9. Mechanik der deformierbaren Körper

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1 9. Mechanik der deformierbaren Körper Nach der Betrachtung der Kinematik (d.h. der Bewegung von Massenpunkten), wurden mit starren Körpern Gebilde mit innerer Struktur eingeführt. Deren Bewegungen, insbesondere Rotationsbewegungen haben sich schon als äußerst komplex erwiesen. Allerdings ist auch der starre Körper nur eine Approximation, jeder reale Körper ist erfahrungsgemäß nicht vollkommen starr. Die Aufgabe der Approximation des starren Körpers ermöglicht weitere Beschreibungen von Körperbewegungen, hierzu gehören insbesondere mechanische Schwingungen, die Schallausbreitung in Körpern etc Elastische und plastische Verformung Körper auf die äußere Kräfte einwirken, werden durch diese Kräfte verformt. Bei kleinen Kräften sind die Verformungen reversibel, d.h. die Dimensionsänderung verschwindet wieder, wenn die Kraft nicht mehr auf den Körper einwirkt. Oft ist es jedoch erwünscht, dass die Verformung dauerhaften Charakter hat (z.b. in der Werkstoffbearbeitung). σ I II III Bruch ε elastische plastische Verformung Unter der Einwirkung einer mechanischen Zugspannung Τ=F/A (F ist die Kraft, A die Körperquerschnittsfläche) reagiert der Körper mit einer relativen Dehnung S= l/l. Die Spannungs-Dehnungskurve eines leicht verformbaren Metalls zeigt z.b. charakteristische Bereiche. Für kleine Spannungen ist die Dehnung der Spannung proportional (Elastizitätsbereich). Mit zunehmender Spannung beginnen zunächst der Leichtgleitbereich (I), der Verfestigungsbereich (II), der Fließbereich (III) und schließlich der Bruch des Werkstückes. Schon im Leichtgleitbereich sind die Verformungen des Körpers dauerhaft, man spricht von plastischer Verformung. Eine Diskussion von Spannungs-Dehnungskurven in typischen Materialien wird in der Werkstoffkunde gegeben. Viele Metalle können leicht plastisch verformt werden, hierzu zählen insbesondere Kupfer, Aluminium, Silber und auch Gold. Mikroskopisch liegt dies am Kristallgitter in dem diese Metalle vorliegen (FCC Gitter flächenzentriert, weiteres hierzu folgt im vierten Semester und in der Festkörperphysik), und vor allem in der Leichtigkeit mit der Kristallfehler sich durch den Kristall bewegen können (z.b. Versetzungslinien). Die Vorhersage der elastischen und plastischen Eigenschaften von Materialien ist jedoch nach wie vor ein sehr schwieriges Problem, in den Materialwissenschaften hat sich hierfür ein eigenes Fachgebiet entwickelt (computational materials science). Polymere sind ebenfalls oft plastisch verformbar, es gibt jedoch auch spröde Polymere die so gut wie nicht verformbar sind (z.b. netzwerkbildende Polymere). Keramiken (z.b. Bleizirkonattitanat PbZrTiO 3 ) sind generell nicht plastisch 65

2 verformbar, daher ist die Materialbearbeitung von Keramiken (Sägen, Bohren etc.) nicht trivial. Für diese Zwecke werden heute zum Sägen und Bohren vorteilhaft Laser eingesetzt. Die große Sprödigkeit von Keramiken liegt mikroskopisch in der Kristallstruktur begründet. Keramiken kristallisieren in komplizierten Kristallsystemen (einfach weil mehrere Atomsorten am Kristallaufbau beteiligt sind), wodurch die Bewegung von Kristallfehlern weitgehend verhindert wird. 9.. Elastizitätsmodul, Poisson-Zahl, und Schermodul Im elastischen Bereich nennt man den Quotienten Y=Τ/S den Elastizitätsmodul, allgemein gilt Y=dΤ/dS. Der lineare Zusammenhang wird Hooke sches Gesetz genannt (die Feder liefert ein Beispiel für das Hooke sche Gesetz, hier gilt F=kx, d.h. die Federkraft ist proportional zur Federdehnung). Bei der Dehnung des Körpers beobachtet man in aller Regel auch eine Änderung in den Querdimensionen: R S =, S = l (9.1) l 0 R 0 R R 0 l 0 l Die Änderung in der Querdimension wird durch die Poisson Zahl charakterisiert µ = S / S. Die relative Volumenänderung beträgt: l R V = V V0 = π( R0 R) ( l0 + l) πr0l0 πr0l0 ( ) (9.) l R Die relative Volumenänderung eines Körpers ist daher: 0 0 V = S S = S ( 1 µ ) (9.3) V 0 Für µ=0,5 verschwindet die relative Volumenänderung, man nennt solche Körper auch inkompressibel. Da die Volumenänderung nicht negativ sein kann, ist die Poisson Zahl auf Werte kleiner als 0,5 beschränkt. Besonders unerwartet verhalten sich Körper mit negativer Poissonzahl (auxetische Körper). Bei diesen Körpern führt eine Zugspannung zur Vergrößerung der Querdimension, eine Druckspannung dagegen zu einer Verringerung der Querdimension. Auxetisches Verhalten findet man oft bei speziellen Schäumen. Solche Materialien werden zum 66

