Formelsammlung: Physik II für Naturwissenschaftler

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1 Formelsammlung: Physi II für Naturwissenschaftler 4 Eletrizität und Magnetismus 4.1 Ladung und Ladungserhaltung Ladung q = n(±e) mit Elementarladung 4.2 Coulomb-Gesetz e = 1, C = 1, As Stand: 16. Juli 2015 Kraft auf die Ladung q 1 bei x 1 durch die Ladung q 2 bei x 2 (Fernwirungsprinzip) F 12 = q 1q 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 mit Permittivität des Vauums ε 0 = 8, C 2 Nm 2 Gesamtraft auf q 1 ausgeübt durch viele Ladungen q 2, q 3,... F 1 = F 12 + F (lineare Superposition) Eletrisches Feld E (Nahwirungsprinzip) der Ladungen q 1, q 2... q N wirend auf q bei x Feldlinien: Dichte = Maß für E = E E( x) = F q = N i=1 q i Tangenten = Richtung von E (von + nach -) x x i x x i 3 Feldlinien stehen senrecht auf Leitern und verschwinden darin Eletrischer Dipol: Ladungen ±q im Abstand l Dipolmoment p = ql Fernfeld (Betrag) im Abstand r l E = 1 p r 3 + l +q q 1

2 4.3 Eletrisches Potential Definition des Potentials φ im Punt x x φ( x) = E( x ) d x Interpretation: q φ( x) = Arbeit, um Ladung q im Feld E von nach x zu bringen Einheit [φ] = 1 J/C = 1 V (Volt) Energien werden jetzt oft in Eletronenvolt angegeben: 1 ev = e 1 V = 1, C 1 V = 1, J Potential einer Puntladung Q (Quelle) bei x 1 φ( x) = 1 Q x x 1 Potential von N Puntladungen Q i bei x i (Superposition) φ( x) = 1 N i=1 Q i x x i Energieerhaltungssatz für eine Ladung q im Potential φ an zwei Punten x 1 und x 2 : E ges = E in,1 + q φ( x 1 ) = E in,2 + q φ( x 2 ) = const. Eletrische Spannung zwischen den Punten x 1 und x 2 : U = φ( x 2 ) φ( x 1 ) Eletrisches Feld E und Potential φ = φ(x, y, z) φ/ x E = φ/ y = grad φ φ/ z Feldlinien stehen senrecht auf Äquipotentialflächen φ = const. 2

3 4.4 Kapazitäten Kondensatoren Kondensator speichert Ladung Q auf Eletroden mit Potentialdifferenz U Kapazität ( Fassungsvermögen für Ladung) C = Q U Einheit [C] = 1 C/V = 1 F (Farad) Beispiel: Kondensator aus Platten der Fläche A im Abstand d hat Kapazität C = ε 0 ε r A d ε r : relative Dieletrizitätszahl (Vauum: ε r = 1) Zusammenschalten von Kondensatoren (Zweipole) Serienschaltung 1 C ges = 1 C C 2 C 1 C 2 Parallelschaltung C 1 C ges = C 1 + C 2 C 2 Eletrische Energie im Kondensator W e = 1 2 Q 2 C = 1 2 CU 2 = 1 2 QU 4.5 Bewegte Ladungen Ströme Eletrischer Strom Einheit [I] = 1 C/s = 1 A (Ampère) Ohm sches Gesetz (I U) Ohm scher Widerstand R Einheit [R] = 1 V/A = 1 Ω (Ohm) I = dq dt I = 1 R U 3

4 Eletrische Leistung P = dw dt = U I Kirchhoff sche Regeln Knotenregel I in = I out Maschenregel U = 0 Anwendung der Kirchhoff schen Regeln I 1 I 2 R A + I 3 R B U a I 2 U b + 1. Identifiziere alle Knoten und wähle die Richtungen (beliebig) der Ströme I. 2. Bilanziere die Ströme für jeden Knoten. Für den oben gewählten Knoten bedeutet dies: I }{{} 1 = I 2 + I 3. }{{} in out 3. Wähle genügend Maschen (jedes Bauteil muss mindestens in einer Masche vorommen) und einen Umlaufsinn (beliebig) für jede Masche. 4. Bilanziere die Potentialdifferenzen U im Umlaufsinn. Im obigen Beispiel wäre die Maschenregel: U = U a U b + I 3 R B I 2 R A = 0. Ergebnis: Aus Knoten- und Maschenregel folgen mindestens n Gleichungen für n Unbeannte. Beispiel: RC-Kreis (Ladevorgang) Maschenregel: R dq dt + Q C = U 0 (DGL 1. Ordnung) 4

5 R I C + U 0 + Lösung: Q(t) = U 0 C ( 1 e t/rc) I(t) = Q(t) = U 0 R e t/rc mit typischer Zeitonstante τ = RC (Ladezeit). Zusammenschalten von Widerständen (Zweipole) Serienschaltung R ges = R 1 + R 2 R 1 R 2 Parallelschaltung R 1 1 R ges = 1 R R 2 R Magnetfelder Kraft auf Probestrom I im Magnetfeld B F = I s B ( Drei-Finger-Regel wegen Kreuzprodut) mit s als stromdurchflossene Leiterlänge im Magnetfeld Einheit [ B] = 1 N Am = 1 T (Tesla) Lorentz-Kraft auf Puntladung q im E- und B-Feld F L = q ( E + v B ) Magnetfeld bei x 1 durch einen Stromfaden Id x 2 bei x 2 (Biot-Savart-Gesetz): d B = µ 0 4π Id x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 5

