Quantenmechanik II. Gelesen von Prof. Dr. Wolfram Weise im WS 2010/11 Übungsaufgaben von Dr. Bertram Klein In L A TEX gesetzt von Tobias Ried

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1 Quantenmechanik II Geesen von Prof. Dr. Wofram Weise im WS 2010/11 Übungsaufgaben von Dr. Bertram Kein In L A TEX gesetzt von Tobias Ried E-mai address: tobias.ried@ph.tum.de

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3 Literatur zu I-III: L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Theoretische Physik III (Quantenmechanik) F. Schwab: Quantenmechanik für Fortgeschrittene zu IV: J. D. Bjorken, S. D. Dre: Reativistische Quantenmechanik H. A. Bethe, R. Jackiw: Intermediate Quantum Mechanics weiterführend: C. Itzykson, J. B. Zuber: Quantum Fied Theory iii

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5 Inhatsverzeichnis Literatur iii Tei 1. Quantenmechanik zeitabhängiger Prozesse Kapite 1. Rückbick und Vorbereitung Axiome der Quantenmechanik Zeitentwickungsoperator; Schrödinger- und Heisenberg- Bid 4 Wiederhoungsfragen 5 Kapite 2. Zeitabhängige Störungstheorie Wechsewirkungsbid und Störungsentwickung Übergänge erster Ordnung in einem diskreten Spektrum Beispie: zeitich konstante Störung, die bei t = t 0 eingeschatet wird Zeitich periodische Störungen, Fermis Godene Rege Eektromagnetische Übergänge Eektrische Dipoübergänge Ergänzung zur Wechsewirkung geadener Teichen mit dem eektromagnetischen Strahungsfed 16 Übungsaufgaben zu Kapite 2 18 Tei 2. Eemente der quantenmechanischen Streutheorie Kapite 3. Streuung Streuprozess und Wirkungsquerschnitt 25 v

6 vi Inhatsverzeichnis 3.2. Nichtreativistische Potentiastreuung Stationäre Streuweenfunktion Streuung von Weenpaketen Differentieer Wirkungsquerschnitt dσ/dω Schrödinger-Geichung as Integrageichung, Greensche Funktionen Bornsche Näherung Beispie: abgeschirmtes Couomb-Potentia/Yukawa- Potentia Die Partiaweenmethode Das optische Theorem Resonanzen Ineastische Streuung Operator-Formaismus der Streutheorie 42 Übungsaufgaben zu Kapite 3 44

7 Tei 1 Quantenmechanik zeitabhängiger Prozesse

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9 Kapite 1 Rückbick und Vorbereitung 1.1. Axiome der Quantenmechanik (i) Der quantenmechanische Zustand eines Systems wird beschrieben durch einen Zustandsvektor ψ. ψ ist Eement eines Hibert- Raums H. (ii) Beobachtbare physikaische Größen (Observaben) werden dargestet durch (hermitesche) Operatoren A auf H. (iii) Die Zeitentwickung eines Zustandes wird bestimmt durch die zeitabhängige Schrödinger-Geichung (1.1) i ψ(t) = H ψ(t) t Bemerkungen. mit Hamiton-Operator H. (i) Die Zustände n seien Eigenzustände von A mit Eigenwerten a n : A n = a n n. { n } bidet ein voständiges Orthonormasystem in H mit m n = δ mn. Befindet sich ein System in einem Zustand ψ, so git die Entwickung ψ = n c n n mit c n = n ψ. c n 2 gibt die Wahrscheinichkeit an, den Zustand ψ im Eigenzustand n zu finden. Es git n c n 2 = 1, ψ ψ = 1. Insbesondere git: A = ψ A ψ = n c n 2 a n. (ii) Es seien φ n Eigenzustände des Hamiton-Operators: H φ n = E n φ n 3

10 4 1. Rückbick und Vorbereitung Für einen beiebigen Zustand ψ(t) git ψ(t) = n c n (t) φ n Mit i t ψ(t) = H ψ(t) fogt sofort c n (t) = φ n ψ(t) = e i Ent c n (0) (iii) Für einen stationären Zustand mit Energie E git ψ E (t) = e i Et ψ E (t = 0) i t ψ E(t) = H ψ E (t) = E ψ E (t) Dies führt zur zeitunabhängigen Schrödinger-Geichung H ψ e = E ψ E, ψ E = ψ E (t = 0) (iv) Weenfunktionen sind Projektionen von Zuständen ψ in den Ortsraum. Es sei ˆr der Ortsoperator: Eigenzustände r (ˆr r = r r ), r r = δ 3 (r r ) Weenfunktion ψ(r, t) = r ψ(t) 1.2. Zeitentwickungsoperator; Schrödinger- und Heisenberg-Bid Die formae Lösung der Schrödinger-Geichung ist mit i ψ(t) = H ψ(t) t ψ(t) = U(t) ψ(t = 0) (1.2) U(t) = e i Ht = 1 i Ht H2 t 2 + = ( i) ν ν=0 ν! ( ) Ht ν Der Zeitentwickungsoperator U(t) ist unitär: U (t) = U 1 (t). Bisher (QMI) wurde in der Schrödinger-Darsteung (S-Bid) gearbeitet. Dort sind die Zustände zeitabhängig und Operatoren (z.b. Ort ˆr, Impus ˆp, Drehimpus ˆL,... ) zeitunabhängig. Eine äquivaente Darsteung der Quantenmechanik verwendet das Heisenberg-Bid (H-Bid). Zustandsvektoren ψ H = ψ(t = 0) sind zeitunabhängig, Operatoren A H = U (t)au(t) zeitabhängig.

11 Wiederhoungsfragen 5 Erwartungswerte von Operatoren (Observaben) sind invariant unter Wechse der Darsteung (S-Bid H-Bid): ψ(t) A ψ(t) = ψ H e i Ht Ae i Ht }{{} A H ψ H = ψ H A H ψ H Satz 1.1 (Bewegungsgeichung für Operatoren). Für einen Operator A (im S-Bid), der nicht expizit von der Zeit abhängt, git d (1.3) dt A H(t) = i [H, A H(t)] = i (HA H(t) A H (t)h) Man nennt diese Geichung Heisenbergsche Bewegungsgeichung. Beweis. d dt A H(t) = d [ e i Ht Ae i Ht] = i ( ) He i Ht Ae i Ht e i Ht Ae i Ht H dt = i [H, A H(t)] Bemerkung. Fas A(t) expizit zeitabhängig ist, muss man in 1.3 noch einen zusätzichen Term ta(t) berücksichtigen. Aus der Bewegungsgeichung iest man auch sofort ab: Satz 1.2 (Erhatungsgrößen). Observaben A bzw. A H, weche mit dem Hamiton-Operator H kommutieren (1.4) [H, A H ] = [H, A] = 0 heißen Erhatungsgrößen. Wiederhoungsfragen (1) Was ist der Hamitonoperator eines quantenmechanischen Systems? (2) Weche Eigenschaften haben die Eigenzustände des Hamitonoperators? (3) Weche Eigenschaften besitzen die Matrixeemente H mn = m H n des Hamitonoperators (in einer beiebigen Basis)? Aus wecher Eigenschaft des Hamitonoperators fogen sie? (4) Weche Geichung beschreibt die Zeitentwickung eines quantenmechanischen Systems? Wie autet sie? (5) Wie sieht der Zeitentwickungsoperator eines Systems aus, der die Entwickung von einer Anfangszeit t 0 zur Zeit t beschreibt? Was muss man beachten, wenn der Hamitonoperator des Systems expizit von der Zeit abhängt?

12 6 1. Rückbick und Vorbereitung (6) Wie sieht der Zeitentwickungsoperator von der Zeit t 0 zur Zeit t aus, wenn im spezieen Fa der Hamitonoperator nicht expizit von der Zeit abhängt? (7) Die Zeitentwickungsgeichung ässt sich in dem Fa, dass der Hamitonoperator nicht expizit von der Zeit abhängt, mittes eines Separationsansatzes ösen. Wie? Was ist die physikaische Bedeutung der dabei auftretenden Separationskonstanten? (8) Wie sieht die Zeitentwickung eines Eigenzustands des Hamitonoperators aus? (9) Was ist ein stationärer Zustand? Wie drücken Sie einen sochen Zustand durch Energieeigenzustände aus? (10) Wie autet der Hamitonoperator des eindimensionaen harmonischen Osziators? (11) Wie kann man diesen Hamitonoperator durch die sogenannten Auf- und Absteigeoperatoren â und â ausdrücken? (12) Wie auten die Vertauschungsreationen dieser Operatoren? (13) Können Sie eine expizite Repräsentation dieser Operatoren durch den Ortsoperator ˆx und den Impusooperator ˆp angeben? (14) Wie autet der Kommutator [ˆx, ˆp]? (15) Zeigen Sie, dass Ihre Repräsentation der Operatoren â und â den Vertauschungsreationen genügt! (16) Wie wirken diese Auf- und Absteigeoperatoren auf den Grundzustand des harmonischen Osziators? Wie wirken sie auf andere Energieeigenzustände? (17) Wie auten die Weenfunktionen der Energieeigenzustände des eindimensionaen harmonischen Osziators? (18) Geben Sie die Energieniveaus des eindimensionaen harmonischen Osziators an! (19) Wie sieht der Operator, der den Drehimpus beschreibt, in Ortsdarsteung aus? (20) Was ergibt sich für den Kommutator [ˆr i, ˆp j ] für i, j = 1, 2, 3? Wie berechnen Sie das? (21) Wechen Vertauschungsreationen genügen die Komponenten des Drehimpusoperators? (22) Mit wechem Operator vertauschen ae Komponenten des Drehimpusoperators? Können Sie dies expizit durch sukzessive Anwendung der Vertauschungsreationen für die Komponenten zeigen?

