Mechanik deformierbarer Körper

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1 Physik VL14 ( ) Mechanik deformierbarer Körper ggregatzustände tä Struktur von estkörpern Deformierbarkeit von estkörpern 1

2 ggregatzustände Der starre Körper ist ideaisiertes Mode!!! Nahezu jeder feste Körper (estkörper) ist verbiegbar, deformierbar, oder zerstörbar manche Änderungen verschwinden wieder: reversibe Änderungen andere Änderungen beiben bestehen: irreversibe Änderungen üssigkeiten passen sich einem Behäter an, aber sie behaten ihr Voumen Gase sind gänzich bewegich und füen jedes Gefäß voständig aus Zustand eines Körpers ist entscheidend für seine mechanischen Eigenschaften: ggregatzustand ber: Der ggregatzustand ist nicht immer eindeutig: Beispiee: - Was ist Gas? - Was ist üssigkrista? - Was sind Haut und Haare? 2

3 ggregatzustände estkörper Voumenänderung erfordert (große) Kraft ormänderung: eastisch (reversibe), pastisch ormeastizität - formstabi Ideae üssigkeit keine Voumenänderung (inkompressibe) Voumeneastizität voumenstabi ormänderung ohne rbeit nicht formstabi Ideaes Gas füt jedes Voumen voständig aus Voumenänderung hängt stark vom äußeren Druck ab Kompressibiität, weder form- noch voumenstabi 3

4 ggregatzustände Unterscheidung verschiedener ggregatzustände über die Dichte: Dichte: Verhätnis von Masse m zu Voumen V ρ 3 m kg 1 g V m Die Dichten von estkörpern und üssigkeiten iegen in der geichen Größenordnung. Größte Dichte: Eement Osmium (22,5 g cm -3 ) Die Dichten von estkörpern und üssigkeiten ändern sich nur wenig mit der Temperatur Die Dichte von Gasen ist etwa das 1-3 -fache der Dichte von Wasser, Temperaturabhängig! 1 cm Bi Beispiee i für Dichten der verschiedenen ggregatzustände tä estkörper ρ / g cm -3 üssigkeiten ρ / g cm -3 uminium 2,69 Ethyakoho (2 C),789 Stah 7,7 Wasser (2 C),998 Kupfer 8,93 Meerwasser 1,25 Bei 11,34 Gase (bei 1 atm) ρ / kg m -3 God 19,3 Wasserstoff (H 2 ),899 Uran 19,85 Heium (He),1786 Patin 21,4 Luft (78% N 2,21% O 2, % r,co 2,He ) 1,293 4

5 ggregatzustände ggregatzustände weitere Unterscheidungen inhomogene, aber geordnete Stoffe amorphe Stoffe: - Beispiee: Hoz, Gestein, asern - keine estkörper im makroskopischen Sinn, aber aus keinsten Kristaiten zusammengesetzt Gase: üssigkeit, da es keinen definierten Schmezpunkt gibt üssigkrista: in eine Richtung kristaine nordnung (Nahordnung), in andere Richtung wenig Ordnung organische Stoffe: riedrich Wöher (1828): Harnstoff aus der Retorte: organische und synthetische Stoffe sind nicht einfach trennbar Poymere: durch Verkettung von Moeküen: Poymerisation - estigkeit stark von Temperatur, Druck und äußeren Bedingungen abhängig Definition der ggregatzustände zum Tei historisch bedingt 5

6 ggregatzustände ggregatzustände weitere Unterscheidungen Beispiee: Gummischauch: fexibe Leitungen sind äußerst dehnbar und kaum zerbrechich Kühung auf Stickstofftemperatur (-196 C / 77 K): Materia wird spröde (Gummi versprödet bei 8 Grad) Zustand abhängig von der Temperatur! Diatante Materiaien, die bei kurzer Krafteinwirkung hart sind (eastischer Stoß), bei angsamer Krafteinwirkung jedoch fießen - Beispie: Stärkebrei Zustand abhängig ggvon Kraftwirkung 6

