2.2 Deformationzustand und Spannungs-Dehnungs-Beziehung

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1 2.2 Deformationzustand und Spannungs-Dehnungs-Beziehung Da wir nun die Beastung im Detai durch Angabe des Spannungszustands bestimmen können, sind wir auch in der Lage die einschränkende Annahme eines starren Körpers faen zu assen und die Deformation des Körpers zu beschreiben. Wir woen wieder schrittweise vorgehen und mit dem einachsigen Spannungszustand beginnen Einachsiger Spannungszustand und Dehnung Ein erster Schritt zur Beurteiung des Deformationsverhatens von Körpern ist es, Stäbe konstanten Querschnitts aus verschiedenen Materiaien einem Zugversuch auszusetzen. Wie woen von den Randbereichen der Stäbe, an denen die Kräfte angreifen, absehen und die Verformung im Stab fernab der Kraftangriffspunkte betrachten. Für sehr viee feste Stoffe beobachtet man einen ausgeprägten Bereich, in dem die Dehnung des Zugstabes proportiona zur Kraft F ist: F F F Der Faktor α beeinhatet geometrische Einfüsse und Materiaeigenschaften, an denen wir besonders interessiert sind. α 3 α 2 α 1 Einfüssgrößen, die der Geometrie zuzuordnen sind, können beim Stab nur die Stabänge und der Stabquerschnitt sein. 0 0 Da die Kraft F in jedem Schnitt durch den Stab geich groß sein wird, ist es anschauich, dass die Längenänderung proportia zur ursprüngichen Länge des Stabes ist und umgekehrt proportiona zur Querschnittsfäche A des Stabes ist Dies führt auf einen Zusammenhang der Form Für die gezeichneten senkrechten Schnitte durch den Stab hatten wir die Normaspannung σ = F eingeführt. Beziehen wir noch die Längenänderung auf die Länge, so erhaten A wir Das Verhätnis wird as Dehnung ε bezeichnet. Spannung und Dehnung sind beim Zugstab im eatischen Bereich proportiona: 106

2 Da wir ae geometrischen Einfüsse erfasst haben, muss die Proportionaitätskonstante in dieser Beziehung eine reine Materiaeigenschaft sein. Wenn wir mit der Materiaeigenschaft, den Widerstand des Körpers gegen die Längenänderung zum Ausdruck bringen woen, so ist es zweckmäßig die Materiakonstante durch den Ansatz zu definieren. Da wir den eastischen Bereich betrachtet haben, wird die Materiakonstante Eastizitätsmodu genannt und der Buchstabe E dafür eingeführt. Der Eastizitätsmodu hat die Dimension einer Spannung Tpischer Zahenwert für Stah: Da wir für eine Zugspannung das positvem Vorzeichen vereinbart haben, ist damit konsistent auch das Vorzeichen von festgeegt: Verängerung des Stabes (Zugstab): Verkürzung des Stabes (Druckstab): Wir haben damit das Hookesche Gesetz eingeführt. Es git im ineareastischen Bereich und sagt aus, dass die Spannung der Dehnung proportiona ist. Wir woen uns in dieser Voresung mit dem inear eastischen Verhaten begnügen. As Bedingung für die Gütigkeit werden wir deshab fordern, dass stets und dies nach Lösung von Festigkeitsaufgaben überprufen. An der Größenordnung des Eatizitätsmodues für Stah erkennt man, dass für Spannungen der Größenordnung 100N/mm 2 am Stab Dehnungen der Größenordung 10 3 aso im Promiebereich auftreten werden. 107

3 Zahenbeispie Eine Zugkraft von F = N greift an einem Stahsei mit einem Durchmesser von d = 1cm und einer Länge von 20m an. Wie groß sind Dehnung ε und Längenänderung des Seies, wenn der Eastizitätsmodu des Materias E = 2, N/mm 2 beträgt? Lösung Mit dem Hookeschen Gesetz ε = σ/e ergibt sich fogende Offensichtich git ε << 1, so dass die Annahme der Gütigkeit des Hookeschen Gesetzes gerechtfertigt ist. Das Stahsei verängert sich bei der Beastung um Übung σ [ N/mm 2 ] Bruchgrenze Abgebidet ist der Messschrieb eines Zugversuch an einer Metaprobe. Bestimmen Sie aus dem Spannungs-Dehnungs- Diagramm den Eastizitätsmodu des Werkstoffes! Streckgrenze Zerreißgrenze ε [%] 108