13 Wiederhoungsfragen 7 (23) Wecher Operator erscheint immer in der Schrödingergeichung für ein System mit sphärischer Symmetrie? (24) Wie werden die Eigenfunktionen des Drehimpusoperators kassifiziert? Zu wechen Operatoren sind sie Eigenfunktionen? Durch weche Quantenzahen werden sie charakterisiert? (25) Wie kann man mithife der Drehimpuseigenfunktionen die Lösung der Schrödingergeichung eines Systems mit sphärischer Symmetrie ereichtern? Was ist die auftretende Konstante? (26) Wie autet die Orthogonaitätsreation für die Kugefächenfunktionen Y m (ϑ, ϕ)? (27) Wie wirken die Operatoren ˆL 2 und ˆL z auf die Kugefächenfunktionen? (28) Wie verhaten sich die Kugefächenfunktionen unter der Paritätstransformation? (29) Für ein Teichen mit Spin s = 1 2 kann man eine Repräsentation des Spinoperators mittes kompexer 2 2-Matrizen finden. Geben Sie diese Matrizen in der Standarddarsteung an. Wie heissen diese Matrizen? (30) Wechen Vertauschungsreationen genügen diese Matrizen? Überprüfen Sie das für Ihre Darsteung. (31) Wechen Vertauschungreationen genügen die Komponenten des Spinoperators Ŝ? (32) Mit wechem Operator vertauschen diese Komponenten ae? (33) Können Sie dies expizit mittes der Vertauschungsreationen zeigen? (34) Können Sie eine Basis für den Raum der Spinzustände zur obigen Repräsentation des Spinoperators angeben? ) (35) Berechnen Sie in der Standarddarsteung Ŝ± = 1 2 (Ŝx ± iŝy. (36) Wie wirken die Operatoren Ŝ± auf die Basiszustände? Wie auten die Matrixeemente? (37) Wie wirken Ŝ2 und Ŝz auf die Basiszustände? (38) Die Weenfunktion ψ(r ) sei normiert mit d 3 rψ (r )ψ(r ) = 1. Wie ist die Größe ψ(r ) 2 zu interpretieren? (39) Geben Sie den Ausdruck für die Wahrscheinichkeitsstromdichte j(r, t) an. (40) Wie autet die Kontinuitätsgeichung zwischen ρ(r, t) = ψ(r, t) 2 und j(r, t)? (41) Beweisen Sie, dass die Lösungen der Schrödingergeichung die Kontinuitätsgeichung erfüen. (42) Durch weche Eigenschaft ist ein unitärer Operator definiert?

14 8 1. Rückbick und Vorbereitung (43) Wie autet die Weenfunktion des Grundzustands des Wasserstoffatoms? (44) Geben Sie die Energien der gebundenen Zustände des Wasserstoffatoms an! (45) Was git für die Erwartungswerte von kinetischer Energie T und potentieer Energie V in einem Couombpotentia 1 r? (Viriasatz!)

15 Kapite 2 Zeitabhängige Störungstheorie 2.1. Wechsewirkungsbid und Störungsentwickung Ausgangspunkt für die nachfogenden Überegungen ist ein Hamiton-Operator der Form H = H 0 + V (t) mit zeitunabhängigem H 0 und einer expizit zeitabhängigen Störung V (t). Es soen fogende Voraussetzungen an V (t) gestet werden: (1) V (t) kein im Vergeich zu H 0 (2) V (t) = 0 für Zeiten t t 0 der un- Dann genügt die zeitiche Entwickung des Systems für t t 0 gestörten Schroedinger-Geichung i t ψ0 (t) = H 0 ψ 0 (t) und nach Einschaten der Störung der Geichung i t ψ(t) = [H 0 + V (t)] ψ(t) mit der Anfangsbedingung ψ(t) = ψ 0 (t) für t t 0. Wechsewirkungsbid. Ein diesem Probem angepasstes quantenmechanisches Bid ist das Wechsewirkungsbid. Definition 2.1. Der Zustandsvektor (2.1) ψ(t) I = e i H 0t ψ(t) heißt Zustandsvektor im Wechsewirkungsbid. 9

16 10 2. Zeitabhängige Störungstheorie Satz 2.2. Die zeithabhängige Schrödinger-Geichung ist äquivaent zu i ψ(t) t = [H 0 + V (t)] ψ(t) (2.2) i t ψ(t) I = V I (t) ψ(t) I mit V I (t) = e i H 0t V (t)e i H 0t. Beweis. i t ψ(t) I = i t e i H 0t ψ(t) = [ ] H 0 e i H0t + e i H0t (H 0 + V (t)) ψ(t) = e i H 0t V (t) ψ(t) = e i H 0t V (t)e i H 0t ψ(t) I Geichung 2.2 kann in die äquivaente Integrageichung (2.3) ψ(t) I = ψ(t 0 ) I i t t 0 dt V I (t ) ψ(t ) I überführt werden. Diese wird iterativ geöst durch die Reihenentwickung Satz 2.3 (von Neumann-Reihe). (2.4) ψ(t) I = ψ(t 0 ) I i 1 2 t t 0 dt t t 0 dt V I (t ) ψ(t 0 ) I t t 0 dt V I (t )V I (t ) ψ(t 0 ) I Übergänge erster Ordnung in einem diskreten Spektrum Untersucht werden nun Übergänge erster Ordnung in einem diskreten Spektrum unter der Wirkung der zeitabhängigen Störung V (t). Das System befinde sich zur Zeit 0 < t t 0 in einem Eigenzustand m(t) von H 0. (2.5) m(t) = e i H 0t m = e i Emt m mit m = m(t = 0). Zur Zeit t = t 0 werde die Störung eingeschatet. Gesucht ist die Wahrscheinichkeit W mn (t) für den Übergang vom Anfangszustand m in einen Eigenzustand n(t) von H 0 zu einer Zeit t nach Einschaten der Störung V (t). Sie ist (2.6) W mn (t) = n(t) ψ(t) 2 ; n(t) ψ(t) = n e i H 0t ψ(t) = n ψ(t) I

17 2.3. Beispie: zeitich konstante Störung, die bei t = t 0 eingeschatet wird11 Mit der Anfangsbedingung ψ(t 0 ) I = ψ 0 (t 0 ) I = e i H 0t 0 m(t 0 ) = e i H 0t 0 e i H 0t 0 m = m ergibt sich eingesetzt in die von Neumann-Reihe (1. Ordnung) und somit ψ(t) I = m i t n(t) ψ(t) = n ψ(t) I = n m i = δ nm i t t 0 dt V I (t ) m t t 0 dt n V I (t ) m = dt e i (En Em)t n V (t ) m t 0 Damit ist die Übergangswahrscheinichkeit W mn (t) = 1 t 2 dt e iωmnt n V (t (2.7) ) m t 0 mit ω mn = E m E n. Für t 0 und t ergibt sich: (2.8) W mn = im W mn (t) = 1 t 2 t 0 dt e iωmnt n V (t ) m Beispie: zeitich konstante Störung, die bei t = t 0 eingeschatet wird V 0 t 0 t Es ist W mn (t) = 1 t 2 2 dt e iωmnt n V 0 m = n V 0 m 2 e iωmnt ω mn ( = n V 0 m ωmn 2 (1 cos ω mn t) = n V 0 m 2 sin ω mnt 2 2 ω mn 2 Dies iefert (2.9) W mn (t) = π ωmnt sin2 2 t 2 π ( ω mn ) 2 n V 0 m 2 t 2 2 ) 2

18 12 2. Zeitabhängige Störungstheorie δ t (ω) π/t π/t ω Abbidung 2.1. δ t(ω) Untersuche die Funktionenfoge (2.10) δ t (ω) = sin2 ωt πω 2 t Man sieht δ t (ω) = t π bei ω = 0 und δ t(ω) < 1 für ω 0. πω 2 t Diese Funktionenfoge konvergiert im Limes großer t gegen die Deta- Distribution: (2.11) im t δ t (ω) = δ(ω) mit dωf (ω)δ(ω) = F (0). Im Grenzfa anger Beobachtungszeit t geht dann die Übergangswahrscheinichkeit über in W mn (t) t π ( 2 tδ ωmn ) n V 0 m 2 = 2π 2 tδ(e m E n ) n V 0 m 2 Die Übergangswahrscheinichkeit pro Zeit ist dann gegeben durch (2.12) Γ mn = im t W mn t = 2π δ(e m E n ) n V 0 m Zeitich periodische Störungen, Fermis Godene Rege Gegeben sei nun eine Störung der Form (2.13) V (t) = V 0 e iωt Θ(t) Mit 2.3 erhät man dann die Übergangswahrscheinichkeit W mn (t) = 1 t 2 dt e i (En Em ω)t n V 0 m 0 2

19 2.4. Zeitich periodische Störungen, Fermis Godene Rege 13 und im Grenzfa t : Γ m n = im t W mn t = 2π δ(e n E m ω) n V 0 m 2 Übergänge im kontinuierichen Spektrum. Definition 2.4 (Zustandsdichte). Die Zah der Zustände dn(e) mit Energie E im Energieinterva [E, E + de] definiert die Zustandsdichte (2.14) ρ(e) = dn(e) de ρ(e) diskretes Spektrum kontinuieriches Spektrum E Abbidung 2.2. Zustandsdichte Die Übergangswahrscheinichkeit pro Zeit summiert über ae mögichen Endzustände n geht dabei über in das Integra dn(e n ) Γ mn = de n ρ(e n )Γ mn = 2π de n ρ(e n )δ(e n E m ω) n V 0 m 2 Damit erhät man Fermis Godene Rege (2.15) Γ = 2π ρ(e f ) f V (t = 0) m 2 mit E f = E m + ω.

