Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 5

Transkript

1 Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 5 KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association

2 Klausur Anmeldung und Details: Frank Hartmann

3 Zur Uebung Sehr ausführlich da ein großes Stoffgebiet abgedeckt wird alle Aufgaben werden schnell abgehandelt ODER Wunschaufgaben werden ausführlicher behandelt, dafür nicht alle Wird in der nächsten Übung nicht anders sein Musterlösung auch sehr ausführlich und daher eventuell Fehlerbehaftet: Kopf einschalten; mitdenken - nicht einfach hinnehmen Bei der DGL sind zwei Lösungswege aufgezeigt Frank Hartmann

4 Nochmal elektrische Netzwerke: Kirchhoffsche Maschenregel SV=SIR Kirchhoffsche Knotenregel ΣI = 0 Widerstände in Serie: Widerstände addieren R = R i ; Strom überall gleich; Spannungen addieren Widerstände parallel: Widerstände invers 1 R = 1 R i ; Ströme addieren; Spannungen überall gleich Frank Hartmann

5 Aufteilen in obere und untere Schleife (Masche) Anwendung Kirchhoffsches Gesetz 2: Fuer eine geschlossene Schleife/Masche gilt SV=SU=SIR (NULL ohne Spannungsquelle) Obere Masche Kirchhoff 2: ΣV = = i A 1 i B 1 = ΣI R Kirchhoff 1 (Knotenregel ΣI = 0), um den Strom im unteren Kreislaus (durch R=10 Ω) zu bestimmen i RU = i A + i B Untere Masche Kirchhoff 2: ΣV = 7 = i B (i A + i B ) 2 Gleichungen 2 Unbekannte i A = 1.5A; i B = 2A i A + i B = 0.5A Frank Hartmann

6 s Widerstand wird in Serie geschaltet, damit ein Teil der Spannung am zusätzlichen Widerstand abfällt und der Strom 10mA nicht überschreitet, bzw. genau 10mA bei 300 V misst. Serienschaltung: Strom überall gleich R i 0.1V U R s 299.9V R ges = U I = 30kΩ R zusaetzlich = R ges R i = 30kΩ 10Ω = 29990Ω Spannung an R zusaetzlich 299.9V und Spnannung an R i 0.1V Frank Hartmann

7 p D.h. Messgerät soll 20 mal mehr Strom messen als seine maximal zulässige Stromstärke, d.h. ein Teil des Stromes muss durch einen parallelen Widerstand fließen. Parallelschaltung Spannung an beiden R gleich p R S R i = 0.01A 0.19A R S = Ω = 0.53Ω Frank Hartmann

8 BEWEGTE LADUNG IM MAGNETFELD Frank Hartmann

9 Richtungsaenderung: F L = q v B und F v sin(90 )=1 Parallel F=0 wegen v B v I Frank Hartmann

10 Einige Formeln Magnetfelder Lorentzkraft F L = qv B oder F L = I l B Lorentzkraft = Zentripetalkraft Radius einer Kreisbahn: F L = q v B = m a = mv2 r = F z r = m v q B Frank Hartmann

11 Frank Hartmann

12 Bewegung rechtwinklig zum Magnetfeld Frank Hartmann

13 Parallel zum Magnetfeld Kreuzprodukt NUL Sin(0 )=NULL Keine Kraft geradlinige Bahn Frank Hartmann

14 Schraeg zum Magnetfeld In diesem Fall kann der Geschwindigkeitsvektor in eine Komponente parallel und eine Komponente senkrecht zum Magnetfeld zerlegt werden. Die Komponente senkrechte allein würde zu einer Kreisbahn (Radius r) für die Elektronen führen. Die Komponente parallele allein würde dazu führen, dass sich die Elektronen längs der Feldlinien bewegen würden. Beide Komponenten zusammen führen zu einer Schraubenlinien mit dem Radius r und der Ganghoehe h. Ganghoehe h bei α = 30 o Einschuss, v = m s ; Umlaufzeit T = s h = v T = v cos α T = cos30 o m = 0.1m Frank Hartmann

15 Frank Hartmann

16 Magnetische Flasche Frank Hartmann

17 3 Fingerregel: Bild zeigt Magentfeld in die falsche Richtung Frank Hartmann

18 Gerade Linie magnetisch Kraft gleich elektrischer Kraft: Generell: gekreuzte homogene elektrische und magnetische Felder wirken als Geschwindigkeitsfilter qe = Bqv v = E B = U db D.h. nur bei einer bestimmten Einstellung E/B werden die die Teilchen NICHT abgelenkt v = Frank Hartmann V m 10 2 T = m s Plattenkondensator

