Projekt Experimentelle Mathematik mit GeoGebra

Transkript

1 Projekt Experimentee Mathematik mit GeoGebra (Projekt für Q1, G. vom Stein) Gefäße mit unterschiedichen Formen werden mit einer variaben, aber konstanten Wasserzufuhr befüt. Es so jeweis die Funktion Zeit Pegehöhe ermittet werden. Vorbereitungen Zwei einfache Beispiee soen auf das Thema einstimmen: Von einfachen Formen zu geschwungenen Vasenformen steigt der mathematische Aufwand rapide an und es kann nur noch mit einem Mathematikprogramm gearbeitet werden, wobei das Programm GeoGebra zum Einsatz kommen wird. An einer konkreten Vase werden die Profi-Funktion und die Ziefunktion experimente ermittet. 1. Zyinderförmige Vase: Das Voumen Wasser in der Vase kann einma as Funktion der Pegehöhe h, zum anderen as Funktion der Zeit t, die das Wasser eingeaufen ist, dargestt werden: V ( h) = G h = π r h dm und V ( t) = a t. Dabei ist a die Zufussmenge in Liter pro Minute, z.b. a = 1. = 1.. Die Funktion h (t) erhät man aus dem Ansatz V ( h) = V ( t), aso a π r h = a t h( t) = t. Dies ist ein inearer Zusammenhang (Ursprungsgerade). π r Nichts anderes hat man erwartet: In der zyinderförmigen Vase steigt der Wasserpege geichmäßig an.. Kegeförmige Vase: Geiches Verfahren, aerdings ändert sich jetzt die Grundfäche mit der Höhe: 1 V ( h) = V ( t) G( h) h = a t 1 r r r ( h) h = a t ( = ) h h h h a h = t h( t) = r a h Die Pegehöhe wächst mit der dritten Wurze aus der Zeit. r t

2 Eigentiches Projekt Vase Nr. 1: Die Form der Vase ist ein Kegestumpf. Skizze um 9 Grad gedreht: As Randfunktion bezeichnen wir die (obere) Querschnittsinie, in diesemfa eine Gerade mit der r r1 Geichung r( h) = h + r1. h 1 Steigung Die Bestimmung des Voumens V(h) könnte man mit Hife der Forme für das Voumen des Kegestumpfs vornehmen. Mit Bick auf Vase wird aber ein anderes Verfahren gewäht. Wir assen uns das Voumen von GeoGebra mit einem vorgefertigten Befeh ausrechnen. Dabei müssen wir den Variabennamen h gegen x austauschen, wei GeoGebra nur x as Funktionsvariabe kennt: V ( x) = π Integra( r ( x)) Man erhät mit r =. 698, r =. 9, h = 6 79 die Funktion r(x) =. 4 x und daraus V(x) = π (. 89 x +. 8 x x). (Bzg. der experimenteen Bestimmung der Innenmaße r 1, r, h s. Anage.) Die Geichung V ( x ) = V( t ) ( x = ˆ h ) muss nun nach x freigestet werden. Agebraisch müßte dazu eine Geichung. Grades geöst werden, was für uns nicht mögich ist. (Es gibt nichts Entsprechendes zur p-q-forme für Geichungen. Grades.) Deshab ösen wir die Geichung rechnerisch mit Geogebra. Dazu interpretieren wir die Geichung V( x ) = a t as Schnittpunkt zweier Funktionen. Dabei ist a t bezogen auf die Lösungsvariabe x eine konstante Funktion, aso eine Paraee zur x-achse. Sie wird in GeoGebra definiert as Z( x ) = a t. Das nebenstehende Diagramm zeigt die Funktionen für a = 1 und t = 8. 9 s : Der Punkt A wird von GeoGebra berechnet. Er hat die Koordinaten A( Pegehöhe x a t ). Die Zeit t wir as unabhängige Variabe (in GeoGebra ein Schieberegeer) definiert. Lässt man nun per Animation des Schiebergers die Zeit t geichmäßig wachsen, so äuft der Punkt A dabei über den Voumen-Grafen. Die x-koordinate von A gibt dabei die jeweiige Pegehöhe in der Vase an.