3 Teil bereits technisch eingesetzt (allerdings in der Regel nicht wegen des auxetischen Verhaltens), z.b. hochverstrecktes Polytetrafluorethylen (Teflon) in der Bekleidungsindustrie oder in Mikrowellenkabeln. Ein einfaches Modell für einen auxetischen Körper ist durch das unten dargestellte Netzwerk gegeben. Man kann an der Anordnung der Knoten und der Verbindungslinien zwischen den Knoten sehen, dass das Material bei Zugspannung die Querdimension vergrößert, bei Druckspannung die Querdimension verringert. Bei allseitigem Druck p auf einen Körper wird dieser hydrostatisch gepresst, die Volumenänderung wird dabei durch die Kompressibilität beschrieben: κ = 1 V dv dp, K = 1 wird Kompressionsmodul genannt. κ Für isotrope Körper kann die Kompressibilität oder der Kompressionsmodul durch den Elastizitätsmodul und die Poisson-Zahl ausgedrückt werden. Es gilt hierfür: 3( 1 µ) κ = (9.4) Y Für µ=0.5 wird ein Körper inkompressibel, dies drückt sich dadurch aus, dass der Kompressionsmodul verschwindet. Materialien, die sich in sehr guter Näherung wie inkompressible Körper verhalten sind Elastomere, die einen Young Modul um 1 MPa aufweisen können, aber einen Kompressionsmodul von typischerweise 1 GPa. Da der Young Modul und der Kompressionsmodul um Größenordnungen unterschiedlich sind, ist die Poisson Zahl nahe bei 0.5. Zur vollständigen Beschreibung der elastischen Eigenschaften von Körpern werden noch die Scherung und der Schubmodul benötigt. Als Scherungskräfte werden solche Kräfte bezeichnet, die tangential an einer Fläche angreifen. Als mechanische Scherspannung wird die pro Flächeneinheit wirkende tangentiale Kraft 67

