Repetitorium B: Lagrangesche Mechanik

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1 Fakultät für Physik T: Klassische Mechanik, SoSe 06 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Repetitoriu B: Lagrangesche Mechanik Mo-Fr, ; Tutor: Max Bollann (b)[](e/m/a) bedeutet: Aufgabe (b) zählt Punkte und ist einfach/ittelschwer/anspruchsvoll Aufgabe : Abrissbirne [] Punkte: (a)[4]; (b)[]; [4]; (d)[3] z ( x, z ) L/ L/ (0, 0) (x, z ) (x, z ) Ein asseloser Stab der Länge L ist an seine Mittelpunkt ittels einer Achse an einer Stütze befestigt. Er kann in der x-z-ebene u die Achse kippen, it Winkel α relativ zur x-achse. An seine linken Ende ist eine Punktasse befestigt, an seine rechten Ende ein ebenes Pendel, bestehend aus eine asselosen Stab der Länge l (it l L) und einer Punkteasse a anderen Ende. Das Pendel kann in der x-z-ebene frei schwingen, it Winkel β relativ zur z- Achse. In eine kartesischen Koordinatensyste it Ursprung an der Spitze der Stütze seien die Koordinaten der linken und rechten Punktassen durch (x, z ) bzw. (x, z ) gegeben, it x = (L/) cos α, x = (L/) cos α + l sin β, () z = (L/) sin α, z = (L/) sin α l cos β. () (a) Wählen Sie α und β als verallgeeinerte Koordinaten. Wie lautet die Lagrange-Funktion L(α, β, α, β)? (b) Nennen Sie unter Begründung eine Erhaltungsgrösse des Systes. Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen für die Winkel α und β wie folgt lauten: α l L [ β sin (α β) β cos (α β)] = 0, (3) β L l [ α sin (α β) + α cos (α β)] = g l sin β. (4) Hinweis: sin (α β) = sin (α) cos (β) cos (α) sin (β), cos (α β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β).

2 (d) Wir initialisieren das Syste it kleinen Winkeln α, β. Linearisieren Sie unter Annahe dieser Anfangskonfiguration die Bewegungsgleichungen in α, α, α und β, β, β. Diskutieren Sie anhand der Differentialgleichungen das qualitative Verhalten des Systes zu eine späteren Zeitpunkt. Aufgabe : Zentralpotential [9] Punkte: (a)[]; (b)[]; []; (d)[]; []; [] Wir betrachten ein Teilchen der Masse in 3 Diensionen, das sich unter de Einfluss eines Zentralpotentials U(r) bewegt. (a) Erklären Sie in ein bis zwei Sätzen waru sich das Teilchen in einer Ebene bewegt. Diese Ebene paraetrisieren wir duch Polarkoordinaten (ρ, φ). Bestien Sie die Lagrange-Funktion des Teilchens. (b) Zeigen Sie, dass φ zyklisch ist und bestien Sie die zugehörige Erhaltungsgröße l. Begründen sie ferner waru die Energie erhalten ist und zeigen sie, dass sie von der For ist. l E = ρ + + U(ρ) (5) ρ (d) Bestien Sie die Bewegungsgleichung für ρ. Vereinfachen Sie diese it Hilfe von l und bringen Sie sie auf die For wobei D(ρ) die Drehipulsbarriere darstellt. ρ = ρ V eff (ρ) = ρ (U(ρ) + D(ρ)), Nehen Sie i Folgenden an, dass U(ρ) von der For U(ρ) = α ist. Für welche Wertebereiche von α und n ist es eine Teilchen it Energie E und Drehipuls l öglich, bis zu ρ n Ursprung zu gelangen? Hinweis: A Ursprung selbst treten Aufgrund der Singularität des Potentials stetig behebare Definitionslücken in Drehipuls und Energie auf. Für unsere Fragestellung hier, sowie für Teilaufgabe, führen diese Lücken aber zu keinen Probleen und können ignoriert werden. Nehen Sie nun an, dass an für ein solches Potential, das das Durchlaufen des Zentrus erlaubt, nebenstehende Trajektorie erhält, d.h. das Teilchen läuft auf einer Kreisbahn it Mittelpunkt M durch den Ursprung O. Eine Paraetrisierung hierfür ist gegeben durch ρ(φ) = a cos(φ). Hieraus folgt insbesondere, dass ρ = a φ sin φ. Für U(ρ) = α ist eine solche Trajektorie nur für eine besondere Wahl der Potenz n und der ρ n Energie E it de Energieerhaltungssatz (5) verträglich. Finden sie diese besonderen Werte von n und E.

