KLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK I (LAK) Wintersemester 14/15

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1 Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin KLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK I (LAK) Wintersemester 4/5 Donnerstag, 5.2.5, 0:5 Uhr Name: Geburtsdatum: Matrikelnummer: Studienfach (bei Lehramt: Fächerkombination): Codewort (optional) Unterschrift (erforderlich!) Falls Sie wünschen, dass ich Ihr Ergebnis im KVV veröffentliche, geben Sie hier bitte (in Blockschrift!) ein 5-stelliges Codewort/ eine Code-Nr. an (evt. die ersten oder letzten Ziffern Ihrer Matrikelnr.) Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: - Hinweise und Warnungen: Die Klausur darf nicht mit Bleistift geschrieben werden. Konstanten wie z.b. 4πǫ 0, e, 2 müssen nicht berechnet werden. Vereinfachen und kürzen Sie die Ergebnisse soweit nicht ausdrücklich anders angegeben soweit wie möglich. Wenn Sie neue Bezeichnungen einführen, so erläutern Sie diese, evt. anhand einer Skizze! Rechnen Sie überall in SI-Einheiten. Am Ende befindet sich eine Formelsammlung.

2 Aufgabe 0: Grundwissen Hier gibt es einen halben Minuspunkt für jede nicht oder falsch beantwortete Frage!. Drücken Sie als natürliche Zahl aus: 3/4 2/6 = tan π 4 = 2. Skizzieren Sie die Funktion f() = in folgendes y-koordinatensystem (Grobskizze reicht). f() 3. Gegeben ist folgender Vektor A (in der Basis von e, e y ): y Geben Sie die Werte an von: A = A y = A = 4. Sind die folgenden vier Größen Vektoren aus R 3? Unterstreichen Sie die richtige Antwort! Geschwindigkeit: ja nein Energie: ja nein Impuls: ja nein Drehimpuls: ja nein Maimal 2 Minuspunkte. 2

3 Aufgabe : Vermischtes (9 Punkte) (Die meisten Größensindabsichtlichdimensionslosgehalten,d.h. Einheitsgrößenwie z.b.f 0 odera(länge) wurden auf gesetzt und spielen für die Rechnungen keine Rolle. Sie dürfen aber, wenn es Ihnen lieber ist, sinnvolle Einheitsgrößen anmultiplizieren.) a.) Gegeben sind die beiden Kraftfelder F = (2z,y 2, 2 ), F2 = (ẋ,ẏ,0). Entscheiden Sie, ob diese Kraftfelder konservativ sind (mit Begründung/ Rechnung) und berechnen Sie ggf. das zugehörige Potenzial V (potenzielle Energie) unter der Nebenbedingung V(0, 0, 0) =. (3 Punkte) b.) Eine Punktmasse soll im Kraftfeld F = (sin,e 2y,y 2 ) auf direktem Weg vom Punkt (,,0) zum Punkt (,2,0) bewegt werden. Welche Arbeit ist dafür erforderlich? Muss die Arbeit aufgebracht werden oder wird sie frei? (2 Punkte) c.) Gegeben ist eine Kugel vom Radius R mit homogener Massendichte ρ 0 = konst und dem Kugelmittelpunkt im Koordinatenursprung. Berechnen Sie eplizit eine Schwerpunktskomponente Ihrer Wahl ( s, y s oder z s die Recnung ist verlangt!). Lässt sich aus dem Ergebnis auf die anderen Komponenten schliessen (mit kurzer Begründung)? (2 Punkte) d.) Wie lautet die Schwerkraft F G an der Erdoberfläche? Wie lautet ihr Potenzial V (potenzielle Energie)? Welche Symmetrie(n) besitzt V und welche(r) Erhaltungssatz/sätze folgen daraus?(keine Begründung/Rechnung verlangt, aber möglichst genaue Bezeichnungen) (2 Punkte) /2 Zusatzpunkt, wenn Sie diese Aufgabe (weitgehend) richtig und vollständig bearbeiten! 3

4 Aufgabe 2: Skalar- und Vektorfelder (5 Punkte) a.) Gegeben ist das Potenzial V(,y,z) = y, ( ) und es gelte 0, y 0. Skizzieren Sie mindestens 2 Äquipotenziallinien von V in das vorgegebene y-koordinatensystem und geben Sie den jeweiligen Wert von V entlang der Äquipotenziallinie an. (Sie dürfen mit oder ohne Wertetabelle arbeiten). (2 Punkte) b.) Berechnen Sie V = und skizzieren Sie diese Größe ebenfalls ins gegebene Koordinatensystem (mindestens 3 Pfeile). (2 Punkte) c.) Welche (geometrische) Information steckt (qualitativ) in der Richtung von V? ( Punkt) y 4