7 Struktur von estkörpern ggregatzustände Starrer vs. deformierbarer Körper jeder Körper besteht aus tomen, die sich zu Kristaen und Moeküen zusammensetzen können: Bindungskräfte größere Einheiten entstehen durch Zusammensetzungen von Moeküen. Die wirkenden Bin- dungskräfte können eicht überwunden werden: zerbrechen, zerschagen, df deformieren 7

8 ideaer estkörper: Krista Struktur von estkörpern jeder Gitterbaustein (tome, Ionen, Moeküe) hat festen Patz Kristagitter erzeugt sehr hohe Ordnung im Materia, spieget sich oft in den makroskopischen ormen der Kristae wieder Beispie: Natriumchorid NaC: positiv geadene Ionen des Natrium und negative Ionen des Chors jedes Na hat sechs C-Ionen as Nachbarn und umgekehrt würfeförmige Struktur Symmetrie: Drehung um 9 erzeugt dassebe Gitter: vierzähige Symmetrie kubisches Gitter 8

9 Struktur von estkörpern Beispie 2: Kohenstoff bidet Ringe von sechs tomen aus Schichtstruktur oder verzahnte Struktur mögich: Kohenstoffatome tetraedrisch von vier weiteren C-tomen koordiniert Härte verschiedener Kohenstoffmodifikationen: Diamantstruktur: härtestes Materia Graphitstruktur: weichstes festes Materia Struktur des Kristas bestimmt die physikaischen Eigenschaften 9

10 Deformierbarkeit von estkörpern estkörper sind dki keine starren Körper, intrinsische i i Bewegungen sind mögich Bewegung um Gitterpatz ist mögich, da Bindung nicht starr ist: Vibration Bewegung von einem auf den anderen Gitterpatz ist mögich, wenn es Defekte gibt Leerstee substitutionees remdatom Eigenzwischengitteratom remdzwischengitteratom Prozesse der Entstehung und zeitichen ii Veränderung von Dfk Defekten durch verschiedene tomtypen normaerweise vie kompizierter 1

11 Deformierbarkeit von estkörpern estkörper sind dki keine starren Körper, intrinsische i i Bewegungen sind mögich...defekte ma anders: substitutionee remdatome können die nordnung im Gitter stören 11

12 Deformierbarkeit von estkörpern estkörper sind dki keine starren Körper, intrinsische i i Bewegungen sind mögich Die Zah der Gitterinien kann sich ändern: Versetzungen Versetzungen sind die einzigen inienhaften Defekte in Kristaen fast ae Kristae (usnahme: mikroskopisch keiner Kristaite) haben Versetzungen (usnahme: Siizium reinstes Materia, Basis für Siiziumtechnoogie) Versetzungen: Eektronenmikroskopisches Bid eines Si-Kristas mit Stapefeher Die Pastische Verformung von Kristaen erfogt durch die Erzeugung und Bewegung von Versetzungen 12

13 Deformierbarkeit von estkörpern Ein estkörper hat starke Bindungskräfte, ist aber KEIN starrer Körper bei Beanspruchung sind verschiedene Verformungen mögich Dehnung, Stauchung, Scherung, Driung, Biegung innere Reaktion des Materias auf Verformung: Spannung 13

14 Spannungen in estkörpern Deformierbarkeit von estkörpern Prinzip der Wirkung: äußere Beanspruchungen und Beastungen innere Reaktionen: Spannungen Wirkende Kräfte: Entscheidend: Kraft pro ächeneinheit ( Kraftverteiung ) Spannung Kraft äche N 2 mm Pa(sca) Charakterisierung von Spannungen: Richtung der Beastung reativ zum Körper! Kraft senkrecht auf Schnittfäche: Normabeastung Normaspannung σ Kraft quer zur Schnittfäche: Querkraftbeastung Schubspannung τ 14

15 Deformierbarkeit von estkörpern Spannungen in estkörpern - Dh Dehnungen Dehnung verängert den estkörper und verkeinert die Querschnittsfäche : + Δ Δ z.b. Zyinder: 2 π r r r r Δr r r + Δ Δ rr r - Δr geringe Dehnung: reversibe, anaog zu einer eder starke Dehnung: pastische, irreversibe Verformung Kraft erzeugt Dehnung: Längenänderung proportiona zur Kraft: Δ 15

