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1 THEORETISCHE PHYSIK C NACHKLAUSUR Prof. Dr. J. Kühn Dienstag, Dr. S. Uccirati 7:3-2:3 Uhr Bewertungsschema für Bachelor Punkte Note < nicht bestanden bestanden Scheinvergabe für Diplomstudiengang bei 6 und mehr Punkten Aufgabe : Punkte Wenn nicht explizit gefordert, ist in Aufgabe keine Herleitung verlangt. a Elektro- und Magnetostatik i Gegeben seien n Ladungen q i am Ort r i (i =,...,n. Was erhalten Sie für das elektrische Feld E( r am Ort r? Was ergibt sich für die Wechselwirkungsenergie W des Systems? E( x = 4πǫ n i= q i r r i 3 ( r r i, W = 2 4πǫ n i,j=; i j q i q j r i r j Welche Bedingung an die Ladungen muß gelten, damit das elektrische Feld E( r für große Abstände, also für r r i, stärker als /r 2 abfällt?

2 Die Gesamtladung (Monopolmoment Q = i q i muss verschwinden. P Welche zwei Bedingungen müssen gelten, damit das Potential für große Abstände stärker als /r 2 abfällt? Die Gesamtladung (Monopolmoment Q = i q i und das Dipolmoment p = i q i r i müssen verschwinden. P ii Eine elektrische Ladung Q befindet sich am Ort (,, d mit d > vor der geerdeten leitenden Ebene z =. Was ergibt sich für das Potential Φ(x, y, z und das Feld E(x, y, z für z > und z <? φ(x,y,z = [ ] Q 4πǫ x 2 + y 2 + (z d + Q 2 x 2 + y 2 + (z + d 2 z > φ(x,y,z = z < P { ( E(x,y,z = Q xy 4πǫ [x 2 +y 2 +(z d 2 ] 3/2 z d + Q ( } xy [x 2 +y 2 +(z+d 2 ] 3/2 z+d z > E(x,y,z = z < P Was ergibt sich für das Potential, wenn Sie statt der Punktladung einen Dipol mit Dipolmoment p = (p x, p y, p z betrachten? Dipolmoment des Spiegeldipols: p = ( p x, p y,p z. { xpx + y p y + (z dp z φ(x,y,z = 4πǫ [x 2 + y 2 + (z d 2 ] 3/2 + xp } x y p y + (z+dp z [x 2 + y 2 + (z + d 2 ] 3/2 z > φ(x,y,z = z < iii Gegeben sei eine vom Strom I durchflossene Leiterschleife, deren Verlauf durch die Kurve l(t mit t t t 2 gegeben ist. Was ergibt sich für den Beitrag db eines Leiterstücks d l zum Magnetfeld B( r am Punkt ach dem Biot-Savartschen Gesetz? Stellen Sie B( r als eindimensionales Integral über t dar.

3 d B = µ 4π I d l r l(t r l(t 3 B( r = µ 4π Z t2 t dt I d l dt r l(t r l(t 3 Was erhalten Sie für B am Mittelpunkt einer kreisförmigen Schleife mit Radius R? r = B( = µ 4π Z 2π ( cos t l(t = R sint ( cos t r l(t = R sint dt I R ( sin t cos t R r l(t = R ( cos t sin t R 3 = µ I 2R e z B( = µ I 2R P b Zeitabhängige Phänomene i Zeigen Sie, dass die Kontinuitätsgleichung aus den Maxwell-Gleichungen folgt. Maxwell-Gleichungen E = ρ ǫ, B =, E + t B = B µ ǫ t E = µ j P j = ( B µ }{{} µ ǫ t E }{{} = t ρ ρ/ǫ ii Was erhält man für die Impulsänderung d p dt und die Änderung der Energie dw dt eines Teilchens mit der Ladung q und mit Geschwindigkeit v bei Anwesenheit eines elektrischen und magnetischen Feldes? d p dt = q ( E + v B dw dt = q v E

