Lorenz-Mie-Theorie (1)

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1 Lorenz-Mie-Theorie Die Lorenz-Mie-Theorie behreibt die Streuung von Licht an Teichen, deren Größe in etwa zwihen einem Zehnte und dem Zehnfachen der Lichtweenänge iegt Sie bis in ae Einzeheiten durchzurechnen ist mir zu mühsam Ich behräne mich darauf, die Hereitung der sogenannten Mie-Koeffizienten nachzuvoziehen Sie fogen aus den Randbedingungen an der Grenzfäche zwihen dem as ugeförmig angenommenen Teichen und dem Außenraum Mit Hife dieser Koeffizienten wird dann der Wirungsquerhnitt für Streuung berechnet Eine ebene eetromagnetihe Wee werde an einem ugeförmigen Hindernis gestreut Das eetromagnetihe Fed weit entfernt vom Streuzentrum ist dann die Überagerung des Fedes der einaufenden ebenen Wee mit dem der gestreuten Wee Die gestreute Wee ist eine vom Streuzentrum nach aen Raumrichtungen ausgehende Kugewee Ihre Intensität wird in einem geeigneten Detetor nachgewiesen Das Hindernis sei eine dieetrihe, nicht magnetihe Kuge mit dem Radius R und dem Brechungsindex n Sie befinde sich im Vauum mit dem Brechungsindex Gesucht ist die Intensität, die in einem einen, vom Streuzentrum ausgehenden Raumwineeement nachgewiesen wird, beispiesweise as Funtion des Streuwines, und die über ae Raumrichtungen integrierte Intensität (differenzieer bzw totaer Wirungsquerhnitt) Die Bezeichnungen der physiaihen Größen in den nachfogenden Rechnungen sind weitgehend identih mit denen im Standardwer Cassica Eectrodynamics von Jacson Jedoch benutzen wir, abweichend von der dortigen Darsteung, as Einheitensystem das SI-System Eine detaiierte Darsteung der Lorenz-Mie-Streuung findet man beispiesweise in dem Voresungssript Eectromagnetic Scattering I von K Muinonen 2 Die Feder im Außenraum der Kuge assen sich as Summe aus einaufender (Index ) und gestreuter Wee (Index ) hreiben: () Ex ( ) E + E Bx ( ) B + B Dabei steht der Index für die einaufende (ident) ebene Wee und der Index für die gestreute (attered), aso ausaufende Kugewee Wegen der Kugesymmetrie rechnen wir in Kugeoordinaten (r, θ, ϕ), wobei r der Abstand vom Mittepunt des Streuzentrums ist Mit θ wird der Poarwine, mit ϕ der Azimutwine bezeichnet Einheitsvetoren sind durch ein Dach (Zirumfex) über der entsprechenden Koordinate geennzeichnet Die einaufende ebene Wee sei ziruar poarisiert und bewege sich z-richtung Ihr Weenzahvetor sei ẑ Dabei ist, wie übich, ω/c, wobei mit ω die Kreisfrequenz der Wee und mit c die Lichtgehwindigeit im Vauum bezeichnet werden Es git aso (2) E ( x) ( x ± iy) Ee cb ( x) z E 0 iz Um von der Kugesymmetrie Gebrauch zu machen, werden die Fedstären nach Mutipoen (Partiaween) entwicet Diese Entwicung findet man beispiesweise dem hon erwähnten Sript von Muinonen 2 und in dem Lehrbuch von Jacson 3 (3) Ein ( x) c E0 i 4 π(2 + ) j( r) X, ± ( θφ, ) ± j( r) X, ± ( θφ, ) i cbin ( x) c E0 i 4 π(2 + ) j( r) X, ± ( θφ, ) i j( r) X, ± ( θφ, )