19 Massenspektrometer 0.8m 0.8m F z = qe = mv2 = Bqv (v=e/b von vorher) r q m = v rb = E rb 2 = 2Ua L 2 B 2 d V m 0.8m T = = C kg Elektron e m = C kg Faktor ~2000 Proton Frank Hartmann Anmerkung: Zahlen getunt damit es auch ohne relativistischen Korrekturen klappt

20 Umlaufzeit Wie lang war die Umlaufzeit eines Ions im Magnetfeld B z des Zyklotrons? F L = q v B = m a = mv2 r T = 2πr v 2π m B = q = F z r = = 2πB m q m v q B Anmerkung:. T unabhängig von r oder v Sobald man relativistische Massenzunahme berücksichtigen muss, muss die Frequenz angepasst werden Frank Hartmann

21 BEWEGTE LADUNG ERZEUGT MAGNETFELD Frank Hartmann

22 22 Bisher statische B-Felder Jetzt Magnetfelder durch bewegten Ladungen bzw. Strömen Einzelne Ladung B = 1 c 2 v 1 4πε 0 q r 2 e r = Strom: Biot-Savart Ampere sches Gesetz P Bdl = μ 0 I B = db = Frank Hartmann P: Pfad HIER; komplett umlaufend 1 q v r 4πε 0 c 2 r 3 = μ 0 4π P μ 0 4π I dl r r 3 q v r r 3 P: Pfad (Weg) Strom ist die Quelle des Magnetfeldes. Vergleiche Gausser Satz des elektrischen Felds: EdA = q ε 0

23 Jede bewegte Ladung erzeugt ein Magnetfeld B = 1 v E c2 B = 1 c 2 v 1 4πε 0 q r 2 e r = 1 q v r 4πε 0 c 2 r 3 = μ 0 4π q v r r Frank Hartmann

24 Frank Hartmann

25 Spaeter : Spule B = db = P μ 0 4π I dl r r 3 Z aus dem Blatt heraus B = μ 0 4π I R B dl I sin 90 o P dl sinθ r 2 = 1; R = const. B = μ 0 4π I Frank Hartmann P dl R 2 e z = μ 0 4π I R 2 P dl R 2 } Scheife: 2πR e z = μ 0I 2R e z

26 R dl r 2 = R 2 + y 2 B in P abhängig von allen Stromelementen im Leiter y: Integrations- Variable dy=dl B = db = P μ 0 4π I dl r r 3 B = μ 0 4π I dy sinθ r 2 y = R tanθ ; y= sinθ = R r Frank Hartmann

27 B = μ 0 4π I dy sinθ r 2 R y= y = ; sinθ = R tanθ r dy dθ = R sin 2 θ dy = Rdθ sin 2 θ = Rdθ R 2 /r 2 = r2 dθ R B-Feld B = μ 0 4π I 1 R θ=π θ=0 sinθdθ = μ 0I 2πR Frank Hartmann

28 Θ b a r Ampere sches Gesetz P Bdl = μ 0 I Stromdichte im Hohlleiter: j = I A = I I z π(b 2 a 2 ) P: von P umschlossene Fläche, durch die I fließt Frank Hartmann

29 Ampere sches Gesetz Bdl = μ 0 I Stromdichte im Hohlleiter: j = I A = P I π(b 2 a 2 ) z B θ 0 Gesamtstrom: I r = π r 2 a 2 j = I r2 a 2 b 2 a 2 Unendlich langer Leiter (Symmetriegründe) B z =0, B r =0 a) r < a I = 0 B = B r, B θ, B z = (0,0,0) b) a < r < b B = 0, μ 0I(r) 2πr, 0 = (0, μ 0I 2πr r2 a 2 b 2 a 2, 0) I Θ b a r c) r > b B = 0, μ 0I 2πr, 0 = μ 0I 2πr e z Frank Hartmann

30 F L = qv B oder F L = Il B F = I B dl = I μ 0I 2πa L a = I I = ,15 VsA N Frank Hartmann μ 0 2πF L = 4π10 7 Tm/A 2π 0,15N = 6.7mm B = B r, B θ, B z = (0, B θ, 0) B θ = μ 0I 2πa F = F r = ( F, 0,0) T = VS ; AVs = [Nm] m2 2, m

31 INDUKTION UND SPULEN Frank Hartmann

32 l P Bdl = μ 0 I Umlaufender Pfad φ = BdA = BA Eds A = B t da = U i = N dφ dt = N d dt BA db = NA dt Ampere sches Gesetz: Spule: Bds = μ 0 NI = Bl B = μ 0NI l A U i = NA μ 0N l di dt U i = NA μ on l di dt di = L dt L = N2 Aμ o l L 32 = m 2 4π10 7 VsA 1 m Frank Hartmann 0.2m = H = 80μH