3 Die Koordinaten eines Punktes kann man sich in GeoGebra mit den Befehen x(a) und y(a) ausgeben assen. Damit ist das Probem im Prinzip geöst. Es wird jetzt in einem neuen t-x-diagramm ein Punkt PH (Pegehöhe) definiert, und zwar PH = (t x( A ) ). Wenn man nun den Schiebereger t wieder animiert und die Spur von Punkt PH anzeigen ässt, so erhät man den Grafen der Ziefunktion x(t) bzw. h(t). Man kennt aerdings nicht die Geichung der Funktion. Im etzten Schritt wird die mathematische Simuation mit der Reaität, aso mit physikaischen Messdaten, vergichen. Dazu wird die reae Vase mit einem geichmäßigen Wasserstrom aus dem Wasserhahn befüt und die Zeit sowie die zugehörige Pegehöhe gemessen. Die Messpunkte werden in GeoGebra in eine Tabee eingetragen und as Punkte im Geometrie-Fenster dargestet. Dies sind die offenen Punkte im nebenstehenden Diagramm. Leider zeigte sich, dass der Wasserzustrom nicht konstant war. Der Wert sank während der Befüung von a = / auf a =. 916 /. Dementsprechend iegen die Messpunkte eider nicht auf der theoretischen Kurve. (Diagramme s. Anhang). In GeoGebra kann nun aber mit einer zuässigen Manipuation nachgearbeitet werden. Unter der Annahme, dass das Absinken der Zufussmenge geichmäßig über die Zeit erfogt, konstruieren wir einen Reger a in den Grenzen 1.19 und.916, der geichzeitig mit dem Reger t animiert wird. Nun nimmt die Zufussmenge mit der Zeit geichmäßig ab. Das Diagramm zeigt die so erhatene theoretische Kurve, die mit guter Genauigkeit durch die Messpunkte veräuft.

4 Vase Nr.. Unregemäßige Randkurve Wir gehen genauso vor wie bei der ersten Vase und kopieren dazu die GeoGebra-Datei der Vase Nr. 1. Dann brauchen wir edigich die Randfunktion zu ersetzen und sind fertig! Aerdings ist die Bestimmung der Randfunktion etwas aufwendig. Man erhät sie näherungsweise aus zeitraubenden Messungen an der Vase, mehr dazu im Anhang. Ae so bestimmten Randpunkte der Vase werden in die GeoGebra-Tabee geschrieben, markiert und mit RTM eine Liste dieser Punkte erzeugt, der Name sei z.b. L1. Geichzeitig werden die Punkte im Geometrie-Fenster gezeichnet. Im Beispie sind es 1 Punkte, (s.o). Dann wird mit dem vorgefertigten GeoGebra-Befeh r(x)=trendpoy[l1,n] ein Poynom vom Grad n durch die 1 Punkt erzeugt. Der maximae Wert von n ist 9, da ein Poynom vom Grad 9 durch 1 Koeffizienten definiert wird und dafür 1 Geichungen, gewonnen aus 1 Punkten, notwendig sind. Im voriegenden Fa iefert eider keiner der Werte n= 4 bis 9 eine zufriedensteende Randkurve. Deshab setzen wir eine Menge von z.b 1 Punkten in das Geometrie-Fenster, ihre Namen seien z:b. L,M,N, usw. Dann definieren wir eine neue Liste L={L,M,N, } und biden nun r(x)=trendpoy[l,11] (evt. auch r(x)=trendpoy[l,n] mit n<11) und patzieren die neuen Punkte derart, dass die Kurve f durch ae Vasenkurve veräuft und die Form der Vase dem Augenschein nach schön widergibt. Dabei kam in der Aktionswoche die obige Form heraus mit der Randfunktion r(x) =. 5 x +. x -. 4 x +. 5 x x x x x Wieder wird das Voumen mit dem Geogebra-Befeh V ( x) = π Integra( r ( x)) gebidet. Man erhät diesma eine Funktion vom Grad (!), auf deren Widergabe hier verzichtet wird. Und auch hier wird der Graf mit der Waagerechten Z( x ) = a t geschnitten: x³ +. x² x