6 mit Permeabilität des Vauums µ 0 = 4π 10 7 Tm/A (vgl. dazu Coulomb-Gesetz) Magnetfeld (Betrag) im Inneren einer langen Spule mit N Windungen auf der Länge l, gefüllt mit Materie und durchflossen vom Strom I: B = µ 0 µ r N l I µ r : relative Permeabilität des Materials 4.7 Eletromagnetische Indution Magnetischer Fluss eines homogenen B-Felds durch ebene Fläche A = na Φ mag = B A Einheit [Φ mag ] = 1 Tm 2 = 1 Wb (Weber) Indutionsgesetz (Faraday) U ind = d dt Φ mag Lenz sche Regel: Indutionsspannung wirt Flussänderung entgegen Magnetischer Fluss durch lange Spule Φ mag = LI mit Indutivität (Geometriegröße, Fassungsvermögen für magnet. Fluss) Windungsdichte N/l Volumen der Spule V Einheit [L] = 1 Wb/A = 1 H (Henry) L = µ 0 µ r N 2 l 2 V Indutionsspannung an der Spule (in Stromrichtung über Spule) Magnetische Energie im Feld der Spule U L = L di dt W m = 1 2 LI2 = 1 2 L Q 2 Zusammenschalten von Spulen (Zweipole) 6

7 Serienschaltung L ges = L 1 + L 2 L 1 L 2 Parallelschaltung L 1 1 L ges = 1 L L 2 L Eletromagnetische Schwingungen RLC-Schwingreis R C L Maschenregel: Q + 2κ Q + ω 2 0Q = 0 Eigenfrequenz ω 0 = 1/ LC Dämpfungsonstante κ = R/(2L) Lösung: gedämpfte Oszillation (κ < ω 0, Kondensator anfangs geladen) mit Frequenz ω = ω 2 0 κ 2 Q(t) = Q 0 e κt cos(ωt) 4.9 Eletromagnetische Wellen (Fernfelder) Ebene, harmonische Welle E = E 0 e cos(x ωt) B = B 0 e cos(x ωt) Wellenlänge λ = 2π/ mit Wellenzahl Kreisfrequenz ω = 2π/T mit Periodendauer T Dispersionrelation ω = c 7

8 Ausbreitungsgeschwindigeit im Vauum: Lichtgeschwindigeit c = 1 ɛ0 µ m/s Polarisation: e e x-achse (Ausbreitungsrichtung) Licht: eletromagnetische Wellen im Spetralbereich λ = 400 nm nm (violett)... (rot) 5 Wellenopti Beobachtbar: Mittlere Intensität I 1 T T 0 dt E 2 Superposition zweier harmonischer Wellen (j = 1, 2) liefert mittlere Intensität E j = E 0 e j cos(r j ωt) I 1 T T 0 dt ( E1 + E 2 ) 2 Sich ergebendes Zweistrahl-Interferenzmuster I = I 0 [1 + ( e 1 e 2 ) cos( r)] mit Gangunterschied r = r 1 r 2 Maxima bei r = ±nλ Minima bei r = ± ( n + 2) 1 λ Beugung am Gitter mit Spalten im Abstand s I Hauptmaximum ±m-ter Ordnung bei s sin θ ±m = ±mλ m = 0, 1, 2,... sin θ Achtung: Einzelne Hauptmaxima eventuell unterdrüct durch Minima der Einzelspalte mit endlicher Breite b an den Stellen b sin θ ±j = ±jλ; j = 0, 1, 2,... 6 Quantenphysi Planc sches Wirungsquantum h = h 2π = 6, π Js = 1, Js 8

9 6.1 De-Broglie-Hypothesen Wellencharater eines freien Teilchens mit Impuls p und Energie E = p 2 /(2m) p = h E = hω = h2 2 2m De-Broglie-Welle ψ(x, t) = ψ 0 exp[i(x ωt)] 6.2 Quantenphysi und Wellenfuntionen Wahrscheinlicheit ein Teilchen zwischen a und b zu finden W (a, b) = b a ψ 2 dx Normierung ψ 2 dx = 1 A Anhang: Physialische Konstanten in SI Einheiten (gerundet für unsere Zwece) A.1 Mechani 11 Nm2 Gravitationsonstante G = 6,67 10 g 2 A.2 Wärmelehre Avogadro-Konstante N A = 6, mol Boltzmann-Konstante B = 1, J K allg. Gasonstante R = N A B = 8,314 A.3 Eletrizität und Magnetismus Elementarladung e = 1, C Eletronenmasse m e = 9, g Protonenmasse m p = 1, g J mol K Permittivität des Vauums ε 0 = 8, C2 Nm 2 Permeabilität des Vauums µ 0 = 4π 10 7 Tm/A Eletronenvolt 1 ev = 1, J 9