NACHKLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK) Sommersemester 2014

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Elly Maurer
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1 Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin NACHKLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK) Sommersemester 204 Dienstag, 7.0.4, 0:5 Uhr Name: Geburtsdatum: Matrikelnummer: Falls Sie wünschen, dass ich Ihr Ergebnis im Blackboard veröffentliche, geben Sie hier bitte (in Blockschrift!) ein 5-stelliges Codewort/ eine Code-Nr. an (evt. die ersten oder letzten Ziffern Ihrer Matrikelnr.) Unterschrift: (ist erforderlich!) Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: - Hinweise und Warnungen: Die Klausur darf nicht mit Bleistift geschrieben werden. Konstanten wie z.b. 4πǫ 0, e, 2 müssen nicht berechnet werden. Vereinfachen und kürzen Sie die Ergebnisse soweit nicht ausdrücklich anders angegeben soweit wie möglich. Wenn Sie neue Bezeichnungen einführen, so erläutern Sie diese, evt. anhand einer Skizze! Rechnen Sie überall in SI-Einheiten. Am Ende befindet sich eine Formelsammlung.

2 Aufgabe 0: Grundwissen Hier gibt es einen halben Minuspunkt für jede nicht oder falsch beantwortete Frage!. Schreiben Sie als natürliche Zahlen: log 2 (8) = tan(π/4) = 2. Skizzieren Sie die Funktionen e x und e x in die Koordinatensysteme. (Es kommt nicht auf Schönheit an, aber Schnittpunkte mit Achsen und asymptotisches Verhalten sollten erkennbar (und richtig) sein. e x e x x x 3. Skizzieren Sie in das Koordinatensystem (irgend-)eine Funktion f(x) mit den Eigenschaften: f(x) ist überall stetig. f (x) macht einen endlichen Sprung bei x = x 0. f(x) x 0 x 4. Sind die folgenden Größen Vektoren aus R 3? Unterstreichen Sie die richtige Antwort! Skalarprodukt: ja nein Elementarladung: ja nein Leistung: ja nein Lorentzkraft: ja nein Maximal 2 Minuspunkte. 2

3 Aufgabe : Grundbegriffe aus der Vorlesung (5 Punkte) a.) Zeichnen Sie einige Äquipotenziallinien des Skalarfeldes Φ = x2 y für x, y > 0 in das nebenstehende Koordinatensystem in der xy-ebene. (Sollte der erste Anlauf misslingen, können Sie auch ein neues Koordinatensystem zeichnen.) (2 Punkte) y 0 x b.) Berechnen Sie Φ für Φ aus a.) ( Punkt) c.) Berechnen Sie den Fluss des Feldes A = x e x durch die geschlossene Oberfläche eines Zylinders von Radius R, Höhe H, Grundfläche in der xy-ebene und z-achse als Symmetrieachse. (2 Punkte) Hinweis: Je nachdem wie Sie rechnen, könnten Sie das Integral cos 2 xdx = x/2+ 4 sin(2x) brauchen. 3

4 Aufgabe 2: Ampèresches Durchflutungsgesetz (6 Punkte) R, R 2 und j 0 sind positive Konstanten.r, ϕund z sind die Zylinderkoordinaten.(Neue Symbole brauchen Sie nicht. Sollten Sie dennoch eigene Symbole einführen, werden diese nur mit Erklärung akzeptiert!) a.) Gegeben sei ein in z-richtung unendlich ausgedehnter Zylinder (z-achse als Symmetrieachse), der im Innern hohl ist. Der innere Radius betrage R, der äußere Radius R 2. Der Zylinder werde vom Strom der Dichte j 0 durchflossen, genauer gesagt: 0; r < R j = j 0 e z ; R r R 2. 0; r > R 2 Berechnen Sie mit Hilfe des Ampère schen Durchflutungsgesetzes das durch diese Anordnung erzeugte B- Feld (in Betrag und Richtung) in den 3 Bereichen: I: r < R, II: R r R 2, III: r > R 2. (4.5 Punkte) Erstellen Sie für jeden Bereich eine übersichtliche Skizze, aus der R und R 2 und Ihre Ampèresche Linie hervorgehen, sowie alle eventuell neu eingeführten Symbole. b.) Ist das B-Feld für r = R sowie für r = R 2 stetig? Begründen Sie Ihre Antwort durch Rechnung. (.5 Punkte) /2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist. 4

5 Aufgabe 3: Maxwell-Gleichungen (6 Punkte) ω und B 0 sind positive Konstanten. a.) Ergänzen Sie folgende Maxwell-Gleichungen (im Vakuum): ( Punkt) E = E = b.) Entwickeln Sie aus beiden Gleichungen die integrale Form unter Verwendung der passenden Integralsätze (ortsfeste Koordinaten). Zeigen Sie die notwendigen Schritte auf, so dass die Herleitung klar wird.(2 Punkte) c.) Durch eine kreisförmige Leiterschleife des Radius R in der xy-ebene mit Mittelpunkt im Ursprung läuft das zeitabhängige B-Feld B = B 0 sin(ωt) e x +B 0 (z +)cos(ωt) e z. Berechnen Sie die in dieser Schleife induzierte Spannung. (2 Punkte) d.) Erstellen Sie eine Skizze über diese Anordung (Schleife und Richtung des B-Feldes). Wie lautet das in c.) verwendete Gesetz? ( Punkt) /2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist. 5

