M14. Torsionsmodul (1)

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1 M Torsionsmodu Der Torsionsmodu eines Stabes so in diesem Versuch nach der statischen und der dynamischen Methode bestimmt werden. Die maximae Messunsicherheit beider Methoden ist dabei zu vergeichen.. Theoretische Grundagen. Agemeine Grundagen Jeder feste Körper wird unter dem Einfuss einer mechanischen Spannung deformiert. Bei hinreichend keiner Spannung ist die Deformation meist eastisch, d. h., der Körper nimmt nach der Entastung seine ursprüngiche Gestat wieder an. Überschreitet die Spannung dagegen einen kritischen Punkt, so können Fießerscheinungen zu beibenden Voumen- oder Formänderungen führen. Diese Deformationen sind dann uneastisch oder pastisch. Das eastische Verhaten homogener isotroper fester Körper wird durch vier Materiagrößen charakterisiert: den Eastizitätsmodu E, die Poissonsche Zah µ, den Torsions- oder Schubmodu G und den Kompressionsmodu K.. Torsionsmodu Wenn auf die obere Deckfäche eines Würfes, dessen Bodenfäche festgehaten wird, eine nicht zu große Kraft F S in der in Bid dargesteten Richtung wirkt, so ist der Scherwinke α der Schubspannung τ proportiona. τ = G α () Bid : Scherkraft am Würfe Den Proportionaitätsfaktor G nennt man Schub- oder Torsionsmodu, und die Schubspannung ist das Verhätnis der Scherkraft F S zum Querschnitt A des Würfes: F S τ = () A Der Torsionsmodu G ässt sich aus Untersuchungen an verdriten Stäben mit kreisförmigem Querschnitt bestimmen. Gegeben sei ein einseitig eingespannter Stab, dessen Länge groß gegen den Radius r sein so. Betrachtet man im Stabinneren einen koaxiaen Hohzyinder mit dem Radius r und der Dicke dr (Bid ) und ässt am freien Ende tangentia eine Schubkraft df S angreifen, so wird eine ursprüngich senkrechte Faser des Zyindermantes um den Scherwinke α gedreht. Für den Bogen s = r ϕ git unter der Voraussetzung α << in guter Näherung s= α. Bid : Torsion eines Zyinders 05

2 Damit kann man nach Geichung () r τ = G α = G ϕ schreiben. Das Produkt aus Schubspannung τ und dem Querschnitt A des Hohzyinders ist die Schubkraft r df S = π r dr G ϕ. Durch Mutipikation mit dem Hebearm r geht die Schubkraft in das Drehmoment dm π G = ϕ r' 3 dr' über. Das resutierende Drehmoment erhät man durch Integration über ae Hohzyinder: M M π G 3 dm = ϕ r' = π G r = ϕ r 0 dr, (3) Wenn zur Verdriung des Stabes ein großes Drehmoment erforderich ist, empfieht sich eine statische Bestimmung des Torsionsmodus. Liegt dagegen das zu untersuchende Materia as Draht vor, wird der Torsionsmodu zweckmäßigerweise mit einer dynamischen Messmethode ermittet... Statische Messmethode Das nicht eingespannte Ende eines Stabes wird starr mit einer zyindrischen Scheibe (Radius R) verbunden. Dabei soen Stabachse und Scheibenachse übereinstimmen. Wenn man nun die Schubkraft F S in der in Bid 3 dargesteten Weise an der Scheibe angreifen ässt, ist das auf den Stab übertragene Drehmoment: M = R F S () Bid 3: zur Torsion Aus Geichung (3) und () erhät man für den Torsionsmodu G F S R π r ϕ = (5) Der Winke ϕ wird aus dem Ausschag eines auf der Achse angebrachten Zeigers bestimmt... Dynamische Messmethode Ein Stab habe die Länge und den Radius r. Das obere Ende sei eingespannt, das untere mit einer zyindrischen Scheibe beastet. Dreht man die Scheibe um den Winke ϕ 0 aus ihrer Ruheage und ässt sie zurzeit t = 0 os, so führt das System unter der Wirkung der eastischen Kräfte des verdriten Drahtes Torsionsschwingungen aus. Bei einem Ausenkwinke ϕ ist der Betrag des rücktreibenden Drehmomentes durch (3) gegeben. - -

3 Die Größe D G r = π (6) ist das Direktionsmoment des Torsionspendes. Bezeichnet man mit J das Trägheitsmoment des Systems, so autet die Bewegungsgeichung J ϕ = D ϕ. Aus der Lösung dieser Differenziageichung ergibt sich für die Schwingungsdauer: T J = π. D (7) Ist das Trägheitsmoment J bekannt, kann der Torsionsmodu aus den Geichungen (6) und (7) bestimmt werden. Im Agemeinen ässt sich aber das Trägheitsmoment des Systems (Stab, Scheibe und Befestigungsvorrichtung) nicht berechnen. Aus diesem Grunde ist es notwendig, J zu eiminieren. Man schraubt einen Zyinder (Masse m, Radius R) so an die schon vorhandene Scheibe, dass die Achse des Zyinders mit der Stabachse übereinstimmt. Das Trägheitsmoment des Torsionspendes vergrößert sich dadurch additiv um J = m, und die Schwingungsdauer wird R T J + J = π. D (8) Wenn man die Geichungen (8) und (7) quadriert und anschießend voneinander abzieht, ergibt sich für das Direktionsmoment π J D = T T = π m R T T (9) Aus den Geichungen (6) und (9) fogt m R G = π r ( T T ) (0). Versuch. Vorbetrachtung Aufgabe : Nennen Sie vier Materiagrößen, die das eastische Verhaten homogener isotroper fester Körper charakterisieren. Aufgabe : Ein Metastab mit einem Durchmesser von d = 5mm ist senkrecht aufgehängt. Das eine Ende ist dabei fest eingespannt. Am anderen Ende ist im Abstand von einem Meter eine Scheibe mit einem Durchmesser D = 6 cm am Stab angebracht (Siehe Bid ). Über ein Roensystem werden symmetrisch Massestücke aufgeegt, die den Stab geichmäßig verdrehen. Das Verhätnis von Kraft zu Winke beträgt 60,8 N/rad. Berechnen Sie den Torsionsmodu (Schubmodu)! Um weches Materia handet es sich bei dem Meta? - 3 -