3 Aufgabe 3: -Diensionaler haronischer Oszillator [0] Punkte: (a)[]; (b)[]; [3]; (d)[]; []; [] Ein Punkt der Masse bewegt sich in der xy-ebene in eine zweidiensionale haronischen Potenzial V (x, y) = ( ω x + y ), it ω = konst. Seine Energie sei E, sein Drehipuls bezüglich des Ursprungs sei L. Verwenden Sie i Folgenden Zylinderkoordinaten, it x = ρ cos φ und y = ρ sin φ. (a) Geben Sie die Lagrange-Funktion L(ρ, φ) des Massenpunkts an. (b) Nutzen Sie Euler-Lagrange-Gleichung für die Winkelvariable φ(t), u φ durch den erhaltenen Drehipuls L auszudrücken. Nutzen Sie Energieerhaltung, u eine Differenzialgleichung für die Radialvariable ρ(t) aufzustellen. Geben Sie das effektive Potential V eff (ρ) für die Radialbewegung explizit an, und skizzieren Sie es. (d) Zeigen Sie, dass die Ukehrpunkte der Bewegung, ρ und ρ, durch folgenden Ausdruck gegeben sind: { } ρ ρ = E [ ± ] L ω ω /E. Bestien Sie, welchen Wert das Verhältnis E/L haben uß, dait die Bahnkurve perfekt kreisförig ist. Bestien Sie den entsprechenden Kreisradius ρ und die Winkelgeschwindigkeit φ als Funktionen von E, und ω. Zeigen Sie, dass sich für Kreisbahnen die Werte von E/L, ρ und φ auch alternativ auf folgende Weise bestien lassen: Für Kreisbahnen ist die Geschwindigkeit entlang der Bahnkurve durch v = ρ φ gegeben. Ferner wird die radiale Koponente der Kraft Fρ genau durch die Zentrifugalkraft F cf kopensiert. Bestien Sie, ausgehend von F ρ = F cf, zunächst φ als Funktionen von ω, danach ρ als Funktion von L und ω, und setzen Sie die Ergebnisse in E ein. Was bekoen Sie nun für E/L? Aufgabe 4: Pendel an parabolische Draht [0] Punkte: (a)[]; (b)[3]; [3]; (d)[] I Schwerefeld der Erde sei eine Punktasse [it Koordinaten (x, z )] über einen asselosen Faden der Länge l [it Ausschlagswinkel θ] an einer Punktasse 3 [it Koordinaten (x, z )] aufgehängt, die sich reibungsfrei auf einer Parabel der For z = l x bewegt (siehe Skizze). Ziel dieser Aufgabe ist es, die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen dieses Systes zu bestien. Betrachten Sie soit i Folgenden ausschliesslich den Lies θ, und wählen Sie q := x und q := lθ als verallgeeinerte Koordinaten. z x (x, z ) 3 θ l (x, z ) (a) Drücken Sie x, z, x und z sowie ẋ, ż, ẋ und ż durch q und q sowie q und q aus. Hinweis: Entwickeln Sie sin θ und cos θ bis zu (und einschließlich!) der zweiten Ordnung in θ. 3