4 bezeichnet τ = F / A. Unter dem Einfluss einer Scherspannung werden die Kanten eines Würfels, auf den die Scherspannung einwirkt, um den Scherwinkel α verkippt. Bei genügend kleinem Scherwinkel sind Scherspannung und Scherwinkel einander proportional τ = Gα. G ist der Schermodul oder auch Schubmodul. Die elastischen Konstanten Y, µ und G eines isotropen Körpers sind miteinander verknüpft. Zwischen den elastischen Konstanten eines isotropen Körpers bestehen die folgenden Zusammenhänge: Y G = 1 + µ Y = 1 µ 3κ G 1 µ = 3κ 1 + µ (9.5) Die elastischen und plastischen Eigenschaften eines Körpers bestimmen die größte Länge L für einen frei hängenden Stoff der nicht zerreißt. Ein Material zerreißt, wenn die Zerreißfestigkeit erreicht ist, das ist die maximale Zugspannung Tz die dem Material zugemutet werden darf. T z mg ρlag Tz = = = ρlg L = (9.6) A A ρg Für Kupfer gilt beispielsweise ρ=8,96g/cm 3 und Τ z =0,kN/mm. Hieraus folgt für die maximale Länge L=75m. Die maximale Länge hängt nur von der Zerreißspannung, der Dichte und der Erdbeschleunigung ab, nicht aber vom Querschnitt des Drahtes Der mechanische Verzerrungs- und Spannungstensor Für nicht isotrope Körper werden die elastischen Eigenschaften von Festkörpern durch Tensoren beschrieben. Der Spannungs- Tij und der Verzerrungstensor S ij sind dabei Tensoren zweiter Stufe, die durch Matrizen dargestellt werden. In der Hauptdiagonale des Spannungstensors stehen Druck- bzw. Zugspannungen, in den Nebendiagonalen Scherspannungen. In der Hauptdiagonalen des Verzerrungstensors befinden sich Dehnungen oder Stauchungen, in den Nebendiagonalen Scherungen. Der Zusammenhang zwischen Verzerrungs- und Spannungstensor wird durch die Elastizitätskoeffizienten gegeben. Da T ij und S ij Tensoren zweiter Stufe sind, müssen die Elastizitätskoeffizienten durch Tensoren vierter Stufe beschrieben werden S ij = sijkltkl! Elastische Eigenschaften beliebiger nichtisotroper Werkstoffe können also unglaublich kompliziert werden. Die elastischen Eigenschaften von Körpern werden uns auch im nächsten Semester beschäftigen, bei der Besprechung des piezoelektrischen Effektes, das Auftreten einer elektrischen Spannung bei Anlegen einer mechanischen Spannung oder die Formänderung eines Körpers bei Anlegen eines elektrischen Feldes. In diesem Fall werden also mechanische und elektrische Größen eines Körpers miteinander gekoppelt. Zur Vervollständigung dieses kurzen Abschnittes soll die Herleitung des mechanischen Verzerrungstensors besprochen werden. Wird ein Körper verzerrt, so wird ein Punkt P zu einem neuen Punkt P verschoben. Die Verschiebung wird durch den Verschiebungsvektor u r beschrieben, der von den Koordinaten x, y und z abhängt. Die Verzerrung ist eng mit dem 68

5 Verschiebungsvektor verknüpft, darf aber keinesfalls mit dem Verschiebungsvektor verwechselt werden. Der Verzerrungstensor wird mit Hilfe des Verschiebungsvektors definiert über die partiellen Ableitungen nach den Ortskoordinaten. Dabei achtet man darauf, dass der Verzerrungstensor symmetrisch wird. Der antisymmetrische Tensor, der ebenfalls über die Ableitungen des Verschiebunsgvektors nach den Ortskoordinaten gebildet werden kann, beschreibt lokale Rotationen und spielt in der Elastizitätstheorie nur eine untergeordnete Rolle. S ij 1 u i = x j u + x j i (9.7) Zur Übung sollen jetzt einige Beispiele dienen. Als erstes Beispiel soll die Verzerrung eines Stabes unter dem Einfluss einer Zugspannung betrachtet werden. Der Verschiebungsvektor ist sx u r = 0 0 (9.8) Der Verzerrungstensor ist dann einfach durch s 0 0 S = (9.9) gegeben. Zur Veranschaulichung von Verzerrungen sollen zwei Verschiebungsvektoren dienen, die zum selben Verzerrungstensor führen werden: 0 u r 1 = sx 0 (9.10) und sy 1 u r = sx 0 (9.11) In beiden Fällen folgt für den Verzerrungstensor 69

6 0 s / 0 S = s / 0 0 (9.1) Die beiden Fälle (9.10) und (9.11) unterscheiden sich lediglich durch lokale Rotationen, (9.11) beschreibt dabei eine reine Scherung. Eine Verbiegung kann z.b. durch den Verschiebungsvektor u r = xy y L x y L 0 (9.13) Der zugehörige Verzerrungstensor zeigt, dass der Stab nur entlang der x-koordinate verzerrt ist y y 0 0 L S = (9.14) Als Abschluss soll noch die geometrische Interpretation der Elemente des Verzerrungstensors gegeben werden. Die Diagonalelemente entsprechen linearen Dimensionsänderungen entlang der Koordinatenachsen, die Nebendiagonalelemente entsprechen Winkelverzerrungen im Körper. In ähnlicher Weise kann man sich die Elemente im Spannungstensor vorstellen. Hierauf gehen wir in der einführenden Vorlesung aber nicht näher ein. Um die elastischen Eigenschaften als Matrix schreiben zu können, führt man eine Notation ein, bei der Verzerrung und mechanische Spannung als Vektoren mit 6 Komponenten beschrieben werden (Voigt sche Notation): T T r T τ = T T T S11 S und r S33 ε = S S S (9.15) (man be8e die in der Definition des Verzerrungstensors!) Mit dieser Schreibweise wird z.b. das Hooke sche Gesetz 70