4 An einem Zugstab beobachtet man neben der Längenänderung auch eine Abnahme des Querschnitts, die sogenannte Querkontraktion. Verschiebepan z Hat der Zugstab einen rechteckigen Querschnitt A mit A = bh so werden neben der Längenänderung in -Richtung wegen der Querkontraktion auch in den beiden anderen Koordinatenrichtungen Dehnungen hervorgerufen: h b b+ b h+ h + Dabei ist einsichtig, dass einem > 0, negative Dehnungen in den Querrichtungen b, h < 0 zuzuordnen sind, die der Längenänderung proportiona sind Für isotrope Materiaien sind die Proportionaitätsfaktoren in ae Raumrichtungen geich. Die Proportionaitätskonstante wird as Querkontraktionszah ν bezeichnet. Wie der Eastizitätsmodu ist die Querkontraktionszah eine Stoffkonstante und wird deshab sinnvoerweise positiv definiert. Es fogt aso 109

5 2.2.2 Reiner Schub und Scherung Ein weiterer einfacher Spannungszustand ist der Fa reinen Schubs (siehe früheres Beipie). Deformationen des isotropen Materias durch Schubspannungen, bewirken Winkeänderungen +d Freischnitt Der rechte Winke der unteren inken Ecke des unbeasteten Rechtecks weicht durch die Schubbeastung um den Winke γ = γ +γ +d vom rechten Winke ab. Wegen des Momentengeichgewichts und der Isotropie git: +d Verschiebepan Wir formuieren auch hier einen inearen Zusammenhang: γ π/2 - γ Der Proportionaitätsfaktor ist wieder eine Stoffeigenschaft. Sie heißt Schubmodu. γ +d Tpischer Zahenwert für Stah: Wegen der angenommenen inieareastischen Verformungen erzeugen die Schubspannungen in den anderen beiden Raumrichtungen unabhängig davon geich Winkeänderungen in den zugeordneten Fächen: Dieses ist Ausdruck des Superpositionsprinzip, dass wir im übernächsten Abschnitt einführen werden. Wie wir bei der Einführung der Spannungen im vorigen Kapite gesehen haben, ist der Wert von Norma- und Schubspannung von der Schnittrichtung durch den Körper abhängig. Für den Zugstab fanden wir in schnitten unter pi/4 zur Stabachse die maimae Schubspannung gepaart mit der haben Normaspannung in Achsrichtung. Aso erfahren auch am Zugstab entsprechend orientierte Voumeneemente des Körpers dehnungen und Winkeänderungen. Daraus fogt, dass die drei bisher eingeführten Stoffparameter nicht unabhängig voneinander sein können. Den Zusammenhang werden wir weiter unten abeiten. 110

6 2.2.3 Superpositionsprinzip Da wir nur ineareastisches Verhaten mit keinen Deformationen voraussetzen woen, können eine oder mehrere Beastungen zusammen gefasst oder im Bedarfsfa kann eine Beastung in zwei oder mehrere Teibeastungen zeregt werden. F 1 1 F 1 F 2 2 F 2 F 1 +F F 1 +F Räumicher Deformationszustand Mit dem Superpositionsprinzip fät es uns nun nicht schwer, die Dehnungen auf Grund von Normaspannungen in aen drei Raumrichtungen zur ermitten. Die Normaspannung in -Richtung ist für die Dehnungen die Normaspannung in -Richtung erzeugt Freischnitt nur Normaspannungen z und die Normaspannung in z-richtung Die Superposition iefert die Gesamtdehnung: Freischnitt nur Schubspannungen z Die Scherungen durch Schubspannnungen sind: 111

7 Wir hatten beim räumichen Spannungszustand den Spannungstensor definiert. Da den Spannungen und Schubspannungen Dehnungen und Scherungen zugeordnet sind kann in ähnicher Weise ein Deformationstensor definiert werden. Aus Geichgewichtsbetrachtungen an prismatischen Voumeneementen zusammen mit den inear eastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehung erhät man den Deformationstensor Natürich stört die Wiederhoung des Faktors 1/2. Man definiert deshab und erhät Die Smmetrie des Spannungstensors bedingt dann natürich auch die Smmetrie des Verformungszustands, so dass auch der Deformationstensor ε ein smmetrscher Tensor ist. Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung assen sich dann kompakt formuieren, wenn man einen Eastizitätstensor E einführt, der ein Tensor 4. Stufe sein so. Man erhät den Spannungstensor σ, wenn man ein zweifaches Skaarprodukt zwischen dem Eastizitätstensor und Deformationstensor formuiert: Der Eastizitätstensor hat im Dreidimensionaen 3 4 = 81 Komponenten. Für isotrope, inear eastische Werkstoffe reduzieren sich die eastischen Konstanten jedoch auf edigich drei, nämich Eastizitätsmosdu, Schubmdu und Querkontraktionszah, die wie wir geich sehen werden, jedoch nicht unabhängig voneinander sind. 112