33 Zusatz WIKIPEDIA Frank Hartmann

34 I t = k 1 e t τ + k 2 Einsetzen: U 0 R = L R k 1 Nebenbedingung II: Maschenregel: U 0 = U L + U R = L di dt + IR inhomogene DGL 1. Ordnung entweder Ansatz oder Loesen durch Trennung der Variablen Nebenbedingung I: I t = 0 = 0 k 1 = k 2 1 t τ e τ + k 1 e t τ + k 2 I t = U 0 R k 2 = U 0 R k 1 = U 0 R τ = R L I t = U 0 R Frank Hartmann L (1 e R t ) U 0 R = U 0 R NR: Einsetzen: L 1 t R τ e τ + e t τ + U 0 R τ = R L

35 I t = U 0 R t (1 e τ) Spannung ueber der Spule: U L = L di dt = L U 0 R 1 τ t e τ = U 0 e R L t Frank Hartmann

36 Alternativer Rechenweg (ohne Ansatz) di dt = U 0 IR L Integrieren: Maschenregel: U 0 = U L + U R = L di dt + IR inhomogene DGL 1. Ordnung entweder Ansatz oder Loesen durch Trennung der Variablen di U 0 I R di U 0 IR = dt L 1 1 ln U 0 R I = R L t + C 1 U 0 U 0 di R I = R L dt Formelsammlung: R I = C 2 e R L t = R L dt dx ax + b = 1 ln (ax + b) a Hier a = 1l b = U 0 R I = U 0 C R 2e t τ mit τ = L R Frank Hartmann

37 I = U 0 R C 2e t τ mit τ = L R Randbedingung: t muss I = U 0 r gelten ; I t = 0 = 0 erfordert C 2 = U 0 R I t = U 0 R t (1 e τ) Spannung ueber der Spule: U L = L di dt = L U 0 R 1 τ t e τ = U 0 e R L t Frank Hartmann

38 Induktivitaeten verhalten sich wie Widerstände: Seriell: L ges = L 1 + L 2 allgemein: L ges = L i Parallel: 1 L ges = 1 L L 2 allgemein 1 L ges = 1 L i Frank Hartmann

39 Ruhender Beobachter sieht bewegte Ladung im B-Feld: F L = qv B Rotierender Beobachter sieht die Ladung in Ruhe, bemerkt aber eine Kraft auf q : F el = q E mit E = v B E = ω r B = 10 3 r 0.5T = 500 V m 2 r r Frank Hartmann 39 Relativität der Felder

40 Spannung = integr. Potenzial: R 2 U = Edr = ωrbdr = ωb r2 R 1 R 2 R 1 2 R 2 R 1 = 0.3V Frank Hartmann

41 Nein, da gäbe es ja keine Änderung. 41 Frank Hartmann

42 L = N2 Aμ o μ r l Frank Hartmann

43 B z = μ 0 N l I B z = 1, Vs Am A m = 0,125T Vs 7 μ 0 = 4π 10 Am = 1, Vs Am Frank Hartmann

44 Energie in Spule: E magn = 1 2 L I2 Spule: L = μ 0 N l 2 A l = μ 0 N l 2 2πr 2 l = 0.4 Vsm Am Energie in Spule: E magn = J = 20J Frank Hartmann

45 (4) Neee! (2) Warum sollte sie? =0 beim entladen; d.h. Masche ohne Spannung Eher allgemein: I t = k 1 + k 2 e t τ Nein, Exponent Einheitslos a=1/s Frank Hartmann

46 Widerstand plus Spule Wie sieht der Lade bzw. Entladestrom aus? I t = U 0 R L (1 e R t ) I t = U 0 L R e R t Frank Hartmann

47 Frank Hartmann

48 Nein, man braucht eine Stromaenderung Nein, umgekehrt Nein! Energieerhaltung Frank Hartmann

49 U 1 = N 1 U 2 N 2 U 2 = U 1 N = V = 5.98V N U = R I I = U R = 6V 60Ω = 100mA Frank Hartmann P 1 = U 1 I 1 = U 2 I 2 = P 2 I 1 = U 2I 2 6V 100mA = Institut für Experimentelle Kernphysik; = Fakultät 2.6 Physik ma U 1 230V

50 Zusatzaufgaben, wer Lust hat BACKUP Frank Hartmann

51 Bohrsches Magneton Frank Hartmann