Mathematische Formeln

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1 Mathematische Formeln Vektorfeld E(r ), skalares Feld f(r ) Kartesische Koordinaten x, y, Ortsvektor r =(x, y, ) =xe x + ye y + e = re r Linienelement: ds = dx e x + dy e y + d e Volumenelement dv = dx dy d Nabla, = = d x = y, x = dr x = x f Gradient (Steigung) f = y f f ( f) i = i f Divergen (Quellstärke) E = x E x + y E y + E = i ie i y E E y Rotation (Wirbelstärke) E = E x x E x E y y E x Laplace 2 = 2 x + 2 y + 2 = 2 f = 2 xf + 2 yf + 2 f = f Kugelkoordinaten: Betrag r, Polarwinkel θ, imuthwinkel ϕ Koordinaten r 2 = x 2 + y 2 + 2, tan θ = x 2 + y 2 /, x r sin θ cos ϕ tan ϕ = y/x Ortsvektor r = y = r sin θ sin ϕ r cos θ sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ Einheitsvektoren e r = sin θ sin ϕ e θ = cos θ sin ϕ e ϕ = +cosϕ cos θ sin θ Linienelement: ds = dr e r + rdθe θ + r sin θdϕe ϕ Volumenelement dv = r 2 sin θdrdθdϕ Gradient f = e r r f + e θ r θf + e φ r sin θ φf Divergen E = r 2 r (r 2 E r )+ ( r sin θ φe φ + θ (sin θe θ )) Laplace f = r 2 r (rf)+ r 2 sin 2 θ sin θ θ (sin θ θ f)+ 2 φ f) 73

2 Zylinderkoordinaten: bstand ur chse R, imuth ϕ, Höhe Koordinaten R 2 = x 2 + y 2 tan ϕ = y/x x r cos ϕ Ortsvektor r = y = r sin ϕ cos ϕ sin ϕ Einheitsvektoren e R = sin ϕ, e ϕ = +cosϕ, e = Linienelement: ds = dr e R + Rdϕ+ d e Volumenelement dv = RdRdϕd Gradient f = e R R f + e φ R φf + e f Divergen Laplace E = R R(RE R )+ R φe φ + E f = R R(R R f)+ R 2 2 φ f + 2 f bleitungs-identitäten r =3, r = e r, r = ( f) = 2 f ( f) = ( E)= ( E)= ( E) 2 E (fe)=f( E)+( f) E Integralsäte: Gradientensat Gauß scher Integralsat Stokes scher Integralsat Komplexe Zahlen: b a V ( f) ds = f( b) f(a ) ( E) dv = Ed geschlossene Fläche um Volumen V Orientierung (d)nachaußen ( E) d = SEds geschlossene Linie S um Rand der Fläche Orientierung (d, ds) nachrechterhandregel i =, i 2 =, /i = i e iϕ =cosϕ + i sin ϕ, e iπ/2 = i = a + ib = e iϕ = (cos ϕ + i sin ϕ) (a, b, ϕ reell) = a ib, 2 = 2 = =(Re()) 2 +(Im()) 2, tan ϕ = Im() /Re() Re() =a = cos ϕ, Im() =b = sin ϕ 74

3 B Formeln um Elektromagnetismus Konstanten µ =4π 7 N 2 =, N 2 = µ = 7 2 c 2 4πc 2 N Elementarladung e =, C e = q p = q e 2 C2 =8, Nm 2 Massen Elektron: m e =5KeV Proton: m p =938MeV Strom u. Ladung I = t q Strom- u. Ladungsdichte I = j d q = dr Ladungserhaltung j = t j d = t q Maxwell-Gleichungen Gauß für E E = E d = q Gauß für B B = B d = Faraday-Henry E = t B Eds= t Bd mpere-maxwell B = µ (j + te) Bds = µ (I + t Lorent-Kraft F = q E + v B Ed ) Energiedichte w Dielektrikum Magnetismus w = 2 ED+ 2 BH D = E + P = r E B = µ ( H + M)=µ µ r H Potentiale B = E = ϕ t Eichtransformation = + λ ϕ = ϕ t λ Superpositionsprinip E = i E i B = i B i ϕ = i ϕ i = i i 75

4 Elektrostatik 2 Potentielle Energie W p = F ds ϕ= W p q Potential ϕ E = ϕ ϕ = E ds Spannung U U = ϕ(r 2 ) ϕ(r ) Punktquelle q E q = 4π r e 2 r ϕ = q 4π r Dipol-Feld ±q p = q d ( q +q) ϕ p cos θ 4π r 2 Dipol-Energie E pot = p E M = p E Plattenkondensator E σ = n C = q/u W = 2 CU2 Poisson-Gleichung ϕ = / Elektrische Leitung Stromdichte j = v = µ E = σ el E Ohm sches Geset R = U/I = σ el L U = Ed C = r d Stromkreise Masche: U emk = a U a Knoten: a I a = Widerstände Reihe: R ges = R + R 2 Parallel: R = R + R 2 Magnetostatic Biot-Savart B = µ 4π I d L r r 3 B-Feld eines Leiters Kreisbahn B = µ I 2πR e ϕ P T = qbr Spule Kraft auf Leiter Kraft wischen Leitern B = µ ni F = I d l B F = µ I 2 L 2πR magnetischer Dipol m = I B = µ m 2πr 3 auf der chse Dipol-Energie E pot = m B M = m B Hall Effekt U H = vbb Vektor-Potential = µ 4π j r dv 76

5 Induktion induierte Spannung Selbstinduktion Spule U ind = t U ind = L t I L = µ o µ r n 2 V B Schaltkreise Einschaltvorgänge τ t I + I = I I(t) =I ( e t/τ ) Zeitkonstanten τ = RC τ = L/R Wechselspannung U = U e iωt T = ν = 2π ω Leistung P = UI P = T komplexe Widerstände U = Z I T UIdt= 2 U I cos(ϕ U ϕ I ) Z R = R Z L = iωl Z C =/(iωc) RCL-Reihenschwingkreis t U = R t I + C I + L 2 t I Z = R + iωc + iωl ω =/ LC R LC = L/C RCL-Parallelschwingkreis Z = R + Z LC Z LC = Z C + Z L 77