Lösung zu Übungsblatt 2

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1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Lösung zu Übungsblatt konservative Kräfte, Vielteilchensystee und ausgedehnte Körper 1. Potential der Gravitationskraft (*) ie Gravitationskraft eines Massenpunktes 1 i Koordinatenursprung auf einen zweiten Massenpunkt it Ortsvektor r beträgt F ( r) = G 1 r r r = k r e r. (1) (a) Zeigen sie allgeein, dass eine Kraft der For F ( r) = f(r) e r konservativ ist. (b) Berechnen sie das Potential der Gravitationskraft. as Potential soll i Unendlichen verschwinden. (a) F = [zf(r)] y [xf(r)] z [yf(r)] x [yf(r)] z [zf(r)] x [xf(r)] y = f(r) r z r y r y z x r z r z x y r x x r y = f(r) r z y y z r r x z z x = () r r y x x y r r (b) as Potential U(r) in eine Punkt P it de Ortsvektor r ist in diese Fall das Linienintegral der Kraft vo Unendlichen zu Punkt P. a das Linienintegral einer konservativen Kraft wegunabhängig ist, können wir den für die Integration günstigsten Weg wählen. er günstigste Weg verläuft hier geradlinig, radial nach innen. U( r) = U( r) U( ) = r r U( r ) d r = F ( r ) d r = r k r r e r d r = k r dr = k r = U(r) (3). Fallende Kette (*) Eine Kette der Länge l und Masse besteht aus zahllosen sehr kleinen Gliedern. Sie hängt anfangs in Ruhe an der ecke und berürt it de unteren Ende eine Waagschale. Zur Zeit t = wird sie aus der Ruhelage losgelassen. 1 / 9

2 Ferienkurs Theoretische Physik (a) Berechnen sie den Ipuls p(t) des fallenden Kettenanteiles. (b) Welche Kraft F (t) wird von der Waage angezeigt? (a) x(t) = g t v(t) = gt (4) ie Masse des fallenden Kettenteiles lautet (t) = l x(t) l = l g/t l p(t) = (t)v(t) = l g/t gt. (5) l (b) ie Zeitableitung des Gesatipulses der Kette lautet daher ṗ(t) = g 3g t. (6) l ie externe Kraft F ext (t) auf die Kette setzt sich zusaen aus der Gewichtskraft g und der gesuchten Kraft F (t), die die Waagschale nach oben auf die Kette ausübt. Es gilt g 3g l t = F ext (t) = g F (t) F (t) = 3g t für t t Fall = l l g. (7) ie Kraft auf die Waagschale w achst quadratisch in der Zeit bis zu Maxialwert F ax = 3g. 3. Schwingung von zwei gekoppelten Massen (**) Vor einer Wand ruhen zwei gleiche Körper it Masse auf eine glatten Boden; Gleitund Haftreibungszahl sind null. Zwischen den Körpern befindet sich eine Feder it Federkonstante, die durch einen Faden u die Strecke s zusaengedrückt wird. Zur Zeit t = wird der Faden durchgeschnitten, (a) Zu welcher Zeit t A löst sich Körper 1 von der Wand und wie groß ist dabei die Schwerpunktsgeschwindigkeit? (b) Wie groß ist die axiale Federdehnung s ax der anschließenden Schwingung? ie Zeit t A bis zur Ablösung des Körpers 1 von der Wand ist ein Viertel der Schwin- / 9

3 Ferienkurs Theoretische Physik gungsperiode, die aus der Experientalphysik bekannt sein sollte: t A = T 4 = π (8) Bis zu dieser Zeit wird der Körper auf die Geschwindigkeit v I (t A ) beschleunigt, die it de Energieerhaltungssatz berechnet wird: s = v I(t A ) v I (t A ) = s (9) Wegen der Gleichheit beider Massen ist die Geschwindigkeit des Schwepunktes halb so groß s v S = für t t A. (1) (b) Hier bieten sich zwei Lösungsöglichkeiten an: 1. Möglichkeit: Wir spalten die kinetische Energie in einen Schwerpunktsanteil und einen Relativanteil auf; letzterer ist die Schwingungsenergie: E s = v S + E Schwingung = 4 s + E Schwingung E Schwingung = 4 s = E (11) ie Energie steckt also zu gleichen Teilen in der Schwerpunktsbewegung und in der Schwingung. ie axiale Federdehnung s ax ergiebt sich aus de Energieerhaltungssatz: 4 s = s ax s ax = s (1). Möglichkeit: Wir setzten uns für t t A in ein Inertialsyste, in de der Schwerpunkt des Schwingers ruht. Zur Zeit t = t A ist die Feder entspannt und die Körper haben i Schwerpunktssyste entgegengesetzt gleich große Anfangsgeschwindigkeiten: v 1 (t A ) = v s = s = v (t A ) (13) anach schwingen die Körper it gleicher Aplitude A i Gegentakt. a die Feder in ihrer Mitte, also i Schwerpunkt S des Schwingers ständig ruht, gehört zu jeder Masse nur die halbe Feder der Federkonstante. ie Aplitude A der beiden Schwingungen ergibt sich aus de Energieerhaltungssatz, der z.b. für den Körper 1 lautet: v 1(t A ) = 8 s = A (14) 3 / 9