2 Der Index bezeichnet die Mutipoordnung bzw Nummer der Partiawee Die Funtionen X, ± sind speziee Vetor-Kugefuntionen Im agemeinen Fa ann der zweite Index von X (hier ±) ganzzahige Werte zwihen und + annehmen Man bezeichnet ihn in der Rege mit m und definiert (4) Xm( θφ, ) LYm( θφ, ) ( + ) Dabei ist L der aus der Weenmechani beannte Drehimpusoperator und die Funtionen Y m (θ, ϕ) sind die im geichen Kontext gehandeten Kugefächenfuntionen Näheres dazu in den hon genannten Queen 2,3 Dass in der Entwicung der ebenen Wee nur die Werte m ± auftreten, interpretiert man auch im Kontext der Weenmechani: Das Photon ist ein Spin-- Teichen, seine Drehimpusomponente in Bewegungsrichtung ann nur die beiden Werte ± annehmen 3 Die gestreute Wee wird, wie die ebene Wee in (3), ebenfas nach Mutipoen entwicet aerdings mit zwei Änderungen Zunächst werden die Radiafuntionen j (r) durch die sphärihen Hanefuntionen h () (r) ersetzt Die Funtionen h () (r) gehen für r gegen Nu und garantieren, dass die über ae Raumrichtungen integrierte Intensität endich beibt Außerdem werden die Summenterme in (3) mit Koeffizienten a und b versehen, die den Antei darsteen, mit dem die jeweiige Partiawee zum Wirungsquerhnitt beiträgt 4 Das führt zu (5) () () E( x) E0 i 4 π(2 + ) ah ( r) X, ± ( θφ, ) ± b h ( r) X, ± ( θφ, ) i () () cb( x) E0 i 4 π(2 + ) a h ( r) X, ± ( θφ, ) i bh ( r) X, ± ( θφ, ) Die Koeffizienten a und b ergeben sich aus den Randbedingungen an der Oberfäche (r R) der dieetrihen Kuge Sie fordern, dass die Tangentiaomponenten der Fedstären dort stetig vom Innen- in den Außenraum übergehen Die Fedstären im Innern der Kuge (Index i) werden, wie die beiden bisher betrachteten Feder, auch nach Mutipoanteien entwicet Für das Innere der Kuge ist ein Ansatz mit j (r) as Radiafuntionen sinnvo Denn die sphärihen Bessefuntionen j (r) garantieren, dass die Feder an der Stee r 0 nicht singuär werden Bezeichnet man die Entwicungsoeffizienten jetzt mit c und d, ergibt sich (6) Ei( x) E0 i 4 π(2 + ) c j( nr) X, ± ( θφ, ) ± d j( nr) X, ± ( θφ, ) c i Bi( x) E0 i 4 π(2 + ) c j( nr), ± ( θφ, ) i d j( nr), ± ( θφ, ) n X X Dabei wurde berücsichtigt, dass die Lichtgehwindigeit im Inneren der Kuge um den Fator /n einer ist as im Außenraum Daher der Fator n vor dem Betrag des Weenzahvetors im Argument der Bessefuntionen j und der Fator /n vor der Fedstäre B i Die Randbedingungen betreffen die Fedstären E und H B/µ 0 Da die streuende Kuge as nicht magnetih angenommen wird, unterheiden sich H und B nur durch die Konstante µ 0 Wie hon erwähnt, müssen die Tangentiaomponenten der Fedstären an der Oberfäche der Kuge (r R) stetig ineinander übergehen Aso git

3 (7) [ ] [ ] r E + E E 0 i r R r H + H H 0 i r R Setzt man die Terme für die Fedstären auf den rechten Seiten von (4) bis (6) ein, ergeben sich die Kreuzprodute r X, ± ( θφ, ) und r j( r) X, ± ( θφ, ) Das zweite (Mehrfach-)Produt ässt sich mit Hife der Vetoranaysis vereinfachen: r ( ) X, ± (, ) ( ) ( ), ± ( θφ, ) X r ( r) (8) j r θφ [ r j r ] Diese Geichung git auch im Fa der Funtionen h () ( r ) Wir hreiben für die Abeitungen urz [( r) j( r) ] [( r) j( r) ], ( r) () () ( r) h ( r) ( r) h ( r) ( r) Die Kreuzprodute von r mit den Fedstären in (7) assen sich somit in Komponenten der orthogonaen Vetoren Xm und r Xm zeregen Für die Fedstären der einaufenden Wee ergibt sich beispiesweise r E E0 i 4 π(2 + ) j ( r) r X, ± ( θφ, ) ± r j ( r) X, ± ( θφ, ) E 0 i 4 π(2 ) j( r), ± ( θφ, ) [( r) j( r) ] + r X X, ± ( θφ, ) r i r cb E0 i 4 π(2 + ) r j ( r) X, ± ( θφ, ) i j ( r), (, ) r X ± θφ i E0 i 4 π(2 ) [( r) j ( )] r + X, ± ( θφ, ) i j( r) r X, ± ( θφ, ) r Die entsprechenden Geichungen für die gestreute Wee und die Wee im Innern der Kuge sind, abgesehen von den Entwicungsoeffizienten a, b, c und d, von derseben Form Der Ansatz für die gestreute Wee ist () () r E E0 i 4 π(2 + ) a h ( r) r X, ± ( θφ, ) ± b r h ( r) X, ± ( θφ, ) () () E 0 i 4 π(2 + ) ah ( r), ± ( θφ, ) b ( r) h ( r) r X, ± ( θφ, ) r X () () i r cb E0 i 4 π(2 + ) a r h ( r) X, ± ( θφ, ) i b h ( r), (, ) r X ± θφ, i () () E 0 i 4 π(2 ) a ( r) h ( r) +, ± ( θφ, ) i bh ( r), ± ( θφ, ) r X r X