8 2.2.5 Beziehung zwischen Eastizitäts-, Schubmodu und Querkontraktionszah Freischnitte (phsikaische Ebene) Wenn eine eindeutige Beziehung zwischen den Stoffkonstanten besteht, so reicht ein Speziafa aus, diese Beziehung herzueiten. Der Fa des reinen Schubs ist besonders geeignet, wei in bestimmten Richtungen nur Schubspannungen, in anderen Richtungen dagegen nur Normaspannungen auftreten. σ = - σ σ = σ σ = σ σ = - σ γ γ Dehnungen: Mohrscher Spannungskreis Scherung: -σ σ σ Aus den Verschiebepänen 1 und 2 iest man ab: - Verschiebepan 1 Verschiebepan 2 tanγ 2 = 2 2 cos π 4 2 cos π 4 = 2 = ε = +ε. 2 π/4 1 /2 2 /2 π/4 γ 2 γ 1 1 Näherung für keine Winke tanγ γ und Superposition 10) : Der Schubmodu hängt damit in fogender Weise von Eastizitätsmodu und Querkontraktionszah ab: 10) Die im Verschiebepan angenommenen Verzerrungen brauchen nicht auf die Beastung Bezug nehmen. ImvoriegendenFa weißman, dasswegen σ = σ, σ > 0undwegen 1 = 2 = sichlängenanderungen einsteen, für die 1 = 2, 2 > 0 git. Der Grund für diese Freiheit iegt natürich darin, dass in den Verschiebepänen 1 und 2 beiebig angenommen wurden, der sich tatsächich einsteende Fa somit enthaten ist. Zu beachten ist, dass die Verschiebungen so angesetzt werden, dass 1. der agemeine Fa aso ae reevanten Freiheitsgrade des Sstems abgedeckt werden, hier für das ebene Probem sind Verschiebungen in - und -Richtung vorzusehen, eine Drehung iefert wegen der angenommene Isotropie keine neue Information, 2. der abzueitende geometrische Zusammenhang eicht erkennbar wird. Für den 2. Punkt ist, die Anwendung des Superpositionprinzip in den meisten Fäen äußerst hifreich, da jede Verschiebung einzen zu überschaubareren Situationen führt. 113

9 Übungen A Leiten Sie das Ergebnis ab, indem Sie andere Verschiebpäne mit oder ohne Ausnutzung des Superpositionsprinzips entwerfen, die dem Probem angemessen sind. Hinweis: Eine Mögichkeit ist natürich, die wahren Verschiebungen 1 = 2, 2 = > 0 anzusetzen, und daraus die Winkeänderung γ abzueiten. B Nutzen Sie das Transformationsverhaten σ ϕ = f(σ,σ, ), ϕ = f(σ,σ, ), des ebenen Spannungszustandes, das sich aus dem Geichgewicht am Dreieckseement ergibt und Grundage für die Konstruktion des Mohrschen Kreises war, um das entsprechende Transformationsverhaten des Deformationstensors herzueiten. In ihrem Ergebnis sote der Zusammenhang ε = 1/2γ und die Beziehung G = 2E/(1 + ν) auftauchen Verschiebung Durch die an einem eastischen Körper wirkenden Spannungen verschieben sich die Teie des Körpers gegeneinander. Zugstab F Diese Verschiebungen assen sich eindeutig berechnen, wenn Spannungszustand und zugehöriger Deformationszustand bekannt sind. Für einen Zugstab ässt sich dieser Zusammenhang eicht mit dem dargesteten Verschiebepan abeiten. Verschiebepan unbeastet d Dazu greifen wir ein differentiees Eement des Stabes der Länge d an beiebiger Stee des unbeasteten Stabes heraus. Dieses Eement wird durch die Beastung um u() gegenüber der Ausgangsage verschoben und zur Länge d + ε()d auseinander gezogen, so dass sich der Endpunkt +d um u(+d) gegenüber dem unbeasteten Endpunkt verschiebt. Aus dem Verschiebepan iest man ab: beastet u() d u(+d) u() d+ε()d Die Verschiebung an jeder Stee ergibt sich durch Integration 114