4 Ferienkurs Theoretische Physik abei ist A die axiale potentielle Energie einer halben Feder. Soit finden wir A = s 8 s ax = A = s (15) 4. Abplattung der Galaxien und Sonnensystee (*) ie Galaxien sind aus riesigen Gaswolken entstanden, die astronoische Ausdehnungen und einen rehipuls L ges hatten. Auf die Gaswolke wirkten keine äußeren rehoente. Erklären sie ganz grob it de rehipulssatz, waru sich die Gaswolken unter de Einfluss der Gravitation zu flachen Galaxien entwickelt haben. Für Sonnensystee gelten die gleichen Erklärungen. ie Gaswolken zogen sich unter de Einfluss ihrer Gravitation zusaen. abei blieb der rehipuls der rotierenden Wolke konstant, so dass die Bahngeschwindigkeiten und die Winkelgeschwindigkeiten der Gasteilchen wachsen ussten. er Zuwachs an kinetischer Energie wurde durch die Arbeit geliefert, die die Gravitationskräfte bei Zusaenziehen leisteten. ie Kontraktion in der Ebene senkrecht zu rehipuls L ges wird durch die Zentrifugalkräfte bzw. durch die Bedingung L ges = const. behindert. Hingegen kann die Kontraktion parallel zu rehipuls beliebeig weit gehen. Ohne rehipuls bleibt von einer Gaswolke nur ein einzelner Stern übrig. Sonnensystee ohne rehipuls haben daher keine Planeten. 5. Zenrifugalrotator (**) ie vertikale Achse eines Pendels der Länge l wird von eine Elektrootor angetrieben und rotiert it konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. (a) Stellen sie die Bewegungsgleichung auf. (b) Zeigen sie durch Multiplikation der Bewegungsgleichung it θ, dass die Funktion eine Erhaltungsgröße ist. I(θ, θ) = [(l θ) (ωl sin θ) ] gl cos θ (16) Beerkung: Wenn das negative Vorzeichen in der eckigen Klaer durch ein positives 4 / 9

5 Ferienkurs Theoretische Physik Vorzeichen ersetzt wird, ergibt sich die Energie E des Rotators. Wegen des Antriebes der vertikalen Achse ist die Energie aber nicht konstant. (c) Integrieren sie die Bewegungsgleichung (Nur Integral angeben, geschlossene Lösung nicht öglich). (a) ie Beschleunigung der Masse in tangentialer Richtung beträgt l θ. ie Gewichtskraft g und die Zentrifugalkraft ω l sin θ haben die tangentialen Koponenten g sin θ und ω l sin θ cos θ. Folglich lautet die Bewegungsgleichung l θ = g sin θ + ω l sin θ cos θ. (17) (b) Wir verwenden einen Trick, der bei der ersten Integration von Bewegungsgleichungen häufig benutzt wird: Wir ultiplizieren die ifferentialgleichung it der ersten Zeitableitung θ der gesuchten Funktion und - in diese Fall - zusätzlich noch it der Pendellänge l: l θ θ = gl θ sin θ + ω l θ sin θ cos θ d dt [ (l θ) (ωl sin θ) gl cos θ] = ie erste Integration der Bewegungsgleichung ist jetzt sehr einfach und führt auf (18) [(l θ) (ωl sin θ) ] gl cos θ = I = const. (19) ie erste Integration der Bewegungsgleichung führt also auf die Erhaltungsgröße I und wäre überflüssig, wenn die Erhaltungsgröße schon zuvor bekannt gewesen wäre. (c) Bei der zweiten Integration üssen wir die Erhaltungsgröße I nur nach θ auflösen: θ = ± 1 I l + (ωl sin θ) + gl cos θ () Bei der Zunahe (Abnahe) von θ gilt das positive (negative) Vorzeichen. Trennung der Variablen führt auf θ(t) I t t = ±l 1/ + (ωl sin θ) + gl cos θ dθ. (1) θ ieses Integral kann nicht in geschlossener For gelöst werden, d.h. die Stafunktion kann nicht it eleentaren Funktionen dargestellt werden. er Satz über iplizite 5 / 9