5 Aufgabe 3: Analytische Mechanik (9 Punkte) Gegeben sei ein Punktteilchen der Masse m, das auf einer waagrechten Schiene (-Achse) reibungsfrei gleitet. An m sei ein ebenes Pendel der Länge l befestigt, an dem eine zweite Masse m 2 in der z-ebene schwingt (siehe Abb.). Die Schwerkraft F G sei vorhanden. Vernachlässigen Sie die Möglichkeit, dass m 2 an die Schiene stossen könnte. a.) Wie viele Freiheitsgrade besitzt dieses Problem? Welche Koordinaten benutzen Sie? Markieren Sie alle benutzten Koordinaten eindeutig in der Skizze. ( Punkt) b.) Wie lauten die Ortsvektorenvon r und r 2 (von m und m 2 ) in den unter a.) eingeführten Koordinaten? ( Punkt) c.) Stellen Sie die Lagrangefunktion(in angemessenen Koordinaten) auf. Der Potenzialnullpunkt der Schwerkraft sei bei z = 0 und die Achsen wie in der Skizze gezeigt. (2 Punkte) d.) Stellen Sie die Bewegungsgleichung(en) nach Lagrange auf. (3 Punkte) Sollten Sie c.) nicht geschafft haben, so können Sie Teil d.) ersatzweise mit folgender hypothetischen Lagrangefunktion rechnen (Ω = konst): L(q, q,t) = m 2 ( q2 + q/q) sin 2 (Ωt)q q (Gleiche Punktzahl). Diese Funktion und die Variable q haben nichts mit der eigentlich gestellten Aufgabe zu tun. e.) Gibt es (im eigentlichen Problem nicht bei der Ersatzfunktion) eine zyklische Koordinate? Falls ja: Welche Erhaltungsgröße ergibt sich daraus? Wie nennt man diese Größe? (Keine Begründung verlangt, aber möglichst genaue Bezeichnung!) (2 Punkte) Zusatzpunkt, wenn Sie (weitgehend) richtig und ohne den gegebenen Ersatz rechnen! z 0 m 6 F G. m 2 5

6 Aufgabe 4: Gekoppelte Schwingungen (7 Punkte) a.) Erläutern Sie die Begriff Eigenfrequenz oder Eigenmode in -2 Sätzen. (.5 Punkte) b.) Wie groß ist die Anzahl N der Eigenfrequenzen in den abgebildeten Schwingungssystemen?(.5 Punkte)... k k k 2 k k k (i) N = m m m 2 (ii) N = m m 2 (iii) N = Nicht raten! Es gibt hier Punktabzug bei falschen Antworten (innerhalb dieser Teilaufgabe). c.) Betrachten Sie nun das System (iii) mit den Werten (m 0 und k 0 bezeichnen Einheitsmasse, bzw. -federkonstante): m = 3m 0, m 2 = m 0, k = 3k 0, k 2 = 2k 0. Berechnen Sie die Eigenfrequenzen. (3 Punkte) d.) Berechnen Sie für eine Eigenfrequenz Ihrer Wahl das zugehörige Verhältnis der Amplituden und verdeutlichen Sie es anhand einer Skizze. ( Punkt) /2 Zusatzpunkt, wenn Sie diese Aufgabe (weitgehend) richtig und vollständig bearbeiten! 6

7 FORMELSAMMLUNG (darf abgerissen werden) Zylinderkoordinaten: = r cosϕ, y = r sinϕ z = z e r = (cosϕ,sinϕ,0), e ϕ = ( sinϕ,cosϕ,0), e z = (0,0,). v 2 = ṙ 2 +r 2 ϕ 2 +ż 2, dv = r dr dϕdz Kugelkoordinaten: = rsinϑcosϕ, y = rsinϑsinϕ z = rcosϑ e r = (sinϑcosϕ,sinϑsinϕ,cosϑ), e ϕ = ( sinϕ,cosϕ,0), e ϑ = (cosϑcosϕ,cosϑsinϕ, sinϑ). v 2 = ṙ 2 +r 2 ϑ2 +r 2 ϕ 2 sin 2 ϑ, dv = r 2 sinϑdrdϑdϕ Kreisbewegung: v rot = ω r, ei = ω e i. Reibungskräfte: Haftreibung FH,ma = µ H F F F, Gleitreibung: F G = µ G F v v, Viskose Reibung: Stokes sche Reibung: FR Newton sche Reibung: FR = f v v = f v v v. Eulersche Formeln: ep[±iλt] = cos[λt] ± i sin[λt] ω = 2πν, ν = /T, Oszillator: ω 2 0 = k/m, Pendel: ω2 0 = g/l Komplee Zahlen: χ = χ ep[iϕ], χ = χχ, Reχ = 2 (χ+χ ), Imχ = Imχ (χ χ ), tanϕ = 2 Reχ Arbeit: r2 r W 2 = F d r, Potenzial (potenzielle Energie): V( r) = F d r r r 0 V = F d+f(y,z), V = y F y dy +f(,z), V = z F z dz +f(,y). F = d dt p, N = s F, L m( r r) = r p, N = d dt L Analytische Mechanik: p i = L q i, q i = H p i, ṗ i = H q i Wellengleichung: Hilfen zum Trägheitstensor: d 2 z(,t) dt 2 = c 2 2 z(,t) 2, c 2 = T/ρ l, ω = kc. I = i m i (y 2 i +z 2 i), I y = i m i i y i T rot = 3 Ω α Ω β Î α,β, L = ÎΩ. 2 α,β= 7