16 Deformierbarkeit von estkörpern Verformung von estkörpern - Dh Dehnungen Beschreibung von Dehnungen I Kraft N Spannung Spannung σ äche 2 m Bei Normaspannung: σ > : Zugspannung σ <: Druckspannung Pa(sca) Δ 1 1 α σ E E Längenänderung Δ Dehnung ε Δ Eastizitätsmodu i α Dehnungkoeffizient E Eastizitätsmodu E Δ Spannung Δ σ E E ε 16

17 Mechanik deformierbarer Körper Hooke sches Gesetz für die Dehnung von estkörpern σ E ε ε α σ D s Hook sches Gesetz für edern (VL7) Spannung Eastizitätsmodu Dehnung Dehnung Dehnungskoeffizient Spannung σ ε Δ E Δ σ E ε Dehnung verängert den estkörper und verkeinert Querschnittsfäche : bei inearer bhängigkeit: Hooke sches Gesetz 17

18 Mechanik deformierbarer Körper Darsteung der Dehnung in Spannungs-Dehnungs-Diagrammen technische Zugversuche: Darsteung des Verhatens in Spannungs-Dehnungs-Diagrammen unter definierter Last Streckgrenzspannung σ Zugfestigkeit Zerreissspannung ε Δ 18

19 Mechanik deformierbarer Körper Eastizitätsmodue und Zugfestigkeiten Materia E-Modu Zugfestigkeit E Δ σ max max GNm -2 (1 9 Nm -2 ) MNm -2 (1 6 Nm -2 ) uminium 7 9 Bei Eisen Kupfer Messing 9 37 Stah

20 Mechanik deformierbarer Körper Beispie Wechen Durchmesser muss ein Draht haben, an dem ein Hubschrauber einen PKW hebt, ohne das dass Sei reißt? Wie groß ist die Längenänderung? Eastizitätsmodu, E (Stah) Nm -2, Zugfestigkeit, σ max Nm -2 Gewicht des PKW, m 15 kg Länge des Seis, 1 m Über σ max / min aus Zugfestigkeit: minimaer Seiquerschnitt ohne Zerreissen min σ max mg σ max 2,83 1 Durchmesser des Seis bei minimaem Seiquerschnitt min dmin dmin min m 3.4 mm 4 Längenänderung ε Δ σ E max Δ 6 m 2.26 m 2.6 cm 2

21 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern: Dehnungen Beschreibung von Dehnungen II Wie ändert sich das Gesamtvoumen eines estkörpers bei Dehnung? Die Längenänderung wird begeitet von einer Querkontraktion aktor der Längenänderung ε + ε ) Definition der Querkontraktion ε d d + ε ) q Δ Δd d Beziehung zwischen Querkontraktion und Längsdehnung: Poisson sche sche Querkontraktionszah aktor der Queränderung d d d 1+ νε ν ε (1 (1 q Δd d Δ q ε 21

22 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern: Dehnungen Beschreibung von Dehnungen III Voumenänderungen: Wie ändert sich das Gesamtvoumen eines estkörpers bei Dehnung in eine Richtung? Beispie: Quader mit zwei geichen Seiten wird gedrückt bzw. gezogen Reative Voumenänderung: Δ V V V V V V V 1 Δ V V d d (1 + ε ) (1 νε ) 2 1 Längendehnung Querkontraktion Näherung (häufig gütig!): 2, 2 2νε 2νε ν ε 2 ΔV 2 ) ε > : Dehnung: Rauminhat wird größer Δ (1 2ν )ε ε V ε < : Stauchung: Rauminhat wird keiner 22

23 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern: Dehnungen und Stauchungen Voumenänderungen: aseitige Dehnung eines Voumen: dreifacher Effekt Druckbeastung: ähnich wie beim Wirken von Zugkräften kommt es auch bei Druckkräften zu einer reativen, negativen Längenänderung Druckänderung: P P ΔP Reative Voumenänderung: Δ V 2ν )ε 1 3 (1 2 ν ) ε 3 (1 2 ν ) 1 V E K V (1 2ν ) K: Kompressionsmodu K E Eastizitätsmodu ΔP K ΔV V Unter aseitigem Druck ΔP nimmt das Voumen eines estkörpers ab 23

