11. Deformierbare Festkörper

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "11. Deformierbare Festkörper"

Chantal Krüger
vor 6 Jahren
Abrufe

1 11. Deformierbare Festkörper Segen der erformung (kippelnder Stuhl, usw.) Dehnung und Kompression Hier steht die Kraft auf der Bezugsfläche! In xperimenten zeigt sich: mit: 1 l F A... lastizitätsmodul (materialspezifisch) Umformung ergibt: 1 F ε l A mit: ε... Dehnung (1) Mit F A Kraft Fläche σ... (Normal-)Spannung folgt schließlich: Also: ε 1 σ bzw. ε σ (2) Dehnung ~ Spannung; HOOKsches Gesetz (gilt innerhalb bestimmter Grenzen)! Betrachtungsweisen: bestimmtes aufgeprägtes σ induziert ε bestimmtes aufgeprägtes ε induziert (inneres) σ Maßeinheit: [] N Pa 2 m... Pascal SI hat Dimension einer Spannung, also Kraft/Fläche 65

2 Konvention: Zug σ > 0, ε > 0 Druck σ < 0, ε < 0 der gezogene/gestauchte Körper versucht, sein olumen konstant zu halten Querverformung / Querkontraktion : b b - b! POISSON[sche Querkontraktions]zahl µ µ b b l (3) s zeigt sich, dass σ (1 2µ ) (4) Diskussion Für Zugspannungen (σ > 0) ist 0 µ 0,5 xtrema: µ 0,5 0 (keine olumenänderung; wird voll durch b ausgeglichen) µ 0 maximal (keine Querverformung) reale FK haben häufig µ 0,2... 0,3 allseitiger Druck p jede der drei Dimensionen trägt lt. Gl. (4) bei! 3 p (1 2µ ) rläuterung: Schreibweise p (nicht p) deshalb, weil in der Praxis der hydrostatische Druck in der egel zum stets vorhandenen Luftdruck hinzukommt. orzeichenkonvention: Druck nach innen p > 0 (anders als bei σ!): 3 p (1 2µ ) (5) mit: p K K 3(1 2µ )... Kompressionsmodul (6) hängt also von und µ ab!! 66

3 11.2. Scherung Im Gegensatz zu <11.1.> liegt hier der Kraftvektor in der Bezugsfläche! Ansonsten gilt völlig analog zu Gl. (1): mit: Mit 1 l F G A G... Schermodul (materialspezifisch) (7) F A τ... Scherspannung folgt schließlich: l 1 G τ l tan α α (für kleine α) 1 α G τ bzw. G α τ (8) α... Scherwinkel Kommentar: Der Schwerwinkel α beschreibt die spezifische eformung bei der Scherdeformation und tritt an die Stelle der Dehnung ε in <11.1.>.! s lässt sich zeigen, dass auch zwischen G und eine Beziehung besteht (analog Gl. (6)): G 2(1 + µ ) (9) Kommentar: on den vier Konstanten, G, K, µ sind nur jeweils zwei unabhängig (vgl. die Gl. (6), (9) und analoge Zusammenhänge). Wir haben hier Spezialfälle betrachtet! Im allgemeinen Fall gilt: τ, σ Spannungstensor ε, α erzerrungstensor µ,, K, G lastizitätstensor 67

4 Wichtige Anwendung der Scherung: Drillung (vgl. <9.4.>) ϕ... Torsionswinkel Der Scherungwinkel α für ein bestimmtes olumenelement des Materials nimmt mit r zu! Für kleine α gilt: ϕ α r L (10) Wir betrachten einen dünnen Hohlzylinder: Seine erdrillung liefert ein ückstellmoment 1 dm r df (11) Die Kraft df df wird durch die Scherspannung τ aufgebracht. s gilt: τ df da G α (8) mit da 2πr dr sowie Gl. (10) folgt für df: ϕ df G r 2πr dr L (12) Damit erhalten wir für das ückstellmoment dm(r) des Hohlzylinders mit dem adius r: dm(r) 2π G ϕ r L 3 dr (13) 1 Wir rechnen jetzt mit Beträgen! 68