20 14 2. Zeitabhängige Störungstheorie 2.5. Eektromagnetische Übergänge Gegeben Sei eine eektromagnetische Stromdichte j(x). Die Wechsewirkung zwischen dem Strom und einem äußeren eektromagnetischen Fed ist in der Couomb-Eichung (transversae Eichung) div A = 0, Φ = 0 durch den Ausdruck (2.16) V (t) = 1 c j(x) A(x, t) d 3 x gegeben. Dabei ist Vektorpotentia A(x) Lösung der (homogenen) Weengeichung ( 1 2 ) c 2 t 2 2 A i (x, t) = 0 und von der Form (2.17) A(x, t) = N ( ε } e ik x iωt {{} + } ε e ik x+iωt {{}) Absorption Emission mit dem Poarisationsvektor ε. Es git ω = c k. Die eektrischen und magnetischen Feder sind in dieser Eichung mit dem Vektorpotentia verknüpft über E(x, t) = 1 A(x, t), B(x, t) = rot A(x, t) = A(x, t) c t Mit der Energie des Strahungsfedes E γ = 1 ( E 2 + B 2) d 3 x = ω 8π erhät man eingesetzt E γ = 1 8π V V ( 1 c 2 A 2 + k A 2 ) d 3 x und damit die Normierungskonstante in π c N = kv, k = k Betrachtet werde nun ein Übergang von einem Energieeigenniveau a in ein Energieeigenniveau b. Nach 2.15 ist die Übergangswahrscheinichkeit pro Zeit Γ a b = 2π ρ(e b = E a + ω) b V (t = 0) a 2

21 2.6. Eektrische Dipoübergänge 15 mit V (0) = 2π ωv j(x) ε e ik x d 3 x j(x) ist die stationäre Stromdichte des absorbierenden Systems ĵ(x) = en(x) ˆv = e }{{} m n(x) }{{} ˆp Ladungsdichte Impusop. (wobei hier das cgs-system mit e verwendet wird, c = evå) Für ein punktförmiges Teichen mit Masse m und Ladung e ist n(x) = δ 3 (x r) und somit (2.18) Γ a b = 4π2 e 2 ωv c = Eektrische Dipoübergänge ρ(e b = E a + ω) b e ik r ε p m a 2 Seien a und b diskrete Zustände in einem Atom mit H 0 a = E a a, H 0 b = E b b In der Atomphysik ist k r kr 1 (R Atomradius), was hervorgeht aus der Abschätzung kr = ω c R = ω c R Dies rechtfertig die Dipo-Näherung 10 ev Å ev Å 10 2 (2.19) e ik r = 1 + ik r + 1 Nimmt man an, dass die Poarisation des Lichts inear ist ε = e z = (0, 0, 1), so erhät man as Übergansmatrixeement b p z a = b ż a m weches man mit der Bewegungsgeichung des Ortsoperators im Wechsewirkungsbid schreiben kann as ṙ = i [H 0, r] b p z m a = i b H 0z zh 0 a = i (E b E a ) b z a Die Wahrscheinichkeit pro Zeit für einen eektrischen Dipoübergang ist damit nach 2.18 e. Dipo (2.20) Γa b = 4π2 e 2 V ωρ(e b = E a + ω) b z a 2 Das Matrixeement b z a berechnet man in Ortsdarsteung über ψb (r)zψ a(r) d 3 r.

22 16 2. Zeitabhängige Störungstheorie 2.7. Ergänzung zur Wechsewirkung geadener Teichen mit dem eektromagnetischen Strahungsfed Zur Erinnerung: der Hamiton-Operator eines geadenen Teichens (z.b. Eektron) im eektromagnetischen Fed ist (2.21) H = 1 [ p e ] 2 2m c A(x, t) + eφ(x, t) = H0 + V (t) mit einem Wechsewirkungsoperator (2.22) V (t) = e 2mc {p, A(x, t)} + + e2 2mc 2 A2 (x, t) + eφ(x, t) Dabei wurde der Antikommutator {p, A} + = p A+A p = i ( A+A ) verwendet. Für ein System von N punktförmigen, geadenen Teichen ist V (t) = N [ e ] 2mc {p i, A(x i, t)} + + e2 2mc 2 A2 (x i, t) + eφ(x i, t) i=1 Mit der Teichendichte und der Stromdichte j(x) = n(x) = e 2m N δ 3 (x x i ) i=1 N {p i, δ 3 (x x i )} + i=1 kann man das Wechsewirkungspotentia auch agemeiner schreiben as (2.23) [ ] 1 V (t) = j(x) A(x, t) + e2 c 2mc 2 n(x) A2 (x, t) + en(x)φ(x, t) d 3 x Quantisierung des Strahungsfedes. Der Vakuumzustand (keine Photonen) werde durch den Zustand 0 beschrieben, der Zustand eines Photons mit Weenvektor k und Poarisationszustand λ durch k, λ. Außerdem werde ein Erzeugungsoperator definiert durch (2.24) k, λ = a k,λ 0 und ein Vernichtungsoperator (2.25) a k,λ k, λ = 0, a k,λ 0 = 0

23 2.7. Wechsewirkung mit dem e.m. Strahungsfed 17 Das Vektorpotentia kann damit dargestet werden as Fourier-Integra bzw. Fourier-Summe (2.26) A(x, t) = 2π c [a ] k,λ ε k,λ e ik x iωkt + a kv k,λ ε k,λ e ik x+iω kt k,λ mit }{{} ω = k c. }{{} Energie Impus Die Normierung wurde so gewäht, dass (2.27) H Photon = 1 8π [ E 2 + B 2] d 3 x = Es git die Vertauschungsreation ] (2.28) [a k,λ, a k,λ = δ kk δ λλ (Bosonen-Kommutator). k,λ [ ω k a k,λ a k,λ + 1 ] 2 hω b a b hω a Abbidung 2.3. Graphische Darsteung eines strahungsinduzierten Übergangs

24 18 2. Zeitabhängige Störungstheorie Übungsaufgaben zu Kapite 2 Aufgabe 1 Ein Teichen mit Spin 1/2 und dem magnetischen Moment µ = µ 0 σ sei in einer Faeokaisiert, die sich in einem homogenen, zeitich konstanten Magnetfed B 0 befindet. Die Richtung von B 0 definiere die z-achse eines Koordinatensystems. Im Grundzustand = m s = 1/2 sei der Spin in negativer z-richtung poarisiert. Die Energie dieses Zustandes sei E. Der angeregte Zustand + = m s = +1/2 besitze die Energie E +. a) Drücken Sie die Energiedifferenz E + E = ω durch µ 0 und B 0 aus. b) Wie autet die Zeitabhängigkeit der Zustände ψ ± (t), wenn diese zur Zeit t = 0 mit ψ + (t = 0) = + bzw. mit ψ (t = 0) = identifiziert werden? Nun wirke zusätzich eine zeitabhängige Störung ˆV (t) = µ B(t) mit B(t) = ( B x, 0, 0) T und B x (t) = { b0 0 t t 0 sonst. c) Berechnen Sie die Matrixeemente j ˆV (t) i mit i, j {+, }. d) Man formuiere die Wahrscheinichkeit W + für den Übergang + unter dem Einfuß der Störung ˆV (t). Diskutieren Sie den Verauf von W + ( t) as Funktion des Zeitintervas t. e) Untersuchen Sie das Verhaten der Übergangswahrscheinichkeit pro Zeit, Γ + = W + /( t), im Grenzfa t. Aufgabe 2 Ein Wasserstoffatom gehe durch die Emission eines Lichtquants der Energie ω von einem diskreten, angeregten Zustand b in den Grundzustand a über. Die Übergangswahrscheinichkeit pro Zeit autet nach Fermis Godener Rege Γ b a = 4π2 e 2 ωv δ(e b E a ω) a ε ˆp 2 e ik r m b.