4 Aufgabe 2: 4 Punkte Das Potential auf einer Kugeloberfläche mit Radius a sei gegeben durch Φ = α + α cosθ, Was ergibt sich für das Potential (durch Überlegungen! α, α = konstant i für r > a, wenn keine Ladungen für r > a vorhanden sind und Φ(r gefordert wird? ii für r < a, wenn keine Ladungen für r < a vorhanden sind. In beiden Fällen sind keine Ladungen vorhanden: Laplace-Gleichung Φ(r,θ,φ = gilt. Allgemeine Lösung: Φ(r,θ,φ = l= l (A lm r l + B lm r l Y l,m (θ,φ m= l wobei Y l,m die Kugelflächenfunktionen sind: Y, = 3 3, Y, = cos θ, 4π 4π Y, = 8π sin θ eiφ, Y, = A lm und B lm werden durch die Randbedingungen bestimmt. r > a Für r soll Φ, daher verschwinden alle A lm. 3 8π sin θ e iφ,... Durch die Bedingungen für r = a kann man B lm festlegen. Für r = a ist das Potential Φ = α + α cos θ. Daher tragen zum Potential nur die Kugelflächenfunktionen Y, und Y, bei (alle anderen B lm verschwinden: P P Φ(r,θ,φ = B r Y (θ,φ + B r 2 Y (θ,φ und B, B sind: r < a B = α a 4π, B = α a 2 4π 3. a Φ(r,θ,φ = α r + α a 2 r 2 cos θ r > a. Für r = darf man keine Divergenz haben (keine Ladungen sind vorhanden, daher verschwinden alle B lm. Durch die Bedingungen für r = a kann man A lm festlegen. Für r = a ist das Potential Φ = α + α cos θ. Daher tragen zum Potential nur die Kugelflächenfunktionen Y, und Y, bei (alle anderen A lm verschwinden: Φ(r,θ,φ = A Y (θ,φ + A r Y (θ,φ und A, A sind: 4π A = α 4π, A = α a 3. Φ(r,θ,φ = α + α r a cos θ r < a.

5 Aufgabe 3: 7 Punkte Gegeben sei (in Zylinderkoordinaten die Stromdichte [ ( ] j(r, φ, z = j o e z θ(a r, a >. a i Was ergibt sich für den gesamten Strom I? Daher Z a Z 2π I = dr r dφ j o [ Z I = F d F j ( r n ] Z a [ = 2πj o dr r (r n+ a ] = π j o a 2 n P P ii Berechnen Sie mittels des Ampèreschen Gesetzes das zugehörige Magnetfeld B (wahlweise in Zylinder- oder kartesischen Koordinaten für r > a und r < a. Ampèresches Gesetz: I C d l B = µ I c wobei C eine geschlossene Kurve und I c der gesamte Strom ist, der durch C fließt. Diese Aufgabe hat eine zylindrische Symmetrie und das B Feld ist wie in der Bildung: z P j x B y B = B e φ = B (cos φ e x + sin φ e y. Wir betrachten als Kurve C einen Kreis mit Zentrum in r = in der Ebene senkrecht zu j und Radius r. I d l B = 2π r B. c P Für r > a fließt durch C der gesamte Strom I: I d l B = µ I c 2π r B = µ π j o a 2 n B = µ j o a 2 r c n 2( B = µ j o a 2 r n 2( e φ = µ j o a 2 n r 2( (cos φ e x+sinφ e y. P

6 Für r < a fließt durch C der Strom I(r: Z r Z 2π ( r I(r = dr r dφ n ] Z r [ j o [ = 2π j o dr r (r n+ ] ( a = π j o r 2 2 I C ( d l B = µ I c 2π r B = π j o r 2 2 B = µ ( j o r 2 2 B = µ j o r 2 ( 2 e φ = µ j o r 2, ( 2. (cos φ e x + sin φ e y., P P Aufgabe 4: 6 Punkte Ein Pion (Masse M π zerfalle in ein Myon (Masse m µ und ein Neutrino (Masse m ν. Bestimmen Sie Ausdrücke für Energie und Impuls des Myons im Ruhesystem des Pions in Abhängigkeit von M π und m µ. Wie weit fliegt das Myon im Mittel, wenn seine mittlere Lebensdauer τ beträgt? (ausgedrückt durch M π, m µ und τ. Im Ruhesystem des Pions: Relativistische Energie-Impuls Beziehung: Erhaltung des Viererimpulses: Dann π µ ν µ p α π = (c 2 M π,, p α µ = (E µ, p µ, p α ν = (E ν, p ν. E 2 µ = c 4 m 2 µ + c 2 p µ 2 E 2 ν = c 2 p 2 ν. P p α π = pα µ + pα ν, { { c 4 m 2 µ + c 2 p 2 µ + c p ν = c 2 M π, E µ + E ν = c 2 M π, p µ + p ν =. p µ = p ν, p µ = p ν = p. c 4 m 2 µ + c 2 p 2 = c 4 M 2 π + c 2 p 2 2c 3 M π p p = c M2 π m2 µ 2M π. P E µ = c c 2 m 2 µ + p µ 2 = c 2 M2 π + m2 µ 2M π. P P