5 Wenn wir alle Teil-Hohlzylinder aufintegrieren, folgt: 4 π * M dm(r) G ϕ D ϕ (14) 2 L 0 mit:... adius des ollzylinders D* ist das ichtmoment lt. Gl. (9-12)! In <9.> hatten wir nur gesagt, dass D * ϕ M. Jetzt wissen wir, wie D * von Geometrie (, L) und Material (G) abhängt! Der gebogene Balken Der Krümmungsradius ändert sich längs des Balkens, wir betrachten ein kurzes Stück, für das const. ist. Wir nehmen an, dass die neutrale Faser in der Mitte liegt, dort sei z 0. s gilt l(z) l 0 z + l(z) z + l 0 (z) l(z) l l0 0 z (15) In einer Faser im Abstand z von der neutralen Faser baut sich also die folgende Spannung auf: (z) σ(z) ε l 0 Mit (15) folgt: σ( z) z (16) 69

6 Kommentar: Oberhalb der neutralen Faser herrscht Zugspannung, unterhalb Druckspannung, vergleiche orzeichenkonvention in <11.1.>, die auch hier gilt. Blick auf einen Balkenquerschnitt: Das Flächenelement da dz dy erfährt eine Kraft df σ(z) da Mit (16) erhält man: df z dz dy (17) Diese Kraft bewirkt ein Drehmoment: dm z df dm 2 z dz dy (18) Das gesamte in der Querschnittsfläche wirkende Drehmoment folgt als: mit: M I 2 schnittsfl gesamte Quer äche 2 schnittsfl gesamte Quer äche z dz dy z dz dy I heißt Flächenträgheitsmoment. (19) s gilt: M I bzw. I M Kommentar: in äußeres Drehmoment biegt den Balken; andererseits wird durch eine von außen aufgeprägte Biegung ein inneres (entgegengerichtes) Drehmoment induziert. I ist formal analog zum Trägheitsmoment bei der otation. s beschreibt die Steifigkeit des Balkens (Beispiel: Doppel-T-Träger!) 70

7 Gl. (19) zeigt: großes M und/oder kleines I ( kleine Biegesteifigkeit) bewirken kleines, d.h. große Biegung. Das Gleichgewicht des durchgebogenen Balkens ist wieder gekennzeichnet durch: und Kräftegleichgewicht Drehmomentengleichgewicht Wenn nicht F ges 0 und M ges 0 wären, würde Translation oder otation bewirkt Inelastisches erhalten Beispiel für ein reales Spannungs-Dehnungs-Diagramm (dennoch schematisch): σ P... Proportionalitätsgrenze (HOOK) σ... lastizitätsgrenze σ F... Festigkeitsgrenze Kommentar: für σ P < σ < σ keine Linearität mehr, aber noch keine bleibenden erformungen (gegebenenfalls dauert es eine Weile, bis alles zurückgeht) für σ > σ bleibende erformungen, die bei ntlastung nicht mehr vollständig zurückgehen Die ε-werte in der Abbildung sind typisch für viele Metalle. elastische Nachwirkung / elastische Hysterese: 71

8 Kommentar: 0A reiche schon in den inelastischen Bereich. B... estverformung trotz σ 0 C... notwendige Gegenspannung, um ε 0 zu erreichen Fläche innerhalb der Kurve repräsentiert die bei einem Umlauf durch die erformung verbrauchte ( in Wärmeenergie umgewandelte) nergie W: dw F dx F σ A dx d( ) l d l dε l dw A σ l dε dw ol. σ dε Zeiteffekte richtige Festkörper sind inkristalle. Sie haben definierte Grenzen für die erformung, / Zeiteinfluss. iele feste Körper sind ungeordnet (amorph). Bei ihnen hängt die erformung auch von der Zeitdauer der inwirkung der Spannung ab: kurze inwirkung: elastisches bzw. sprödes erhalten lange inwirkung: plastisches erhalten 72

Ähnliche Dokumente

( ) i. 6 Reale Feste und Flüssige Körper. F i F = F = grad E pot. Atomares Modell der Aggregatszustände. Kraft auf ein Atom:

( ) i. 6 Reale Feste und Flüssige Körper. F i F = F = grad E pot. Atomares Modell der Aggregatszustände. Kraft auf ein Atom: 6 Reale Feste und Flüssige Körper Atomares Modell der Aggregatszustände Kraft auf ein Atom: F = i F i r ( ) i potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab F = grad E pot 1 Atomares Modell der