25 Übungsaufgaben zu Kapite 2 19 (Hier ist e 2 /( c) 1/137). Dabei ist V das Normierungsvoumen für das eektromagnetische Fed, ˆp = i ist der Impusoperator, ε ist der Poarisationsvektor und k ist der Weenvektor des emittierten Photons. a) Wiederhoen Sie die Schritte zur Hereitung von Γ b a. b) Schätzen Sie ab, dass für eektromagnetische Übergänge im diskreten Spektrum von Atomen die Diponäherung e ik r 1 git. Zeigen Sie damit Γ Dipo b a = 4π2 e 2 V ωδ(e b E a ω) d ab ε 2, wobei d ab = a r b. c) Für die in das Raumwinkeeement dω im k-raum emittierte Strahungseistung git dkk 2 dp = V dω (2π) 3 ω Γ b a. Man zeige, dass dann in der Diponäherung mit ω = (E b E a )/ git dp dω = e2 2πc 3 ω4 d ab ε 2. d) Angenommen, das Wasserstoffatom emittiere inear poarisiertes Licht mit ε = e z = (0, 0, 1) T. Der angeregte Zustand b sei charakterisiert durch den Bahndrehimpus b und die magnetische Quantenzah m b (der Spin werde vernachässigt). Weche Werte ( b, m b ) werden beim Übergang in den Grundzustand a seektiert? Aufgabe 3 Ein inearer harmonischer Osziator mit Masse m und Ladung q befinde sich zur Zeit t in seinem Grundzustand. Zur geichen Zeit wird ein homogenes, zeitabhängiges eektrisches Fed E(t) = E 0 e z e βt2 eingeschatet (e z ist der Einheitsvektor in z-richtung). (1) Man berechne die Wahrscheinichkeit, mit wecher der Osziator für t im Grundzustand verbeibt. (2) Unter wechen Bedingungen ist Störungstheorie 1. Ordnung anwendbar? Aufgabe 4 In einem System aus Wasserstoffatomen befinden sich N 0 Atome zur Zeit t = 0 im angeregten 2p-Zustand. Durch Photonenemission gehen sie in den Grundzustand über. Die Strahungseistung pro Atom ist gemäß Aufgabe 2 gegeben durch dp dω = e 2 2πc 3 ω4 d 21 ε 2.

26 20 2. Zeitabhängige Störungstheorie Ein Anaysator misst inear poarisiertes Licht mit ε = e z (der Poarisationsvektor ist der Einheitsvektor in z-richtung). (1) Man berechne das Dipo-Matrixeement und bestimme dp dω. d 21 ε = 1s z 2p Hinweise: Die Weenfunktionen des Wasserstoffatoms für 1s- und 2p- Zustände auten (mit a = 2 /(me 2 ) = cm, ˆr Einheitsvektor in Richtung von r): Ψ nm (r) = R n (r)y m (ˆr) R 10 (r) = 2 e r/a 1, R a 3/2 21 = Y 00 (θ, ϕ) = 1 4π, Y 10 (θ, ϕ) = r 3(2a) 3/2 a e r/(2a) 3 4π cos θ, Y 11(θ, ϕ) = 3 8π sin θ eiϕ. (2) Schätzen Sie aus der abgestrahten Leistung P ω τ die charakteristische Lebensdauer τ im angeregten Zustand (bzw. die Dauer des optischen Übergangs) ab. Was finden Sie beim Vergeich mit dem Literaturwert? Was könnte die Ursache sein? (3) (Zusatzaufgabe) Wie ändert sich das berechnete Ergebnis für die Lebensdauer, wenn man nicht nur inear poarisiertes Licht betrachtet, sondern ae mögichen Poarisationszustände berücksichtigt? Weche Übergänge sind mögich? Begründen Sie, dass dann die abgestrahte Leistung eines Atoms in einem unpoarisierten Ensembe gegeben ist durch dp dω = e 2 2πc 3 ω4 λ=1,2 m=0,±1 p m 21m x ε λ 1s 2, wobei über die jeweis zwei mögichen Poarisationszustände ε λ des ausaufenden Photons summiert wird. Betrachten Sie insbesondere rechtsund inkszirkuare Poarisationszustände mit ε 1,2 = 1 2 (e x ± ie y ). Was ist in einem sochen Ensembe von Atomen für die Wahrscheinichkeit p m anzusetzen, ein Atom im Zustand 21m mit Quantenzah m zu finden? Was ergibt sich damit as Ergebnis für die Lebensdauer? (4) Zu einer Zeit t > 0 befinden sich noch N(t) Atome im angeregten Zustand. Das Zerfasgesetz autet dn = τ 1 N(t) dt. Bestimmen Sie N(t) und die Wahrscheinichkeit W (t) für das Verbeiben im angeregten Zustand zur Zeit t. (5) Für die Weenfunktion des zerfaenden Zustandes git mit ψ 2p (r, t = 0) = u(r) ψ 2p (r, t) = u(r ) c(t) e ie 2pt/, c(t) = W (t).

27 Übungsaufgaben zu Kapite 2 21 Man zeige: ψ 2p (r, t) = u(r)f(t) mit f(t) = exp wobei ω 2p = E 2p / und f(t) = 0 für t 0. (6) Durch Fouriertransformation, g(ω) = dt e iωt f(t), [ iω 2p t t ], 2τ zeige man, dass die Spektrainie des angeregten 2p-Zustandes die Form einer Lorentz-Kurve annimmt: g(ω) 2 1 (ω ω 2p ) 2 + Γ 2 /4, mit Γ = 1 τ. Diskutieren Sie dieses Ergebnis.

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29 Tei 2 Eemente der quantenmechanischen Streutheorie

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31 Kapite 3 Streuung 3.1. Streuprozess und Wirkungsquerschnitt Betrachtet werden im Fogenden quantenmechanische Streuprozesse. Skizze: Eastische Streuung eines Strahs von Teichen A an einem Target (Teichen B) (.,-\ d' 1 V,FJ ss\6 NO 1 (^!\!r d a I N fr. arkoordinaten in 3 Dimensionen Zunächst so die eastische Streuung behandet werden. A + B A + B Das der Beschreibung am besten angepasste Koordinatensystem sind die Poarkoordinaten in 3 Dimensionen: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ mit einem Satz von Einheitsvektoren 25

32 26 3. Streuung tu. a \ X z 2 e r = sin θ cos ϕ e x + sin θ sin ϕ e y + cos θ e z e θ = cos θ cos ϕ e x + cos θ sin ϕ e y sin θ e z e ϕ = sin ϕ e x + cos ϕ e y Das infinitesimae Fächeneement bestimmt das Integrationsmaß. df = r 2 dω = r 2 dθ sin θdϕ Zentra für die weitere Behandung ist Definition 3.1 (Differenzieer Wirkungsquerschnitt). Man nennt die differentiee Größe (3.1) dσ = Strom der in Richtung (θ, ϕ) gestreuten Teichen Strom der in z Richtung einfaenden Teichen r2 dω den differentieen Wirkungsquerschnitt, den man auch in Form eines Differentiaquotienten schreiben kann (3.2) dσ dω = j gestreut(θ, ϕ) r 2 j einfaend und wecher die Dimension einer Fäche [L 2 ] hat Nichtreativistische Potentiastreuung Behandet werden so nun ein Speziafa der eastischen Streuung, nämich der eines nichtreativistischen Streuvorgangs, der durch ein reees, zeitunabhängiges und nicht geschwindigkeitsabhängiges Potentia V = V (r A r B ) dargestet werden kann. Die Kinematik wird dabei durch den Hamiton- Operator (3.3) H = 2 ra 2 rb + V (r A r B ) 2m A 2m B

33 3.3. Stationäre Streuweenfunktion 27 beschrieben. Die Schrödinger-Geichung für die Ortsweenfunktion autet dann (3.4) HΨ(r A, r B ; t) = i t Ψ(r A, r B ; t) Nach Übergang in Schwerpunkts- und Reativkoordinaten R = m Ar a + m B r B Gesamtmasse M = m A + m B M r = r A r B, v = v A v B und Einführen des Gesamtimpuses sowie des Reativimpuses P = p A + p B p = m Bp A m A p B = mv mit der reduzierten Masse m = m Am B M M nimmt der Hamiton-Operator die Gestat (3.5) H = P 2 2M + p2 2m + V (r) an. Somit separieren die Schwerpunkts- und Reativbewegung (3.6) Ψ(r A, r B ; t) = Φ(R, r)e i Et = ϕ(r)ψ(r)e i Et Die Schrödinger-Geichung 3.4 ist dann äquivaent zu den beiden Geichungen ) ( 2 2M R ϕ(r) = E CM ϕ(r) mit E CM = P 2 2M ] [ 2 2m r + V (r) ψ(r) = E r ψ(r) mit E = E CM + E r Oft ist es praktisch, das Schwerpunktsystem zu wähen mit P = 0. Hier git E = E r Stationäre Streuweenfunktion Definition 3.2 (Reduziertes Potentia). Man nennt (3.7) U(r) = 2m 2 V (r) reduziertes Potentia. Damit nimmt die Schrödinger-Geichung mit scharfer Energie E = 2 k 2 2m

34 28 3. Streuung und Impus p = k, k = k e z die Form einer Weengeichung [ (3.8) + k 2 U(r) ] ψ(r) = 0 an. Im Fogenden nimmt man an, dass das Potentia asymptotisch abfät (V (r) 0 für r ) schneer as 1 r. Diese Annahme ist in den meisten Fäen erfüt, zum Beispie auch für das abgeschirmte Couomb-Potentia (Yukawa-Potentia) V (r) e µr r. Die Behandung des reinen Couomb- Potentias erfordert neue Methoden, die Kapite 3.9 behandet werden. Gesucht wird nun eine stationäre Lösung der Schrödinger-Geichung ψ k (r) = ψ(k, r) mit fogenden Randbedingungen einfaende Wee in positiver z-richtung vom Streuzentrum ausaufende Wee k Dazu wird zunächst die freie Lösung der homogenen Weengeichung (für U = 0) betrachtet (3.9) ψ (+) 0 (k, r) = Ae ik r = Ae ikz Die asymptotische Form der voen Lösung (für r ) ist dann (3.10) ψ (+) (k, r) r A eik r }{{} einaufende Wee 3.4. Streuung von Weenpaketen + f k (θ, ϕ) }{{} Streuampitude e ikr r }{{} ausaufende Kugewee Bei der vorherigen Diskussion stößt man auf das Probem, dass die stationäre Weenfunktion ψ (+) (k, r) nicht normierbar ist. Daher wäht man as Ausgangspunkt einer exakteren Behandung die Streuung eines Weenpakets.