7 τ = c ε (9.16) α αβ β mit dem Steifigkeitstensor c. Dieser kann nun als Matrix mit 6x6 Elementen geschrieben werden! Die Elastizitätstheorie ist alles andere als einfach, schon leicht anmutende Probleme, wie die Biegung von Balken oder Platten ist sehr kompliziert Die Biegung von Balken und Platten Die Biegung von Balken und Platten spielt in der heutigen Mikromechanik eine wichtige Rolle. Plattenverbiegungen treten z.b. in mikromechanisch hergestellten Mikrophonen auf. Ohne Herleitung gilt z.b. für die Biegung u eines einseitig eingespannten Balkens unter dem Einfluss einer Kraft F, die am anderen Ende des Balkens einwirken soll, die Beziehung 3 L = 4 F (9.17) Yd b u 3 wobei L die Länge des Balkens, d die Dicke und b die Breite des Balkens ist. Die Durchbiegung eines Balkens wächst mit der dritten Potenz der Balkenlänge und ist umgekehrt proportional zur dritten Potenz der Balkendicke. Im allgemeinen sind Biegungen von Körpern mit beliebigen Querschnitten kompliziert zu berechnen, oft kann die Berechnung sogar nur numerisch durchgeführt werden, wobei in der Regel finite Elementverfahren zum Einsatz kommen. Mechanische Probleme bieten also auch heute noch Gelegenheit für aktuelle Fragestellungen der angewandten Forschung! Sehr viele Beispiele findet man z.b. im Buch von M. Elwenspoek und R. Wiegerink, Mechanical Microsensors, Springer Verlag, Berlin, 001, das sich leider auch durch eine erkleckliche Zahl von Druckfehlern auszeichnet Thermodynamik der elastischen Eigenschaften von Materie Elastische Effekte in Materie können auf zwei Ursachen zurückgeführt werden, die jetzt im Vorgriff auf die Thermodynamik kurz besprochen werden sollen. In der Festkörperphysik werden hochgeordnete Systeme besprochen, Einkristalle. Die mechanischen Eigenschaften solcher hochgeordneter Strukturen werden weitgehend durch energetische Betrachtungen erschlossen, man nennt diesen Fall auch Energie-Elastizität. Demgegenüber gibt es aber in der Natur viele Beispiele nicht hoch geordneter Materialien, ein Beispiel ist das später näher besprochene ideale Gas (wieder eine der blöden Bezeichnungen der Physik!). Hier wird sich zeigen, dass die Elastizität des Gases (der Druck) ausschließlich auf thermische Effekte zurück zu führen ist, nämlich auf die Druckabhängigkeit der Entropie. Man nennt ein solches Materialverhalten deshalb auch Entropie-Elastizität. Es gibt noch eine Reihe weiterer Materialien deren elastisches Verhalten durch die Entropie bestimmt ist, dies sind Elastomere. Elastomere bestehen aus stark verknäuelten Polymerketten, die oft untereinander quervernetzt sind. Durch Dehnen der Polymere wird deshalb die Unordnung in der Polymerstruktur verringert, und damit die Entropie. Dass dies zu einem elastischen Verhalten führt, das mit einem linearen Kraftgesetz beschrieben werden kann, ist schon eine erstaunliche Sache. Experimentell kann man die Faszination der 71

8 Entropie-Elastizität ganz einfach mit einem Haushaltsgummiband vorführen. Hängt man an das Band eine Masse wird es wie eine Feder gedehnt. Erwärmt man nun das Band so zieht sich das Band zusammen, d..h die Federkonstante von Gummi verhält sich anders als man es von festen Körpern erwarten würde: Mit zunehmender Temperatur steigt die Federkonstante an statt abzunehmen. Da man Gummi oft auf das vielfache seiner ursprünglichen Länge dehnen kann, macht die Beschreibung des elastischen Verhaltens von Gummi mit der linearen Elastizitätstheorie wenig Sinn. In den 40er Jahren des letzten Jahrhunderts hat man deshalb begonnen, solche ungewöhnliche elastische Eigenschaften zu beschreiben, man nennt dies auch Hyperelastizität. Auch heute ist dies ein aktives Gebiet aktueller Forschungen, insbesondere im Hinblick auf die Modellierung von biologischen Materialien. Das zugehörige Fachgebiet wird Physik weicher Materie genannt. 7