6 Aufgabe 4: Relativitätstheorie (7 Punkte) Hinweis: Geben Sie Längen in Lichtstunden (ch) an. Um 0 Uhr passiert ein Raumschiff S die Erde S mit der Geschwindigkeit v = 0.6c. Sowohl die Raumschiffsals auch die Erdzeit betragen in diesem Moment 0 Uhr. Lösen Sie die folgenden Fragen zunächst ohne Minkowski-Diagramm: a.) An welchem Ort verortet die Erde das Raumschiff zur Erdzeit t = h? (0.5 Punkte) b.) An welchem Ort verortet die Erde sich selbst zur Erdzeit t = h? (0.5 Punkte) c.) An welchem Ort verortet das Raumschiff die Erde zur Raumschiffzeit t = h? ( Punkt) d.) Die Erde schickt zur Erdzeit t A = 5h ein Lichtsignal zum Raumschiff. Zu welcher Erdzeit t B kommt es dort an? ( Punkt) e.) Welche Zeit t B zeigen die Uhren des Raumschiffs, wenn das Lichtsignal ankommt? ( Punkt) f.) Zeichnen Sie (mit Hilfe des vorgezeichneten Koordinatensystems) ein Minkowski-Diagramm für die beiden Systeme S und S mit den Achsen für x, x, t, t. Zeichnen Sie dort den Lauf des Lichtsignals aus d.) ein und markieren Sie, wo man jeweils t B und t B (aus d.)) ablesen muss. (2 Punkte) g.) Eine positive Ladung Q ruhe in S. Bewirktdiese Ladungfür einen Beoachterin S ein E-Feld, ein B-Feld oder beides? Geben Sie eine kurze anschauliche Begründung (ohne Formeln oder Rechnung)! ( Punkt) Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist

7 Formelsammlung (darf abgerissen werden) Zylinderkoordinaten: V(r,ϕ,z) = e r V r + e ϕ r V ( C(r C z,ϕ,z) = e r r ϕ C ϕ z 2 V(r,ϕ,z) = r r Kugelkoordinaten: ( r V r ϕ + e V z z, C(r,ϕ,z) = (r C r ) + C ϕ r r r ϕ + C z z, ) ( Cr + e ϕ C ) ( z (r C ϕ ) + e z C ) r, z r r r ϕ ) + 2 V r 2 ϕ V z 2. x = rsinϑcosϕ, y = rsinϑsinϕ z = rcosϑ e r = (sinϑcosϕ,sinϑsinϕ,cosϑ), e ϕ = ( sinϕ,cosϕ,0), e ϑ = (cosϑcosϕ,cosϑsinϕ, sinϑ). V V(r,ϑ,ϕ) = e r r + e V ϑ r ϑ + e V ϕ rsinϑ ϕ, C(r,ϑ,ϕ) = (r 2 C r ) r 2 + (sinϑc ϑ ) + C ϕ r rsinϑ ϑ rsinϑ ϕ, C(r,ϑ,ϕ) = ( = e r rsinϑ ϑ (sinϑc ϕ) C ) ( ϑ C r + e ϑ ϕ rsinϑ ϕ (rc ϕ ) r r 2 V(r,ϑ,ϕ) = ( r 2 r 2 V ) ( + r r r 2 sinϑ V ) + sinϑ ϑ ϑ ) ( (rcϑ ) + e ϕ C ) r, r r ϑ 2 V r 2 sin 2 ϑ ϕ 2. Kurven- und Flächenelemente (Richtungsvektoren bitte selbst überlegen!): Kreislinie (Radius R) in oder parallel zu xy-ebene: ds = Rdϕ. Kreislinie (Radius R) entlang Längengrad: ds = R dϑ Kreisfläche in oder parallel zu xy-ebene: df = rdrdϕ Kugeloberfläche: df = R 2 sinϑdϑdϕ Zylindermantel: df = R dϕdz Integralsätze: Gauss: AdV = A d f, Stokes: ( A) d f = A d r Potenzial: φ( r i ) = q j 4πǫ 0 r i r j, φ( r) = 4πǫ 0 j r r r r 3 = r r r r2 d 3 r ρ V ( r ) r r Spannung: U = E( r) d r r Strom und Stromdichte: I = j df, und j = ρ V ( r) v Energie: E g = ǫ 0 d 3 r E( r) 2 2 Taylor: f(x) = n! f(n) (x 0 )(x x 0 ) n n=0 b.w. 7

8 Dipolmoment: p = j r j q j rρ V ( r)dv Dipolpotenzial: φ Dipol = r p 4πǫ 0 r 3 E Dipol = φ Dipol = r p r 3 = 3 r( p r) pr 2 4πǫ 0 r 5 E-Feld einer Platte: E = σ/(2ǫ 0 ) Poisson-Gleichung: φ( r) = ρ V( r) Magn. Moment: m = d 3 r( r j( r)) 2 ǫ 0 m = 2 I r d r,. Ampèresches Gesetz: F 2 = F 2 = µ 0I I 2 4π... einer Leiterschleife: m = IF n, C Biot-Savart: B2 ( r ) = µ 0I 2 4π Ampèresches Durchflutungsgesetz Wellengleichungen (für ρ = 0, j = 0): Poynting-Vektor: S = E H Relativitätstheorie: Drehmoment: N = m B, d r (d r 2 r 2) C 2 r2 3 Γ C 2 d r 2 r 2 r 3 2 B d r = µ 0 f = µ 0I I 2 4π C (d r d r 2 ) r 2 C 2 r2 3,, F2 = I C d r B 2 ( r ) j d f = µ 0 I, Spule: B = µ 0NI N 2, Selbstinduktivität: L = µ r µ 0 l l f ρ( r) Kontinuitätsgleichung: = j( r) t E = c 2 2 t 2 E, B = c 2 2 t 2 B, k = ω c, c = ǫ0 µ 0 ǫ r µ r LT: x = x vt v2 /c 2, ct = ct vx/c v2 /c 2 Inv. LT: x = x +vt v2 /c 2, ct = ct +vx /c v2 /c 2 8

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