35 3.5. Differentieer Wirkungsquerschnitt dσ/dω 29 Dieses ist agemein von der Form d 3 k (3.11) ψ(r, t) = (2π) 3 A(k)ψ(+) (k, r)e i E k(t t 0 ) wobei E k = 2 k 2 2m (3.12) und muss der zeitabhängigen Schrödinger-Geichung ] [ 2 2m + V (r) ψ(r, t) = i ψ(r, t) t 3-6a mit geeigneten asymptotischen Randbedingungen und Anfangsbedingung beiweenpaket: t = t 0 gehorchen. Superposition von stationären Weenfunktionen mit E k = h2 k 2 2m Das Weenpaket ist aso die Superposition von stationären Weenfunktionen mit derψ( r, Energie t) = E k und der Impusverteiung (Distribution im k- d 3 k (2π) Raum) A(k). Die asymptotische 3 A( k) ψ (+) ( k, r ) e ie k(t t 0 )/ h Lösung für t (d.h. r ) ist und einer Impusverteiung / Distribution im k-raum A(k) Asymptotische Lösung für t : (d.h. r ) d d 3 k 3 ] k ] (3.13) ψ(r, t) [e ψ( r, t) (2π) 3 A( k) [e i k r + f k (θ, ϕ) eikr e ie k(t t 0 ) (2π) 3 A(k) ik r + f k (θ, ϕ) eikr e ie k(t t 0 ) r r Für eine Distribution A(k) mit geringer Breite um k 0 wird der StreuprozessFür durch eine Distribution eine stationäre A(k) mit Lösung geringer mit Breite scharfem um k 0 wird Impus der Streuprozess k 0 beschrieben. durch ein stationäre Weenfunktion mit scharfem Impus hk 0 beschrieben Differentieer Wirkungsquerschnitt dσ/dω Die quantenmechanische Stromdichte ist (3.14) j(r) = [ ] 2mi [ψ (r) ψ(r) ψ(r) ψ (r)] = Re mi ψ (r) ψ(r)

36 30 3. Streuung Diese erfüt mit der Wahrscheinichkeitsdichte (3.15) n(r) = ψ(r) 2 = ψ (r)ψ(r) die Kontinuitätsgeichung n(r, t) (3.16) j(r, t) + = 0 t Für stationäre Ween (n(r) unabhängig von t) git dann (3.17) j(r) = 0 Die radiae Komponente des Stroms für r ist [ ) )] j e r = A 2 Re (e ikr cos θ k + f (θ, ϕ)e ikr (e ikr cos θ + f k (θ, ϕ) eikr mi r r r Die einaufende Stromdichte ergibt sich aus ψ ein (r) = Ae ik r = Ae ikz zu j ein = A 2 k m = A 2 v mit der Geschwindigkeit v = k m. Für die radia ausaufende Wee ist die Stromdichte (r ) j aus (r) e r = A 2 Re [ mi f k (θ, ϕ)e ikr r = A 2 v r 2 f k(θ, ϕ) 2 + O( 1 r 3 ) r )] (f k (θ, ϕ) eikr Der durch das Fächeneement r 2 dω ausaufende Fuss ist damit A 2 v f k (θ, ϕ) 2 dω Definition 3.3 (Differentieer Wirkungsquerschnitt). Man nennt (3.18) dσ dω = A 2 v f k (θ, ϕ) 2 j ein = f k (θ, ϕ) 2 den differentieen Wirkungsquerschnitt. Der Niederenergie-Grenzfa k 0 definiert die Streuänge (3.19) a = im k 0 f k 3.6. Schrödinger-Geichung as Integrageichung, Greensche Funktionen Betrachtet werde nun die inhomogene Weengeichung [ (3.20) + k 2 ] ψ(k, r) = U(r)ψ(k, r) und deren äquivaente Darsteung as Integrageichung (3.21) ψ + (k, r) = φ (+) k (r) + d 3 r G (+) 0 (k; r, r )U(r )ψ (+) (k, r ) r

37 3.6. Schrödinger-Geichung as Integrageichung, Greensche Funktionen 31 (Lippmann-Schwinger-Geichung) mit den Randbedingungen [ + k 2 ] φ k (r) = 0 und φ (+) k (r) = eik r (Lösung der homogenen Weengeichung mit Randbedingung). Wie man sieht enthät die partikuäre Lösung der inhomogenen Geichung die Greensche Funktion G (+) 0, die die Differentiageichung [ (3.22) r + k 2] G (+) 0 (k; r, r ) = δ 3 (r r ) mit Randbedingung einer ausaufenden Kugewee für r erfüt. Für r r erhät man eicht (3.23) G (+) 0 (k; r, r ) = eik r r 4π r r An der Stee r = r ist 3.22 singuär. Aufösen iefert (3.24) r G (+) 0 = δ 3 (r r ) }{{} dominiert k 2 G (+) 0 }{{} unwesentich bei r=r Daher reicht es, an der Stee r = r die Differentiageichung (3.25) r G (+) 0 (r r ) = δ 3 (r r ) zu betrachten mit der bekannten Lösung (3.26) G (+) 0 (r r 1 ) = 4π r r Damit ist die Lösung von 3.21 (3.27) ψ (+) (k, r) = e ik r d 3 r e ik r r 4π r r U(r )ψ (+) (k, r ) Untersucht werde nun das asymptotische Verhaten von ψ (+) (k, r). Entwicket man für r r k r r = k r 2 2r r + r 2 = kr 1 2 r r r 2 + r 2 r r kr(1 r2 r 2 ) = kr kr r r = kr k r so ist (3.28) ψ (+) (k, r) e ik r eikr d 3 r e ik r U(r )ψ (+) (k, r ) 4πr Vergeich mit der asymptotischen Form der Streuösung 3.10 ψ (+) (k, r) = e ik r + eikr r f k(θ, ϕ)

38 \ \ \ \ \ Streuung iefert die Streuampitude f k (θ, ϕ) = 1 (3.29) d 3 r e ik r U(r)ψ (+) (k, r) 4π = m 2π 2 d 3 r e ik r V (r)ψ (+) (k, r) N0 r) 3.7. Bornsche Näherung q frr Ist das Potentia V E, ist Störungstheorie 1. Ordnung im Potentia V anwendbar. Dies führt effektiv zur Ersetzung ψ (+) (k, r) e ik r. Die Streuampitude 3.29 geht dann über in $ (3.30) f Born (θ, ϕ) = m 2π 2 $.= $ d 3 r e i(k k ) r V (r) Die Streuampitude ist in dieser Näherung (Bornsche Näherung) aso proportiona zur Fourier-Transformierten des Streupotentias. Der auf das Streuzentrum übertragene Impus ist q mit q = k k. Es git t - \ I z r t f \q! \ i', F> J q x' *,43 hl-f\ \r! 3 t{ J\ $ss (j tst.? sr+ q * $ n -3 1 "k { I r tr o d d*r ^\ *c D i oi 9 q ts-. \( r r, $ r{ t+ I r d si -q r.,f v -R r \ {, 1 i-t + N+ : * rs-- d' L- \I ()v r+ 4 L q,t'u I -v -\ iu\ Te TL f- t t tt- S.' t-v' r- U, t t a) T t- fc'-*,\j a-r* \4 $,\ Y # -t s\ $ t {! N d $, *; shr s u) :$t< N)F s\ J{t-r?. -9. r G N { {_ t5 e( a \'q q 2 = k 2 + k 2 2k k = 2k 2 (1 cos θ) = 4k 2 sin 2 θ 2 I * tt s -1.\ F a \ S C\ t td-- t } 'o) o s aso (3.31) q = 2k sin θ 2 Die Bornsche Streuampitude ässt sich nun schreiben in der Form (3.32) f Born (θ) = m 2π 2 d 3 r e iq r V (r) Betrachtet man den Speziafa der Streuung an einem Zentrapotentia V (r) = V (r) mit r = r, kann die Integration teiweise direkt durchgeführt