5 Die Vase wird wieder aus dem Wasserhahn befüt. Die Zufussmenge beträgt nun 1 Liter in. Sekunden. Dieser Wert stet einen Mittewert aus sechs Messungen dar. Die Vase wurde in ca. 9 gefüt und die Zufussmenge bieb reativ konstant ohne Tendenz Berechnung: a = = = = s. 6 Die offenen Punkte entsprechen wieder den gemessenen Zeiten und Pegehöhen. Leider erhaten wir ab ca. ein Dritte der Höhe eine Abweichung. Die gemessenen Pegehöhen sind keiner as die theoretisch vorausgesagten. Eine mögiche Ursache sind ungenaue Messungen der Vasendurchmesser und mögicherweise nicht geichmäßige Wanddicken der Vase. Eine überzeugende Erkärung steht aus.

6 Anhang I. Ausmessen der Vasen Beide Vasen haben in der Bodenmitte eine Erhebung. Der Unterschied zwischen Maximum in der Mitte und dem Minimum am Rand beträgt mm bei Vase 1 und 4 mm bei Vase. Für die Festegung der Innenhöhen der Vasen wurde ein Durchschnittsniveau angenommen, s. Skizze. Man erhät so eine Bodendicke von. cm bei Vase 1 und 1.8 cm bei Vase. Die Querschnittsinie von Vase 1 ist eine Gerade. Deshab kann man sich hier auf die Messung zweier (Außen-) Durchmesser beschränken, und zwar am oberen Rand und cm oberhab der Standfäche, dort iegt die nu der inneren Höhenskaa. Nach Habierung der Durchmesserwerte und Abzug der Wandstärke erhät man die Innenradien, mit deren Hife die Randfunktion der Vase aufgestet werden kann (s.o., nach Drehung um 9 Grad). Für die Messung der Durchmesser wurde eigens ein Geste aufgebaut, wie die Fotos zeigen.

7 Die Tabee zeigt die Messungen an Vase. Außendurchmesser (cm) Höhe (cm) bezogen auf Standfäche Die Werte werden in der Tabeen-Ansicht von GeoGebra eingetragen und mit den übichen Mitten der Tabeenkakuation auf die Innenmaße der Vase umgerechnet. D.h. die Höhenwerte werden um 1.8 cm verkeinert und durch 1 dividiert (auf die Einheit dm). Die Durchmesserwerte werden habiert, die Wanddicke abgezogen und ebenfas durch 1 geteit auf die Einheit dm. Die beiden Spaten werden dann as Punkte in das Geometrie-Fenster von GeoGebra eingetragen und ergeben das Innenprofi der Vase (s.o.). II. Auswertungen Vase 1 Die nebenstehende Abbidung zeigt den Mißerfog bei Vase 1, wenn man für die gesamte Befüungszeit mit der anfängichen Zufussmenge von a = bzw. mit der Zufussmenge am Ende der Befüung a =. 916 arbeitet. Mit keinem der beiden Werte erhät man eine zufriedensteende Übereinstimmung.

8 Vase Man würde eine wunderschöne Übereinstimmung mit einem etwas keineren Wert für die Zufussmenge erhaten: Für a = statt a = passt die Kurve nahezu perfekt, aber das wäre nun wirkich gepfuscht. 1 1 Denn a = bedeutet a = =. Und die Abweichung zwischen 6 / s. 9 s. s (gemessen) und.9 s (erwünscht) iegt auf keinen Fa im Rahmen der Messungenauigkeit der Zeit.