung = ) [ ] d dr + k ur) R r) =. Benutzen wir die Methoden aus QM1, 5.3 Wronskian ). und betrachten wir Lsgen zu den Energien k 1 und k, φ 1 r) und φ r). Diese erfüen bei r = die Randbedingung φ i ) =, sonst ist die mittere Energie der Teichen unendich QM1, Zentrafed ). Diese WFen verhaten sich asymptotisch wie fogt: φ 1 r) 1 sin δ 1 sink 1 r + δ 1 ) φ r) 1 sin δ sink r + δ ). ) Es git: ) dφ 1 φ dr φ dφ r max 1 = k k dr 1) φ 1 φ dr. Seien χ 1 r) und χ r) die Lsgen für die freie Bewegung mit den geichen k 1 und k, die das geiche asymptotische Verhaten haben d.h. für die die G en ) exakt sind). Diese Ls gen genügen nicht der Randbedingung bei r = und streben für r gegen 1. Für diese git auch ) dχ 1 χ dr χ dχ r max 1 = k k dr 1) χ 1 χ dr. Ziehen wir die erste G. von der zweiten G. ab, so erhaten wir ) dφ 1 φ dr φ dφ 1 dr χ dχ 1 dr + χ dχ r max 1 = k dr k1) χ 1 χ φ 1 φ ) dr. 3

4 Die ersten Gieder auf der inken Seite verschwinden für r = ; für r max verschwindet der Gesamtausdruck, da die asymptotischen Verhatensweisen von φ 1, und χ 1, paarweise geich sind. Es beibt: k cot δ k 1 cot δ 1 = k k 1) Der Wert ã, das Inverse vom Limes ã 1 = im k k cot δk) χ 1 χ φ 1 φ ) dr. wird die Streuänge genannt. Für k = k, k 1 bekommt man daher k cot δk) = ã 1 + k χ χ φ φ) dr. χ und φ entsprechen k =,χ und φ den Lsgen zum EW k). Für keine k strebt das Integra auf der rechten Seite gegen einen endiche Limes, der durch die Grösse des Bereiches bestimmt ist, wo die Funktionen χ und φ sich wesentich unterscheiden und das ist nur für r a der Fa). Den Wert r = ) χ φ dr bezeichnet man as den effektiven Radius des Potentias Ur). Für k kein τ 1) git daher cot δ = 1 ãk + r k. Der totae Wirkungsquerschnitt ist daher σ = 4π k sin δ [ σ 4πã 1 + ãã r )k + r ] ã) 1 k 4. 4 In dem Limes k bekommen wir σ = 4πã. 4

5 3.5. Streuung auf der kugeförmigen Rechteckmude. Betrachten wir das Streupotentia { U für r a Ur) = für r > a. Die radiae SG für innere und äußere Gebiete ist: [ 1 d r d ) ] + q ψ r dr dr r r) = für r < a [ 1 d r d ) ] + k ψ r dr dr r r) = für r > a mit q = k U. Wir betrachten den Fa q > anziehendes od. schwaches abstoßendes Potentia). Die Lsg. im inneren Gebiet ist ψ r) = Cj qr) einzige bei r = endicher Lsg). Im äußeren Gebiet ψ r) = Aj kr) + By kr). Aus der Randbegingung im Unendichen bekommen wir A = 4πi e iδ cos δ, B = 4πi e iδ sin δ. Zusammennähen der WF für r = R : Die inneren und die äußeren WF und ihre ogarithmische Abeitungen für r = R sind geich. Aus der 1. Bedingung: aus der. Bedingung C = 4πi e iδ j τ) tan δ ) y τ) cos δ, j θ) q j θ) j θ) = k j τ) tan δ ) y τ) j τ) + tan δ ) y τ) mit τ = ka, θ = qa. Wir betrachten weiterhin den Fa τ 1, wobei die s-streuung die überragende Roe spiet. Dabei Man hat: j z) = sin z z, y z) = cos z z. 5