4 und für die Wee im Innern der Kuge hreiben wir r Ei E0 i 4 π(2 + ) c j( nr) r X, ± ( θφ, ) ± dr j( nr) X, ± ( θφ, ) n E0 i 4 π(2 ) cj( nr), ( θφ, ) d [( nr) j( nr) ] + r X ± X, ± ( θφ, ) nr i r cb i E0 i 4 π(2 + ) n cr j( nr) X, ± ( θφ, ) i n d j( nr), ± ( θφ, ) n r X i E0 i 4 π(2 ) n c [( ) ( )] nr j nr + X, ± ( θφ, ) i n d j( nr) r X, ± ( θφ, ) n r Zu beachten ist, dass auf der rechten Seite der Geichung für r cb i der Brechungsindex n erheint (beide Seiten der Geichung (6) für B mit n mutipiziert) Die Randbedingungen (7) auten damit (9) () j ( R) + a h ( R) c j( nr) ( r X, ± ) () ± [( R) j( R) ] + b ( R) h ( R) d[ ( nr) j( nr) ], ± R n X 0 für die eetrihe Fedstäre und (0) i () [( R) j ( R) ] + a ( R) h ( R) c [( nr) j ( nr) ] R X, ± i j R b h R n d j nr () ( ) + ( ) ( ) ( r X, ± ) 0 ± für die Fedstäre H Wegen der Orthogonaität der Vetoren X, ± und r X, müssen die Randbedingungen für jede Komponente getrennt erfüt sein Das führt zu dem Geichungssystem () a h ( R) c j ( nr) j ( R) () () b ( R) h ( R) d[ ( nr) j( nr) ] [( R) j( R) ] n () a ( R) h ( R) c[ ( nr) j( nr) ] [( R) j( R) ] b h ( R) n d j ( nr) j ( R) () In den Wirungsquerhnitt für Streuung (und Absorption) gehen nur die Koeffizienten a und b ein Deren Lösungen 5 sind (2) a b j ( nr) ( R) j ( R) j ( R) ( nr) j ( nr) [ ] [ ] [ ] [ ] h ( R) ( nr) j ( nr) j ( nr) ( R) j ( R) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] 2 n j nr R j R j R nr j nr h ( R) ( nr) j ( nr) n j ( nr) ( R) j ( R) () 2 Die Formen für den totaen und differenzieen Streuquerhnitt ( σ bzw dσ / dω ) entnehmen

5 wir, wie anfangs angedeutet, der Literatur 6 : (3) und σ 2 2 ( ) 2π (2 + ) a + b 2 (4) mit dσ dω S( θ) + S2( θ) S( θ) P (cos θ ) d ( ) a + b P (cos θ) ( + ) sinθ dθ S2( θ) d P (cos θ ) ( ) a P (cos θ) + b ( + ) dθ sinθ Dabei sind die Funtionen P die zugeordneten Legendre-Poynome P m mit m Eine Übersicht findet man beispiesweise bei Abramowitz und Stegun 7 Da die Mie-Koeffizienten a und b und damit auch die Ampituden S und S 2 ompexe Zahen sind, sind deren Betragsquadrate geich dem Produt der entsprechenden Größe mit ihrem onjugiert Kompexen Ein Mape-Sript, das die beiden Wirungsquerhnitte berechnet, ist im Anhang aufgeistet Literatur und Anmerungen John D Jacson, Cassica Eectrodynamics, John Wiey & Sons, Inc, New Yor, London, Sydney, Karri Muinonen, Eectromagnetic Scattering I, Department of Physics, University of Hesini Advanced Course no 5399 in Astronomy, I%2C+202?preview/ / /EMatIpdf 3 Jacson, Sect 62, Mutipoe Expansion of the Eectromagnetic Fieds 4 Die Koeffizienten müssten eigentich a ± () und b ± () heißen, aso je nach Vorzeichen in (2) unterhieden werden Die Rechnung ergibt aber, dass die Lösung (2) für a und b für beide Vorzeichen geich ist Deshab wird der Index ± weggeassen 5 verg Geichung (243) in Zangwi, Modern Eectrodynamics, Cambridge University Press, 203, 6 z B K Muinonen, a a O, Lecture 09 7 Miton Abramowitz und Irene A Stegun, Handboo of Mathematica Functions, S 334

