Mechanik der Strukturmaterialien WS2014 Balogh/Schmitz. 2. Vorlesung

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Sophia Heintze
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1 . Voresung Katverfestigung: rhöhung der Festigkeit mit zunehmender Verformung, d.h., das Bautei verfestigt sich dort, wo es beansprucht wird; Katverfestigung ist eine grundegende Voraussetzung für stabie pastische Verformung. Für die ntwickung der Kraft während der Dehnung müssen wir fordern: dk 0 dε (1.7) Aufgrund des Mechanismus der pastischen Verformung git außerdem immer Voumenerhatung, d.h. dv 0 dε = (1.8) Aus den Geichungen (1.5) (1.8)ässt sich das sogenannte Considère-Kriterium für stabie Verformung abeiten (siehe Übung) Duktier Bruch: Spröder Bruch: Bruch nach pastischer Verformung; Bruch ohne nennenswerte Verformung; Zähigkeit: nergieaufnahme des Materias vor dem Bruch; diese Materiagröße kann z.b. mit dem Schagpende gemessen werden. h 1 h 0 = M g h o o ( ) V = M g h o h 1 1

2 Härte: Widerstand gegen den indruck von Probekörpern; z.b. kann die Vickershärte durch den indruck einer quadratischen Diamantpyramide bestimmt werden. indringtiefe oder indruckfäche sind ein Maß für die Härte, weche as Funktion kompiziert aber monoton von der Streckgrenze des jeweiigen Materias abhängt. Kriechen: Pastische Verformung unter konstanter Last; hierbei tritt viskoses Verhaten auf angen Zeitskaen oder hohen Temperaturen auch z.b. bei Metaen oder Keramiken auf. rmüdung: σ B Versagen nach Wechseverformung; dabei kommt es zum Bruch der Probe nach vieen stat. Festigkeit Beastungszyken. Oft ohne dass eine nennenswerte Verformung zuvor beobachtet worden ist. Zykenzah n Bei guten Werkstoffen breitet sich der Bruch in der Rege transkristain aus, d.h. der Bruch veräuft durch die Kornvoumina, was ein gewisses Maß an pastischer Verformung eraubt. in spröder Bruch veräuft hingegen oft entang der Korngrenzen. Man spricht dann von einem interkristainen

3 Bruch. ine mechanische Schwächung der Korngrenze ergibt sich oft durch minimae Verunreinigungen, die an den Grenzen segregieren.. Lineare astizitätstheorie astische Verformung bedeutet reversibe Verformung. Diese bobachtet man bei Festkörpern nur für keine Deformationen, z.b. Cu : 0,1%. Für nicht zu große Kräfte ist die eastische Verformung darüberhinaus proportiona zu angeegten Kraft. Wir konzentrieren uns im fogenden auf diesen Bereich keinster Verformungen, der mathmatisch durch ineare Beziehung reativ einfach zu beschreiben ist..1 Phänomenoogische inführung.1.1 astizitätsmodu Der Zusammenhang zwischen Verformung und Kraftwirkung ässt sich in einer inearen Theorie agemein beschreiben durch Verformung * Modu = Kraft oder Verformung = Compiance (Nachgiebigkeit) * Kraft. Wir benötigen eine geeignete Normierung, um die Materiaeigenschaft unabhängig von der Probengeometrie zu erfassen: Betrachten wir zwei Böcke mit geicher Länge = 1, dann git: 1 = γ F =. Dabei hängt i von der Länge der Proben ab. Fügen wir beide Böcke zusammen, ergibt sich für die gesamte Längenänderung = 1 + = 1 und für = 1 + = 1. Daraus fogt: = 1, d.h. die reative 1 Längenänderung ist unabhängig von der Probenänge. 3

4 hängt außerdem noch von der Querschnittsfäche A = b * h ab. (in dicker Stab braucht eine höhere Kraft um die geiche Ausdehnung zu erreichen.) b σ h + As sinnvoe Definition wäht man deshab: F = σ = = ε A mit σ = Spannung stress = astizitätsmodu ( Youngscher Modu ) ε = Dehnung strain. (.1).1. Querkontraktion Wenn der in.1 gewähte Quader (isotroper Festkörper) durch einachsige Zugbeastung um gedehnt wird, verringert sich sein Querschnitt: Zur Beschreibung dieser Dickenänderung benötigt man eine zweite Materiakonstante: b h = = ν (.) b h ν = Querkontraktion ( Poisson s ratio ). Fas das Voumen bei der Verformung erhaten beibt, muss für die Querkontraktion geten: 0 = V = b h + b h + h b (ineare Näherung) = = h b b h + + h b V ν 4