39 3.8. Beispie: abgeschirmtes Couomb-Potentia/Yukawa-Potentia 33 werden, indem man zu dreidimensionaen Poarkoordinaten übergeht d 3 r e iq r V (r) = dr r 2 dω e iqr cos θ V (r) = 2π = 4π q 0 0 dr r 2 V (r) 0 1 dr r sin qrv (r) iqr cos θ d cos θ e 1 }{{} 1 iqr [e iqr e iqr ]= 2 sin qr qr Für die Streuampitude beibt in diesem Fa nur das r-integra zu ösen (3.33) f Born (θ) = 2m 2 q 0 dr r sin qrv (r) 3.8. Beispie: abgeschirmtes Couomb-Potentia/Yukawa-Potentia Definition 3.4 (Yukawa-Potentia). Ein Yukawa-Potentia ist ein abgeschirmtes Couomb-Potentia von der Form (3.34) V (r) = g e µr r Die Streuampitude ergibt sich für ein soches Potentia nach 3.30 in Bornscher Näherung die Streuampitude zu 1 (3.35) f Born (θ) = 2mg 2 q 0 dr r sin(qr) e µr r und damit ist der differentiee Wirkungsquerschnitt (3.36) mit q 2 = 4k 2 sin 2 θ 2. dσ dω = f(θ) 2 = 4m2 4 g 4 (q 2 + µ 2 ) 2 = 2m 2 g q 2 + µ 2 Couomb-Potentia (z.b. Eektron-Proton-Streuung). In einem ersten Schritt kann man das Couomb-Potentia (3.37) V (r) = e2 r 1 dabei wurde verwendet d 3 iq r e µr r e = 4π dr sin(qr)e µr = 4π r q 0 q 2 + µ 2

40 34 3. Streuung as Grenzfa µ 0 eines Yukawa-Potentias betrachten (g = e 2 ). Aus 3.35 und 3.36 erhät man dann sofort (3.38) f Born (θ) = 2m 2 e 2 q 2 und (3.39) ( dσ dω = 4m2 e 4 ( m ) 2 e 4 q 4 = 2 k sin θ 2 bei fester Energie E = 2 k 2 2m, aso insgesamt (3.40) dσ dω = e 4 (4E) 2 sin 4 θ 2 Bei der Interpretations dieses Ergebnisses für keine Streuwinke (v.a. Vorwärtsstreuung θ 0) ist jedoch Vorsicht geboten, da im Rahmen der Hereitung ein Potentia 1/r expizit nicht behandet werden kann und gesonderte Methoden benötigt. ) Die Partiaweenmethode Vorbereitung. Betrachtet werden so nun die Streuung eines spinosen Teichens an einem Zentrapotentia V (r) (ohne weitere Einschränkungen). Dieses Probem beschreibt man am Besten mit dem Hamiton-Operator (3.41) H = 2 2m in Poarkoordinaten. Dabei ist [ 1 r 2 r ( r 2 r (3.42) L = i r ) L2 2 r 2 ] + V (r) der Bahndrehimpusoperator. Es git [H, L 2 ] = 0 = [H, L z ], damit besitzen der Hamiton-Operator und L 2 bzw L z gemeinsame Eigenfunktionen (die sog. Kugefunktionen) L 2 Y m (θ, ϕ) = 2 ( + 1)Y m (θ, ϕ) L z Y m (θ, ϕ) = m Y m (θ, ϕ) Die Entwickung der Streuweenfunktion nach Kugefunktionen hat dann agemein die Form (3.43) Ψ (+) (k, r) = =0 m = c m R (+) (k, r)y m (θ, ϕ)

41 3.9. Die Partiaweenmethode 35 H oo e nt- E'6^4eht :/F. o4<-_o-. \,rcf1 C"1 A-'U ( rt!:'*'= EV'*') 4 4-& Lx, 6^r(o'?) 2mE mit k = ke z, k =. Dabei wurde zugeich eine Separation von Radiaund Winkeantei der Streuweenfunktion angesetzt. Für die radiae Schrödin- 2 ger-geichung erhät man [ ( (3.44) 2 1 d 2m r 2 r 2 d ) ] ( + 1) dr dr r 2 R (k, r) = [E V (r)] R (k, r) beziehungssweise mit den Ersetzungen u (r) = rr (r) und U(r) = 2m V (r) [ ] 2 d 2 (3.45) dr 2 + s_ ( + 1) k2 /6 r 2 U(r) u (r) = 0 o T.Z.-z +.Q,^nt-'*-f rtw 772-./.o* Ca- ") : Führt man zusätzich die dimensionsose Variabe x = kr und F (x) = u (x) x ein, erhät se#e- man)<- aus 3.45 kr fürin"c(.u) wechsewirkungsfreie 2 T,k): Teichen (V = 0) die Bessesche Differentiageichung + [ d 2 (3.46) dr ( )] f -z q> d x dx + 1 ( + 1) x 2 F (x) = 0 /tr, + ** + (z- ry')-j6&) : o C 9.,r*1s.^14- b; ft* e--^ *" h-" o4 7jt re ) Lösungen der Besseschen Differentiageichung 3.46 sind in Tabee 3.1 dargestet. a #nrn=u " &TSCr.L- -twufutrttn-w{ Besse-Funktionen j (x) Neumann-Funktionen n (x) j 0 (x) = sin x,-, -'r x n 0 (x) = (furxt) cos x x j 1 (x) = sin x cos x x 2 x n 1 (x) = cos x ryr. (* sin x ) x 2 x j 2 (x) = ( \---i 3 1 ) x 3 x sin x 3 cos x n x 2 2 (x) = ( 3 1 ) S' tr )< x 2 x cos x 3 : - +), (x) s sin x x9"-ft ;oc* )< 2 X.. j (x) = x ( 1 ) d sin x x dx x n (x) = x ( 1 ) J, t><) s $.'r. x CD$ X ^ d eo JX..fin vto (x): - cos x x 52.K x dx x ) < 7> (x) Tabee fz,/\ : 3.1. =- - Lösungen -:- t-cir,,, der x - Besseschen 7 67 Jx Differentiageichung a '. ; ', t \,'n (x) = d< ( x [ / d\e (-* e1- * 4 *9ira r XI \ > < 3 t < / 7 2 4pk) =,,(f t- d?*r* -x (-Fdx/ < ( o. *?t< = - Re, G) = Qn/fr)VG) nz(x) =--'+ -* cejx \ )<3 "/ * + r,'.r 21Lo z^*xj/h de-, --L-, a-'^ -h;-- Die (sphärischen) Besse-Funktionen treten in der Entwickung t{"- (f: der ebe- kzu) nen Wee (k = ke z ) nach Kugefunktionen auf: - +\ r - i<'r :e' ikz ikr ces O.: e. & -=o ;t Cz!+L) Jnkv) P (c"< e 1

42 36 3. Streuung (3.47) e ik r = e ikz = e ikr cos θ = i (2 + 1)j (kr)p (cos θ) Dabei sind die Legendre-Poynome gerade gegeben durch Y,0 (θ, ϕ) = 2+1 4π P (cos θ). Für die weitere Diskussion sind bestimmte Linearkombinationen der Besse- und Neumann-Funktionen von großer Bedeutung, die sog. Hanke-Funktionen =0 h (1) (x) = h + (x) = j (x) + in (x) h (2) (x) = h (x) = j (x) in (x) Die h ± (kr) verhaten sich wie ausaufende bzw. einaufende Kugeween, z.b. h + 0 (kr) = j 0(kr) + in 0 (kr) = sin(kr) i cos(kr) = i eikr kr kr r Das asymptotische Verhaten der Besse-, Neumann- und Hanke- Funktionen ist j (x) x 1 ( x sin x π ) 2 n (x) x 1 ( x cos x π ) 2 h + (x) x i x ei(x π 2 ) = ( i) +1 eix x h (x) x i x e i(x π 2 ) = i +1 e ix x Partiaween, Streuampituden und Streuphasen. Das Potentia V 0 besitze nun eine Reichweite R 0. Betrachtet man die Lösung der Schrödingergeichung mit der Randbedingung ausaufender Kugeween, so git für r > R 0 fogende Entwickung: ψ (+) (k, r) = [ Mit j (kr) = 1 2 h (+) ψ (+) (k, r) = für r > R 0. [ i (2 + 1)j (kr) + c (k)h (+) ] (kr) P (cos θ) ] (kr) + h ( ) (kr) und c (k) = i 2 (2 + 1)a (k) fogt i ] [h 2 (2 + 1) ( ) (kr) + (1 + a (k))h (+) (kr) P (cos θ) Die Größe S (k) := 1 + a (k) nennt man S-Matrix. Stromerhatung besagt, dass der Strom divergenzfrei ist