10 Im Beispie des Zugstabes ist u(0) = 0 und ε() = const =. Aus dem Verschiebpan sieht man ferner, dass u() =. Es ergibt sich aso in Übereinstimmung mit der Definition von ε. Zusammenhang von Dehnung und Verschiebung eines räumichen Eementes Verschiebungsvektor in drei Dimensionen: f(,,z) = u(,,z) v(,,z) w(,,z) Dehnungen: Verschiebepan am differentieen Eement (,-Ebene Aufsicht) u(+,,z) u(,,z) ε = im = u 0 v(, +,z) v(,,z) ε = im = v 0 w(,,z + z) w(,,z) ε z = im = w z 0 z z + u(+,+,z) u(,+,z) v(,+,z) v(+,+,z) γ 1 (,,z) Scherungen: u(, +,z) u(,,z) γ 1 = im = u(,,z) 0 v(+,,z) v(,,z) γ 2 = im = v(,,z) 0 f(,,z) γ 2 (,,z) v(+,,z) v(,,z) u(,,z) u(+,,z) + γ = γ 1 +γ 2 = u(,,z) anaog: + v(,,z) = 2ε γ z = v(,,z) z + w(,,z) = 2ε z, γ z = w(,,z) + u(,,z) z = 2ε z ε = 1 ( u(,,z) 2 ε z = 1 ( v(,,z) 2 z ε z = 1 ( w(,,z) 2 + v(,,z) ) ) + w(,,z) + u(,,z) z ) 115

11 2.2.7 Voumenänderung Ursprüngiches Voumen: V = z z z Voumenänderung: Voumendehnung e (Voumendiation): Mit dem Hookeschen Gesetz git Für inkompressibe Materiaien muss für die Querkontraktionszah ν = 0.5 erfüt sein Gerader Stab As wir die Spannung am Beispie des Zugstabs eingeführt hatten, hatten wir angenommen, dass die Spannung über den Querschnitt des Stabes konstant ist, wenn die Schnittfäche eben ist und dass der Schnitt fern vom Angriffspunkt der Kraft F erfogt. F z s z s S σ(,z) Wir woen jetzt untersuchen, weche resutierende Kraft und weches resutierende Moment eine konstante Spannungsverteiung in einem beiebig geformten Stabquerschnitt erzeugt. Für die Längskraft in -Richtung bestätigen wir, dass aso σ = F/A die auf die Gesamtfache bezogene Kraft ist. Interessanter ist die Betrachtung der Momentenbianz. Für das Moment um die z-achse erhät man und für das Moment um die -Achse 116

12 Die Momente verschwinden beide, wenn die Kraft im Schwerpunkt der Querschnittsfäche angreift. Nur unter dieser Bedingung beibt der Stab momentenfrei, ist er aso nach Definition wirkich ein Stab und nur dann beibt der Stab gerade. Für die Dehnung ergibt sich mit dem Hookeschen in einem Querschnittseement dersebe Wert, was konsistent mit der Tatsache ist, dass der Stab gerade beibt. Erstes Beispie zum geraden Stab: Einachsiger Spannungszustand Ein eastischer Stab der Länge mit Querschnitt A = bh sei durch die Kraft F auf Druck beastet. Das Materia sei homogen mit einem Eastizitätsmodu E und einem Schubmodu G. Gesucht sind die Spannungen in, - und z-richtung, sowie die Längen-, Dicken- und Höhenänderung, b und h des Stabes. h Lösung Spannungen: z b Dehnungen: Dehnungen: mit 117

13 Zweites Beispie zum geraden Stab: Einachsiger Dehnungszustand Ein eastischer Stab der Länge mit Querschnitt A = bh sei durch die Kraft F auf Druck beastet und durch starrre Wände seitich begrenzt. Das Materia sei homogen mit einem Eastizitätsmodu E und einem Schubmodu G. h Gesucht sind die Spannungen in, - und z-richtung sowie die Dehnung und die Längenänderung in -Richtung, b und h des Stabes. z b Lösung Spannungen: Dehnungen: In Aufgaben diesen Tps sind die sechs Unbekannten ε,ε,ε z und σ,σ,σ z zu bestimmen. Zur Verfügung stehen dazu drei Spannungs-Dehnungs-Beziehungen, hier das Hookesche Gesetz, ε = 1 E ε = 1 E ( ) σ ν(σ +σ z ) ( ) σ ν(σ z +σ ) ε z = 1 ( ) σ z ν(σ +σ ) (3) E Zur Lösung müssen drei weitere Bedingungen bekannt sein. Dies können sowoh Aussagen zu den Spannungen as auch zu den Dehnungen sein. (1) (2) Im ersten Beispie sind drei Nebenbedingungen zu den Spannungen gemacht worden, σ aus F gegeben, σ und σ z sind Nu. Im zweiten Beispie bestehen die drei Nebenbedingungen aus der bekannten Spannung σ wie im ersten Beispie und den bekannten Dehnungen ε und ε z, die wegen der starren Einfassung Nu sind. 118