5 1 ν = 0 ν = 1 Für die meisten Festköper, z.b. Metae, git die Voumenerhatung bei eastischer Verformung nicht, bei ihnen ist ν < astische nergie Um einen ersten Ausdruck für die im Festkörper in eastischer Verzerrung gespeicherten nergie zu erhaten definieren wir eine Federkonstante D durch: und erhaten mit (.1) F = D A D =. 1 Aus der bekannten eastischen nergie der Feder W = D fogt so für die nergiedichte Festkörpers: w W 1 A = = V, A w = W V des verformten 1 w = ε (.3) Die eastischen igenschaften eines isotropen Festkörpers werden durch und ν voständig beschrieben. Für anisotrope Festkörper können hingegen bis zu 1 verschiedene Konstanten erforderich werden. Durch die Punktsymmetrien der verschiedenen Kristastrukturen verringert sich ihre Anzah aerdings stark, z.b. bei kubischer Symmetrie auf 3 (wird später gezeigt). Für speziee geometrische Situationen kann es sinnvo sein, auch für isotrope Materiaien andere, an die jeweiige Geometrie angepasste Modue zu definieren. 5

6 .1.4 Beispie 1: Kompressionsmodu (Buk-Modu) Der Kompressionsmodu beschreibt die Reaktion des Festkörpers auf hydrostatischen Druck. Der Druck wirkt aus aen Richtungen und der Festkörper verkeinert dadurch sein Voumen. Der Quader habe die Dimension Länge () x Breite (b) x Höhe (h). Druckkraft inks-rechts führt zu einer Längenänderung: 1 = p Aufgrund der Querkontraktion führt die Kraft vorn-hinten zu einer weiteren Längenänderung = ν b p = + b ν, und ebenso die Kraft oben-unten: 3 = p ν Bei inearer Superposition ergibt sich: p = = 1 ( ν ) und da das Probem in aen drei Richtungen symmetrisch ist V b h p = + + = 3 ( 1 ν ) (.3) V b h p = - K V V mit K = 3 ( 1 ν ) (.4) 6

7 Für ein stabies System muss geten, dass es sich nicht spontan unter Leistung von Arbeit zusammenzieht, aso müssen wir verangen K! 0 ν < 1 /, und für Voumenerhatung git ja gerade ( ν 1 / ) K, d.h. in diesem Fa wird das Kompressionsmodu sehr vie größer as das astizitätsmodu..1.5 Beispie : Spannung von dünnen Schichten und biaxiaes Modu pitaktisches Wachstum von Schichten auf einer Unterage erfordert eine gute Passung der Gitterparameter. Weicht der Gitterparameter der abzuscheidenden Schicht eicht ab, so kommt es zu einer Verspannung der neuen Schicht, im agemeinen entang der beiden ateraen Richtungen entang der Substratoberfäche. Die Spannung wird gerade so groß, das die eastische Verzerrung den Unterschied in den Gitterparametern ausgeicht. Quantitativ: Gitterparameter des Substrats: as, Gitterparameter der neuen Schicht a0. O.b.d.A gete as < a0. Dann fogt für die aterae Dehnung a ε = a s 0 <0 (.5) a0 Diese Dehnung tritt in beiden ateraen Richtungen auf und wird durch die fogende Spannung erzeugt: σ ε = ( 1 ν ) σ = ε < 0 (.6) 1 ν (Druckspannung reduziert den Gitterparameter der neuen Schicht. Der Faktor vor dem ε heißt aus naheiegenden Gründen auch das biaxiae Modu.) Wie groß ist zum Vergeich die Verzerrung in der senkrechten Richtung?: 7

8 ε νε ν a a 1 ν a s 0 = > 0 0 Bemerkenswerter Weise ist die Dehnung positiv, d.h. in einem übichen Theta/Theta Diffraktogramm der panaren Schicht würde ein deutich zu großer Gitterparameter, anstatt ein zu keiner gemessen. 8

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