6 restart: Mie-Streuung, Differenzieer Wirungsquerhnitt with(linearagebra): with(pots): Digits : 20: Sphärihe Besse- und Hanefuntionen j : (n, x) - sqrt(pi/(2*x)) * BesseJ(n + /2, x): h : (n, x) - sqrt(pi/(2*x)) * HaneH(n + /2, x): Riccati-Besse Funtionen und Abeitungen psi : (, s) - s * j(, s): xi : (, s) - s * h(, s): psid : (, s) - ( + )*j(, s) - s*j( +, s): xid : (, s) - ( + )*h(, s) - s*h( +, s): Funtionen pi- und tau in Streuampitude _EnvLegendreCut : infinity: pi : (, x) - evaf(legendrep(,,x)/sqrt( - x^2)): tau : (, x) - evaf(-sqrt(-x^2)*(*x*legendrep(,, x) - (+)*LegendreP(-,, x))/(x^2-)): Berechnung der Streuampituden (Prozeduren) amps : proc(theta) oca, amp; amp : 0; for from to max do amp : amp + evac((2*+)/(*(+))*(a[]*pi(,cos (theta)) + b[]*tau(,cos(theta)))): end proc: amps2 : proc(theta) oca, amp; amp : 0; for from to max do amp : amp + evac((2*+)/(*(+))*(b[]*pi(,cos (theta)) + a[]*tau(,cos(theta)))): end proc: Berechnung der Mie-Koeffizienten a(,x) und b(,x) fuer (disrete) Werte von x und des totaen Wirungsquerhnitts Darsteung as Funtion von x R NR: 33: # Brechungsindex fuer Wasser max : 00: Lx : []: LsigmaTot : []: N : 400: x : 0: for n from to N do

7 x : x + /8: for from to max do a[, x] : evaf((psi(,x)*psid(,nr*x)-nr*psi(,nr*x) *psid(,x))/(xi(,x)*psid(,nr*x)-nr*psi(,nr*x)* xid(,x))): b[, x] : evaf((psi(,x)*nr*psid(,nr*x)-psi(,nr*x) *psid(,x))/(xi(,x)*nr*psid(,nr*x)-psi(,nr*x)* xid(,x))): Lx : [op(lx),evaf(x)]; sigmatot : (2/x^2)*sum((2*m + )*((abs(a[m,x]))^2 + ( (abs(b[m,x]))^2)), m max): LsigmaTot : [op(lsigmatot), sigmatot]: pot( Lx, LsigmaTot, nops(lx), axes boxed, abedirections ["horizonta", "vertica"], abefont ["Verdana", 4], abes [R, sigma/(pi*r^2)]); Berechnung der Mie-Koeffizienten a() und b() fuer R (vorgegeben) und des differentieen Wirungsquerhnitts fuer R 0 R : 0: # Tropfengröße etwa 0,8 mirometer

8 max : 8: for from 0 to max do a[] : simpify(evac((psi(,r)*psid(,nr*r)-nr*psi(, NR*R)*psiD(,R))/ (xi(,r)*psid(,nr*r)-nr*psi(, NR*R)*xiD(,R)))): b[] : simpify(evac((psi(,r)*nr*psid(,nr*r)-psi(, NR*R)*psiD(,R))/ (xi(,r)*nr*psid(,nr*r)-psi(, NR*R)*xiD(,R)))): # Mie-Koeffizienten zur Kontroe # printf("%4d %64Zf %64Zf\n",, a[], b[]): Berechnung des differenzieen Wirungsquerhnitts DsigmaDomega : theta - (/2)*((abs(ampS(theta*Pi/80))) ^2 + (abs(amps2(theta*pi/80)))^2): ogpot(dsigmadomega(theta), theta 0080, view [0 80, 0000]);