43 ,1,'*, ci,;1 Ju 7 { A!*) [-i-'c*"t + (t* art*t)./,[.lo?y?nge< e1. nkk" :. 2z G;/k sr Ctr) : 7- + a"ck -/-*/f s ---zarrerx 3.9. Die Partiaweenmethode 37. =Wro^u/e*.4 6e4-ft: a&- $."^.w, \ d*u1u.nfu"- v I '^ x) /* Y-" "= *" + t g:: x a r/ t -- --u \. n J*a *r<r..n^a oiurr e-y, - 4V "u*a/ arr-, (o^f -ab4 u n-'. und damit I die Summe der radia ein- und ausaufenden Ströme j - r = j r r verschwinden y' J' muss. Dies /F/ impiziert t dff*a 1n = 7 i 1re-rJ*4'ou"/e*. 5--, bf22',\\+ S = 1 + a = 1 /S* : t*qe: - oder äquivatent S S = 1 (Unitaritätsbedingung). Aso erfüt S (k) die Darsteung odt' S;Se = i- (kn^^*(.;{;6b.4"^j7) (3.48) S (k) = e 2iδ ' v'+ "<,.---. *'ct,j7o, mit den reeen Streuphasen δ (k). Es git r-p Snct T <{fr{.(t olu- =bot' {ee'7 (3.49) a (k) = 2ie iδ (k) sin δ (k) S{ (A) : u2n'61ck),)re aee*' ReettEp r*eupn n* (r evt ) t Co + Vergeicht man nun die asymptotische Form von ψ (+) (k, r) mit ψ (+) (k, r) e ikz + f(θ) eikr r ässt sich die Partiaween-Entwickung der Streuampitude bestimmen: a"&) = ie''dg 'o' {-,t Qco ψ (+) (k, r) e ikz + (2 + 1) i 2 a +1 eikr ( i) kr P (cos θ) (r ) Es fogt durch direkten Vergeich oder f(θ) = 1 2ik (2 + 1)a (k)p (cos θ) (3.50) f(θ) = (2 + 1)f (k)p (cos θ) mit (3.51) f (k) = 1 k eiδ sin δ Die f heißen Partiaween-Streuampituden.

44 38 3. Streuung Interpretation der Streuphasen. Nun zurück zur Streuweenfunktion: ψ (+) (k, r) = i (2 + 1)R (+) 3-2o (r)p (cos θ) Außerhab?.4 --( * e-c(o^ des Potentiabereichs {e*(u-" autet die Radiaweenfunktion 4ar4 a {-:"h R (+) = 1 [ ] R;' : * t I h ( ) 2 -' ct") + (kr) + {co t -t'f' ct S (k)h (+) 4) (kr) = eiδ [ ] u t'kr : + e iδ h ( ) 2 (kr) + e iδ { rr * [ ckdj h (+) z- (kr) I "-'44-'[k,1 "n'\nj;-' ite eiδ [e ] La{ELL EN - QvT-wtcKtuatq f i(*" - g- t, ) -i&" - b*arj * e e- i(kr π 2 +δ e_ ) e i(kr π 2 +δ ) z'tao 2;kr L 2ikr. h \ - 4oo = eiδ e t - kr sin(kr π snckr-&*jn) 2 + δ ) -,'z /,r,2+toikz&t)t qz Fi) e kr '2 <' kr Den Unterschied -r- zur Lösung ohne Wechsewirkungspotentia (freie Lösung) -V-q xpr, ^ rzgh o) o f V?2Vtzo, U o/rv or,,^y dr /i u.c41.o k-.^-a, v /ru < R (0) (r) = j (kr) 1 - { ( kr sin kr π ) 7nfuaQarL,p-4/"he#-^#- Cfr-e /a' I r L v/ 2 1k?o Ccea e1 fi',crt: )4(*,, * * 3,1(k,-bt ' z--1 veranschauicht fogendes Beispie der s-ween Streuung (Partiawee mit = 0): *[7a-a.^tc4 f"'o)?ecceae) S+:t pc< tsr ar-.6-a, P^ft.Zr*P. qrun Z=o CS --rt& -n'q"*+ [,,\",,8, / tt k) :,p1=og) L L EN - kn^ o* fr^h&ro- "^ i /*'crt Pa cc+a e 1 '<"k eb-k* oqy?"4"*,*",1 itfc"1 " vout' >o "Fu' i*ic*j t _1 Ltb),u ayn t" U ^., -Cr\' (k""4) %vyhr.,>& ' afa/<-?; q 1o: w_& Berechnung der Partiaween-Streuampituden. Betrachtet man wieder den exakten Ausdruck der Streuampitude 3.29 f k (θ, ϕ) = m 2π 2 d 3 r e ik r V (r)ψ (+) (k, r)

45 3.9. Die Partiaweenmethode 39 u a--"f h f>'dq 3-2L t,,-i a?:*r LEN - {fc! u a--"f h f>'dq und entwicket e ik r und ψ (+) (k, r) nach Kugefunktionen bzw. Partiaween, so sieht man f(θ) = 2m 2 (2 + 1)P (cos θ) dr r 2 V (r)j (kr)r (+) (r) und findet: (3.52) f (k) = 1 k eiδ sin δ = 2m dr r 2 V (r)j (kr)r (+) (r) Für ein schwaches Potentia ( V E) kann man R (+) j (kr) und f = 1 k eiδ sin δ δ setzen und erhät damit eine Bornsche Näherung für die -te Partiawee k δ 2mk 2 0 dr r 2 V (r) [j (kr)] 2 Diese verhaten sich für keine k (k ) wie δ 0 2mk dr r 2 V (r) = ka 2 0 mit der. Streuänge 41n/;It Y+ 2&' a = 2m o< Lftruet, r- /r;u, t + Arr'o-t ft (-?o4'o-(ue%^ dr r 2 V (r) *?^ bo-. 1.-rr-/Rfu eu:"y r: X ;5c Vr"^*-ev 6.' 3-22 Eine wichtige Abschätzung zur Partiaweenentwickung ist die Frage, wie viee Partiaween. bei vorgegebener Energie E = 2 k 41n/;It Y+ 2&' o< Lftruet, r- /r;u, t 2 2m und bei einem Potentia V mit endicher Reichweite r 0 zur Streuampitude beitragen. + Arr'o-t ft (-?o4'o-(ue%^ *?^ bo-. 1.-rr-/R-? fu eu:"y r: X ;5c Vr"^*-ev 6.'? ^ *e o) I dr,-wy)rkqpnu ekt) 3 Cc*e o) I dr,-wy)rkqpnu J@p**d+, b : A(-f-'*( 44 #re.^.e--gt* V>r-f** J@p**d+,.uE{. b : A(-f-'*( 44 #re.^.e--gt* -" 3n Abbidung 3.1. Beispie für ein Potentia mit endicher Reichweite und dz-r Z_ 4-/" Oo. ",u;n s Iustration des Streuparameters b - > f - - t : r - t )-n&v; Pr'*'{'s V>r-f**.uE{. dz-r Z_ 4-/" 3 + L : Oo -itn. Ltr* w) - > f - - t : r - t 3 : -*F f 7, r-tg)-n&v; Pr'*'{'s Ein Maß dafür ist der Streuparameter + >*-L,^p,^A L : -itn b, i.e. Ltr* w) der: Abstand -*F des streuenden Teichens von der z-achse. Bekannterweise ist der Drehimpus ( /V I <' E ˆL = i [r ',tt-*gttu-n? ) /* /* Y-zz"*^ a P"-'=1u'e ( /V I <' E ) ] = r ˆp. Eine gute Abschätzung füra Teichen AH"2fa"t_ auf einer Trajektorie mit H"2fa"t_ Y jn (kr) ck44 or& or& d,"k,*-(w L.' nfue'- R;") Y jn (kr) ck44 Streuparameter b ist L.' I I ( '- k'l kb Keine Streuung findet statt für b( '- r k'l Jv;f"rye-: daher U al,<.- (- 0 und die maximae Partiawee ist * ei> hn^>.*- k*--v U al,<.- (- #, b z To ct) * v'a (3.53) ei> cwteutcu-t*-(z- hn^>.*- k*--v U?,,bL.- max : #, kr 0 b z To ct) k '**,,-VGt )^ v"''j' [ip(ki") v'a irdv cwteutcu-t*-(z- (**r '\-' ka, U?,,bL.- : Gt.. y[**,v"vg): [ip(ki" v"''j' ) frz Jo LA'tu6e ^ ): kq kq q - 1ry f^o, r.vg1 fr> Jo,;i> 2r.r- P"f{v/qt-Ar* (**r '\-' u^-f>*'a% obq ka, dk,** ft' A.-L fi u g-j*, "ka tttturt ( n,;i> 2r.r- P"f{v/qt-Ar* S kn L e-' u^-f>*'a% obq

46 40 3. Streuung Zur Partiaweenentwickung der Streuampitude tragen aso Bahndrehimpuse mit bei. kr Das optische Theorem Das optische Theorem iefert einen wichtigen Zusammenhang zwischen dem totaen Wirkungsquerschnitt σ tot = dω dσ dω und dem Imaginärtei der eastischen Vorwärts-Streuampitude Im f(θ = 0). Es ist und dσ dω = f(θ) 2 = 1 k 2 Damit ergibt sich f(θ) = 1 (2 + 1)e iδ sin δ P (cos θ) k, (2 + 1)(2 + 1)e i(δ δ ) sin δ sin δ P (cos θ)p (cos θ) σ tot = 2π +1 1 d cos θ dσ dω unter Verwendung der Orthogonaität der Legendre-Poynome +1 1 d cos θ P (cos θ)p (cos θ) = δ (3.54) σ tot (k) = 4π k 2 (2 + 1) sin 2 δ (k) Andererseits ist Im f(θ = 0) = 1 ] (2 + 1)Im [e iδ sin δ = 1 (2 + 1) sin 2 δ k k Dies iefert sofort Satz 3.5 (Optisches Theorem). (3.55) σ tot (k) = 4π Im f(θ = 0, k) k