4 . Versuchsdurchführung.. Verwendete Geräte Stab mit Drehscheibe, Aufageteer für Massestücke, verschiedene Massestücke ( 00 g, 00 g, 500 g, kg), Messschieber mit Tiefenmesser, Bügemessschraube, Winkemesser, Lichtschranke mit Zäher, Stoppuhr, Zusatzscheibe, Giedermaßstab.. Versuchshinweise Aufgabe : Bestimmung des Torsionsmodus eines Stabes nach der statischen Messmethode. (Siehe Bid ) Messen Sie die Stabänge zwischen den Einspannpunkten. Messen Sie zur Bestimmung des Scheibenradius R den Scheibendurchmesser in der Rie. Messen Sie den Stabdurchmesser d mit der Bügemessschraube an mindestens 0 verschiedenen Steen. Die Kraft F S wird durch die Gewichtskraft bei der Beastung aufzuegender Massestücke reaisiert. Variieren Sie die Gesamtmasse im Bereich von 0 bis 6 kg entsprechend den Mögichkeiten der bereitgeegten Gewichtsstücke. Beachten Sie dabei geiche Seitenbeastung! Der jeweiige Ausenkwinke ϕ ist zu messen. Führen Sie mindestens 0 Messungen durch. Bid : Versuchsaufbau Für die Entastung des zu verdrehenden Stabes wiederhoen Sie den Vorgang in umgekehrter Reihenfoge. Aufgabe : Bestimmung des Torsionsmodus eines Stabes nach der dynamischen Messmethode Demontieren Sie den Zeiger und die Seie zur Befestigung der beiden Aufageteer. Bestimmen Sie die Masse m und den Durchmesser D = R der Zusatzscheibe. Zur Bestimmung der Schwingungsdauer stoppen Sie die Zeit für 50 Schwingungen (T ohne, T mit montierter Zusatzscheibe). Wiederhoen Sie die Messung 0-ma. Zur Zähung der 50 Schwingungen kann die Lichtschranke verwendet werden: Kontroieren Sie den Zeiger an der Scheibe. Dieser muss die Lichtschranke unterbrechen können. Positionieren Sie die Lichtschranke so, dass der Zeiger nur mit geringem Abstand neben dem Lichtweg ruht. Legen Sie die Betriebsspannung an die Lichtschranke. Überprüfen Sie die Steung des Betriebsartenschaters auf Count. Verdrehen Sie zur Messung die Scheibe ca. 0-5 und mit dem Losassen starten Sie die Zeitmessung. An der Lichtschranke werden die Durchgänge des Zeigers gezäht und angezeigt. Beachte: Jede Schwingung durchäuft die Lichtschranke zweima! - -

5 .3 Versuchsauswertung Aufgabe : Bestimmung des Torsionsmodus eines Stabes nach der statischen Messmethode Berechnen Sie aus den Messwerten den Mittewert des Stabdurchmessers d und die Messabweichung aus der Summe des systematischen und des zufäigen Fehers (Mittewert, Standardabweichung, t-verteiung). Steen Sie die Funktionen F S =f(ϕ zu ) und F S =f(ϕ ab ) der Be- und Entastungskurve in einem Diagramm graphisch dar (ϕ in Bogenmaß verwenden!)und ermitten Sie deren Anstieg unter Verwendung der inearen Regression. Bestimmen Sie den Mittewert der Anstiege und benutzen Sie diesen für die Berechnung des Torsionsmodus G. Geben Sie die Messunsicherheit durch eine Feherrechnung (absout und reativ) an. Verwenden Sie für die Feherbetrachtung die Standardabweichung des Kurvenanstiegs (siehe Abschnitt.3 Einführung in das Physikaische Praktikum ) Aufgabe : Bestimmung des Torsionsmodus eines Stabes nach der dynamischen Messmethode Berechnen Sie aus den Messwerten die Mittewerte der Schwingungsdauern T und T sowie die Messabweichungen aus den Summen der systematischen und zufäigen Feher (Mittewert, Standardabweichung, t-verteiung). Berechnen Sie den Torsionsmodu G nach Geichung (0) und geben Sie die Messunsicherheit durch eine Feherrechnung (absout und reativ) an. Aufgabe 3: Vergeich Vergeichen und diskutieren Sie die Ergebnisse des Torsionsmodus und deren Messunsicherheiten. Worin unterscheiden sich beide Methoden? - 5 -

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