4 (b) Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion L(q, q, q, q ) i Lies kleiner Schwingungen folgende For hat: L = [ 4 q + q q + q Ω (4q + q l ) ], it Ω = g/l. (6) Hinweis: Tere höherer als quadratischer Ordnung in q, q, q und q (d.h. Produkte von ehr als zwei dieser Variablen) sollten vernachlässigt werden. Nutzen Sie Matrixnotation, u die Eigenfrequenzen ω und ω des Systes zu finden. (d) Berechnen Sie die entsprechenden Eigenoden und skizzieren Sie qualitativ die Eigenschwingungen als Funktion der Zeit für jede der beiden Eigenoden. Aufgabe 5: Perle an schwingende Reifen [8] Punkte: (a)[3]; (b)[]; [3] I Schwerefeld der Erde sei ein Ring der Masse M und des Radius R, so aufgehängt, dass er frei in der Ringebene schwingen kann (siehe Skizze). Das Trägheitsoent I P des Ringes bezüglich der Rotation u den Aufhängepunkt P ist durch I P = MR gegeben. Eine Perle der Masse kann reibungslos entlang des Rings gleiten. P θ R M Q θ R (a) Finden Sie die Lagrange-Funktion des Systes. Wählen Sie dazu die in der Skizze angedeuteten Winkel θ und θ als verallgeeinerte Koordinaten. (b) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen i Lies kleiner Schwingungen folgende For haben: 0 = θ + Aθ + B θ (7) 0 = θ + Cθ + θ (8) ( ) M + g it A = M + R, B = M + und C = g R. Hinweis: Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen können Sie bereits die Lagrangefunktion i Lies kleiner Schwingungen betrachten. Nehen Sie nun = M an. Finden Sie die Eigenfrequenzen ω und ω des Systes. Berechnen und skizzieren Sie die entsprechenden Eigenoden. Aufgabe 6: Geladener Massepunkt i Magnetfeld eines geraden Leiters [6] Das Magnetfeld außerhalb eines unendlich langen, geraden, von eine Stro I durchflossenen Leiters hat die For B(r) = I ( y, x, c(x +y ) 0)T. 4

5 ( ) (a) Zeigen Sie, dass A(r) = I log x +y (0, 0, ) T eine ögliche Wahl für das entsprechende c R Vektorpotential darstellt, wobei R eine beliebige Länge ist. (b) Die Lagrange-Funktion eines geladenen Massenpunktes (Masse, Ladung q) lautet L (r, ṙ) = ṙ A ṙ. Drücken Sie diese in Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) aus. Zeigen Sie, dass Rotationen u die z-achse, Translationen in z-richtung und Zeittranslationen Syetrien des Systes sind. Wie lauten die entsprechenden Erhaltungsgrößen L z, p z und E? (d) Drücken Sie φ und ż in de Ausdruck für die Energie E durch L z und p z aus und reduzieren Sie das Proble effektiv auf ein eindiensionales Proble it de Freiheitsgrad ρ. Finden Sie die effektive potentielle Energie für die radiale Bewegung, V eff (ρ). Skizzieren Sie diese als Funktion von ρ und diskutieren Sie die öglichen Bewegungsarten. Welcher Bewegung i 3-diensionalen Rau entspricht es, wenn der Massenpunkt i Miniu der effektiven potentiellen Energie ruht? Aufgabe 7: Teilchen in Schüssel [0] Punkte: (a)[]; (b)[]; [3]; (d)[3]; []; [](Bonus) Die Innenseite einer rotationssyetrischen Schüssel habe die Höhe h(ρ), wobei ρ der Abstand zur Syetrie-Achse und h(ρ) eine glatte, onoton steigende Funktion ist (siehe Skizze). Eine Punktasse gleite reibungsfrei in der Schüssel. (a) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Funktion für die Punktasse durch L = [ ρ ( + h (ρ) ) + ρ φ ] gh(ρ), (9) gegeben ist, wobei φ den Polarwinkel des Teilchens bezeichnet. (b) Finden Sie die zyklische Variable und bestien Sie die zugehörige Erhaltungsgrösse l. Bestien Sie die aus (9) resultierenden Bewegungsgleichungen. Zeigen Sie, dass diese Bewegungsgleichungen für h(ρ) = ρ n /ρ n 0, it n N, n und ρ 0 > 0, eine Kreisbahn als Lösung zulassen und bestien Sie die Abhängigkeit des Radius dieser Kreisbahn von l. (d) Nun sei n =, d.h. die Schüsselinnenseite sei kegelförig. Zeigen Sie, dass der Radialteil der Bewegung als die eindiensionale Bewegung eines Teilchens der Masse = in eine effektiven Potential, definiert via ρ = ρ V eff (ρ), aufgefasst werden kann. Bestien Sie dazu V eff (ρ) und zeigen Sie, dass für die Energie des Systes gilt: E = ρ + V eff (ρ). Die Energie des Systes sei nun durch E = gρ 0 gegeben. Für welche Drehipulse liegt einer der Ukehrpunkte der radialen Bewegung des Teilchens bei ρ extreal = ρ 0? [Bonus] Handelt es sich bei diese Ukehrpunkt u das Miniu oder das Maxiu der radialen Bewegung? Begründen Sie ihre Antwort! [Gesatpunktzahl Aufgaben: 65] 5