6 Ferienkurs Theoretische Physik Funktionen garantiert aber die Existenz und Eindeutigkeit von θ(t). 6. Energieerhaltung (***) Beweisen sie die Energieerhaltung für ein Syste von N Massepunkten bei Anwesenheit von inneren F ij und äußeren F i ext konservativen Kräften. er Energieerhaltungssatz für Mehrteilchensystee it konservativen Kräften kann bewiesen werden, inde an die Linienintegrale der N Kräfte berechnet und über die Teilchennuern i suiert: F i = F ext i + Σ N j=1 F ij it j i () Σ N i r i (t ) r i (t 1 ) i ri d r i = Σ N i r i (t ) r i (t 1 ) F ext i + Σ N j f ij d r i it j i (3) Mit d r i = v i dt ergibt sich die linke Seite als Änderung der kinetischen Energie: Σ N i t t 1 i vi (t) v i (t) dt = Σ N i t t 1 d ( i ) dt v i (t) dt = Σ N i ie rechte Seite von Gleichung 3 wird wie folgt ugerechnet: ( i v i (t ) ) i v i (t 1 ) = T (t ) T (t 1 ) (4) Σ N i r i (t ) r i (t 1 ) [ U ext i r i Σ N j=1,j i ] U ij (r ij ) d r i (5) r i = Σ N i [Ui ext ( r i (t )) Ui ext ( r i (t 1 ))] Σ N i,j=1,j i[u ij (r ij (t )) U ij (r ij (t 1 ))] (6) araus folgt der Energieerhaltungssatz für konservative äußere und innere Kräfte: T (t 1 ) + Σ N i [Ui ext (t 1 ) + Σ N i,j=1,j iu ij (t 1 )] = T (t ) + Σ N i [Ui ext ((t )) + Σ N i,j=1,j iu ij (t )] (7) T (t 1 ) + U(t 1 ) = T (t ) + U(t ) (8) ie Sue aus kinetischer Energie sowie äußerer und innerer potentieller Energie ist konstant, wenn die äußeren und die inneren Kräfte konservativ sind. 6 / 9

7 Ferienkurs Theoretische Physik Ausgedehnte Mechanische Körper (***) (a) Berechnen sie die Masse eines hoogenen Ellipsoids it den Halbachsen a, b und c und der ichte ρ. Hinweis: Verwenden sie Koordinaten it der Paraetrisierung r = (ax, by, cz) T. (b) Berechnen sie das Potential einer hoogenen Kugel it Radius R und und der ichte ρ. (c) Berechnen sie das Potential, entlang der z-achse, eines hoogenen Zylinders it Radius R, Höhe h und der ichte ρ. (d) Berechnen sie die potentielle Energie von zwei Kugeln aus (b), wobei die Mittelpunkte den Abstand A haben sollen (A > R). 1 Hinweise: (a + b abx) 1 dx = 1 [ a b (a + b)], x dx ab x = x + a, +a 1 x + a = 1[x x + a + a arsinh(x/a)] (a) Für die angegebene Paraetrisierung lautet die Jacobi-eterinante abc. = ρ d 3 r = ρ π abc d 3 r = abcρ π dφ 1 dθ dr r sin θ = 4 πabcρ (9) 3 V r 1 (b) U( r) = G = πρg 1 1 ρ( x) π x r d3 x = G dcos θ = πρg π dφ s (s + r rs cos θ) 1 sin θ dθ { ds s r > s r r < s = 4πρG 1 r s ds = πρg r s ρ s + r rs cos θ ds s ds + (3) s 1 [ r s (r + s)] ds rs r (31) s ds (3) 7 / 9

8 Ferienkurs Theoretische Physik abei ist die Gesatasse der Kugel. (c) = U = ρg z a { 4 3 πr3 ρ G = G r r πρg ((/) r /3) h dz π r > R r < R (33) s dφ ds (34) s cos φ + s sin φ + (z z a ) = πρg h dz s h s + (z z a ) ds = πρg R + (z z a ) dz (35) = πρg [h R + (h z a ) + R arsinh(h/r)] (36) (d) ie Kugel 1 befinde sich i Koordinatenursprung und die Kugel u den Vektror A = auf der z-achse verschoben. ie Integration über x kann it de Ergebnis A von (b) leicht durchgeführt werden. U 1 = G V d V 1 ρ 1 ( x)ρ ( y) x y d 3 x d 3 y = Gρ V y d3 y (37) Nun verschieben wir das Koordinatensyste u A, so dass Kugel nun i Koordinatenursprung liegt und wir die bekannten Integrationsgrenzen benutzen können. Es gilt y y A und it y = r y A = r sin θ cos φ + r sin θ sin φ + (r cos θ A) (38) = π U 1 = Gρ r sin θ + r cos θ ra cos θ + A = r ra cos θ + A (39) π dφ sin θ dθ r 1 r ra cos θ + A dr = π r du r rau + A dr = πρ G A r[ r ra + A + r + ra + A ] dr = πρ G A 1 (4) r[ (r A) + (r + A) ] dr = πρ G A r[ r A + r + A ] dr = πρ G A (41) r[ (A r) + (r + A)] dr (4) 8 / 9

9 Ferienkurs Theoretische Physik = πρ G A r dr = 4 3 πr3 ρ G A = G A ie Kugeln der Gesatasse haben also dieselbe potentielle Energie wie zwei Punktassen der Masse und Abstand A. (43) 9 / 9