6 sin qr ψ r) = C r ψ r) = 4πe iδ sinkr + δ ) kr r < a r > a. Aus der Kontinuität der WF und ihrer og-abeitung bekommen wir q cot θ = k cotτ + δ ), so dass oder ) k δ = acot q tan θ τ 3) tan δ = k/q) tan θ tan τ 1 + k/q) tan θ tan τ. 4) Fache Mude In dem Fa u k hat man q k, so dass für keine τ git: tan z z+z 3 /3 und arctan z z z 3 /3. Daher aus G.3), d.h. δ τ + τθ 3 τ 3 3 τ kq k ) a 3, 3 δ k u a 3 3. Die Streuänge auf einem sochen Potentia ist ã = u a 3 3. Das Vorzeichen der Streuänge ist bei dem schwachen Potentia das geiche wir das Vorzeichen des Potentias. Der totae Wirkungsquerschnitt ist und ist energieunabhängig. σ = 4πã = 4 9 πb a 6

7 3.5.4 Tiefe Mude Betrachten wir nun den Grenzfa u <, u k. Wir haben: q ree, k/q k/ u 1 und tan τ τ 1. Wir benutzen G.4). Das. Gied im Nenner kann im Vergeich mit 1. vernachässigt werden. Daher ) tan θ tan δ τ 1. θ Hier ist der Pot der rechten Seite in Abbidung gegeben. Abbidung 1: Die inke Seite der G.3.5.4). Die Werte von θ = θ V, wobei tan δ divergiert, entsprechen den virtueen Energieniveaus. Die Werte, bei denen tan δ =, die inks von den entsprechenden θ V iegen sind für den Ramsauer-Effekt verantwortich. Bei θ = θ V = n + 1)π/ erreicht der Wirkungsquerschnitt seinen maximaen Wert σ V = 4π k. Die entsprechenden Werte von k, k = 1 π n + 1) a 4 u 7

8 heissen die virtueen Energieniveaus. Für k entsprechen sie u a = n + 1) π, was genau die Bedingung für die Entstehung eines neuen gebundenen s- Zustandes in einer kugeförmigen Mude ist. In diesem Fa hat das virtuee Niveau die Energie, und die Streuänge wird unendich groß. I.A. wird in der Nähe des virtuaen Niveaus σ = 4π k sin δ = 4π tan δ k 1 + tan δ = 4π τ tan θ 1 ) θ k 1 + τ tan θ 1 ). θ Die Entwickung von tan θ in der Nähe von θ V = u + k V a 1/k k V ) ergibt eine orentz-förmige Abhängigkeit θ V σ 4πa, k k V ) + θv die Wigner-Formu. Für k ist der Wignersche Streuquerschnitt σ W 4π B U ɛ a mit ɛ die Energie des höchstiegenden gebundenen Zustandes) um viefaches grösser as der Bornsche Querschnitt σ B B a. Bei den Werten θ = θ R verschwinden δ und daher σ. Dieser Effekt drastische Abnahme des Wirkungsquerschnitts für angsame Teichen bei einigen Energien) bezeichet man as Ramsauer-Effekt. Dieser wurde zuerst experimente bei der Streuung der Eektronen in Edegasatomen beobachtet. Obwoh das WW-Potentia in diesem Fa nicht rechteckig ist, sondern bei r as r 4 abfät, beibt die vorwiegende Roe der s-streuung in diesem Fa erhaten wie auch in aen Potentiaen, die schneer as r 3 abfaen). Der Ramsauer-Effekt findet statt bei den Energien nahe der nächsten virtueen Niveaus sieh Bid), z.b. θ R und θ V 3π/ = In dem Gebiet θ RN 1) < u a < θ V N ist die Streuänge positiv. 8