14 Drittes Beispie zum geraden Stab: Hängender Draht unter Eigengewicht Ein eastischer Draht mit konstantem Querschnitt A = bh sei an seinem oberen Ende an der Decke befestigt und am anderen Ende durch die Kraft F 0 auf Zug beastet. Er hängt im Schwerefed der Erde. Das Materia der Dichte ρ sei homogen mit einem Eastizitätsmodu E undeinerzuässigen Zugspannungσ zu. Lagepan d A, ρ g Gesucht ist die Spannungsverteiung im Draht sowie seine Längenänderung und die maimae Drahtänge, so dass der Draht gerade noch nicht reißt. Lösung F 0 Freischnitt eines differentieen Eementes Wegen des Eigengewichtes des Drahtes verändert sich die Spannung im Drahtes mit der Position. d σ() dg Wir schneiden deshab ein differentiees Eement des Drahtes frei und formuieren das Kräftegeichgewicht: Verschiebepan unbeastet σ(+d) beastet Die Spannungsabnahme in -Richtung ist konstant und durch das Gewicht dg des Eementes der Länge d bestimmt. u() Wir integrieren unbestimmt über die Koordinate und erhaten u() Die Integrationskonstante wird aus Randbedingungen bestimmt. Bei = ist die Spannung durch die Kraft F 0 vorgegeben. Für die Spannungsverteiung erhaten wir: Die maimae Spannung tritt bei = 0 auf: Wir fordern dass der Draht nicht zrreißt: Die Reißänge ist diejenige Länge des Drahtes, bei deren sein Eigengewicht zerreißen würde: Überschreiten er aeine durch Reißänge für F 0 = 0: 119

15 Da die Spannung nicht konstant ist, ist auch die Dehnung eine Funktion der Koordinate. Spannung und Dehnung soen durch das Hookesche Gesetz miteinander verknüpft sein Mit der Beziehung ε() = du d Integration berechnen: können wir die Verschiebung des Kraftangriffspunktes durch Die Integrationskonstante fogt wieder aus Randbedingungen. Die Verschiebung u() ist bei = 0 bekannt: Damit wird dei Verschiebung agemein ρga 2 und spezie bei = : = u() = 2 +F 0 EA = ( G 0) EA 2 +F Da die Spannungszunahme durch das Gewicht inear veräuft und die Dehnung inear mit der Spannung verknüpft ist, tritt der Mittewert des Gewichtes in er Forme auf. Wir woen noch die Reißänge von einfachem Baustah berechnen. Mit σ zu = 370N/mm 2,ρ = 7,85Kg/m 3 undg = 9,81m/s 2 ergibt sich: ma = 370 kgm 1 m 3 s m 2 7,85 kg 1 9,81 s 2 m = 4,8km Zum Vergeich: Die Reißänge von Spinnenfäden betraägt km. Der Energieverbrauch bei ihrer Hersteung ist wesentich keiner as derjenige, der bei der Stahproduktion anfät. Die Snthese der Spinnenfäden erfogt bei Umgebungstemperatur! Bionik. Schusssichere Westen aus mehren Lagen Spinnenseide können es mit Kevar-Westen aufnehmen, bei wesentich geringerem Gewicht, größerem Tragekomfort und biigerer Hersteung. 120

16 Viertes Beispie zum geraden Stab: Körper geicher Festigkeit Der Querschnitt eines runden Stabes so so gestatet werden, dass die Normaspannung in waagerechten Schnitten an beiebiger Stee immer genauso groß ist wie an der Basis mit Querschnitt A 0 ist: σ = σ 0 = const. Lagepan Wie muss die Kontur des Zugstabes ausgeführt werden? Lösung d A 0 ρ g Da sich der Querschnitt mit der Position ändern wird, betrachten wir wieder ein differentiees Eement und formuieren für dieses das Kräftegeichgewicht: F 0 Freischnitt eines differentieen Eementes Das Vorzeichen zeigt, dass der Querschnitt in -Richtung abnehmen muss, was zu erwarten war. Differentiageichungen einen sochen Tps öst man durch Trennung der Variaben: d σ 0 dg σ 0 Wir integrieren über die Koordinate und erhaten Entogarithmieren iefert den eponentieen Zusammenhang Übung a) Bestimmen Sie die Längenänderung eines Stabes konstanter Festigkeit, der ein Fachenverhätnis A()/A 0 = 1/e besitzt. b) Zeigen Sie, dass die durch Querkontraktion abnehmende Querschnittsfäche einen vernachässigbaren Einfuss auf die Lösung hat, soange ε = / << 1 git! 121