7 Zusammenhang zwischen Impuls, Energie und Geschwindigkeit: p = γ m v, E = γ m c 2. v = p E c2, γ = E m c 2, Das Myon fliegt im Mittel im Ruhesystem des Pions: γ v = p m. s = γ τ v = τ p µ m µ = τ c M2 π m 2 µ 2M π m µ, + P (Das γ kommt von der Zeit-Dilatation. Aufgabe 5: 3 Punkte Für den Zusammenhang zwischen Wellenvektor k und Kreisfrequenz ω einer Welle in einem quadratischen Hohlleiter mit Kantenlänge a gilt (mit m ganzzahlig: ( k 2 = ω2 m 2. c 2 π2 a i Was ergibt sich für die Phasengeschwindigkeit v ph und die Gruppengeschwindigkeit v g? v ph = ω k = c [ + v g = dω [ dk = c + ( mπ 2 ] /2. k a P ( mπ 2 ] /2. k a P ii Für welche Kreisfrequenzen ist die Ausbreitung von Wellen möglich? Die Ausbreitung von Wellen ist möglich, wenn k reell ist, d.h. es muss einen Wert von m geben, so dass k 2. Das bedeutet, k 2 muss positiv sein, mindestens für m =. die folgende Bedingung für die Kreisfrequenzen, die die Ausbreitung von Wellen ermöglicht: ω π c a. Aufgabe 6: Punkte Eine Welle sei durch die Potentiale A = A e y sin(kx ωt und Φ = beschrieben. i Berechnen Sie die elektrische und magnetische Feldstärke.

8 B = A = E = Φ A t = A ω e y cos (kx ωt. ( ( x Ax A y y A y = e z z A z x = A k e z cos (kx ωt. P P ii Die Welle falle nun auf ein Elektron, welches durch eine Kraft F = mα 2 r an seine Ruhelage bei r = gebunden ist (harmonischer Oszillator. Wie lauten die Bewegungsgleichungen für die drei Koordinaten x(t, y(t, z(t des Elektrons? Lorentz Kraft: d p dt = m α2 r + ( e( E + v B, p = m γ r, v = r, dγ dt = γ. m γ r + m γ r = m α 2 r e(ω e y + k r e z A cos (kx ωt. P In Kartesischen Koordinaten: m γ ẍ + m γ ẋ = m α 2 x ek ẏ A cos (kx ωt, m γ ÿ + m γ ẏ = m α 2 y e(ω k ẋa cos (kx ωt, m γ z + m γ ż = m α 2 z, P (wir haben benutzt r e z = ẏ e x ẋ e y. iii Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen im nichtrelativistischen Grenzfall v/c, d.h. setzen Sie γ und vernachlässigen Sie Terme der Ordnung r/c. Zeigen Sie, dass die Gleichungen für x und z dann entkoppeln und mit den Anfangsbedingungen x( = z( = ẋ( = ż( = trivial gelöst werden. Suchen Sie dann die Lösung für y(t. In der Bewegungsgleichung von Punkt ii benutzen wir k = ω/c und schreiben: Im Grenzfall r c In Kartesischen Koordinaten: m γ r + m γ r = m α 2 r eω ( e y + r c e z A cos (kx ωt. (γ findet man: m r = m α 2 r eω e y A cos (kx ωt. m ẍ = m α 2 x, m ÿ = m α 2 y eω A cos (kx ωt, m z = m α 2 z. P Die Gleichungen für x(t und z(t sind harmonische Oszillatoren, deren allgemeine Lösung ist:

9 x(t = A x cos (αt + B x sin(αt, z(t = A z cos (αt + B z sin(αt. Mit den Anfangsbedingungen x = z = ẋ = ż = zur Zeit t = findet man: x( = A x =, ẋ( = α B x =, z( = A z =, ż( = αb z =. Die Gleichung für y(t wird dann: x(t =, z(t =. P m ÿ = m α 2 y eω A cos (ωt. Das ist eine inhomogene differentielle Gleichung. Die allgemeine Lösung ist die allgemeine Lösung der assoziierten homogenen Gleichung (harmonischer Oszilator plus eine Lösung der inhomogene Gleichung: y(t = A y cos (αt + B y sin(αt + y (t mit m ÿ = m α 2 y eω A cos (ωt. + P Suchen wiun die spezielle Lösung y (t. Ansatz: y (t = a cos (ωt Wir fügen den Ansatz in die differentielle Gleichung ein und finden: m aω 2 cos (ωt = m α 2 a cos (ωt eω A cos (ωt. m aω 2 = m α 2 a eω A (α 2 ω 2 ma = eω A a = Die allgemeine Lösung für y(t ist dann: y(t = A y cos (αt + B y sin(αt + ω ea (ω 2 α 2 m. ω ea (ω 2 α 2 m cos (ωt.