9 3.5.5 Stark abstossendes Potentia Nun betrachten wir den Fa q <. Die s-lsg. für r < a ist jetzt ψ r) = C eκr e κr κr mit κ = q. Aus der Kontinuitätsbedingungen für r = a erhaten wir so dass κ coth κa = k cotτ + δ ), ) k δ = arctan tanh κa τ. κ Für angsame Teichen τ 1, k u ) hat man tanh κa 1, k tanh κa κ 1, und daher δ ka tanh κa 1 ). Der totae Wirkungsquerschnitt σ = κa 4π sin δ k ist dann tanh κa σ 4πa 1). κa Im Limes k /u wird die Forderung nach der Langsamkeit der Teichen τ 1) unwichtig; in dem Fa git σ 4πa, vierma höher as der kassischer Wert. 3.6 Integrageichung für die Streuampitude Die Methode, die ähnich zu der Wronskian-Methode ist, eraubt uns die Integrageichung für Streuampituden zu bekommen. Die Lsg. der radiaen G. [ ] d ur) + k R dr r r) = 5) mit der Randbedingung R ) = verhät sich asymptotisch wie R r) 1 k i + 1)e iδ sin kr π ) + δ die Vorfaktoren siehe 4.3., G.8) ff; in einem Streuprobem fogen sie aus der Bedingung, dass die Gesamtösung eine Summe von der einfaenden 9

10 Wee mit Intensität 1 und einer ausaufenden Kugewee ist). Im Grenzfa u autet die SG. [ ] d + k R ) dr r r) =, 6) seine die physikaische Randbedingung erfüende Lsg. R ) r) ist bekannt: R ) r) = i + 1)rj kr). Für r hat diese Fkt. die Asymptote R ) r) 1 k i + 1) sin kr π ). Benutzen wir den geichen Trick wie bei dem Beweis des Wroskian-Theorems: Mutipizieren wir die G.5) ma R ) r), die G.6), und ziehen sie voneinander ab. Integrieren wir über r: ) R ) r) d dr R r) R r) d rmax dr R) r) dr = ur)r r)r ) r)dr. Die partiee Integration in der inken Seite ergibt: ) R ) r) d dr R r) R r) d dr R) r) dr = R ) r) d dr R r) R r) d ) r max dr R) r) d dr R) r) d dr R r) d dr R r) d ) dr R) r) dr = R ) r max ) d dr R r max ) R r max ) d dr R) r max ) da beide WF R ) r) und R r) in verschwinden. Der Rest ist = R ) 1 k sin r max ) d dr R r max ) R r max ) d dr R) r max ) ) [ + 1) e iδ k cos kr max π ) + δ sin kr max π ) )] + δ cos. kr max π kr max π ) 1

11 Formen wir nun den Ausdruck in Kammer um hier ist ζ = kr max π/) cos ζ + δ ) sin ζ sin ζ + δ ) cos ζ = cos ζ cos δ sin ζ sin ζ sin δ sin ζ cos δ cos ζ sin δ cos ζ = sin δ, unabhängig von r max. Es git aso ) 1 rmax + 1) e iδ k sin δ = k ur)r r)r ) r)dr. Nehmer wir den Limes r max und setzen wir die expizite Form von R ) r) in der rechte Seite ein, so bekommen wir die integrae G. für die Streuphasen i + 1)e iδ sin δ = ur) [kr j kr)] R r)dr. Diese Integrag. ist ein Anaogon der G. aus 4.., und unterscheidet sich davon nur dadurch, dass man nicht die ebenen Ween, sondern die Kugeharmoniken as entsprechende VONS der Funktionen benutzt. Es iegt nahe, dass es eine agemeine, darsteungsunabhängige Form socher Geichungen geben muss. Die G. enthät eine unbekannte Fkt. R r), die aktuee Lsg. der SG. Wie in der Bornschen Näherung können wir nunzunächst näherungsweise R r) R ) r) nehmen, und bekommen so die Bornsche Näherung für die Streuphase: e iδ sin δ 1 k ur) [kr j kr)] dr, 7) oder da im Anwendungsbereich der Näherung δ so wie so kein ist) δ 1 k ur) [kr j kr)] dr. Bemerkung 1: Nicht vergessen: ur) = mur)/. Bemerkung : Wie wir später sehen werden, sind die Werte S = 1 + ie iδ sin δ die diagonaen) Eemente der Streumatrix in unserer Darsteung. 11