47 3.11. Resonanzen "e1 L*"f 9-)': "/'* Resonanzen Der totae Wirkungsquerschnitt σ tot = 4π 3-44 V=A^)ANZeu k 2 (2 + 1) sin 2 δ (k) k ufu 6-'f Q. ct!r'cu tv r T T- hat Maxima bei δ = (n v- )π (n = 0, 1, 2,... ). Dort ist die Partiaween- : - - "4nt -/. (z k e,1 -e,r L4 r4 u^^4 Streuampitude rein imaginär. kz-es( git: # ry;u;'{e ou-, f (k) = 1 k eiδ sin δ = 1 ( ) -[ao t r*.-o /,t# f,e : (* * *) o G = o, 4, zr..- o uoo R W - k" - o',-o*l *^ot'-, tan δ 9e. + dyt' d'u-?.aro ( ta&o-* - J&=,-. ^* - k 1 i tan δ fr''.^r{q r f fe-l 2 n t-anp L\g\f- '. Fc VYI,! V (ze+4.nuq<rde P" Cwte) tan δ durchäuft Posteen bei δ = (n )π. In der Nähe der Poe kann f ) ;in man daher die Tangensfunktion f I rlk' f t \ = t g 'n\a: Qtt & ' /( k parametrisieren \ \ ' t n w ( durch r y ' t \ - 4rc.-h = 0e tan δ = Γ (E)/2, (E = 2 k 2 ) to-. A 'u'-''4e;*-ft t?"z,tk^ck^ b, zn^ )b!*r)jge-&?,,0", }r'nbto1q, (*e1 E E R 2m d( : (ryr* 2r) n-,?q--=**-.r''>i qr<- Damit ässt sich die Streuampitude / \-. schreiben (et/z- 3.-, o -Ven*'--'*t.-: 4a- v as d6o ir- olu C(,n' % {z'q. or*o n n c@4 qa' G"" q = ho 4r, i IL! f a os : t Q!+t; K z( : L k e \-/ / t',sove-,'<. : 3"- k (ze* t1 (3.56) f (k) = 1 Γ (E)/2 + k E EfiGt/z R iγ (E)/2 -sin-4r, E-ER.-1QG)/z_ (Breit-Wigner-Resonanzampitude) Ln" /e Sr'r..-+ k1 '4",, 4J s- "1 T T@h C In L Ceer T---rn Gru!B - 3* z+ _R (==+) \ na". o&-r 7o t.. P"4" u at4jv a----p4--,-< kfe n'- ' r Der Beitrag einer Resonanz in einer Partiawee zum totaen Wirkungsquerschnitt ist σ tot = σ, σ = 4π k (2 + 1)Im f (k) Einsetzen der Breit-Wigner-Resonanzampitude 3.56 iefert die Breit- Wigner-Forme (3.57) σ (E) = (2 + 1)π k 2 Γ 2 (E E R ) 2 + Γ 2 /4

48 42 3. Streuung Ineastische Streuung Bei der eben behandeten eastischen Streuung waren die Streuphasen δ ree. Im Fa der ineastischen Streuung gehen die mit Energie E einaufenden Teichen im Streuprozess veroren, entweder durch Energieverust (Anregung des Targets) oder durch Reaktionen. Bei gegebener Energie E ist aso S (E) < 1. Daher kann man in diesem Fa die S-Matrix schreiben as S = η e 2iδ, 0 η 1 und die Partiaween-Streuampitude f = 1 ( ) η e 2iδ 1 2ik Man nennt η den Ineastizitätsparameter Operator-Formaismus der Streutheorie In diesem Kapite werden beiebige Streu- und Reaktionsprozesse, nicht beschränkt auf eastische Streuung, behandet. Der Ausgangspunkt sind voständige Sätze von Zuständen φ n mit (3.58) (E n H 0 ) φ n = 0 (freie Schrödinger-Geichung) und ψ n (+) mit (3.59) (E n H 0 V ) ψ (+) n = 0 (mit Wechsewirkung) beide mit der asymptotischen Randbedingung ausaufender Kugeween. Ist zum Beispie H 0 = 2 2m, so ist φ n eine ebene Wee und φ k (r) = r φ n = e ik r (n k). Die formae Lösung der voen Schrödinger-Geichung ist (3.60) ψ (+) n = φ n + [E n H 0 + iε] 1 V ψ (+) n (Lippmann-Schwinger-Geichung) und 1 n = φ n + E n H 0 + iε V φ 1 n + E n H 0 + iε V 1 E n H 0 + iε V φ n +... ψ (+) G (+) (E) = (E n H 0 + iε) 1 ist offenbar der Greensche Operator mit der Randbedingung für ausaufende Kugeween (+iε am Po). Es git (E H 0 )G (+) = I (Einheitsoperator)

49 3.13. Operator-Formaismus der Streutheorie 43 In der Ortsdarsteung ist 3.60 die Geichung für die Streuweenfunktion ψ n (+) (r) = r ψ n (+) 1 = φ n (r) + r E n H 0 + iε V ψ(+) n = φ n (r) + 1 r E m n H 0 + iε φ m φ m V ψ n (+) = φ n (r) + φ m (r) E m n E m + iε φ m V ψ n (+) Definition 3.6 (T-Matrix). Man nennt (3.61) T mn = φ m V ψ (+) n die T-Matrix. Die Streuampitude nimmt dann die Form f mn = 2M 4π 2 T mn an (Im Fae der eastischen Streuung identifiziere n k, m k). Die früher eingeführte S-Matrix ist agemein mit der Unitaritätsbedingung S mn = δ mn + 2πiδ(E m E n )T mn S nms m = δ n bzw. S S = I (Zur Erinnerung: es ist (S ) nm = (S mn ) ). as Das optische Theorem ässt sich in der Operator-Formuierung schreiben Im T n = m πδ(e n E m )T nmt m

50 44 3. Streuung Übungsaufgaben zu Kapite 3 Aufgabe 5 Der asymptotische Ansatz ψ(r ) r ψ 0 (r ) + ψ S (r ) für die Weenfunktion eines Teichens der Masse m, das an einem Zentrapotentia V ( r ) gestreut wird, setzt sich aus der einfaenden Wee und der Streuwee zusammen. ψ 0 (r ) = e ikz ikr cos θ = e ψ S (r ) = f(θ) eikr r (1) Zeigen Sie, dass dieser asymptotische Ansatz die Schrödingergeichung mit E = 2 k 2 2m erfüt, fas das Streupotentia für r schneer as 1 r abfät. (2) Berechnen Sie die Stromdichte j = 2mi (ψ ψ ψ ψ ). Hinweis: Der Gradient in Kugekoordinaten autet Aufgabe 6 = e r r + e 1 θ r θ + e 1 ϕ r sin θ ϕ. Gegeben sei ein kugesymmetrisches Potentia mit einer Konstanten g. V (r ) = gδ (3) (r ) a) Man zeige, dass die Streuampitude in Born scher Näherung gegeben ist durch f(θ) = m 2π 2 g. b) Das Potentia V (r ) werde nun verwendet, um die Streuung von thermischen Neutronen an Atomkernen zu simuieren und die Streuänge a zu reproduzieren. Wie autet der entsprechende Ausdruck für g? Wechen Wert nimmt g für eine typische Streuänge von a = 5 fm an?

51 Übungsaufgaben zu Kapite 3 45 Aufgabe 7 Ein Teichen werde gestreut an einem kugesymmetrischen Potentia mit Konstanten g und µ. V (r) = g2 r e µr (1) Berechnen Sie die Streuampitude in Born scher Näherung. (2) Man zeige, dass der daraus fogende differentiee Wirkungsquerschnitt as Funktion des übertragenen Impuses q durch [ dσ dω = 2mg 2 ] 2 2 (q 2 + µ 2 ) gegeben ist. (3) Man verwende dieses Resutat, um die Rutherford-Forme für die Streuung von α-teichen der Energie E an Kernen der Ladungszah Z herzueiten. Man zeige, dass der differentiee Wirkungsquerschnitt für diesen Streuprozess as Funktion des Streuwinkes durch fogenden Ausdruck gegeben ist: Aufgabe 8 dσ dω = [ Ze 2 2E sin 2 (θ/2) ] 2. Die Green-Funktion G(r r ) erfüt die Geichung Zeigen Sie, dass durch G(r r ) = ( r + k 2 )G(r r ) = δ (3) (r r ). i 8π 2 r r (I + + I ) mit I ± = C dq eiq r r q ± k. für die beiden angegebenen Integrationswege C in der kompexen Ebene eine Lösung dieser Geichung gegeben ist. Werten Sie dazu die Integrae I + und I durch Integration in der kompexen q-ebene jeweis entang der beiden angegebenen Integrationswege C + und C mit Hife des Residuensatzes aus. Im q Im q C + C Re q Re q k +k k +k