24 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern Biegungen und Brüche meist verformt sich ein estkörper und bricht durch ungeichmäßigen Druck, der verstärkt wird durch Hebewirkung an Inhomogenitäten Beispie: Brechen eines Stabes auf Druck Instabiitäten beim Bruch: Hebewirkung und Drehmoment entstehen an der Kerbe oder an einer Knickstee und steen den Beginn eines Bruchs dar (aus: Harten, Physik für Ing. & Naturwiss.) Bruchfestigkeit hängt nicht nur von Materia ab, auch von ehern 24

25 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern Biegungen und Brüche Knickung bedeutet Biegung: ußenseite wird gedehnt, Innenseite gestaucht. In der Mitte: neutraer Bereich (neutrae asern) Biegefestigkeit hängt von der Steifigkeit der entferntesten Teie ab Beispie: Biegefestigkeit eines Trägers der Länge Δh (aus: Harten, Physik für Ing.& Naturwiss.) hängt ab vom (ächen-)trägheitsmoment des Trägers, gegeben durch die Trägergeometrie Δh 1 E J 25

26 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern Biegungen und Brüche Beispie: Ein Baken mit rechteckigem Querschnitt, der in der Mitte mit der Kraft beastet wird, erfährt eine Durchbiegung Δh 1 E J Länge des Bakens, d Dicke parae zur Durchbiegung, b Breite ächenträgheitsmoment J 1 12 d 3 b ( axiaes ächenträgheitsmoment Maß für den Widerstand eines Bakens gegen Biegung) hochgesteter Baken ist tragfähiger as fach gesteter Baken T-Träger oder Doppe-T-Träger sind stabier Δh 1 1 E 4 d 3 3 b 26

27 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern - Scherung eine Kraft, die tangentia zu einem Körper wirkt, heißt Schubkraft oder Scherkraft das Verhätnis von Scherkraft zur äche heißt Scherspannung τ Scherspannung τ S Scherung γ tan θ Δx für keine Schwerwinke θ ist die Scherspannung proportiona zur Scherung Verhätnis von Scherspannung zur Scherung: Schub- oder Torsionsmodu Schub- oder Torsionsmodu G γ τ S Δx τ G γ Hooke sches Gesetz für die Scherung von estkörpern 27

28 Mechanik deformierbarer Körper Verformung von estkörpern - Verdriung Beispie: Torsion eines Drahtes wirkt eine Torsionsbeastung, verdrit sich ein Draht, dann wirkt eine Scherkraft in einem bstand vom Schwerpunkt des Körpers: es wirkt iktein Drehmoment auf fden Draht Verdriung T D ϕ G D π 2 Torsionssteifigkeit hängt nur von Entfernung der Masse vom Mittepunkt ab (Trägheitsmoment groß!): hohe estkörper sind schwieriger zu verdrien! R 4 Torsion proportiona zum Schubmodu R 1,1m Beispie: Vergeich der Torsionssteifigkeit 4 4 D2 R2 ( R2 d) zweier Körpergeometrien bi bei 2 4 geicher Materiamenge D1 R1 R 2 1m, Wandstärke 5mm 28

29 ggregatzustände g (estkörper, üssigkeiten, Gase) Struktur von estkörpern Mechanik deformierbarer (est-)körper Zusammenfassung intrinsische Bewegungen in estkörpern durch Vibrationen, Defekte und Versetzungen Verformung von estkörpern durch Dehnung, Stauchung, Scherung, Driung, Biegung Spannungen in estkörpern Spannung Kraft äche N 2 m Pa(sca) Kraft senkrecht auf Schnittfäche: Normabeastung Normaspannung σ Kraft quer zur Schnittfäche: Querkraftbeastung Schubspannung τ Normaspannung Δ σ E E ε Dehnung Eastizitätsmodu ε Δ E Δ Hooke sches Gesetz für die Dehnung eines Körpers Weitere Parameter bei der Verformung von estkörpern Poisson sche Querkontraktionszah Kompressionsmodu Schub- oder Torsionsmodu (Hooke sches Gesetz für die Scherung von estkörpern) Verdriung 29